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數學講義

目前已上線 747 份講義。依年級選擇主題,先讀示範,再用自己的話回想;通過審查的教材會持續加入。

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概念主文

數與表示:概念主文

數、代數與微積分:概念主文

平移與坐標:概念主文

情境練習

算式與界限練習

分數次方

用計算機 x^y 鍵估算正底數實數次方

計算兩個非負數的幾何平均

以分段或距離意義解單層絕對值不等式

解一次不等式並表示解區間

以二次函數圖形解二次不等式

運算科學記號並正規化結果

用分點公式求數線上的內分點

由 y=ax² 建構二次函數圖形

在指定中心附近建立多項式的直線近似

保留非負主值化簡平方根

求一次函數在指定輸入的函數值

以乘法等式判定兩事件是否獨立

用立方和與立方差公式分解因式

合併同類項

辨認同類項

分配律

用一次式表示生活總量

用字母表示結合律

用字母表示交換律

檢查數是否為一次方程的解

辨認一元一次方程式

由情境列等式

空間直線的等價方程

常用對數的商律

建立有順序的兩次平面線性變換矩陣

判定空間直線與平面的位置關係

2×3 A乘3×2 B:只算AB

由分量計算向量長度

以乘法等式判定兩事件是否獨立

用已給的二階轉移方陣求一次人數更新

以方程消去法求三元一次方程組的唯一解

由已給的三元梯形增廣矩陣判定無解、唯一解或無窮多解

由指數律證明常用對數的乘積公式

分類兩條空間直線的位置關係

從指數乘法導出常用對數冪律

用貝氏定理更新後驗機率

用已給的 2×2 矩陣求平面圖形的像

從已觀察的次數建立資料型機率估計

計算空間向量的係數積與加減

固定比例的離散複利終值

用已給係數算出平面向量的線性組合

對三元增廣矩陣完成向前消去

判定主觀機率陳述是否符合互補一致性

建立固定比例成長或衰退模型

用條件機率的乘法公式求交集

同型矩陣的線性組合

在指定條件下計算條件機率

求已知平行兩直線的距離

從二狀態轉移敘述建立轉移矩陣

以矩陣表達具列欄意義的資料表

繪製指數函數並標示底數條件

判定向量三角不等式與等號條件

以殘差驗算三元一次方程組

求已知歪斜兩直線的最短距離

繪製常用對數函數圖

由對數刻度差求原量倍率

計算空間兩點距離

求可逆2×2矩陣的反矩陣

以常用對數解簡單指數方程

判定二元一次方程組的解類型

以克拉瑪公式求二元一次方程組的唯一解

用電腦執行矩陣運算並人工稽核

以空間向量線性組合算出並核對目標向量

運用半角公式並判定正負

運用正弦與餘弦的倍角公式

判定空間點到坐標軸與坐標平面的投影距離

計算空間中點到直線的最短距離

用總量守恆列出分配情境的一次方程

檢驗二元一次方程的一組解

列出二元一次生活等式

辨識二元一次方程

把總數與差列成兩條式子

辨認一元多項式

辨認多項式各項及係數

相減多項式:把每個同次項的係數相減

長除法:求二次多項式除以一次式的商式與餘式

相加多項式(橫式與直式)

直式計算多項式乘法

判定二次式的一次因式

提出公因式,把二次式分解成乘積

檢驗二次方程的候選根

由面積情境列二次方程

辨認一元二次方程式

以計算機近似二次方程的根

作線段的中垂線(尺規作圖)

尺規複製角:把一個角搬到別處

用餘式定理求線性除式餘數

有限結果的期望值:先配對,再把各項乘積相加

在坐標平面計算向量係數積與加減

驗證微分對係數積與和差的線性

由一階符號線判單調:看變化率,不看函數高度

質數、合數與兩者皆非:數一數正因數

用篩法找出 100 以內的質數

用標準式求最小公倍數

以標準式求最大公因數

選最大公因數,還是最小公倍數

由標準式判定倍數

由標準式判定因數

寫出標準質因數分解

計算含正負有理數的四則混合式

以正負數記錄相反方向的量

求有理數的相反數

改變加法分組(三個加數)

乘法交換次序:把 a×b 改寫成 b×a

去除差式外的負號

改變乘法分組

去除和式外的負號

加法交換次序:把 a+b 寫成 b+a

對數值的和與差使用分配律

比較正負有理數的大小

在數線上標出負有理數

以絕對值表示到原點的距離

求數線上兩點的距離

計算含次方的數值式

比較大於 1 的同底數冪

非零數的 0 次方:a0=1(a≠0)

把正整數次方寫成連乘

比較 0 與 1 之間的底數的同底數冪

處理冪的乘方:(am)n 怎麼改寫成 amn

積的乘方分配:把乘積的乘方拆給每個因子

同底數乘法合併指數

同底數的除法:約去相同的因子,指數相減

把正數規範為科學記號

計算生活比例的未知量

判斷兩個比能不能構成比例式

計算比值:把「幾倍」寫成一個數

依正比關係求對應值

為生活比例關係列式

解比例式的未知項

依固定乘積判定反比

利用反比求未知對應量

按量的次序記錄比

依固定比值判定正比

依等量公理變形:兩邊同做一件事

解生活中的一次方程

驗算一次方程的候選解

檢驗聯立方程式的共同解

辨認二元一次聯立方程組

從兩種數量限制列聯立式

用代入消去法解二元聯立式

用聯立方程式求生活中的數量

用加減消去法解聯立式

畫 y=c 的圖形:x 可以是任意實數的水平線

畫出 x=c 的圖形:只規定橫坐標時,圖形是一條鉛垂線

由交點讀出聯立方程式的解

描繪 ax + by = c 的斜直線

列生活上限的一次不等式

對照不等詞與符號:把「至少、不超過、超過、不足」寫成 ≥ ≤ > <

建立生活不等式模型

解單一一元一次不等式(國七)

求限制內的最大整數數量

在數線上表示不等式的解集

繪製時間資料折線圖

繪製連續分組直方圖

為資料選擇適合圖表

建立雙分類列聯表(交叉次數表)

蒐集有觀測定義的生活資料:建立原始資料表

繪製類別長條圖

繪製組成比例圓形圖

由資料計算平均數

找出資料的眾數

由排序求中位數

用累加鍵求平均數:按鍵、紀錄與核對

依坐標定位平面點

用方位和距離標定位置

標認橫軸、縱軸與原點

依坐標判定象限或軸

用記號寫出「兩端點的線段」

標記平面點:用小圓點與大寫字母指出位置

表記有起點的射線

表記兩端無限延伸的直線

用頂點符號記錄三角形

以三字母記錄指定角

畫指定的左視圖與右視圖

畫立體上視圖:標出從正上方看見的占地格

畫堆疊立體的前視圖

辨認線段的中垂線

辨認點到直線的距離

由摺合求對應角

用對摺說明:對稱軸平分「對稱點的連線」

由對摺說明:對應兩點的連線垂直於摺線

利用摺合對應求線段長

找一般箏形的對稱軸

找正 n 邊形的全部對稱軸

找出正方形的全部對稱軸

判定正多邊形

用對摺找出等腰三角形的對稱軸

判定化簡後多項式的次數

以完全平方公式分解

用十字交乘分解二次式

以平方差分解

以公式解二次方程式

因式分解解二次方程

以配方法解二次方程

計算各組相對次數

畫累積相對次數折線圖

計算累積相對次數

畫累積次數折線圖

計算分組累積次數

畫相對次數折線圖

區分史料中的特例與一般關係

由排序資料計算四分位距

依五數摘要構作盒狀圖

由未分組資料計算全距

構作兩階段機率樹狀圖

解釋事件機率的數值意義

以重複試驗估計非對稱物體的機率

在等可能情境計算古典機率

由具體情境建立二次函數

依代數關係判定二次函數

從標準式或圖形找出頂點與對稱軸

由頂點式讀出二次函數的最大值或最小值

平移:把 y=ax² 搬成 y=a(x−h)²+k

描繪 y=a(x−h)²+k:把基準拋物線搬到新位置

由 a 的符號判定開口方向

由頂點與開口判定最高點、最低點與最大值、最小值

驗證對稱軸通過二次函數的頂點

描繪 y=a(x−h)²:把拋物線水平平移

描繪 y=ax²+k 的圖形:把整條拋物線上下平移

以計算機求複雜連比並驗算

由連比的條件求出未知量

解讀連比例式的共同比值

以連比解情境應用:把「比」換成實際的量

以共同次序記錄連比

把兩個比合併成一個連比

以共同倍率縮放平面圖形

驗證相似多邊形對應邊的共同比例

在相似多邊形中配對相等角

空間中的直線與平面:在面內、平行、垂直,還是斜著相交

從示意圖辨識長方體與正四面體的元素

計算直角柱的表面積

辨識或完成直角柱展開圖

辨識或完成直圓錐展開圖

計算直圓錐的總表面積

計算直角柱的體積

辨識或完成正角錐展開圖

兩個角就夠了:用 AA 判定三角形相似

由相似三角形求對應高的比例

用 ~ 寫出有序相似關係

用比例判定平行:截線比例的逆性質

三角形兩邊中點的連線:用「一半」求線段長

由平行線推出截段比例

記錄並使用 45°–45°–90° 邊比

記錄並使用 30°–60°–90° 邊比

以 π 表示圓周率 C/d

辨識圓的弦

用圓心角比例計算弧長

辨識指定端點間的圓弧

辨識弦與其所對弧圍成的弓形

使用圓內接四邊形對角互補

連結圓心角與所對弧度數

由同一外點使用切線段等長

連結圓周角與所對弧度數

以圓心到直線的距離判定線圓位置

用內切圓半徑與周長求三角形面積

以社團名冊判斷集合包含

用列舉法或描述法表示集合

社團情境的交集:同時屬於兩個集合的元素

在名冊情境判斷集合成員

用 ⊥ 表示直角相交

找非正方形菱形的對稱軸

描繪二次函數 y=ax² 的圖形

角與邊一起查:判定多邊形相似

判定空間中兩直線的位置關係:平行、垂直、歪斜

計算正角錐表面積

以 SAS 比例夾角判定三角形相似

由邊長比求相似圖形面積比

三邊成比例:用 SSS 判定三角形相似

以三角形相似解間接測量

以平行線截比例解情境長度

由兩中點判定中點連線平行底邊

解釋相似直角三角形中的固定邊比

用圓心角比例計算扇形面積

點與圓的位置:用 OP 和 r 比較

使用切點半徑垂直切線性質

弦心距垂直平分弦

定位直角三角形外心為斜邊中點

由中垂線構作外心與外接圓

驗證外心到三頂點等距

內心到三邊等距:用垂直距離驗證

用角平分線作內心與內切圓

計算直角三角形內切圓半徑

社團情境的聯集:A∪B

相對全班的社團餘集(A′)

在集合式與文氏圖陰影間轉譯

計算資料的標準化數值

計算並比較一維數據標準差

相關係數:計算與解讀

把成對資料畫成散布圖

解讀標準化數值的位置

從散布圖判讀資料的形態

依殘差平方和選出最適的候選直線

計算並解讀一維數據的平均數

以取捨原理計數兩個重疊的集合

計算不計順序的組合數

對互斥情形套用加法原理

用樹狀圖表示分階段選擇

計算有順序的排列數

有系統地窮舉有限結果

對連續階段套用乘法原理

計算複合事件的古典機率:且、或、不是、至少一個

為有限試驗建立樣本空間:先說清規則,再把每個基本結果列完

已知期望值的意思:很多次的平均,不是每一次的結果

把事件條件寫成樣本空間的子集

由 y=mx 建構 y=mx+b 的圖形

用二次函數解圍欄的面積問題

把一次或二次方程式改寫為 y=f(x)

由描點辨識二次函數的軸對稱

由三次最高項判斷大域端行為

由二次最高項判斷大域端行為

求過指定點的圓切線方程式

以圓心到直線的距離判別線圓關係(坐標平面)

以聯立方程與判別式判別直線與圓的位置

把直角坐標轉為極坐標

判定廣義角的終邊

以極坐標表示並定位點

把極坐標轉為直角坐標

用計算機求 sin、cos、tan 的近似值

求廣義角的正弦、餘弦與正切

求特殊角三角比的精確值

由直角三角形求銳角的 sin、cos、tan

用餘弦定理解三角形

連結直線斜率與斜角的正切

用計算機的 tan⁻¹ 鍵求兩條相交直線的夾角

求線段在指定方向的正射影

用正弦定理解三角形

用計算機由斜率求斜角

解讀十進制小數的位值與展開

以反證法證明 √2 為無理數

用三一律比較兩個實數

由十進制展開判別有理數與無理數

在數線上定位與比較實數

用有理數上下界估算無理數

以分段條件解單層絕對值方程式

以有理指數的近似解讀實數指數

解讀常用對數 log x

用計算機的 10x 鍵,由 log x = y 求 x

用計算機的 log 鍵求 10 的指數

用常用對數判讀科學記號的數量級

計算機的有限位數:診斷顯示值並決定報告位數

以第一型數學歸納法證明遞迴相關命題

套用常用公式計算有限總和

計算有限項等比級數

判定命題並寫出正確否定

判斷推論及區分逆、否、逆否

判定充分、必要與充要條件

以聯集與交集解讀兩命題的「或」、「且」

以矩陣記號表示二元一次方程組

用試算表或程式做矩陣運算,並用一格手算核對

從事件次數報告資料型機率:相對頻率 m÷N

檢查一組主觀機率是否符合機率公理

由限制後的樣本空間計算條件機率

以乘法條件判定兩事件獨立:P(A∩B)=P(A)P(B)

在列聯表與文氏圖之間互譯事件資料

以貝氏定理反推原因機率

依餘割定義求值並標明定義域

由餘弦的倒數畫出正割曲線 y = sec x

由水平平移得到餘弦圖形

由正弦倒數繪出餘割曲線

餘切函數在 0 到 π 之間的一個分支

依正割定義求值並標明定義域

繪製正弦函數的一個完整週期

繪製正切函數圖與定義域

依餘切定義求值並標明定義域

由精確週期資料建立單一正弦模型

合成同頻正餘弦波的振幅與相位

在指定區間求 R sin(ωx+φ)+B 的最大值與最小值

建立具有已給時間基準的正弦情境模型

依振幅和週期畫正弦曲線

建立金融成長與平均成長率模型

由目標量反推連續成長所需的時間

解讀地震規模等對數尺度:由尺度差求原量的倍數

運用正弦與餘弦的和差角公式

以內積求平面向量的投影向量

以二階行列式求平行四邊形或三角形面積

判定平面兩向量是否平行

由內積計算含端點的向量主夾角

用內積判定平面兩向量是否垂直

運用柯西不等式求界並檢查等號

判定空間兩向量是否平行

以外積長度求平行四邊形面積

以空間向量柯西不等式求界

以內積求空間向量的投影向量

計算具有正確方向的空間外積

用內積判定空間兩向量是否垂直

用純量三重積判定三向量共平面

由純量三重積求平行六面體體積

由點與法向量建立平面標準式

由法向量計算兩平面的較小夾角

計算點到平面的垂直距離

計算平面向量的係數積與加減

求平面向量線性組合的係數

由內積求兩平面向量的夾角

求使兩平面向量平行的未知分量

判定平面兩向量是否垂直:用內積檢驗

以內積求平面向量的正射影(投影向量與向量分解)

以相似比例解設計或透視尺度問題

把球面經緯度轉為直角坐標

計算坐標空間兩點的距離

求點到坐標軸或坐標平面的投影與距離

以弧長與半徑定義弧度,並換算角度

由弧度角求指定扇形面積

用計算機的 rad 模式算三角函數值,並用特殊角驗證

由弧度角求指定圓弧長

由弧度角求圓弧長

由弧度角求指定扇形面積

用計算機的 RAD 模式算弧度三角值,並交出完整回報

由弧長與半徑的比值建立弳,並換算度數

判定兩平面的交集型態

判定兩條空間直線的幾何位置

空間中的點、線、面:什麼資料能決定一個平面

判定空間直線與平面的位置

以三垂線定理證明空間垂直關係

判定長方體兩個面的交集

在長方體中判定邊與面的關係

判定兩條空間直線的幾何位置(長方體)

求長方體相對頂點間的表面最短距離

在球面模型辨識經線與緯線

由圓錐與平面截痕分類圓錐曲線

以明示的理想條件,辨識情境中的圓、橢圓、拋物線與雙曲線

在已給的可行域中,求一次目標函數的最大值與最小值

由二元一次不等式畫出可行域

以代數基本定理判定複根總數

證明實係數多項式的共軛根性質

求多項式方程的非實複根

由有限分布計算期望值

計算已給伯努力試驗的一條結果序列機率

從三種得分的分布求變異數

判定離散隨機變數的獨立性:逐格比較 P(X=x, Y=y) 與 P(X=x)P(Y=y)

由已知變異數求標準差

由二項參數求成功次數的變異數

求二項成功次數的期望

求已給二項分布最可能的成功次數

已給簡單檢定規則時,算出判對的機率

由二元成功事件建立二項機率模型

由分布與已給期望值計算變異數

計算固定伯努力結果序列的機率

由已知變異數求標準差

用聯合分布表判定兩個離散隨機變數是否獨立:把每一格拿去跟邊際的乘積對照

依已給規則算判斷正確的機率

計算二項分布的變異數

由已給二項模型計算期望值

建立首次成功等待的幾何分布

建立固定次數成功計數的二項分布

判定函數圖形的奇偶對稱

以斜率變化說明凹凸性

以圖形單值性判定函數

用介值定理提出存在性結論

合法運用函數極限的運算性質

從圖形判斷函數在一點是否連續

用夾擠定理判定函數極限

建立多項式曲線在指定點的切線

由極限定義求多項式在一點的導數

運用基本公式求多項式的導函數

求多項式的二階導數並正確記寫

用導數差商解讀邊際成本

用導數解基本最大最小問題

由二階導數符號判定凹凸

計算一次或二次函數的定積分

求一次或二次函數的不定積分

區分定積分的帶號值與幾何面積

變動上限積分的導函數

以定積分解讀總變化量

計算並解讀連續函數的區間平均值

以供給曲線的積分求生產者剩餘

由邊際成本積分求總成本

以需求曲線積分求消費者剩餘

由割線與切線的位置看凹凸

以單值條件判斷平面關係是否為函數

求已限定一對一函數的反函數

由數式與圖形判定函數的奇偶性

由原函數圖繪製反函數圖

建立合成函數並追蹤定義域

在前提成立時運用函數極限的運算律

求絕對值分段函數的雙側極限

由圖上的極限值和點值,判斷函數在一點是否連續

用介值定理保證零點或目標函數值

用夾擠定理求函數極限

由差商的極限求可微點的導數

係數積與和差:用 f′、g′ 求 af±bg 的導數

建立曲線在指定點的切線

由一階導數的正負,列出多項式的遞增、遞減區間

用切線作一次估計,並評估誤差

以導數求基本最佳化問題

運用商法則微分

運用乘積法則求兩個函數乘積的導數

以萊布尼茲符號表示並計算高階導數

以二階導數判定多項式的凹凸區間

運用連鎖律微分 (ax+b)ⁿ

把黎曼和辨識為定積分

以變化率的積分求期末狀態

以定積分求平面區域面積:上減下,必要時分段

多項式的反導函數與不定積分

累積函數的導函數

用已給的反導函數算定積分

以圓盤法求繞 x 軸的旋轉體體積

連續函數在區間上的平均值

以同心薄環的極限和推導圓面積

以截面積分導出球體積

由焦點與準線建立拋物線的標準式

由中心與漸近方向建立雙曲線標準式

以參數式表示並驗證橢圓

由中心與軸長建立橢圓標準式

以分量完成複數加減

辨識 Σ 的索引變數、常數與通項

判定等比級數收斂並求和

證明循環小數的分數值:移位相減,消去無窮的尾巴

依給定的牛頓遞迴算方根近似值

由連續複利的極限認識常數 e

在已知收斂前提下運用數列極限律

用夾擠定理證明數列的極限

由通項判定數列的極限

把循環小數化為分數,再回頭驗證它

判定等比級數收斂並求和

在展開和式與 Σ 記號間互譯

在複數平面上表示指定的複數

將非零複數的直角式轉為主輻角極式

求複數的絕對值

計算複數的實係數線性組合

求複數的全部 n 次方根

複數的除法:用共軛把分母變成實數

計算兩個直角式複數的乘積

以棣美弗定理計算複數整數次方

升冪與降冪:換位置,不換內容

按移項法則整理一次方程