練習：以內積求空間向量的投影向量

先確認題目要你交出什麼：是一個數，還是有三個分量的向量？再想想這個向量和 u 的方向有什麼關係。

p 在 u 所在的直線上，所以是 u 的某個倍數。要先求出「是幾倍」，需要兩個內積：一個含 v 與 u，一個只含 u 與 u。

方法：設 p = cu，其中 c = (v·u)/(u·u)。先分別算兩個內積（每個內積有三項），再求 c，最後把 c 乘進 u 的每一個分量。

v·u = 7×2 + 1×2 + 2×1 = 18；u·u = 2×2 + 2×2 + 1×1 = 9。所以 c = 18/9。接下來請自己約分，把 c 乘進 u 的三個分量，再求 r = v - p 並檢查 r·u。

c = 18/9 = 2。p = cu = 2×(2, 2, 1) = (4, 4, 2)。r = v - p = (7, 1, 2) - (4, 4, 2) = (3, -3, 0)；r·u = 3×2 + (-3)×2 + 0×1 = 0，通過。所以 p = (4, 4, 2)。

• 錯法：交卷寫 p = 18。
  為什麼錯：18 是內積 v·u，是一個數（純量），不是向量；p 必須有三個分量。
  補救：把 18 當成中間結果：再算 u·u = 9，得 c = 2，最後乘回 u。
• 錯法：交卷寫 p = 2。
  為什麼錯：2 只是係數 c，代表「p 是 u 的幾倍」，還沒有乘回 u。
  補救：再做最後一步：p = cu = 2×(2, 2, 1)。
• 錯法：算出 c = 2 之後乘回 v，寫 p = (14, 2, 4)。
  為什麼錯：p 必須在 u 的方向上，所以要乘回 u。(14, 2, 4) 的分量比例和 u 不同。用 (v-p)·u 檢查：(-7)×2 + (-1)×2 + (-2)×1 = -18，不是 0。
  補救：記住：c 是「u 的幾倍」，被乘的向量就是 u。

先確認題目要你交出什麼：是一個數，還是有三個分量的向量？這一題的 v 有一個分量是 0，u 有負的分量，算內積時每一項都要照正負號算。

p 是 u 的某個倍數。要先求出「是幾倍」，需要兩個內積。算 u·u 時，每個分量都是平方。

方法：設 p = cu，其中 c = (v·u)/(u·u)。先分別算兩個內積（每個內積有三項），再求 c，最後把 c 乘進 u 的每一個分量。

v·u = 0×1 + (-5)×2 + 4×(-2) = -18；u·u = 1×1 + 2×2 + (-2)×(-2) = 9。所以 c = -18/9。接下來請自己約分，把 c 乘進 u 的三個分量，再求 r 並檢查。

c = -18/9 = -2。p = cu = (-2)×(1, 2, -2) = (-2, -4, 4)。r = v - p = (0, -5, 4) - (-2, -4, 4) = (2, -1, 0)；r·u = 2×1 + (-1)×2 + 0×(-2) = 0，通過。所以 p = (-2, -4, 4)。

• 錯法：丟掉負號，寫 p = (2, 4, -4)（c = 2）。
  為什麼錯：c 是負的，代表 p 與 u 反向；負號是結果的一部分。用 (v-p)·u 檢查：v-p = (-2, -9, 8)，內積 = -36，不是 0。
  補救：v·u = -18 是負的，c 就是負的，要和它同號。
• 錯法：把 (-2)×(-2) 看成 -4，得 u·u = 1 + 4 - 4 = 1，c = -18，p = (-18, -36, 36)。
  為什麼錯：負數的平方是正的：(-2)×(-2) = 4。u·u 是各分量平方的和，永遠不會是負的，而且只有 u 是零向量時才為 0。
  補救：改正 u·u = 1 + 4 + 4 = 9。

先確認題目要你交出什麼：是一個數，還是有三個分量的向量？圖只是示意，數字要從題目給的坐標算。

p 是 u 的某個倍數。倍數 c 是一個分數，分子與分母各是一個內積。

方法：設 p = cu，其中 c = (v·u)/(u·u)。先分別算兩個內積（每個內積有三項），再求 c，最後把 c 乘進 u 的每一個分量。

v·u = 2×1 + 3×1 + 2×2 = 9；u·u = 1×1 + 1×1 + 2×2 = 6。所以 c = 9/6。接下來請自己約分，把 c 乘進 u 的三個分量，再求 r 並檢查。

c = 9/6 = 3/2。p = cu = 3/2×(1, 1, 2) = (3/2, 3/2, 3)。r = v - p = (2, 3, 2) - (3/2, 3/2, 3) = (1/2, 3/2, -1)；r·u = 1/2×1 + 3/2×1 + (-1)×2 = 0，通過。所以 p = (3/2, 3/2, 3)。

• 錯法：把分數顛倒，c = 6/9 = 2/3，p = (2/3, 2/3, 4/3)。
  為什麼錯：分子是含 v 的內積 v·u = 9，分母是 u·u = 6。顛倒後 v-p = (4/3, 7/3, 2/3)，與 u 的內積 = 5，不是 0。
  補救：分母永遠是「被投影到的那個向量」自己的內積，也就是 u·u。
• 錯法：c = 3/2 只乘進第一個分量，寫 p = (3/2, 1, 2)。
  為什麼錯：p = cu 要把 c 乘進每一個分量，只乘一個分量，得到的向量不在 u 的方向上。
  補救：三個分量都乘 c：3/2×(1, 1, 2)。

最後要交的是三個分量的向量。想一想：哪兩個內積決定係數 c？

v 的第二分量是 0，那一項的乘積是 0；但 u 的第二分量是負的，在 u·u 裡要先平方。

方法：設 p = cu，其中 c = (v·u)/(u·u)。先分別算兩個內積（每個內積有三項），再求 c，最後把 c 乘進 u 的每一個分量。

v·u = 1×3 + 0×(-1) + 2×2 = 7；u·u = 3×3 + (-1)×(-1) + 2×2 = 14。所以 c = 7/14。接下來請自己約分，並把 c 乘進 u 的三個分量。

c = 7/14 = 1/2。p = cu = 1/2×(3, -1, 2) = (3/2, -1/2, 1)。（驗算：r = v - p = (1, 0, 2) - (3/2, -1/2, 1) = (-1/2, 1/2, 1)；r·u = (-1/2)×3 + 1/2×(-1) + 1×2 = 0。）所以 p = (3/2, -1/2, 1)。

• 錯法：把 (-1)×(-1) 當成 -1，u·u = 9 - 1 + 4 = 12，c = 7/12，p = (7/4, -7/12, 7/6)。
  為什麼錯：(-1)×(-1) = 1，平方不會是負的。
  補救：u·u = 9 + 1 + 4 = 14。
• 錯法：c 寫成 14/7 = 2，p = (6, -2, 4)。
  為什麼錯：分子是 v·u = 7，分母是 u·u = 14，不能顛倒。顛倒後 c 變成 2，p 比正確的長太多（c 應該小於 1，因為 v 比 u 短：|v|² = 5，|u|² = 14）。
  補救：先寫「分子＝含 v 的內積」，再寫分母。
• 錯法：乘回 v，寫 p = 1/2×(1, 0, 2) = (1/2, 0, 1)。
  為什麼錯：被乘的向量應是 u 不是 v。
  補救：改成 1/2×(3, -1, 2)。

最後要交的是三個分量的向量。u 的三個分量都一樣，這會讓兩個內積很好算。

內積有三項，其中有一項會是負的。先判斷 v·u 的正負，就知道 p 與 u 是同向還是反向。

方法：設 p = cu，其中 c = (v·u)/(u·u)。先分別算兩個內積（每個內積有三項），再求 c，最後把 c 乘進 u 的每一個分量。

v·u = 1×1 + (-4)×1 + 1×1 = -2；u·u = 1×1 + 1×1 + 1×1 = 3。所以 c = -2/3。p = cu，請自己乘進三個分量。

c = -2/3。p = cu = (-2/3)×(1, 1, 1) = (-2/3, -2/3, -2/3)。（驗算：r = v - p = (1, -4, 1) - (-2/3, -2/3, -2/3) = (5/3, -10/3, 5/3)；r·u = 5/3×1 + (-10/3)×1 + 5/3×1 = 0。）所以 p = (-2/3, -2/3, -2/3)。

• 錯法：把 (-4)×1 當成 +4，v·u = 1 + 4 + 1 = 6，c = 2，p = (2, 2, 2)。
  為什麼錯：(-4)×1 = -4。正確的 v·u = 1 - 4 + 1 = -2。方向整個反了：用 (v-p)·u 檢查：-8，不是 0。
  補救：算內積時，先把每一項的乘積（含正負號）寫出來，再相加。
• 錯法：交卷寫 p = -2/3。
  為什麼錯：-2/3 只是係數 c，還要乘回 u 得到三個分量。
  補救：p = cu = -2/3×(1, 1, 1)。

最後要交的是三個分量的向量。這一題的 u 與 v 都有負的分量，內積的每一項都要小心正負。

先寫出 v·u 的三項乘積，再相加；u·u 的三項都是平方。

方法：設 p = cu，其中 c = (v·u)/(u·u)。先分別算兩個內積（每個內積有三項），再求 c，最後把 c 乘進 u 的每一個分量。

v·u = 6×2 + 1×(-2) + (-4)×1 = 6；u·u = 2×2 + (-2)×(-2) + 1×1 = 9。所以 c = 6/9。接下來請自己約分，並把 c 乘進 u 的三個分量。

c = 6/9 = 2/3。p = cu = 2/3×(2, -2, 1) = (4/3, -4/3, 2/3)。（驗算：r = v - p = (6, 1, -4) - (4/3, -4/3, 2/3) = (14/3, 7/3, -14/3)；r·u = 14/3×2 + 7/3×(-2) + (-14/3)×1 = 0。）所以 p = (4/3, -4/3, 2/3)。

• 錯法：把 1×(-2) 當成 +2，v·u = 12 + 2 - 4 = 10，c = 10/9，p = (20/9, -20/9, 10/9)。
  為什麼錯：1×(-2) = -2。正確的 v·u = 12 - 2 - 4 = 6。
  補救：先分別寫出三項乘積：12、-2、-4，再相加。
• 錯法：c 算對，但乘回 v，寫 p = 2/3×(6, 1, -4) = (4, 2/3, -8/3)。
  為什麼錯：p 在 u 的方向上，所以乘回 u。
  補救：改成 2/3×(2, -2, 1)。

五件事有先後：後面的要用到前面的結果。先做 (1)，再依序往下。

u 的第三分量是 0。想一想：這會讓兩個內積各少哪一項？p 的第三分量由什麼決定？

方法：設 p = cu，其中 c = (v·u)/(u·u)。先分別算兩個內積（每個內積有三項），再求 c，最後把 c 乘進 u 的每一個分量。最後的 r·u 應該等於 0；不是 0 就回頭找錯。

v·u = 2×3 + 1×4 + 9×0 = 10；u·u = 3×3 + 4×4 + 0×0 = 25。所以 c = 10/25。接下來請自己約分、求 p、求 r，最後算 r·u。

(1) v·u = 2×3 + 1×4 + 9×0 = 10；u·u = 3×3 + 4×4 + 0×0 = 25。(2) c = 10/25 = 2/5。(3) p = cu = 2/5×(3, 4, 0) = (6/5, 8/5, 0)。(4) r = v - p = (2, 1, 9) - (6/5, 8/5, 0) = (4/5, -3/5, 9)。(5) r·u = 4/5×3 + (-3/5)×4 + 9×0 = 0，通過。另外 p + r = (2, 1, 9) = v。

• 錯法：把 r 寫成 p - v = (-4/5, 3/5, -9)，算出 r·u = 0，覺得通過。
  為什麼錯：r 是 v 減去 p，不是反過來。p - v 是 r 的相反向量，它與 u 的內積也是 0，所以這個檢查看不出來；但 p + r = (2/5, 11/5, -9)，不等於 v。
  補救：多做一個檢查：p + r 要等於 v。
• 錯法：p 的第三分量照抄 v 的 9，寫 p = (6/5, 8/5, 9)。
  為什麼錯：p = cu，第三分量是 c×0 = 0，不是 v 的第三分量。這個 p 代入檢查會得 (v-p)·u = 0，看起來通過；但它不是 u 的倍數，所以還是錯。
  補救：p 平行 u 與 (v-p)·u = 0 兩件都要驗。

a 就是 v 在 u 上的投影向量；b 是剩下的部分。

先求 a，再由 a + b = v 得到 b。注意 u 的第三分量是負的。

方法：a = cu，c = (v·u)/(u·u)；b = v - a。

v·u = 1×2 + 1×1 + 3×(-2) = -3；u·u = 2×2 + 1×1 + (-2)×(-2) = 9。所以 c = -3/9。接下來請自己約分，求 a，再求 b = v - a。

c = -3/9 = -1/3。a = -1/3×(2, 1, -2) = (-2/3, -1/3, 2/3)。b = v - a = (1, 1, 3) - (-2/3, -1/3, 2/3) = (5/3, 4/3, 7/3)。驗算：b·u = 5/3×2 + 4/3×1 + 7/3×(-2) = 0；a + b = (1, 1, 3) = v。所以 a = (-2/3, -1/3, 2/3)，b = (5/3, 4/3, 7/3)。

• 錯法：把 c = -1/3 的負號丟掉，寫 a = (2/3, 1/3, -2/3)，b = v - a = (1/3, 2/3, 11/3)，驗算 a + b = v 成立，就說答案正確。
  為什麼錯：b 是用 v - a 算出來的，所以 a + b = v 一定成立，這不能檢查 a 對不對。真正的檢查是 b·u：1/3×2 + 2/3×1 + 11/3×(-2) = -6，不是 0。
  補救：一定要算 b·u = 0；v·u 是負的，c 就是負的。
• 錯法：只檢查 b 與 u 的內積為 0，沒有檢查 a 是不是 u 的倍數。
  為什麼錯：b·u = 0 的向量在空間裡有無限多個方向；若 a 不在 u 的直線上，分解就不對。
  補救：a 要寫成 cu 的形式，才保證 a 在 u 的直線上。

投影向量要同時滿足兩個條件（回想課文的定義）。小華的說明檢查了哪一個？

對照課文⑤-2：兩件檢查各是什麼？小華只做了其中哪一件？

沒做的那一件，可以把 p′ 的三個分量與 u 的三個對應分量逐一相除，看比值。求正確的 p：用 p = cu，c = (v·u)/(u·u)。

對應分量的比：1/1、-7/-3、3/2，請看它們是否全部相同。另外 v·u = 4×1 + (-6)×(-3) + 3×2 = 28；u·u = 1×1 + (-3)×(-3) + 2×2 = 14。請自己求 c 與 p。

小華漏了「p′ 是 u 的倍數」這個條件：1/1 = 1，而 -7/-3 = 7/3，比值不同，所以 p′ 不在 u 的直線上。與 u 垂直的向量在空間裡有無限多個方向，w 只是其中一個。正確的 c = 28/14 = 2，p = 2×(1, -3, 2) = (2, -6, 4)。驗算：v - p = (2, 0, -1)，與 u 的內積 = 2×1 + 0×(-3) + (-1)×2 = 0。

• 錯法：接受小華的 p′ = (1, -7, 3)。
  為什麼錯：在空間中，只檢查 (v-p)·u = 0 不夠：任何一個與 u 垂直的 w 都能讓 p′ = v - w 通過這個檢查。
  補救：兩件都要驗：p 是 u 的倍數，並且 (v-p)·u = 0。
• 錯法：算 u·u 時把第三分量 2 的平方漏成 2：1 + 9 + 2 = 12，c = 7/3，p = (7/3, -7, 14/3)。
  為什麼錯：u 的第三分量是 2，平方是 4：u·u = 1 + 9 + 4 = 14。用 (v-p)·u 檢查這個錯誤的 p 會得 -14/3，不是 0。
  補救：每個分量都要「自己乘自己」。

5 是一個數。投影向量應該有幾個分量？

同學最後交的是一個數。想想「長度」和「向量」的差別：題目要的是哪一個？

方法：p = cu，c = (v·u)/(u·u)。請對照同學的算式，看他算出的那個數和這裡的 c 有什麼不同。

v·u = 35；|u| = 7；u·u = 49。所以 c = 35/49，請自己約分並乘進 u 的三個分量。

同學的 5 是純量 (v·u)/|u|，也就是沿 u 方向的有號長度；它不是向量，不能當成 p。正確做法：c = 35/49 = 5/7，p = 5/7×(2, 3, 6) = (10/7, 15/7, 30/7)。（對照：|p|² = (10/7)² + (15/7)² + (30/7)² = 25，所以 |p| = 5，正好是同學算出的那個數：他算的是長度，不是向量。）

• 錯法：交卷寫 p = 5。
  為什麼錯：5 是長度（純量），p 是向量，要有三個分量。
  補救：把 5 當成「|p|」，再配上方向：p = 5×(u/7)，或直接用 c = 5/7。
• 錯法：把 5 當成 c，寫 p = 5u = (10, 15, 30)。
  為什麼錯：5 是長度，不是「u 的幾倍」。用 (v-p)·u 檢查：v-p = (-9, -12, -26)，內積 = -210，不是 0。
  補救：c 的分母是 u·u = 49，不是 |u| = 7。

先不看同學的算式，自己用流程算一遍，再和同學的算式逐行對照。

逐行對照時，看同學的每一行用到了題目向量的哪些分量。

方法：設 p = cu，其中 c = (v·u)/(u·u)。先分別算兩個內積（每個內積有三項），再求 c，最後把 c 乘進 u 的每一個分量。

正確的內積：v·u = 1×1 + 0×3 + 3×2 = 7；u·u = 1×1 + 3×3 + 2×2 = 14。請找出同學的算式和它差在哪裡，再求 c 與 p，並算 (v-p)·u。

同學從第一步就漏了第三個分量：v·u 少了 3×2 = 6，u·u 少了 2×2 = 4。正確：c = 7/14 = 1/2，p = 1/2×(1, 3, 2) = (1/2, 3/2, 1)。檢查他的 p：v - p = (9/10, -3/10, 14/5)，與 u 的內積 = 9/10×1 + (-3/10)×3 + 14/5×2 = 28/5，不是 0；漏掉的正是第三個分量那一項。

• 錯法：沿用平面的做法，只用前兩個分量，得 p = (1/10, 3/10, 1/5)。
  為什麼錯：空間向量有三個分量，內積是三項的和。
  補救：檢查：同學的 (v-p)·u = 28/5，不是 0，這就是警訊。
• 錯法：算出 c = 1/2 之後，只乘進前兩個分量，第三分量照抄 v 的 3。
  為什麼錯：p = cu，三個分量都要乘 c，不能混入 v 的分量。
  補救：p = 1/2×(1, 3, 2)。

投影向量的定義有兩個條件。同學的說明做了哪一件檢查？

把 r = v - p 算出來（用同學的 p），再和 u 做內積，看是不是 0。

求正確的 p：p = cu，c = (v·u)/(u·u)。

同學的 v - p = (-1, 4, 0)；請自己算它與 u 的內積。正確做法：v·u = 5×2 + 1×(-1) + 3×1 = 12；u·u = 2×2 + (-1)×(-1) + 1×1 = 6。請自己求 c 與 p。

同學的 p 雖然在 u 的直線上，但倍數取 3 沒有依據：(v-p)·u = -6，不是 0，不滿足垂直的條件。正確：c = 12/6 = 2，p = 2×(2, -1, 1) = (4, -2, 2)；v - p = (1, 3, 1)，與 u 的內積 = 1×2 + 3×(-1) + 1×1 = 0。

• 錯法：接受同學的 p = (6, -3, 3)，只檢查它是 u 的倍數。
  為什麼錯：「是 u 的倍數」只說明 p 在 u 的直線上；u 的任何倍數都是這樣，不能決定是幾倍。倍數要由 (v-p)·u = 0 決定。
  補救：兩個條件都驗：倍數，加上殘差垂直。
• 錯法：改成 p = v = (5, 1, 3)，因為這樣 v - p = 零向量，與 u 的內積是 0。
  為什麼錯：內積是 0 沒錯，但 v = (5, 1, 3) 不是 u 的倍數，不在 u 的直線上，不滿足另一個條件。
  補救：只有當 v 本身就是 u 的倍數時，p 才會等於 v。

照一般流程做，但算完第一個內積時，看看它是不是一個特別的值。

c 的值由分子決定。分子是特別的值時，c 會是什麼？「投影向量」會變成什麼樣的向量？

方法：設 p = cu，其中 c = (v·u)/(u·u)。先分別算兩個內積（每個內積有三項），再求 c，最後把 c 乘進 u 的每一個分量。

v·u = 4×2 + 3×(-3) + 1×1 = 0；u·u = 2×2 + (-3)×(-3) + 1×1 = 14。請依這兩個值求 c，再求 p 與 r，並想想 v 和 u 的關係。

c = 0/14 = 0，所以 p = 0×(2, -3, 1) = (0, 0, 0)（零向量，要寫成三個分量）。r = v - p = (4, 3, 1)，就是 v 自己。因為 v·u = 0，且 v、u 都不是零向量，所以 v 與 u 互相垂直；v 在 u 的方向上完全沒有部分。

• 錯法：說「v·u = 0，所以投影向量不存在」。
  為什麼錯：投影向量存在，只是它是零向量：c = 0，p = 0u。
  補救：零向量也是向量，答案寫成 (0, 0, 0)。
• 錯法：寫 p = 0（只寫一個 0）。
  為什麼錯：p 是向量，要寫三個分量；零向量是 (0, 0, 0)，不是單一個數 0。
  補救：把答案寫成 (0, 0, 0)。
• 錯法：覺得 v 與 u 垂直，所以 p = v = (4, 3, 1)。
  為什麼錯：垂直代表 v 在 u 方向上沒有部分。若 p = (4, 3, 1)，它不是 u 的倍數。
  補救：p 必須是 u 的倍數，這裡的倍數是 0。

先看看 v 和 u 的三個分量之間有沒有什麼關係，再照流程計算。

算出 p 之後，把 p 和 v 的三個分量比一比。

方法：設 p = cu，其中 c = (v·u)/(u·u)。先分別算兩個內積（每個內積有三項），再求 c，最後把 c 乘進 u 的每一個分量。

v·u = 6×(-2) + (-3)×1 + (-9)×3 = -42；u·u = (-2)×(-2) + 1×1 + 3×3 = 14。所以 c = -42/14。請自己約分、求 p、求 r。

c = -42/14 = -3。p = -3×(-2, 1, 3) = (6, -3, -9)。r = v - p = (0, 0, 0)。意思：v 本身就是 u 的 -3 倍（v = -3u），已經完全在 u 的直線上，所以沒有剩下的部分。課綱的說明講「向量的垂直不討論零向量」，所以不說 r 垂直 u。

• 錯法：丟掉負號，寫 p = 3u = (-6, 3, 9)。
  為什麼錯：c = -3 是負的，p 與 u 反向。檢查：v - (-6, 3, 9) = (12, -6, -18)，與 u 的內積 = -84，不是 0。
  補救：v·u 的符號決定 c 的符號。
• 錯法：看到 r = (0, 0, 0)，就說「r 垂直於 u」。
  為什麼錯：零向量與任何向量的內積都是 0，但課綱的說明說向量的垂直不討論零向量，所以這裡不說「垂直」。
  補救：說「r 是零向量，v 已經完全在 u 的方向上」。
• 錯法：覺得 r 是零向量一定是算錯，重算很多次。
  為什麼錯：不是算錯：v 是 u 的倍數時，r 本來就是零向量。
  補救：用 v = cu 檢查。

兩小題各自照同一個流程算，最後再比較結果。

算 t 時小心負號與平方；比較時看兩個向量的三個分量是否一樣。

各自用 p = [(v·u)/(u·u)]u，把其中的 u 換成 s 或 t。

(1) v·s = 6×1 + (-3)×(-1) + 9×2 = 27；s·s = 1×1 + (-1)×(-1) + 2×2 = 6；c = 27/6。(2) v·t = 6×(-2) + (-3)×2 + 9×(-4) = -54；t·t = (-2)×(-2) + 2×2 + (-4)×(-4) = 24；c = -54/24。請自己約分並乘回各自的 u，再比較。

(1) c = 27/6 = 9/2，p₁ = 9/2×(1, -1, 2) = (9/2, -9/2, 9)。(2) c = -54/24 = -9/4，p₂ = -9/4×(-2, 2, -4) = (9/2, -9/2, 9)。(3) 兩個結果完全相同：c 不一樣（9/2 與 -9/4），但 p 一樣。原因：t = -2s，它們在同一條直線上；投影向量只由「v 與這條直線」決定，換成直線上任何非零向量，c 會跟著改變，p 不變。

• 錯法：(2) 沿用 (1) 的 c = 9/2，寫 p₂ = 9/2×(-2, 2, -4) = (-9, 9, -18)。
  為什麼錯：c 要用各自的內積重算：t 的 c 是 -9/4。(-9, 9, -18) 與 t 垂直的檢查：(v-p₂)·t = -162，不是 0。
  補救：每換一個 u，c 都要重算。
• 錯法：(2) 丟掉負號，c = 9/4，p₂ = (-9/2, 9/2, -9)，於是說 p₁ 與 p₂ 方向相反。
  為什麼錯：v·t = -54 是負的，c 也是負的；負的 c 乘上反向的 t，兩個負號抵消，p₂ 與 p₁ 同向，而且完全相同。
  補救：c 與 v·u 同號。

「沿著坡面方向的分力」就是 F 在 u 上的投影向量。

F 只有鉛直方向的分量，所以內積 F·u 裡有兩項是 0。

方法：p = cu，c = (F·u)/(u·u)。

F·u = 0×2 + 0×1 + (-18)×2 = -36；u·u = 2×2 + 1×1 + 2×2 = 9。所以 c = -36/9。請自己約分、求 p，再求 F-p 並檢查。

c = -36/9 = -4。p = -4×(2, 1, 2) = (-8, -4, -8)。F - p = (0, 0, -18) - (-8, -4, -8) = (8, 4, -10)；(F-p)·u = 8×2 + 4×1 + (-10)×2 = 0，通過。c 是負的，所以 p 與 u 反向（指向坡面下方）。

• 錯法：交卷寫 p = -36。
  為什麼錯：-36 是內積，是一個數；分力是向量，要有三個分量。
  補救：把它當成 c 的分子，繼續算。
• 錯法：丟掉負號，寫 p = (8, 4, 8)。
  為什麼錯：c 是負的，分力與 u 反向。檢查：F - (8, 4, 8) = (-8, -4, -26)，與 u 的內積 = -72，不是 0。
  補救：重力往下，沿坡面的分力會往坡面下方。
• 錯法：認為重力全部沿著坡面，寫 p = F = (0, 0, -18)。
  為什麼錯：F 不是 u 的倍數，不在坡面方向上；有一部分是垂直壓著坡面的。
  補救：只有 u 的倍數才可能是 p。

投影向量已知，要反過來求 v 的未知分量。先看 p 是 u 的幾倍。

比較 p 與 u 的對應分量得到 c；再把 c 和公式 c = (v·u)/(u·u) 接起來，會得到一個只含 k 的方程式。

兩種方法都可以：(甲) v·u = c(u·u)；(乙) (v-p)·u = 0。請選一種。

-2 = c×1、-4 = c×2、-2 = c×1 三個式子的 c 相同，c = -2；u·u = 1×1 + 2×2 + 1×1 = 6，所以 v·u = (-2)×6 = -12。另一方面 v·u = k×1 + 1×2 + (-5)×1 = k - 3。請解 k。

k - 3 = -12，所以 k = -9。驗算：v = (-9, 1, -5)，v·u = (-9)×1 + 1×2 + (-5)×1 = -12，c = -12/6 = -2，cu = (-2, -4, -2)，和題目給的 p 相同。

• 錯法：把 (v+p)·u = 0 當成條件，解出 k = 15。
  為什麼錯：殘差是 v - p，不是 v + p。代回 k = 15：v = (15, 1, -5) 的投影向量是 (2, 4, 2)，不是題目給的 p。
  補救：寫出 r = v - p 再做內積。
• 錯法：令 v·u = c = -2（忘了 c 還要乘 u·u），解出 k = 1。
  為什麼錯：c = (v·u)/(u·u)，所以 v·u = c×(u·u) = -12。代回 k = 1：投影向量是 (-1/3, -2/3, -1/3)，不是題目給的 p。
  補救：分母不能漏。

直線 L 的方向可以用 OA 表示；OP 是 P 的位置向量。

以 O 為起點的向量，它的終點坐標就等於向量的分量。

方法：令 u = OA、v = OP，p = [(v·u)/(u·u)]u。

OP·OA = 3×1 + 2×(-1) + 1×2 = 3；OA·OA = 1×1 + (-1)×(-1) + 2×2 = 6；c = 3/6。請自己約分、求 p、取出終點 H，再求 PH = H - P 並與 OA 做內積。

c = 3/6 = 1/2；p = 1/2×(1, -1, 2) = (1/2, -1/2, 1)，所以 H(1/2, -1/2, 1)。PH = H - P = (-5/2, -5/2, 0)；PH·OA = (-5/2)×1 + (-5/2)×(-1) + 0×2 = 0，通過。H 在直線 L 上（p 是 OA 的倍數），且 PH 垂直 L，所以 H 是 P 到直線 L 的垂足。

• 錯法：交卷寫 p = 3。
  為什麼錯：3 是內積，不是向量；終點坐標需要三個分量。
  補救：把它當分子繼續算。
• 錯法：把兩個向量的角色顛倒，c = 3/14，p = (9/14, 3/7, 3/14)。
  為什麼錯：這是「OA 在 OP 上」的投影，終點在直線 OP 上，不在直線 L 上。要投影的是 OP，被投影到的方向是 OA，分母是 OA·OA = 6。
  補救：「v 在 u 上」：分母和乘回的向量都是 u。
• 錯法：以為 H 就是 A(1, -1, 2)。
  為什麼錯：A 在 L 上沒錯，但 PA = (-2, -3, 1)，與 OA 的內積 = 3，不是 0，所以 PA 不垂直 L，A 不是垂足。
  補救：用 PH·OA = 0 檢查。