近似與精確：有限工具如何可靠地談無限小數

以下是一個假想的版面設計問題。

你要在展示板上安排一個面積恰好是 $7$ 平方公分的正方形圖案，尺寸表要求把邊長四捨五入到小數第一位。有人填了「約 $2.6$ 公分」，另一人卻提出疑問：$2.6\times 2.6=6.76$，不是 $7$，這個答案怎麼會對？

再把問題改一下：展示板上有一個邊長恰好 $2.6$ 公分的正方形空格，原來的圖案能不能放進去？我們先約定，圖案不縮放，兩個正方形的邊互相平行。

這兩個問題很接近，卻不能直接使用同一種回答。「邊長大約是多少」和「這麼大的空間一定夠不夠」，要求的保證並不相同。一個近似值可以適合記錄尺寸，卻不適合直接拿來承諾空間足夠。

平方根的近似值，真正要處理的就是這件事：即使不能把一個數的小數全部寫出來，我們仍能知道多少？又憑什麼用這些有限的資訊做決定？

前人已有近似工具，問題在於它能保證什麼

這不是電子計算機出現以後，人類才遇到的問題。

古巴比倫泥板 YBC 7289 上，畫有正方形及其對角線，並記下相關的數字。泥板上的一個六十進位係數，換成今天的小數記法，約為 $1.41421296$，很接近我們今天寫成 $\sqrt{2}$ 的數。這是現代記法的轉譯，不是說古人已使用根號和十進位小數。東伊利諾伊大學

Fowler 與 Robson 在研究中判斷，這塊泥板很可能是書吏學徒的練習，係數很可能取自既有的係數表。這些表把常用的計算數值保存下來；例如知道正方形的邊長，再乘上對角線係數，就能求得對角線長的近似值，不必每次從頭重算。東伊利諾伊大學

因此，前人並不是沒有工具。他們已經能保存、重用相當好的近似，處理幾何問題。但「這個數很好用」與「這個數恰好等於所求的量」，是不同的主張。把一個近似抄得更清楚、使用得更熟練，都不會使它因此變成精確值。

這裡至少有兩種不同的限制。第一種是成本：想讓近似更好，通常需要更多計算。第二種是表示能力：某些量，根本不能用我們原先期待的形式精確寫出來。

《幾何原本》第十卷留下了「可公度」與「不可公度」的區分。用長度來理解，可公度是指能找到某個共同的小長度，讓兩條線段都恰好由整數個這樣的小長度拼成；不可公度，則是找不到這樣的共同尺度。Shippensburg University

正方形的邊與對角線，就是長度不可公度的例子。換成現代數學語言：邊長為 $1$ 時，對角線長為 $\sqrt{2}$，而 $\sqrt{2}$ 不能寫成兩個整數的比值。這不是尺的刻度還不夠細，而是「用整數比精確表示」在這個對象上確實行不通。Shippensburg University

有限小數也受這項限制。任何有限小數都能改寫成分母為 $10$ 的某個次方的分數，例如 $1.414=1414/1000$。因此，既然 $\sqrt{2}$ 不是整數之比，任何有限小數就都不會是它的精確值。

不過，小數寫不完，不一定表示不能用分數精確表示；$1/3$ 就能精確指定一個小數寫不完的數。重要的不是一概排斥某種寫法，而是知道每種表示能做到哪裡。

從今天回看，這些工作幫我們分清了兩件事：一個量能被精確指定，不代表它能被某個有限小數精確寫出；不能用有限小數寫盡，也不代表它不能被比較、計算和研究。幾何關係、精確表示與數值近似，可以各自負責不同的工作。

不必先寫出所有數字，也能知道它在哪裡

回到面積為 $7$ 平方公分的正方形。

若把邊長的公分數記為 $x$，要求就是

我們把符合這個條件的非負數寫成 $\sqrt{7}$。一般來說，對於 $a\ge 0$，$\sqrt{a}$ 表示平方後等於 $a$ 的那個非負數。

所以，圖案的精確邊長是 $\sqrt{7}$ 公分，而且

是精確等式。

根號並不一定表示「還沒算完」。在這裡，它已經把答案明確指定出來。我們接下來要做的，是取得方便記錄或比較的近似，而不是讓這個答案從不確定變成確定。

可是，要知道 $\sqrt{7}$ 大概多大，難道必須先把小數算出來嗎？

不必。我們可以反過來，利用已經會算的平方：

因為 $4<7<9$，所以

這一步之所以成立，是因為在非負數的範圍內，數愈大，平方就愈大。用正方形來想也一樣：邊長增加，面積就增加。面積 $7$ 比邊長 $2$ 的正方形大，卻比邊長 $3$ 的正方形小，它的邊長便只能夾在 $2$ 與 $3$ 之間。

我們沒有先知道答案的小數展開，卻已經排除了所有不可能的位置。

這也告訴我們，$\sqrt{7}$ 的整數部分是 $2$，不是 $7$。被開方數 $7$ 在這裡對應面積的數值；我們要找的，卻是邊長落在哪兩個相鄰整數之間。不能把根號裡面的數直接當成根的整數部分。

一般而言，若非負整數 $k$ 滿足

便有

因此 $\sqrt{a}$ 的整數部分就是 $k$。

左邊保留等號，是為了包含剛好相等的情況。例如 $\sqrt{9}=3$，它的整數部分是 $3$，不是 $2$。若 $0\le a<1$，同樣的比較告訴我們，$\sqrt{a}$ 的整數部分是 $0$；$a=0$ 也包含在內。

這不是神祕的開根技巧，而是一個推理上的轉向：暫時不直接求出未知數，先用容易計算的數，把它的位置限制住。

十分逼近：讓「大約」帶著可以回查的根據

現在已經知道 $\sqrt{7}$ 在 $2$ 與 $3$ 之間。但這個範圍寬達 $1$，還可以再縮小。

把 $2$ 到 $3$ 分成十個等長的小區間，每一段長 $0.1$，分界點就是 $2.0\text{、}2.1\text{、}2.2\text{、}\dots \text{、}3.0$。我們要找出相鄰的兩個十分位數，讓它們把 $\sqrt{7}$ 夾住。

先試中間的 $2.5$：

所以 $\sqrt{7}>2.5$。再往上比較：

因此

我們要找的相鄰十分位數，就是 $2.6$ 與 $2.7$。

這裡增加的資訊，不只是「答案似乎接近 $2.6$」。我們還知道：它比 $2.6$ 大，但沒有大到 $2.7$。用 $2.6$ 代替，會偏小，而且相差不到 $0.1$；用 $2.7$ 代替，會偏大，相差也不到 $0.1$。

於是，「大約」不再只是一種語氣，而有了可檢查的內容。

這也提供了回查方法。有人若把結果寫成 $\sqrt{7}=2.6$，只要把右邊平方，就會得到 $6.76$，不是 $7$，因此等式不成立。保留上下界最清楚；需要交出單一數值時，則應說明取值方式，並使用近似符號，例如

但是，不能反過來認為「只要答案是有限小數，就一定只能用近似符號」。例如 $2.5\ge 0$，而且

所以

就是精確相等。

此時，若仍用相鄰十分位數表示範圍，可以寫

卻不能把左邊也寫成嚴格的小於。比較時碰到相等，就應保留相等，不能為了套用區間的樣子而改掉事實。

平方回查也有一個不能忘記的條件：我們找的是非負的 $\sqrt{a}$。例如 ${(-2.5)}^2$ 也等於 $6.25$，但 $\sqrt{6.25}$ 並不是 $-2.5$。判斷 $r=\sqrt{a}$，必須同時確認 $r\ge 0$ 及 $r^2=a$，不能只查平方。

上下界的價值，也不只存在於今天的課堂。阿基米德的《圓的測量》使用平方根的有理上下界，參與圓周長與直徑之比的範圍計算。其作用是：即使不能用分數精確寫出那個根，仍可使用已知偏小或偏大的分數，讓後續幾何推理繼續前進。Davies 的研究同時指出，阿基米德如何得到其中的 $\sqrt{3}$ 界值，傳世材料並未交代清楚；可行的重建方法，不能直接當成他實際使用的方法。arXiv

這裡值得學到的，不是古人已經使用今天課本上的十進位十分逼近法，而是更根本的能力：不必先得到有限小數形式的精確答案，也能用上下界支持進一步的結論。

對我們現在採用的逐段比較法而言，範圍愈細，通常需要的比較也愈多。是否值得繼續，應看目前的資訊能否回答問題，而不是一律追求最多的小數位。

按下平方根鍵，還沒有替你決定數字的意思

計算機能減少取得近似值的工作，但使用者仍要分清楚自己需要什麼。

以 CASIO fx-82MS 第二版這類先輸入函數的機型為例，求 $\sqrt{7}$ 可以依序按下「$\sqrt{\phantom{a}}$」、「$7$」、「$=$」。其他機型應依各自的說明操作，不能假設輸入順序全都相同。卡西歐支援

本例的小數結果可記為

若要求四捨五入到小數第一位，就由這個結果看小數第二位。第二位是 $4$，因此

若要求到小數第二位，就從原來的結果看第三位。第三位是 $5$，因此

兩個答案並不衝突，因為它們回應的是不同的位數要求。一般要求保留小數 $d$ 位時，要查看第 $d+1$ 位，依四捨五入規則處理，並留意進位。這裡的 $d$ 是題目要求的小數位數，不是螢幕能顯示的最大位數。

也不要先把原結果捨成 $2.65$，再用 $2.65$ 捨入到一位；那樣會得到 $2.7$，與由原結果直接取一位不同。不同位數的答案，應各自由原結果決定。

這時還要分清另一件事：找到十分位區間，並不等於已經決定四捨五入到十分位的答案。

只知道

還不能單靠這句話，就宣告它四捨五入後是 $2.6$。因為 $2.62$ 和 $2.68$ 都在這個區間內，前者四捨五入到一位是 $2.6$，後者卻是 $2.7$。區間還沒有告訴我們，根位於中間分界 $2.65$ 的哪一側。

計算機的結果提供了更多資訊；我們也能用平方做一次獨立回查：

因為 $2.65$ 非負，所以 $\sqrt{7}<2.65$。配合原有的下界，得到

這就說明了它為什麼應四捨五入為 $2.6$。若一個數恰好等於 $2.65$，依這裡採用的四捨五入規則，取到一位時則是 $2.7$。

因此，判斷某個數「是不是合適的近似值」，必須先看要求。若要求「與真值相差不到 $0.1$」，本例的 $2.6$ 與 $2.7$ 都符合；若要求「四捨五入至小數第一位」，答案則是 $2.6$。只寫一個「約等於」，還不足以說明採用了什麼標準。

螢幕顯示也有自己的規則。上述機型的 Fix 設定會按照指定的小數位數捨入後再顯示；其數值計算本身也具有有限精度。因此，顯示多少位，不能直接當作數學上是否精確的判準。卡西歐支援

例如

足以排除「$\sqrt{2}=1.414$」的說法。不必先找到更長的小數，才有資格指出等號不成立。

不過，「不精確相等」不等於「不是可用的近似」。它是否合用，仍須回到要求的位數或容許差距。計算機方便我們取得數字；平方比較則幫助我們檢查數字的位置，以及它究竟支持哪一種主張。

同一個近似值，為何有時能用、有時不能用

現在可以完整回答開頭的版面問題。

在這個假想設計中，圖案的面積被指定為恰好 $7$ 平方公分，精確邊長便是 $\sqrt{7}$ 公分。尺寸表要求四捨五入至小數第一位，因此填「約 $2.6$ 公分」沒有問題。

但這不代表圖案能放進邊長恰好 $2.6$ 公分的正方形空格。在圖案不縮放、兩者的邊互相平行的設定下，由

便知道空格太小。這個結論不需要知道第十位、第一百位小數。

如果預留的是 $2.7$ 公分見方的空間，由

可知，在不另加邊框、不計印刷偏差的數學設定下，空間足夠。

用來報告尺寸的四捨五入值，和用來保證容納的上界，可以是不同的數。前者要一個接近真值的簡短表示，後者要一個不會小於所需尺寸的保證。不能把「很接近」偷偷換成「一定不會不夠」。

若空間限制落在我們已知的上下界之間，現有資訊就可能還不夠。這時應取得更細的資訊，而不是把「尚未判定」當成「應該沒問題」。

在現代數值計算中，區間算術就是一種相關的方法：它不只保存單一近似數，而以區間運算及適當的端點捨入，保留可證明包含結果的範圍，控制有限位運算的捨入影響。這是上下界思考的現代連結，不表示一般計算機都會自動提供這種保證，也不表示把兩個顯示值任意當成上下界就一定可靠。DLMF

最後還要確認輸入的意思。本例的 $7$ 是設計指定的精確面積；假如它來自量測，而且已經捨入，原始面積便另有不確定性。就算把「$\sqrt{7}$」算得再細，也只是更細地處理輸入的 $7$，不會自動恢復量測時失去的資訊。

理解近似與精確，讓我們多出的能力，不是只會把根號換成小數，而是能分清：根式精確指定的是哪個數，近似值按照什麼規則代替它，上下界又替結論提供了什麼保證。

人類不必寫完無限的小數，才開始做可靠的計算。重要的轉變，是把「不能寫盡」與「不能知道」分開：我們可以不知道所有數字，卻仍知道答案在哪裡、差距受到什麼限制，以及目前的資訊夠不夠支持下一個決定。

【本文完】