練習:由純量三重積求平行六面體體積

題目要的量是向量還是一個數?可不可能是負的?單位是什麼?〔回課文:這一課要做的事〕

體積鏈的形狀:先 b×c(向量),再與 a 內積(一個實數),再取絕對值,最後寫立方單位並回查。先把這幾步依序寫成空格,再填數字。〔回課文:① 這是什麼〕

b×c=(b₂c₃−b₃c₂, b₃c₁−b₁c₃, b₁c₂−b₂c₁);y 分量是 z 在前、x 在後;每一格都寫出兩個乘積再相減(分量是 0 的格照樣寫)。再算 a·(b×c),最後取絕對值。〔回課文:示範一〕

b×c=(−5, 3, −7)(請自己核對三個分量,並確認它與 b、c 的內積都是 0)。接著算 a·(b×c) 的三個乘積、相加,取絕對值,寫上單位;最後用 c×a 與 b 的內積回查一次。

(1)外積:b×c。x 分量:b₂c₃−b₃c₂ = (3)(−1)−(2)(1) = −3−2 = −5；y 分量:b₃c₁−b₁c₃ = (2)(2)−(−1)(−1) = 4−1 = 3；z 分量:b₁c₂−b₂c₁ = (−1)(1)−(3)(2) = −1−6 = −7。所以 b×c=(−5, 3, −7)(下面記作 n)。(2)內積:a·n = (1)(−5)+(−2)(3)+(3)(−7) = −5+(−6)+(−21) = −32(這是一個實數,不是向量)。(3)取絕對值:V=|−32|=32。體積不會是負的;−32 的負號只表示 a 在底面的另一側。(4)單位:V=32 立方公分。(5)回查(換一個面當底):c×a=(1, −7, −5),b·(c×a)=−32,與 −32 相同。

b×c 已經給你了。要得到體積,還缺哪一步?〔回課文:這一課要做的事〕

b×c 是一個向量,a 也是向量;要得到「一個實數」,應該用哪一種乘法?得到的實數可以直接當體積嗎?〔回課文:① 這是什麼〕

做內積 a·(b×c):三對對應分量相乘,再把三個乘積相加;然後取絕對值,寫上立方公尺。〔回課文:③ 為什麼 |a·(b×c)| 就是體積〕

三個乘積依序是 6、−10、−4。把它們相加(第二項是負的,小心符號),再取絕對值,最後寫單位。

(1)內積:a·n = (3)(2)+(−2)(5)+(4)(−1) = 6+(−10)+(−4) = −8。這是一個實數。(2)取絕對值:V=|−8|=8。(3)單位:V=8 立方公尺。(a、b、c 的坐標用公尺,所以體積用立方公尺。)

O 是原點。向量 OA 是由 O 指向 A 的向量,它的分量和點 A 的坐標有什麼關係?〔回課文:① 這是什麼〕

先把三個邊向量寫出來,再套用體積鏈:外積、內積、絕對值、單位。三個邊向量誰當 a、誰當 b、誰當 c,不影響體積的大小。〔回課文:示範三〕

因為 O 是原點,OA、OB、OC 的分量就是 A、B、C 的坐標。令 a=OA、b=OB、c=OC,算 b×c,再與 a 做內積,取絕對值。

a=(2, 1, 0)、b=(0, 3, 1)、c=(1, −1, 4);b×c=(13, 1, −3)(請自己核對)。接著算 a·(b×c),取絕對值,寫單位。

邊向量:a=OA=(2, 1, 0),b=OB=(0, 3, 1),c=OC=(1, −1, 4)(原點的坐標是 (0, 0, 0),所以終點坐標減起點坐標就是終點坐標本身)。(1)外積:b×c。x 分量:b₂c₃−b₃c₂ = (3)(4)−(1)(−1) = 12−(−1) = 13；y 分量:b₃c₁−b₁c₃ = (1)(1)−(0)(4) = 1−0 = 1；z 分量:b₁c₂−b₂c₁ = (0)(−1)−(3)(1) = 0−3 = −3。所以 b×c=(13, 1, −3)(下面記作 n)。(2)內積:a·n = (2)(13)+(1)(1)+(0)(−3) = 26+1+0 = 27(這是一個實數,不是向量)。(3)取絕對值:V=|27|=27。(4)單位:V=27 立方單位。(5)回查(換一個面當底):c×a=(−4, 8, 3),b·(c×a)=27,與 27 相同。

題目要的量是向量還是一個數?可不可能是負的?單位是什麼?〔回課文:這一課要做的事〕

體積鏈的形狀:先 b×c(向量),再與 a 內積(一個實數),再取絕對值,最後寫立方單位並回查。先把這幾步依序寫成空格,再填數字。〔回課文:① 這是什麼〕

b×c=(b₂c₃−b₃c₂, b₃c₁−b₁c₃, b₁c₂−b₂c₁);y 分量是 z 在前、x 在後;每一格都寫出兩個乘積再相減(分量是 0 的格照樣寫)。再算 a·(b×c),最後取絕對值。〔回課文:示範一〕

b×c=(−2, −5, 11)(請自己核對三個分量,並確認它與 b、c 的內積都是 0)。接著算 a·(b×c) 的三個乘積、相加,取絕對值,寫上單位;最後用 c×a 與 b 的內積回查一次。

(1)外積:b×c。x 分量:b₂c₃−b₃c₂ = (1)(2)−(1)(4) = 2−4 = −2；y 分量:b₃c₁−b₁c₃ = (1)(1)−(3)(2) = 1−6 = −5；z 分量:b₁c₂−b₂c₁ = (3)(4)−(1)(1) = 12−1 = 11。所以 b×c=(−2, −5, 11)(下面記作 n)。(2)內積:a·n = (2)(−2)+(−1)(−5)+(3)(11) = −4+5+33 = 34(這是一個實數,不是向量)。(3)取絕對值:V=|34|=34。(4)單位:V=34 立方公分。(5)回查(換一個面當底):c×a=(14, 1, −9),b·(c×a)=34,與 34 相同。

題目要的量是向量還是一個數?可不可能是負的?單位是什麼?〔回課文:這一課要做的事〕

體積鏈的形狀:先 b×c(向量),再與 a 內積(一個實數),再取絕對值,最後寫立方單位並回查。先把這幾步依序寫成空格,再填數字。〔回課文:① 這是什麼〕

b×c=(b₂c₃−b₃c₂, b₃c₁−b₁c₃, b₁c₂−b₂c₁);y 分量是 z 在前、x 在後;每一格都寫出兩個乘積再相減(分量是 0 的格照樣寫)。再算 a·(b×c),最後取絕對值。有些分量是 0,例如 a₂、c₂;0 的乘積是 0,但那一格還是要寫出來。〔回課文:示範一〕

b×c=(4, 3, −2)(請自己核對三個分量,並確認它與 b、c 的內積都是 0)。接著算 a·(b×c) 的三個乘積、相加,取絕對值,寫上單位;最後用 c×a 與 b 的內積回查一次。

(1)外積:b×c。x 分量:b₂c₃−b₃c₂ = (2)(2)−(3)(0) = 4−0 = 4；y 分量:b₃c₁−b₁c₃ = (3)(1)−(0)(2) = 3−0 = 3；z 分量:b₁c₂−b₂c₁ = (0)(0)−(2)(1) = 0−2 = −2。所以 b×c=(4, 3, −2)(下面記作 n)。(2)內積:a·n = (4)(4)+(0)(3)+(1)(−2) = 16+0+(−2) = 14(這是一個實數,不是向量)。(3)取絕對值:V=|14|=14。(4)單位:V=14 立方公分。(5)回查(換一個面當底):c×a=(0, 7, 0),b·(c×a)=14,與 14 相同。

平行六面體的三條稜是向量 PQ、PR、PT,不是點 Q、R、T 本身。向量的分量要怎麼由兩個點的坐標求出來?〔回課文:示範三〕

先求三個邊向量(終點坐標減起點坐標),再套用體積鏈。

PQ=Q−P、PR=R−P、PT=T−P,逐個分量相減。算出三個邊向量之後,令 a=PQ、b=PR、c=PT,做外積、內積、絕對值、單位。

PQ=(2, 0, 1)、PR=(1, 3, 0)、PT=(−1, 1, 3)(請自己核對);令 a=PQ、b=PR、c=PT,則 b×c=(9, −3, 4)。接著算 a·(b×c),取絕對值,寫單位。

邊向量:PQ=Q−P=(2, 0, 1),PR=R−P=(1, 3, 0),PT=T−P=(−1, 1, 3)。令 a=PQ、b=PR、c=PT。(1)外積:b×c。x 分量:b₂c₃−b₃c₂ = (3)(3)−(0)(1) = 9−0 = 9；y 分量:b₃c₁−b₁c₃ = (0)(−1)−(1)(3) = 0−3 = −3；z 分量:b₁c₂−b₂c₁ = (1)(1)−(3)(−1) = 1−(−3) = 4。所以 b×c=(9, −3, 4)(下面記作 n)。(2)內積:a·n = (2)(9)+(0)(−3)+(1)(4) = 18+0+4 = 22(這是一個實數,不是向量)。(3)取絕對值:V=|22|=22。(4)單位:V=22 立方公分。(5)回查(換一個面當底):c×a=(1, 7, −2),b·(c×a)=22,與 22 相同。

題目要的量是向量還是一個數?可不可能是負的?單位是什麼?〔回課文:這一課要做的事〕

體積鏈的形狀:先 b×c(向量),再與 a 內積(一個實數),再取絕對值,最後寫立方單位並回查。先把這幾步依序寫成空格,再填數字。〔回課文:① 這是什麼〕

b×c=(b₂c₃−b₃c₂, b₃c₁−b₁c₃, b₁c₂−b₂c₁);y 分量是 z 在前、x 在後;每一格都寫出兩個乘積再相減(分量是 0 的格照樣寫)。再算 a·(b×c),最後取絕對值。內積算出來的實數不一定是正的,想想最後一步該怎麼處理。〔回課文:示範一〕

b×c=(−4, −5, 3)(請自己核對三個分量,並確認它與 b、c 的內積都是 0)。接著算 a·(b×c) 的三個乘積、相加,取絕對值,寫上單位;最後用 c×a 與 b 的內積回查一次。

(1)外積:b×c。x 分量:b₂c₃−b₃c₂ = (−1)(2)−(1)(2) = −2−2 = −4；y 分量:b₃c₁−b₁c₃ = (1)(−1)−(2)(2) = −1−4 = −5；z 分量:b₁c₂−b₂c₁ = (2)(2)−(−1)(−1) = 4−1 = 3。所以 b×c=(−4, −5, 3)(下面記作 n)。(2)內積:a·n = (2)(−4)+(3)(−5)+(−2)(3) = −8+(−15)+(−6) = −29(這是一個實數,不是向量)。(3)取絕對值:V=|−29|=29。體積不會是負的;−29 的負號只表示 a 在底面的另一側。(4)單位:V=29 立方單位。(5)回查(換一個面當底):c×a=(−10, 2, −7),b·(c×a)=−29,與 −29 相同。

這題的數字看起來很普通,照題目的要求去做就好。先想:體積鏈有哪幾步?〔回課文:這一課要做的事〕

體積鏈:b×c、與 a 內積、取絕對值、寫單位。每一步都把算式寫出來,最後再回查。〔回課文:① 這是什麼〕

b×c 的三格逐一算(y 分量:b₃c₁−b₁c₃);再做 a·(b×c)。算完用 c×a 與 b 的內積回查一次,兩條路必須得到同一個實數。〔回課文:⑤ 非例與邊界〕

b×c=(−2, 1, 1)(請自己核對)。接著算 a·(b×c) 的三個乘積再相加,最後取絕對值並寫單位。

(1)外積:b×c。x 分量:b₂c₃−b₃c₂ = (0)(5)−(2)(1) = 0−2 = −2；y 分量:b₃c₁−b₁c₃ = (2)(3)−(1)(5) = 6−5 = 1；z 分量:b₁c₂−b₂c₁ = (1)(1)−(0)(3) = 1−0 = 1。所以 b×c=(−2, 1, 1)(下面記作 n)。(2)內積:a·n = (2)(−2)+(1)(1)+(3)(1) = −4+1+3 = 0(這是一個實數,不是向量)。(3)取絕對值:V=|0|=0。(4)單位:V=0 立方單位。(5)回查(換一個面當底):c×a=(−2, 1, 1),b·(c×a)=0,與 0 相同。 S=0 時,V=0 立方單位:這個平行六面體沒有厚度。為什麼會得到 0、這時三個向量之間有什麼關係,是另一課的內容;這裡只要照算,得 0 就寫 0,並且仍要寫單位。

有分數也照體積鏈做:乘法、減法、加法的規則都不變。先想想哪一格會出現分數相乘。〔回課文:示範一〕

先算 b×c(三格),再與 a 做內積。分數相乘:分子乘分子、分母乘分母;和差要先通分。

x 分量 b₂c₃−b₃c₂、y 分量 b₃c₁−b₁c₃、z 分量 b₁c₂−b₂c₁。z 分量會用到 (1/2)×(3/2)。算完之後再做 a·(b×c),取絕對值。

b×c=(2, −1, 3/4)(其中 z 分量是 (1/2)(3/2)−(1)(0)=3/4)。接著算 a·(b×c) 的三個乘積(最後一項是 (2)(3/4)),相加,取絕對值,寫單位。

(1)外積:b×c。x 分量:b₂c₃−b₃c₂ = (1)(2)−(0)(3/2) = 2−0 = 2；y 分量:b₃c₁−b₁c₃ = (0)(0)−(1/2)(2) = 0−1 = −1；z 分量:b₁c₂−b₂c₁ = (1/2)(3/2)−(1)(0) = 3/4−0 = 3/4。所以 b×c=(2, −1, 3/4)(下面記作 n)。(2)內積:a·n = (4)(2)+(−2)(−1)+(2)(3/4) = 8+2+3/2 = 23/2(這是一個實數,不是向量)。(3)取絕對值:V=|23/2|=23/2。(4)單位:V=23/2 立方公分。(5)回查(換一個面當底):c×a=(7, 8, −6),b·(c×a)=23/2,與 23/2 相同。

從頭核對:三個分量用的公式,有哪一個和課文的不一樣?〔回課文:① 這是什麼〕

三個分量裡有一格出了問題。逐格對照 b₂c₃−b₃c₂、b₃c₁−b₁c₃、b₁c₂−b₂c₁:兩個乘積的前後次序、減號的位置,都要和公式一樣。

錯在 y 分量:課文的 y 分量是 b₃c₁−b₁c₃(z 在前、x 在後),這位同學寫成 b₁c₃−b₃c₁,所以整格的符號相反。再用自查驗證:b 與他算的 (8, 1, −5) 的內積不是 0。

改正後 b×c=(8, −1, −5)(請自己核對)。重新算 a·(b×c),取絕對值,寫單位,再與同學的 16 比較。

錯在哪:y 分量次序寫反。同學的 y 分量 (2)(2)−(3)(1)=1 是 b₁c₃−b₃c₁;正確的是 b₃c₁−b₁c₃=(3)(1)−(2)(2)=−1。他算的 (8, 1, −5) 與 b 的內積是 (2)(8)+(1)(1)+(3)(−5)=2,不是 0,所以不可能是 b×c。(1)外積:b×c。x 分量:b₂c₃−b₃c₂ = (1)(2)−(3)(−2) = 2−(−6) = 8；y 分量:b₃c₁−b₁c₃ = (3)(1)−(2)(2) = 3−4 = −1；z 分量:b₁c₂−b₂c₁ = (2)(−2)−(1)(1) = −4−1 = −5。所以 b×c=(8, −1, −5)(下面記作 n)。(2)內積:a·n = (1)(8)+(3)(−1)+(−1)(−5) = 8+(−3)+5 = 10(這是一個實數,不是向量)。(3)取絕對值:V=|10|=10。(4)單位:V=10 立方公分。(5)回查(換一個面當底):c×a=(−4, 3, 5),b·(c×a)=10,與 10 相同。

「三條稜長相乘」在什麼形狀的立體才成立?這個平行六面體是那樣的形狀嗎?〔回課文:③ 為什麼 |a·(b×c)| 就是體積〕

三條稜長相乘需要三條稜兩兩互相垂直(長方體)。檢查看看,a·b 等於 0 嗎?

a·b=(2)(3)+(2)(4)+(1)(0)=14,不是 0,所以 a、b 不垂直,不是長方體,不能用稜長相乘。正確做法是三重積:b×c、與 a 內積、取絕對值。〔回課文:示範四(甲)〕

b×c=(12, −9, 12)(請自己核對)。接著算 a·(b×c),取絕對值,寫單位。算完可以和 75 比一比:體積可以比三稜長的乘積小嗎?

錯在哪:三條稜長相乘只在三稜兩兩垂直時才等於體積;這裡 a·b=14≠0。(1)外積:b×c。x 分量:b₂c₃−b₃c₂ = (4)(3)−(0)(4) = 12−0 = 12；y 分量:b₃c₁−b₁c₃ = (0)(0)−(3)(3) = 0−9 = −9；z 分量:b₁c₂−b₂c₁ = (3)(4)−(4)(0) = 12−0 = 12。所以 b×c=(12, −9, 12)(下面記作 n)。(2)內積:a·n = (2)(12)+(2)(−9)+(1)(12) = 24+(−18)+12 = 18(這是一個實數,不是向量)。(3)取絕對值:V=|18|=18。(4)單位:V=18 立方單位。(5)回查(換一個面當底):c×a=(−2, 6, −8),b·(c×a)=18,與 18 相同。 比較:18 小於 75;三稜不垂直時,平行六面體比同樣稜長的長方體「歪」,體積會比較小(V 不會超過三條稜長的乘積)。

9 是什麼量?想一想 |b×c| 在「外積」那一課表示什麼。〔回課文:③ 為什麼 |a·(b×c)| 就是體積〕

|b×c| 是以 b、c 為兩邊的平行四邊形的面積。體積是「底面積×高」,這位同學還缺哪一個量?〔回課文:③ 為什麼 |a·(b×c)| 就是體積〕

他只算出底面積。高要看 a:V=|a·(b×c)|,也就是要把 a 與 b×c 做內積。他的 b×c=(6, 3, −6) 是對的。

a·(b×c) 的三個乘積依序是 12、12、6。把它們相加,取絕對值,寫上單位。

錯在哪:|b×c|=9 是底面平行四邊形的面積(平方公分),不是體積;少了「高」,也就是少了與 a 做內積的那一步。(1)外積:b×c。x 分量:b₂c₃−b₃c₂ = (2)(1)−(2)(−2) = 2−(−4) = 6；y 分量:b₃c₁−b₁c₃ = (2)(2)−(1)(1) = 4−1 = 3；z 分量:b₁c₂−b₂c₁ = (1)(−2)−(2)(2) = −2−4 = −6。所以 b×c=(6, 3, −6)(下面記作 n)。(2)內積:a·n = (2)(6)+(4)(3)+(−1)(−6) = 12+12+6 = 30(這是一個實數,不是向量)。(3)取絕對值:V=|30|=30。(4)單位:V=30 立方公分。(5)回查(換一個面當底):c×a=(−2, 4, 12),b·(c×a)=30,與 30 相同。

體積可以是負的嗎?這位同學前面兩步的算式,你核對過了嗎?〔回課文:③ 為什麼 |a·(b×c)| 就是體積〕

核對外積與內積:他的 b×c 和內積的算術都是對的。問題在最後一行:−25 是什麼的值?它和體積的關係是什麼?

−25 是三重積 a·(b×c) 的值,不是體積。體積是這個值的絕對值:V=|a·(b×c)|。負號只表示 a 和 b×c 在底面的不同側。〔回課文:③ 為什麼 |a·(b×c)| 就是體積〕

b×c=(−2, 5, −4) 與內積的算術都沒有問題,錯在最後一步。請你寫出最後一行:V 等於多少、單位是什麼。

錯在哪:把三重積的值 −25 直接當成體積。體積是非負的數,V=|a·(b×c)|。(1)外積:b×c。x 分量:b₂c₃−b₃c₂ = (2)(−1)−(3)(0) = −2−0 = −2；y 分量:b₃c₁−b₁c₃ = (3)(2)−(−1)(−1) = 6−1 = 5；z 分量:b₁c₂−b₂c₁ = (−1)(0)−(2)(2) = 0−4 = −4。所以 b×c=(−2, 5, −4)(下面記作 n)。(2)內積:a·n = (1)(−2)+(−3)(5)+(2)(−4) = −2+(−15)+(−8) = −25(這是一個實數,不是向量)。(3)取絕對值:V=|−25|=25。體積不會是負的;−25 的負號只表示 a 在底面的另一側。(4)單位:V=25 立方公分。(5)回查(換一個面當底):c×a=(−3, −5, −6),b·(c×a)=−25,與 −25 相同。

絕對值應該加在哪一步才有意義?先把所有分量取絕對值,會不會把向量改成另一個向量?〔回課文:③ 為什麼 |a·(b×c)| 就是體積〕

分量的正負是向量方向的資訊。a=(−1, 2, −1) 和 a′=(1, 2, 1) 是方向不同的兩個向量,所以 a′、b′、c′ 決定的是另一個平行六面體。

要用原來的 a、b、c 算:b×c、與 a 內積,取絕對值這一步放在最後,只對三重積這個實數做。〔回課文:示範二〕

原來的 b×c=(−3, 4, −1)(請自己核對)。接著算 a·(b×c),最後才取絕對值,寫單位。

錯在哪:絕對值取得太早。先對分量取絕對值,向量就被改成別的向量了(a′≠a 等),算出的是另一個平行六面體的體積。(1)外積:b×c。x 分量:b₂c₃−b₃c₂ = (2)(−2)−(−1)(1) = −4−(−1) = −3；y 分量:b₃c₁−b₁c₃ = (−1)(2)−(3)(−2) = −2−(−6) = 4；z 分量:b₁c₂−b₂c₁ = (3)(1)−(2)(2) = 3−4 = −1。所以 b×c=(−3, 4, −1)(下面記作 n)。(2)內積:a·n = (−1)(−3)+(2)(4)+(−1)(−1) = 3+8+1 = 12(這是一個實數,不是向量)。(3)取絕對值:V=|12|=12。(4)單位:V=12 立方單位。(5)回查(換一個面當底):c×a=(3, 4, 5),b·(c×a)=12,與 12 相同。

逐格重算三個分量。哪一格的「減號」處理得有問題?〔回課文:⑥ 常見的錯與自我檢查〕

有一格的第二個乘積本身是負數。「減去一個負數」會變成什麼?

x 分量中,第二個乘積 (−2)(2)=−4,所以 b₂c₃−b₃c₂=6−(−4)。同學把它寫成 6−4,漏掉了負號。另外兩個分量是對的。

x 分量應該是 10,所以 b×c=(10, −2, 2)(請自己核對)。再重算 a·(b×c)(三個乘積),取絕對值,寫單位。

錯在哪:x 分量裡的 6−(−4) 被寫成 6−4。他的 (2, −2, 2) 與 b=(1, 3, −2) 的內積是 2−6−4=−8,不是 0,所以不可能是 b×c。(1)外積:b×c。x 分量:b₂c₃−b₃c₂ = (3)(2)−(−2)(2) = 6−(−4) = 10；y 分量:b₃c₁−b₁c₃ = (−2)(0)−(1)(2) = 0−2 = −2；z 分量:b₁c₂−b₂c₁ = (1)(2)−(3)(0) = 2−0 = 2。所以 b×c=(10, −2, 2)(下面記作 n)。(2)內積:a·n = (2)(10)+(1)(−2)+(3)(2) = 20+(−2)+6 = 24(這是一個實數,不是向量)。(3)取絕對值:V=|24|=24。(4)單位:V=24 立方公分。(5)回查(換一個面當底):c×a=(4, 4, −4),b·(c×a)=24,與 24 相同。

把 k 先當成一個「還不知道的數」,照體積鏈做。b、c 都沒有 k,所以哪一步和 k 無關?〔回課文:示範一〕

三重積 a·(b×c) 會是 k 的一次式。再想:「體積是 4」對這個一次式的值,告訴了你什麼?(體積是絕對值的結果。)〔回課文:③ 為什麼 |a·(b×c)| 就是體積〕

先算 b×c(和 k 無關),再算 a·(b×c)=(3)(n₁)+(1)(n₂)+(k)(n₃),整理成「k 加(或減)一個數」。再解 |這個式子|=4:絕對值等於 4,有兩種可能。

b×c=(−2, 5, 1)(請自己核對);a·(b×c)=(3)(−2)+(1)(5)+(k)(1)=k−1。接下來解 |k−1|=4。

(1)b×c:x 分量 (0)(−1)−(2)(1)=−2;y 分量 (2)(2)−(1)(−1)=5;z 分量 (1)(1)−(0)(2)=1,所以 b×c=(−2, 5, 1)。(2)a·(b×c)=(3)(−2)+(1)(5)+(k)(1)=−6+5+k=k−1。(3)體積 4=|k−1|,所以 k−1=4 或 k−1=−4,k=5 或 k=−3。(4)驗算:k=5 時 a·(b×c)=4,V=4;k=−3 時 a·(b×c)=−4,V=|−4|=4,都是 4 立方公分。所以 k=5 或 k=−3。

b′、c′ 是由 a、b、c 組合出來的新向量。你得先知道它們的三個分量各是多少。〔回課文:③-6 同底等高〕

有了 b′、c′ 的分量,新的三條稜是 a、b′、c′,後面就是一般的體積鏈。

先算 b′=b+2a 與 c′=c−b(逐個分量),再做 b′×c′、與 a 內積、取絕對值、寫單位。

b′=(4, 1, 4)、c′=(−2, 2, 1)(請自己核對);b′×c′=(−7, −12, 10)。接著算 a·(b′×c′),取絕對值,寫單位。

新向量:b′=b+2a=(2+2, 1+0, 0+4)=(4, 1, 4);c′=c−b=(0−2, 3−1, 1−0)=(−2, 2, 1)。下面的體積鏈,把 b′、c′ 當成「新的 b、c」:(1)外積:b×c。x 分量:b₂c₃−b₃c₂ = (1)(1)−(4)(2) = 1−8 = −7；y 分量:b₃c₁−b₁c₃ = (4)(−2)−(4)(1) = −8−4 = −12；z 分量:b₁c₂−b₂c₁ = (4)(2)−(1)(−2) = 8−(−2) = 10。所以 b×c=(−7, −12, 10)(下面記作 n)。(2)內積:a·n = (1)(−7)+(0)(−12)+(2)(10) = −7+0+20 = 13(這是一個實數,不是向量)。(3)取絕對值:V=|13|=13。(4)單位:V=13 立方公分。(5)回查(換一個面當底):c×a=(4, 5, −2),b·(c×a)=13,與 13 相同。 順帶發現:原來的 a、b、c 決定的體積也是 13(a·(b×c)=13),和新的三個向量一樣。想一想為什麼(課文 ③-6 同底等高:先把 b 換成 b+2a,再把 c 換成 c−b,每一次都是把一個向量換成它加上其他向量的組合,底面與高不變,所以兩步之後體積不變)。

圖是示意圖,不能量,要用標在圖上的坐標。先想:箱子的體積是多少立方公寸?再把它換成公升。

O 是原點,所以 OA、OB、OC 的分量就是 A、B、C 的坐標。先求體積(立方公寸),最後一步才換成公升。〔回課文:示範三〕

令 a=OA、b=OB、c=OC,依體積鏈求 V(立方公寸);再用 1 立方公寸=1 公升換算容量。

b×c=(6, −3, 1)(請自己核對)。接著算 a·(b×c),取絕對值得體積(立方公寸),最後換算成公升。

邊向量(令 a=OA、b=OB、c=OC):(1)外積:b×c。x 分量:b₂c₃−b₃c₂ = (2)(3)−(0)(1) = 6−0 = 6；y 分量:b₃c₁−b₁c₃ = (0)(0)−(1)(3) = 0−3 = −3；z 分量:b₁c₂−b₂c₁ = (1)(1)−(2)(0) = 1−0 = 1。所以 b×c=(6, −3, 1)(下面記作 n)。(2)內積:a·n = (3)(6)+(0)(−3)+(1)(1) = 18+0+1 = 19(這是一個實數,不是向量)。(3)取絕對值:V=|19|=19。(4)單位:V=19 立方公寸。(5)回查(換一個面當底):c×a=(1, 9, −3),b·(c×a)=19,與 19 相同。 換算:1 立方公寸=1 公升,所以容量是 19 公升。