向量：把大小與方向合成可運算的量

適用入口、必要先備與範圍邊界

適用入口：11 年級數學 A。 本篇對應課綱 G-11A-1、G-11A-3、G-11A-4 中的下列內容：平面與空間向量的係數積、加減、已知係數的線性組合，以及向量長度、三角不等式與上界等號條件。

必要先備： 能讀懂平面直角坐標與空間中的三個坐標；能計算正負數、分數、平方與平方根；知道畢氏定理，以及非退化三角形的兩邊長之和大於第三邊。空間部分需要知道三條坐標軸互相垂直，但不要求先學會空間中的直線、平面方程式。

共同約定： 本篇在固定的直角坐標系中運算，各坐標軸採用一致的長度單位。參與同一次運算的分量，都相對於同一套坐標系；不能把不同坐標系下的數字直接混用。

讀完應能做到： 遇到兩點的位置資料，先求出位移的分量，再進行指定運算；對已給定係數的兩個平面向量或三個空間向量，求出組合結果並核對終點；算出唯一的非負長度，並分辨何時合向量的長度等於、何時小於兩向量長度之和。

本篇邊界： 不直接把兩個點當作向量相加；不反求線性組合係數，不解未知係數方程組，不處理係數變動所掃出的區域；不引入抽象向量結構的術語，不教內積、外積、行列式、分點公式或含絕對值不等式的求解。文中數值例子均為教學自設資料。

一、方向不是長度後面可有可無的補充

在十九世紀向量分析逐步形成以前，研究運動的人已經知道：兩個作用合在一起，不能只把它們的大小相加。牛頓《自然哲學的數學原理》的 1729 年英譯本，在運動定律之後的推論中，就以平行四邊形的邊與對角線說明作用的合成與分解。這是一套能進行精確推理的幾何方法，並不是「向量出現以前，人們不會處理方向」。Wikisource

然而，能用幾何圖形或分量算式精確計算，與把不同情境中的有方向量統一記成可以組合、可以化簡的符號，仍是兩件事。這裡要比較的是表示與推理的組織方式，不是把既有幾何方法說成不能反覆使用。

先看一個教學情境。兩個人各走兩段路，每段都長 5 公尺。

第一個人先向東走 5 公尺，再向東走 5 公尺；第二個人先向東走 5 公尺，再向西走 5 公尺。

兩人走過的總路程都是

5 + 5 = 10 公尺,

但第一個人最後在出發點東邊 10 公尺，第二個人卻回到出發點。

問題不是加法算錯了，而是只保留長度的資料，原本就不足以決定位置如何改變。同樣的兩個數字 $5, 5$ ，可能對應完全不同的最後位置。

保留幾何圖，當然可以區分這些情況；把每個方向的變化分開列成算式，也可以精確計算。向量表示所增加的能力，是把這些原本分散在箭頭、方向敘述及分量算式中的關係，集中到同一種可運算的量上。

這也接近當時作者自己提出的目標。Macfarlane 在 1906 年出版的著作中，將有方向的量明確符號化，視為可以不依附某一套特定坐標、研究共同性質的做法。這裡的突破主要是表示與推理的組織方式，不能誇大成舊方法完全不能求解。Project Gutenberg

我們接下來要建立的，正是這種組織方式：

不只記錄「有多大」，還保留「往哪裡」；不只畫出一次移動，還讓移動可以相加、相減與縮放。

二、點回答「在哪裡」，向量回答「怎樣改變位置」

從原點出發，先認識位置向量

固定一個平面直角坐標系，令原點為 $O = (0, 0)$ ，另有一點 $P = (3, 2)$ 。

點 $P$ 的坐標是在說：這個位置的第一個坐標是 3，第二個坐標是 2。

從原點 $O$ 指向 $P$ 的箭頭，記作

\vec{O P} .

它描述的則是：第一個坐標增加 3，第二個坐標增加 2。我們把這個向量寫成

\vec{O P} = (3, 2) .

其中的 3、2 稱為向量的分量。

這裡兩組數字相同，是因為始點恰好是原點。它們的角色仍不相同： $P$ 是點； $\vec{O P}$ 是由原點到該點的位置向量。以原點為始點表示向量，可以讓分量直接對應到箭頭終點的坐標。OpenStax

不是從原點出發，就必須用終點減始點

現在改看

A = (1, - 1), B = (4, 1) .

從 $A$ 到 $B$ ，第一個坐標由 1 變成 4，改變量是 $4 - 1 = 3$ ；第二個坐標由 $- 1$ 變成 1，改變量是 $1 - (- 1) = 2$ 。

因此

\vec{A B} = (4 - 1, 1 - (- 1)) = (3, 2) .

一般而言，若

A = (a_{1}, a_{2}), B = (b_{1}, b_{2}),

那麼

\vec{A B} = (b_{1} - a_{1}, b_{2} - a_{2}) .

分量記錄的是各坐標改變多少，而不是「終點在哪裡」。

例如，把上例的 $\vec{A B}$ 寫成 $(4, 1)$ ，就把終點 $B$ 的坐標誤當成位移。從 $A = (1, - 1)$ 出發，若真的按照 $(4, 1)$ 移動，會到達

(1 + 4, - 1 + 1) = (5, 0),

並不是 $B = (4, 1)$ 。

這個回查也提供一項很實用的檢驗：

算出位移後，將各分量加回始點的相應坐標，應該回到原來的終點。

為什麼不同位置的箭頭，可以是同一個向量？

再取

C = (- 2, 3), D = (1, 5) .

計算得到

\vec{C D} = (1 - (- 2), 5 - 3) = (3, 2) .

所以

\vec{A B} = \vec{C D} = \vec{O P} .

三支箭頭起點不同，終點相對起點都向右三格、向上兩格，代表相同位移向量。 — 箭頭的位置不同，但每支箭頭的終點減始點都是 $(3, 2)$ 。自由向量不把始點位置當作身分。

三支箭頭畫在不同位置，但都表示第一個坐標增加 3、第二個坐標增加 2。把它們整支平移，可以彼此重合。

本篇所說的自由向量，不把箭頭放在哪裡當成它的身分。 對非零向量而言，大小與方向相同，就是同一個向量；箭頭的始點可以不同。

這不是只靠眼睛判斷的約定。假設把始點與終點都沿第一個坐標方向平移 $h$ 、第二個坐標方向平移 $k$ ，新端點為

A^{'} = (a_{1} + h, a_{2} + k), B^{'} = (b_{1} + h, b_{2} + k) .

則

\begin{aligned} \vec{A^{'} B^{'}} & = ((b_{1} + h) - (a_{1} + h), (b_{2} + k) - (a_{2} + k)) \\ = (b_{1} - a_{1}, b_{2} - a_{2}) \\ = \vec{A B} . \end{aligned}

兩端共同增加的量，在相減時消去了。

要注意，平移一支箭頭，是始點與終點一起移動。只把始點移到不同位置、終點留在原處，就一定改變向量。此外，這裡始終固定坐標軸的方向與尺度；不是說任意改變坐標軸後，分量數字也一定不變。

零向量不需要指定方向

若始點與終點相同，各坐標的改變量都是 0，得到

\vec{0} = (0, 0) .

零向量表示沒有淨位移，長度為 0。本篇不給零向量指定方向，也不把它放入非零向量的同向、反向分類中。

這個例外很重要：之後討論等號條件時，不能因為零向量「沒有方向」，就把它漏掉。

三、加減與係數積：把移動寫成運算

以下沿用

\vec{u} = (3, 2), \vec{v} = (- 1, 2) .

其中 $\vec{u}$ 可以由前面的兩點資料算成 $\vec{A B}$ ，也可以平移成從原點出發的箭頭。

加法：第一段走完，再接第二段

設出發點的坐標是 $(s_{1}, s_{2})$ 。

先依照 $\vec{u} = (u_{1}, u_{2})$ 移動，會到達

(s_{1} + u_{1}, s_{2} + u_{2}) .

再依照 $\vec{v} = (v_{1}, v_{2})$ 移動，會到達

(s_{1} + u_{1} + v_{1}, s_{2} + u_{2} + v_{2}) .

相對於原來的出發點，總改變量就是

\vec{u} + \vec{v} = (u_{1} + v_{1}, u_{2} + v_{2}) .

因此

\vec{u} + \vec{v} = (3, 2) + (- 1, 2) = (2, 4) .

第一個坐標的改變量合成為 $3 + (- 1) = 2$ ，第二個坐標的改變量合成為 $2 + 2 = 4$ 。

在圖形上，可以先畫

O = (0, 0) ⟶ U = (3, 2),

再把 $\vec{v}$ 的始點移到 $U$ ，畫到

W = (2, 4) .

第二段箭頭的分量確實是

\vec{U W} = (2 - 3, 4 - 2) = (- 1, 2) = \vec{v},

而整段的結果是

\vec{O W} = (2, 4) = \vec{u} + \vec{v} .

這就是頭尾相接法。本例的兩向量不平行，若把它們先畫成共同始點的鄰邊，再補出平行四邊形，從共同始點出發的對角線向量，也會得到同一結果。OpenStax

若兩個非零向量平行，或其中有零向量，圖形會退化，不再形成真正的平行四邊形；但頭尾相接的解讀與逐分量相加的規則仍然成立。

為什麼交換順序後結果不變？因為

u_{1} + v_{1} = v_{1} + u_{1}, u_{2} + v_{2} = v_{2} + u_{2} .

因此

\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u} .

這不是說兩次走過的路線一樣，而是說在這個位移模型中，最後的淨位移一樣。

減法：加上方向相反的向量

若

\vec{v} = (v_{1}, v_{2}),

則

- \vec{v} = (- v_{1}, - v_{2}) .

對非零向量而言，它與 $\vec{v}$ 長度相同、方向相反。向量減法定義為

\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (- \vec{v}),

所以

\vec{u} - \vec{v} = (u_{1} - v_{1}, u_{2} - v_{2}) .

本例得到

\vec{u} - \vec{v} = (3 - (- 1), 2 - 2) = (4, 0) .

這表示只沿第一個坐標的正方向移動 4，第二個坐標沒有淨改變。

也可以用共同始點的兩支箭頭回查。令

U = (3, 2), V = (- 1, 2),

則

\vec{V U} = (3 - (- 1), 2 - 2) = (4, 0) = \vec{u} - \vec{v} .

共同始點時， $\vec{u} - \vec{v}$ 是從 $\vec{v}$ 的終點指向 $\vec{u}$ 的終點。

順序不能顛倒：

\vec{v} - \vec{u} = (- 4, 0) = - (\vec{u} - \vec{v}) .

向量 u 為（3，2）、v 為（負1，2）；平行四邊形對角線的和向量 u 加 v 為（2，4）。 — 和向量由共同始點指向平行四邊形的對角頂點；差向量由被減向量的終點，指向前一向量的終點。

從 v 的終點指向 u 的終點，差向量 u 減 v 為（4，0），水平向右。 — 和向量由共同始點指向平行四邊形的對角頂點；差向量由被減向量的終點，指向前一向量的終點。

係數積：改變大小，必要時反轉方向

若 $λ$ 是實數，則

λ \vec{u} = (λ u_{1}, λ u_{2}) .

這種實數乘向量的運算稱為係數積。

對非零向量來說，正係數保留方向，負係數反轉方向；係數的絕對值決定長度放大或縮小的倍數。係數為 0 時，結果是零向量。

若原向量本來就是零向量，則對任何實數 $λ$ ，都有

λ \vec{0} = \vec{0} .

這時沒有方向需要保留或反轉。

例如，題目指定計算 $- 2 \vec{A B}$ ，必須先由端點得到

\vec{A B} = (3, 2),

再計算

- 2 \vec{A B} = (- 6, - 4) .

結果不是「長度變成負數」，而是箭頭轉向相反方向，長度變成原來的兩倍。

若把結果箭頭放在原點，它的終點就是 $(- 6, - 4)$ 。若改放在 $(1, 1)$ ，終點則是

(1 - 6, 1 - 4) = (- 5, - 3) .

回查新箭頭的分量：

(- 5 - 1, - 3 - 1) = (- 6, - 4) .

始點不同，運算結果並沒有改變。

四、線性組合：先縮放，再合成

現在可以理解

α \vec{u} + β \vec{v}

這種表示了。其中 $α, β$ 是實數係數：先分別對兩個向量做係數積，再相加。這稱為兩向量的線性組合。

若

\vec{u} = (u_{1}, u_{2}), \vec{v} = (v_{1}, v_{2}),

則

α \vec{u} + β \vec{v} = (α u_{1} + β v_{1}, α u_{2} + β v_{2}) .

核心示例：求 $2 \vec{u} - \vec{v}$

係數已經給定為 2 與 $- 1$ ，我們要找的是結果向量。

先縮放：

2 \vec{u} = (6, 4), - \vec{v} = (1, - 2) .

再合成：

2 \vec{u} - \vec{v} = (6, 4) + (1, - 2) = (7, 2) .

這個結果有兩種可以互相核對的讀法。

從分量看，第一個方向的總改變是

2 \times 3 - (- 1) = 7,

第二個方向的總改變是

2 \times 2 - 2 = 2 .

從箭頭看，先由原點走到 $M = (6, 4)$ ，再按照 $- \vec{v} = (1, - 2)$ 移到 $T = (7, 2)$ 。第二段的分量為

\vec{M T} = (7 - 6, 2 - 4) = (1, - 2),

因此整段

\vec{O T} = (7, 2)

正是要求的結果。

若改用平行四邊形，四個頂點可以取為

O = (0, 0), M = (6, 4), N = (1, - 2), T = (7, 2) .

其中

\vec{O M} = 2 \vec{u}, \vec{O N} = - \vec{v},

而從 $O$ 指向對角頂點 $T$ 的向量，就是 $2 \vec{u} - \vec{v}$ 。

兩倍 u 為（6，4），負 v 為（1，負2）；首尾接續後得到 2u 減 v 等於（7，2）。 — 先取兩倍的 $\vec{u}$ ，再接上反向的 $\vec{v}$ ，得到從原點指向 $(7, 2)$ 的向量。

最後再用反向運算回查：

(7, 2) + \vec{v} = (7, 2) + (- 1, 2) = (6, 4) = 2 \vec{u} .

這裡沒有把兩個地點直接相加。參與運算的是明確給定的向量；把它們畫成位置向量，只是為了方便看出結果的終點。

五、走進空間：多一個分量，不必重造一套運算

平面向量記錄兩個坐標的改變量；空間向量記錄三個。

若

A = (a_{1}, a_{2}, a_{3}), B = (b_{1}, b_{2}, b_{3}),

則

\vec{A B} = (b_{1} - a_{1}, b_{2} - a_{2}, b_{3} - a_{3}) .

加減與係數積仍然逐分量進行：

\begin{aligned} (u_{1}, u_{2}, u_{3}) + (v_{1}, v_{2}, v_{3}) & = (u_{1} + v_{1}, u_{2} + v_{2}, u_{3} + v_{3}), \\ (u_{1}, u_{2}, u_{3}) - (v_{1}, v_{2}, v_{3}) & = (u_{1} - v_{1}, u_{2} - v_{2}, u_{3} - v_{3}), \\ λ (u_{1}, u_{2}, u_{3}) & = (λ u_{1}, λ u_{2}, λ u_{3}) . \end{aligned}

三維向量可以用有方向的空間線段表示；運算是平面情況的逐分量延伸。空間中的零向量則寫成 $(0, 0, 0)$ ，同樣不指定方向。OpenStax

先把位置轉成三個改變量

取

A = (1, 2, - 1), B = (4, 0, 5) .

得到

\vec{a} = \vec{A B} = (4 - 1, 0 - 2, 5 - (- 1)) = (3, - 2, 6) .

若將同一個向量移到

C = (- 2, 1, 0),

新終點必須是

D = (- 2 + 3, 1 - 2, 0 + 6) = (1, - 1, 6) .

回查：

\vec{C D} = (1 - (- 2), - 1 - 1, 6 - 0) = (3, - 2, 6) .

不能只換始點，卻仍把舊終點 $B = (4, 0, 5)$ 當成向量分量。三維情況與平面完全一樣：終點坐標只有在始點是原點時，才直接等於該箭頭的分量。

空間中兩支箭頭起點不同，但位移都為（3，負2，6），表示同一自由向量。 — $\vec{O U}$ 與 $\vec{A B}$ 的分量相同。箭頭可以整支平移，不因始點不同而改變向量。

分別完成一項指定運算

另給

\vec{b} = (- 1, 3, 2) .

若指定求和，則

\vec{a} + \vec{b} = (3 - 1, - 2 + 3, 6 + 2) = (2, 1, 8) .

把 $\vec{b}$ 接在 $B = (4, 0, 5)$ 之後，會到達

E = (4 - 1, 0 + 3, 5 + 2) = (3, 3, 7) .

因此

\vec{A E} = (3 - 1, 3 - 2, 7 - (- 1)) = (2, 1, 8),

與分量運算一致。

若指定求差，則

\vec{a} - \vec{b} = (3 - (- 1), - 2 - 3, 6 - 2) = (4, - 5, 4) .

加回 $\vec{b}$ 後，

(4, - 5, 4) + (- 1, 3, 2) = (3, - 2, 6) = \vec{a} .

若指定求係數積，則

- \frac{1}{2} \vec{a} = (- \frac{3}{2}, 1, - 3) .

將結果乘以 $- 2$ ，便回到 $\vec{a}$ 。這三個問題各自只是在完成一項已指定的運算，沒有新增不同的三維規則。

三個空間向量的已知係數組合

給定

\vec{p} = (1, 2, 0), \vec{q} = (- 1, 1, 2), \vec{r} = (0, - 1, 1),

求

2 \vec{p} - \vec{q} + 3 \vec{r} .

先分別計算：

2 \vec{p} = (2, 4, 0), - \vec{q} = (1, - 1, - 2), 3 \vec{r} = (0, - 3, 3) .

相加得到

\begin{aligned} 2 \vec{p} - \vec{q} + 3 \vec{r} & = (2 + 1 + 0, 4 - 1 - 3, 0 - 2 + 3) \\ = (3, 0, 1) . \end{aligned}

第二個分量為 0，不表示每一段都沒有第二個方向的變化，而是這些變化剛好抵消。

用頭尾相接法回查，三段依序是

(0, 0, 0) ⟶ (2, 4, 0) ⟶ (3, 3, - 2) ⟶ (3, 0, 1) .

相鄰端點相減，依序得到

(2, 4, 0), (1, - 1, - 2), (0, - 3, 3),

正好是 $2 \vec{p}, - \vec{q}, 3 \vec{r}$ 。最後由原點指向 $(3, 0, 1)$ 的箭頭，就是組合結果。

係數 2、 $- 1$ 、3 都已經給定；本例沒有在尋找未知係數。

空間向量 2p、負 q、3r 首尾接續，合向量 2p 減 q 加 3r 從原點指向（3，0，1）。 — 三段逐分量相加為 $(3, 0, 1)$ 。第二個分量等於 0，是 $4 - 1 - 3 = 0$ 的抵消結果，不是每段都沒有這個方向的變化。

六、向量的長度，為什麼要「平方相加再開根號」？

分量保存各個方向的改變量；長度則只問整支箭頭有多長。

我們用

‖ \vec{u} ‖

表示向量 $\vec{u}$ 的長度，也稱為這裡的向量範數。它是一個非負實數，不是另一個向量。

課程手冊與課本常把長度寫成 $| \vec{u} |$ ，與這裡的 $‖ \vec{u} ‖$ 意思相同。本篇用雙線，是為了和實數的絕對值分開：長度作用在向量上，結果是非負實數；不能把分量逐一取絕對值，當成長度。

平面：一次畢氏定理

若

\vec{u} = (u_{1}, u_{2}),

將它移到原點。當 $u_{1}, u_{2}$ 都不為 0 時，水平與鉛直的改變量形成一個直角三角形的兩股，其長度分別是 $| u_{1} |$ 、 $| u_{2} |$ 。

因此

{‖ \vec{u} ‖}^{2} = u_{1}^{2} + u_{2}^{2},

而長度必須取非負值，所以

‖ \vec{u} ‖ = \sqrt{u_{1}^{2} + u_{2}^{2}} .

若其中一個分量為 0，箭頭落在坐標軸上，長度就是另一個分量的絕對值；若兩個分量都為 0，長度就是 0。這些情況仍符合上面的公式，只是不再形成真正的直角三角形。

例如

\vec{u} = (3, 2)

的長度為

‖ \vec{u} ‖ = \sqrt{3^{2} + 2^{2}} = \sqrt{13} .

分量 3、2 記錄的是兩個互相垂直方向的改變；直接相加 $3 + 2 = 5$ ，得到的是沿這兩個方向分段走的長度，不是斜向箭頭的長度。

空間：接續使用兩次畢氏定理

若

\vec{a} = (a_{1}, a_{2}, a_{3}),

先看前兩個方向合成的長度：

h = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}} .

這段位於水平坐標平面內。當 $h \neq 0$ 、 $a_{3} \neq 0$ 時，它再與第三個方向的垂直改變量組成直角三角形，因此

{‖ \vec{a} ‖}^{2} = h^{2} + a_{3}^{2} = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} .

所以

‖ \vec{a} ‖ = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}} .

若 $h = 0$ ，向量只沿第三個坐標軸，長度為 $| a_{3} |$ ；若 $a_{3} = 0$ ，長度就是 $h$ ；兩者都為 0 時，長度為 0。公式在這些退化情況下仍然成立。

這就是空間向量的長度公式。OpenStax

對前例的

\vec{a} = (3, - 2, 6),

有

‖ \vec{a} ‖ = \sqrt{3^{2} + {(- 2)}^{2} + 6^{2}} = \sqrt{9 + 4 + 36} = 7 .

空間向量的水平直角分量長度為 3 與 2，合成長度根號13；再與垂直分量長度 6 合成長度 7。 — 先由兩個垂直方向的長度 $3, 2$ 得到 $\sqrt{13}$ ，再與第三方向的長度 6 合成為 7；投影圖不能直接拿尺量空間長度。

回查平方和：

7^{2} = 49 = 9 + 4 + 36 .

答案不是 $\pm 7$ 。方程式 $t^{2} = 49$ 有兩個實數解，但「向量長度」要求非負， $\sqrt{49}$ 本身也只表示 7。

答案更不是 $(3, 2, 6)$ 。把負分量改成正分量，仍然得到三個數組成的向量，不是長度。

由平方和也可以看出：向量長度為 0，當且僅當每個分量都為 0，也就是該向量為零向量。 因為每個平方都非負，只要有一個分量不為 0，平方和就會大於 0。

係數的負號改變方向，不會製造負長度

以平面情況為例，

\begin{aligned} ‖ λ \vec{u} ‖ & = \sqrt{{(λ u_{1})}^{2} + {(λ u_{2})}^{2}} \\ = \sqrt{λ^{2} (u_{1}^{2} + u_{2}^{2})} \\ = | λ | ‖ \vec{u} ‖ . \end{aligned}

因此

‖ λ \vec{u} ‖ = | λ | ‖ \vec{u} ‖ .

空間情況同理。這個等式也包含 $λ = 0$ 或 $\vec{u} = \vec{0}$ 的情況。

例如

‖ - 2 \vec{u} ‖ = 2 \sqrt{13},

不是 $- 2 \sqrt{13}$ 。負號留在方向的改變中；取長度時，只剩縮放倍數的絕對值。

七、為什麼向量相加，長度卻通常不能直接相加？

向量加法保留方向，長度則捨去了方向。這兩種運算不能任意交換順序。

取

\vec{u} = (3, 0), \vec{v} = (0, 4) .

先相加再取長度：

‖ \vec{u} + \vec{v} ‖ = ‖ (3, 4) ‖ = 5 .

先各自取長度再相加：

‖ \vec{u} ‖ + ‖ \vec{v} ‖ = 3 + 4 = 7 .

兩者回答不同的問題：前者是起點到終點的直線距離；後者是沿兩段箭頭前進的總長度。

三角不等式把兩者的關係固定下來

將 $\vec{u}$ 與 $\vec{v}$ 頭尾相接。若兩個非零向量不平行，兩段箭頭及合向量所對應的線段，就形成一個非退化三角形。

由三角形的兩邊長之和大於第三邊，可得

‖ \vec{u} + \vec{v} ‖ < ‖ \vec{u} ‖ + ‖ \vec{v} ‖ .

這項幾何性質在《幾何原本》第一卷命題 20 中已有表述；此處是把三邊關係連到向量的頭尾相接表示。Clark University

再把同向、反向及零向量的情況納入，就得到

‖ \vec{u} + \vec{v} ‖ \leq ‖ \vec{u} ‖ + ‖ \vec{v} ‖ .

這稱為向量的三角不等式。

等號不是「只要平行就成立」

兩個非零向量同向時，第二段接在第一段後面，持續朝同一方向前進，沒有折轉或折返。因此合向量長度等於兩段長度相加。

兩個非零向量反向時，第二段會抵消第一段的一部分或全部。若兩段長度分別是正數 $a, b$ ，淨位移長度是 $| a - b |$ ，小於 $a + b$ ，所以不能達到上述上界等號。

若其中一個是零向量，則它不增加位移，也不增加長度，等號仍然成立。

因此完整條件是：

\begin{array}{l} ‖ \vec{u} + \vec{v} ‖ = ‖ \vec{u} ‖ + ‖ \vec{v} ‖ \\ 當且僅當兩者皆非零且同向， \\ 或至少一者為零向量。 \end{array}

可以用四個例子核對：

向量情況	$\vec{u}$	$\vec{v}$	合向量長度	兩長度之和	判定
不平行	$(3, 0)$	$(0, 4)$	$5$	$7$	嚴格小於
非零且同向	$(3, 0)$	$(2, 0)$	$5$	$5$	等號成立
非零且反向	$(3, 0)$	$(- 2, 0)$	$1$	$5$	嚴格小於
含零向量	$(3, 0)$	$(0, 0)$	$3$	$3$	等號成立

互相垂直的向量 u 為（3，0）、v 為（0，4），和向量長度 5，小於兩向量長度和 7。 — 同向的非零向量或含零向量時取得上界等號；非零反向向量雖然平行，仍有抵消，不能取得上界等號。

同向向量 u 為（3，0）、v 為（2，0），和向量為（5，0），長度等於 3 加 2。 — 同向的非零向量或含零向量時取得上界等號；非零反向向量雖然平行，仍有抵消，不能取得上界等號。

反向而且等長時，會完全抵消。例如

(3, 0) + (- 3, 0) = (0, 0),

但兩段長度之和仍是 6，所以比較結果是

0 < 6,

不是等號。相反地，若兩個向量都是零向量，左右兩側都是 0，等號成立。

在空間中，仍然是同一個道理

兩個非零空間向量頭尾相接後，若不平行，起點、中間點與終點這三點會決定一個平面。雖然整個情境位於三維空間，這兩段及合向量仍可放在同一個三角形中比較。

例如

\vec{u} = (1, 0, 0), \vec{v} = (0, 2, 2),

則

‖ \vec{u} + \vec{v} ‖ = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3,

而

‖ \vec{u} ‖ + ‖ \vec{v} ‖ = 1 + \sqrt{8} = 1 + 2 \sqrt{2} > 3 .

因為 $2 \sqrt{2} > 2$ ，最後一個比較也可以直接確認。

實數情況則可以看成所有箭頭都限制在同一條坐標軸上。令

\vec{u} = (a, 0), \vec{v} = (b, 0),

便得到

| a + b | \leq | a | + | b | .

上界等號成立於 $a, b$ 都非零且同號，或至少一個為 0。

這是在判斷恆成立的界，不是在找未知數範圍

三角不等式說的是：對任意給定的這類向量，上述不等關係都成立。

當題目給出兩個向量，要比較左右兩側時，可以計算長度，並以方向關係判斷等號；不是先把它改造成「哪些參數可以讓不等式成立」的求解問題。

「不等式普遍成立」與「等號是否成立」也必須分開。兩個非零反向向量仍然符合三角不等式，但必定不能取得上界等號。

八、這套表示當時改變了什麼，又沒有改變什麼？

到這裡，可以用已經完成的推理，看出向量表示的實質作用。

原本一張圖上的操作，現在可以寫成

α \vec{u} + β \vec{v};

需要計算時，就展開成相應分量；要理解結果時，又能回到箭頭與終點。換一個出發位置，不需要重新建立運算規則；從平面進入空間，也不必為每種圖形重造算法。

這種由幾何意義與代數操作互相支援的安排，確實進入了當時的教學。Gibbs 在 1901 年的序文中說明，他於 1881—1884 年印行的向量分析短冊曾在相關人士間流傳，後來希望有更完整、可公開取得的教材。Wilson 因而依其課程編成《Vector Analysis》，並在序文記載 Gibbs 已在電與磁、光的電磁理論課程中使用這套方法。網際網路檔案館（Internet Archive）

這是可以核對的整理、教學與傳播節點，不表示向量在 1901 年才被突然發明。Macfarlane 在 1905 年底所寫的序文，仍指出當時符號存在多樣性，相關表示法之間的關係也仍在討論。Project Gutenberg

同樣不能從這段歷史倒推出：只學本篇的加減與係數積，就已經能處理所有相關科學問題。完整理論還需要其他運算、假設與知識。

本篇真正建立的是一個可延伸的起點：先把方向與大小保存在量裡，再決定哪些運算符合所研究的問題。

九、今天的具體連結：螢幕上的位置，不等於還要移動多少

向量的這項區分，今天仍直接出現在電腦圖形與互動程式中。Unity 官方文件以兩個物件的位置相減，取得從其中一個物件指向另一個物件的向量；其長度則對應兩位置之間的直線距離。Unity 官方文件

以下是一個自設的虛擬展館情境，不是特定產品的實測案例。這裡使用的是虛擬場景中的三維位置，不是螢幕像素坐標。

假設場景使用互相垂直、尺度一致的三條坐標軸，並約定一個長度單位代表一公尺。導覽標記目前位於

A = (1, 2, - 1),

目的地位於

B = (4, 0, 5) .

正確的移動向量是

\vec{A B} = (3, - 2, 6),

而不是目的地坐標 $(4, 0, 5)$ 。

按照正確位移更新各坐標：

(1 + 3, 2 - 2, - 1 + 6) = (4, 0, 5),

確實到達目的地。

若誤把 $(4, 0, 5)$ 當成「還要移動的量」，則會移到

(1 + 4, 2 + 0, - 1 + 5) = (5, 2, 4),

位置就錯了。這不是程式語言特有的陷阱，而是混淆了點與位移。

這兩點的直線距離為

\sqrt{3^{2} + {(- 2)}^{2} + 6^{2}} = 7 公尺 .

但這裡還有兩個模型限制。

首先，兩組位置必須採用同一坐標空間，不能把一個物件的世界位置，和另一物件相對於其父物件的位置直接混用。Unity 的距離函式文件也明確要求兩個位置屬於同一坐標空間，並說明所得距離是非負數。Unity 官方文件

其次，7 公尺只是直線距離，不保證真的有一條可通行的直線路徑。假如必須繞過牆面，改沿兩條可通行的直線段前進，兩段位移分別為 $\vec{u}, \vec{v}$ ，且

\vec{u} + \vec{v} = \vec{A B},

那麼必有

7 = ‖ \vec{A B} ‖ \leq ‖ \vec{u} ‖ + ‖ \vec{v} ‖ .

這裡把每段路徑限定為直線段，兩段路程才分別等於 $‖ \vec{u} ‖$ 、 $‖ \vec{v} ‖$ 。

向量算出了淨位移；三角不等式提供路程的下界。但哪裡有障礙物、哪些路徑能走，仍需要另外提供資訊。

回看整篇，向量帶來的不是把方向省略，而是讓方向也能參與計算。分量使計算可操作，自由向量使同一個改變量可以移到不同始點，線性組合使多段縮放與合成能統一處理；長度則在需要比較大小時，把方向資訊收束成一個非負數。

也正因為取長度會捨去方向，我們才必須始終分清：

向量的合成 與 長度的相加

不是同一件事。