練習：解讀地震規模等對數尺度
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共 18 題，分六組，每組 3 題。所有情境都是教學假設，數字為假想；每一題都把所用的公式和 c 寫在題目裡，請以題目為準。不需要計算機或對數表，每一題的倍數與尺度差都能化成整數次方。
怎麼用：先自己做，做完再核對。卡住時，提示一層一層打開：L1、L2 只指方向，L3 說出方法，L4 幾乎完整，L5 是完整解答。用到 L3 以上才做對的題目，只算練習，還不算獨立完成 ；隔一段時間後，請不看提示重做原題。每題最後的「常見錯法與補救」可以做完再看。
題組 診斷：先看看你現在會多少
第 1 題診斷
（假想的教學情境，數字為假想。）某簡化模型使用公式：規模 M = log₁₀(A/A₀)，其中 A 是地震儀記錄到的最大振幅，A₀ 是固定的基準振幅，c = 1（教學簡化版，不含距離修正）。甲地震的規模是 1.8，乙地震的規模是 8.8。乙地震的最大振幅是甲地震的幾倍？
提示（L1 到 L5，需要時再一層一層打開）
L1 方向 題目問的是「振幅」的倍數，不是規模數字的倍數。先想一想：規模和振幅之間，隔著哪一種運算？
L2 方向 兩個地震用的是同一個公式。把兩個規模相減，公式裡固定不變的基準振幅 A₀ 會怎麼樣？
L3 方法 方法：M乙 − M甲 = c·log₁₀(A乙/A甲)（用商的對數律，A₀ 約掉）。先求規模差，再除以 c 得到 log₁₀(倍數)，最後把對數式改寫成 10 的次方。
L4 近乎完整 規模差 = 8.8 − 1.8 = 7，c = 1，所以 log₁₀(A乙/A甲) = 7 ÷ 1。接下來請自己把這個對數式改寫成 10 的次方、算出倍數，並用「c × 指數」代回檢查是否等於規模差。
L5 完整解答 尺度值：M乙 = 8.8，M甲 = 1.8。7 （10,000,000，一千萬）。7 ) = 1 × 7 = 7，等於規模差。
常見錯法與補救（做完或卡住再看） 下面是這一題可能出現的錯誤寫法（每一種都實際算過，結果與正確答案不同）：
把兩個規模相除：8.8 ÷ 1.8 ≈ 4.89，答「約 4.9 倍」。規模是對數尺度上的讀數，讀數的比值不是振幅的比值。
把規模差當成倍數：答「7 倍」。規模差是 log 的值，要還原成 10 的次方才是倍數。
把規模差當成增加的百分率：答「增加 700%」，也就是變成 8 倍。尺度差不是百分率，每一格是「乘以 10」，不是「加上一個百分比」。
補救：回到課文，把「尺度差 → ÷ c → 10 的次方 → 代回檢查」每一步各寫一行，再重算原題。
回到課文：尺度公式與每個字母 、為什麼可以先相減 、尺度差不是原量的差
第 2 題診斷
（假想的教學情境，數字為假想。）另一個簡化模型使用公式：規模 M = (2/3)·log₁₀(E/E₀)，其中 E 是釋放的能量，E₀ 是固定的基準能量，c = 2/3（教學簡化版）。丙地震的規模是 3.5，丁地震的規模是 9.5。丁地震釋放的能量是丙地震的幾倍？
提示（L1 到 L5，需要時再一層一層打開）
L1 方向 先看這一題的公式，跟上一題比一比：哪裡不一樣了？這個不一樣的地方會影響哪一步？
L2 方向 規模差仍然先求。想一想：係數 c 是把「log 值」乘上去變成規模差的，要從規模差回到 log 值，該乘還是該除？
L3 方法 方法：ΔM = c·log₁₀(E丁/E丙)，所以 log₁₀(E丁/E丙) = ΔM ÷ c。除以分數時，改成乘它的倒數。
L4 近乎完整 規模差 = 9.5 − 3.5 = 6，c = 2/3，所以 log₁₀(E丁/E丙) = 6 ÷ (2/3) = 6 × (3/2)。請自己算出這個指數，再改寫成 10 的次方並代回檢查。
L5 完整解答 尺度值：M丁 = 9.5，M丙 = 3.5。9 （1,000,000,000，十億）。
常見錯法與補救（做完或卡住再看） 下面是這一題可能出現的錯誤寫法（每一種都實際算過，結果與正確答案不同）：
忘了 c，當成 c = 1：log₁₀(倍數) = 6，答 106 （一百萬倍）。這一題的 c 是 2/3，每個規模差對應的 log 值是 6 ÷ (2/3)，不是 6。
把 c 乘上去而不是除掉：6 × (2/3) = 4，答 104 （一萬倍）。c 是「log 值乘上去得到規模差」的係數，反過來要除。
把規模相除：9.5 ÷ 3.5 ≈ 2.71 倍。規模是尺度上的讀數，不能直接相除。
補救：回到課文，把「尺度差 → ÷ c → 10 的次方 → 代回檢查」每一步各寫一行，再重算原題。
回到課文：尺度公式與每個字母 、兩個方向的換算 、c 不同，倍數就不同
第 3 題診斷
（假想的教學情境，數字為假想。）使用公式：強度級 L = 10·log₁₀(I/I₀)（單位 dB），其中 I 是聲音強度，I₀ 是固定的基準強度，c = 10。聲音 B 的強度是聲音 A 的 109 倍（十億倍）。聲音 B 的強度級比聲音 A 高幾 dB？
提示（L1 到 L5，需要時再一層一層打開）
L1 方向 這一題的方向跟前兩題相反：已知的是「倍數」，要求的是「尺度差」。先想：倍數要先經過哪一個運算，才能變成可以乘 c 的數？
L2 方向 10 的幾次方取 log₁₀，就剩下那個次方。先把倍數的 log₁₀ 寫出來。
L3 方法 方法：ΔL = c·log₁₀(I_B/I_A)。先算 log₁₀(倍數)，再乘 c。
L4 近乎完整 log₁₀(10 的 9 次方) = 9，c = 10。最後一步是把這兩個數相乘，並寫上單位 dB。
L5 完整解答 尺度值：題目只給倍數，不給兩個讀數。9 ) = 10 × 9。9 正好還原。
常見錯法與補救（做完或卡住再看） 下面是這一題可能出現的錯誤寫法（每一種都實際算過，結果與正確答案不同）：
忘了乘 c：只寫 log₁₀(109 ) = 9，答「9 dB」。dB 是 c = 10 的尺度，要乘 10。
把倍數當成 dB 差：答「109 dB」（十億 dB）。倍數要先取 log₁₀ 才是尺度上的量。
把 c 除而不是乘：9 ÷ 10 = 0.9，答「0.9 dB」。從倍數到尺度差，是乘 c。
補救：回到課文，把「倍數 → 取 log₁₀ → × c → 代回檢查」每一步各寫一行，再重算原題。
回到課文：兩個方向的換算 、c 不同，倍數就不同
練習一：由尺度差求原量的倍數
第 4 題練習一
（假想的教學情境，數字為假想。）使用公式：規模 M = log₁₀(A/A₀)，其中 A 是地震儀記錄到的最大振幅，A₀ 是固定的基準振幅，c = 1（教學簡化版，不含距離修正）。一次大地震的規模是 9.1，另一次微小地震的規模是 1.1。微小地震的最大振幅是大地震的幾倍？
提示（L1 到 L5，需要時再一層一層打開）
L1 方向 先決定誰是「分子」：題目問的是「微小地震的振幅 ÷ 大地震的振幅」。規模差的相減順序要跟這個順序一致。
L2 方向 規模差 = 後者減前者。這一題的倍數是微小地震比大地震，所以微小地震的規模寫在被減數。
L3 方法 方法：ΔM = M微 − M大 = c·log₁₀(A微/A大)。差可以是負數，負的 log 值代表倍數小於 1。
L4 近乎完整 ΔM = 1.1 − 9.1 = −8，c = 1，所以 log₁₀(A微/A大) = −8。請自己寫出 10 的負次方，再改成分數。
L5 完整解答 尺度值：M微 = 1.1，M大 = 9.1。−8 （1/100,000,000，一億分之一）。
常見錯法與補救（做完或卡住再看） 下面是這一題可能出現的錯誤寫法（每一種都實際算過，結果與正確答案不同）：
把規模相除：1.1 ÷ 9.1 ≈ 0.12，答「約 0.12 倍」。規模讀數的比值沒有意義。
把差當倍數，答「−8 倍」。振幅的倍數一定是正數，−8 是 log 值，要還原成 10 的負 8 次方。
相減順序顛倒（大 − 微 = 8），答 108 （一億倍）。這個答案其實是「大地震是微小地震的倍數」，與題目問的方向相反。
補救：回到課文，把「尺度差 → ÷ c → 10 的次方 → 代回檢查」每一步各寫一行，再重算原題。
回到課文：為什麼可以先相減 、順序與正負 、尺度差不是原量的差
第 5 題練習一
（假想的教學情境，數字為假想。）使用公式：規模 M = (2/3)·log₁₀(E/E₀)，其中 E 是釋放的能量，E₀ 是固定的基準能量，c = 2/3（教學簡化版）。甲地震的規模是 1.6，乙地震的規模是 9.6。乙地震釋放的能量是甲地震的幾倍？
提示（L1 到 L5，需要時再一層一層打開）
L1 方向 題目給的是兩個規模讀數，要的是能量的倍數。先想：要用哪個公式把規模和能量接起來？c 是多少？
L2 方向 先求規模差，再想：c = 2/3 要用在「乘」還是「除」？
L3 方法 方法：ΔM = c·log₁₀(E乙/E甲)，所以 log₁₀(E乙/E甲) = ΔM ÷ (2/3)。
L4 近乎完整 ΔM = 9.6 − 1.6 = 8。8 ÷ (2/3) = 8 × (3/2)，請算出這個指數，再改寫成 10 的次方。
L5 完整解答 尺度值：M乙 = 9.6，M甲 = 1.6。12 （1,000,000,000,000，一兆）。
常見錯法與補救（做完或卡住再看） 下面是這一題可能出現的錯誤寫法（每一種都實際算過，結果與正確答案不同）：
把規模相除：9.6 ÷ 1.6 = 6，答「6 倍」。這個比值剛好是整數，容易讓人以為對，但規模的比值不是能量的比值。
忘了 c（當成 c = 1）：答 108 （一億倍）。這一題的 c 是 2/3，指數是 8 ÷ (2/3)，不是 8。
把 c 乘上去：8 × (2/3) = 16/3，答 1016/3 。c 要除，不是乘。
補救：回到課文，把「尺度差 → ÷ c → 10 的次方 → 代回檢查」每一步各寫一行，再重算原題。
回到課文：c 不同，倍數就不同 、兩個方向的換算 、尺度差不是原量的差
第 6 題練習一
（假想的教學情境，數字為假想。）使用公式：聲壓級 L = 20·log₁₀(p/p₀)（單位 dB），其中 p 是聲壓，p₀ 是固定的基準聲壓，c = 20。近處的雷聲約 120 dB，耳語約 20 dB（皆為假想的近似值）。雷聲的聲壓是耳語聲壓的幾倍？
提示（L1 到 L5，需要時再一層一層打開）
L1 方向 題目給的是兩個 dB 讀數，要的是聲壓的倍數。先找出這一題的公式與 c。
L2 方向 這一題的 c 不是 10。想一想：先求 dB 差，再除以哪一個數？
L3 方法 方法：ΔL = c·log₁₀(p雷/p耳)，所以 log₁₀(p雷/p耳) = ΔL ÷ 20。
L4 近乎完整 ΔL = 120 − 20 = 100 dB。100 ÷ 20 就是 log₁₀ 的值，請算出來，再改寫成 10 的次方。
L5 完整解答 尺度值：L雷 = 120 dB，L耳 = 20 dB。5 （100,000，十萬）。
常見錯法與補救（做完或卡住再看） 下面是這一題可能出現的錯誤寫法（每一種都實際算過，結果與正確答案不同）：
把 120 ÷ 20 = 6，答「6 倍」。dB 讀數的比值沒有意義。
套用強度級的 c = 10：100 ÷ 10 = 10，答 1010 。聲壓級的 c 是 20。
忘了除以 c：答 10100 。dB 差 100 要先除以 c 才是 log₁₀ 的值。
補救：回到課文，把「尺度差 → ÷ c → 10 的次方 → 代回檢查」每一步各寫一行，再重算原題。
回到課文：尺度公式與每個字母 、c 不同，倍數就不同 、兩個方向的換算
練習二：由倍數求尺度差
第 7 題練習二
（假想的教學情境，數字為假想。）使用公式：規模 M = log₁₀(A/A₀)，其中 A 是地震儀記錄到的最大振幅，A₀ 是固定的基準振幅，c = 1（教學簡化版，不含距離修正）。乙地震的最大振幅是甲地震的 100000 倍（十萬倍）。乙地震的規模比甲地震大幾？
提示（L1 到 L5，需要時再一層一層打開）
L1 方向 已知倍數，要求規模差。先想：倍數要經過什麼運算，才能變成規模差？
L2 方向 100000 可以寫成 10 的幾次方？把這個次方找出來。
L3 方法 方法：ΔM = c·log₁₀(A乙/A甲)。把 100000 寫成 10 的次方（1 後面有幾個 0，指數就是那個個數），取 log₁₀ 就得到那個次方。
L4 近乎完整 先寫出 log₁₀(100000) 的值，再乘上 c = 1，最後用一句話說出規模差的意思（誰比誰大多少）。
L5 完整解答 關係：ΔM = c·log₁₀(A乙/A甲) = 1 × log₁₀(100000)。5 ，所以 log₁₀(100000) = 5。5 = 100000。
常見錯法與補救（做完或卡住再看） 下面是這一題可能出現的錯誤寫法（每一種都實際算過，結果與正確答案不同）：
數位數：100000 有 6 位，所以答「6」。100000 是 10 的 5 次方；1 後面有 5 個 0，指數是 0 的個數，不是位數。
把倍數當規模差：答「100000」。倍數要先取 log₁₀。
用除法：100000 ÷ 10 = 10000，答「10000」。倍數與規模差之間不是除以 10，而是取 log₁₀ 再乘 c。
補救：回到課文，把「倍數 → 取 log₁₀ → × c → 代回檢查」每一步各寫一行，再重算原題。
回到課文：兩個方向的換算 、尺度差不是原量的差
第 8 題練習二
（假想的教學情境，數字為假想。）使用公式：規模 M = (2/3)·log₁₀(E/E₀)，其中 E 是釋放的能量，E₀ 是固定的基準能量，c = 2/3（教學簡化版）。丙地震釋放的能量是丁地震的 106 倍（一百萬倍）。丙地震的規模比丁地震大幾？
提示（L1 到 L5，需要時再一層一層打開）
L1 方向 已知能量的倍數，要求規模差。先找出這一題的 c。
L2 方向 倍數先取 log₁₀，得到 10 的次方。再想：c 要乘還是除？
L3 方法 方法：ΔM = c·log₁₀(E丙/E丁)。先算 log₁₀ 的值，再乘 c = 2/3。
L4 近乎完整 log₁₀(10 的 6 次方) = 6。最後一步：6 × (2/3)。
L5 完整解答 關係：ΔM = (2/3)·log₁₀(E丙/E丁) = (2/3) × log₁₀(106 ) = (2/3) × 6。6 。
常見錯法與補救（做完或卡住再看） 下面是這一題可能出現的錯誤寫法（每一種都實際算過，結果與正確答案不同）：
忘了 c（當成 c = 1）：答「6」。這一題的 c 是 2/3。
把 c 除而不是乘：6 ÷ (2/3) = 9，答「9」。從倍數到規模差是乘 c。
把倍數當規模差：答「106 」。倍數要先取 log₁₀。
補救：回到課文，把「倍數 → 取 log₁₀ → × c → 代回檢查」每一步各寫一行，再重算原題。
回到課文：c 不同，倍數就不同 、兩個方向的換算
第 9 題練習二
（假想的教學情境，數字為假想。）使用公式：強度級 L = 10·log₁₀(I/I₀)（單位 dB），其中 I 是聲音強度，I₀ 是固定的基準強度，c = 10。某處的聲音強度變成原來的十萬分之一（10−5 倍）。這處的強度級改變了幾 dB？（請用正負號表示增加或減少。）
提示（L1 到 L5，需要時再一層一層打開）
L1 方向 已知的是強度的倍數（這次小於 1），要求的是強度級的改變量。先想：倍數要先經過哪一個運算，才能乘 c？
L2 方向 倍數已經寫成 10 的次方，取 log₁₀ 就剩下那個次方。想一想：倍數小於 1 的時候，log₁₀ 的值是正的還是負的？
L3 方法 方法：ΔL = c·log₁₀(倍數)。先算 log₁₀(倍數)，再乘 c = 10，最後依正負號說明強度級是上升還是下降。
L4 近乎完整 log₁₀(10−5 ) = −5，c = 10。最後一步是把這兩個數相乘，寫上單位 dB 和正負號，並用一句話說出強度級是上升還是下降。
L5 完整解答 關係：ΔL = c·log₁₀(倍數) = 10 × log₁₀(10−5 )。−5 ) = −5。−5 正好是十萬分之一。
常見錯法與補救（做完或卡住再看） 下面是這一題可能出現的錯誤寫法（每一種都實際算過，結果與正確答案不同）：
忘了乘 c：只寫 log₁₀(10−5 ) = −5，答「−5 dB」。dB 是 c = 10 的尺度，要乘 10。
把負號弄丟：答「增加 50 dB」。強度變小，log 值是負的，強度級是下降。
把 c 除而不是乘：−5 ÷ 10 = −0.5，答「−0.5 dB」。從倍數到尺度差，是乘 c。
補救：回到課文，把「倍數 → 取 log₁₀ → × c → 代回檢查」每一步各寫一行，再重算原題。
回到課文：兩個方向的換算 、順序與正負
補救一：別把尺度差當成原量的差
第 10 題補救一
（假想的教學情境，數字為假想。）使用公式：規模 M = log₁₀(A/A₀)，其中 A 是地震儀記錄到的最大振幅，A₀ 是固定的基準振幅，c = 1（教學簡化版，不含距離修正）。甲地震規模 2.0，乙地震規模 8.0。兩位同學各寫了一種算法（假想的作答）：
提示（L1 到 L5，需要時再一層一層打開）
L1 方向 兩位同學都直接拿規模數字去算（一個相減、一個相除）。先問自己：規模 8.0 這個數字，代表的是振幅本身，還是振幅經過某個運算後的結果？
L2 方向 公式是 M = log₁₀(A/A₀)。規模是「log」，振幅在 log 裡面。對 log 的值相減，代表的是裡面的什麼？
L3 方法 方法：把兩個規模相減，用商的對數律，得 M乙 − M甲 = c·log₁₀(A乙/A甲)。所以「相減」得到的是 log 值，不是振幅本身。
L4 近乎完整 M乙 − M甲 = 8 − 2 = 6，c = 1，所以 log₁₀(A乙/A甲) = 6。請自己還原成倍數，再回頭說明兩位同學的 6 與 4 各是什麼。
L5 完整解答 差：ΔM = 6，log₁₀(A乙/A甲) = 6 ÷ 1 = 6，所以 A乙/A甲 = 106 （1,000,000，一百萬）。
常見錯法與補救（做完或卡住再看） 下面是這一題可能出現的錯誤寫法（每一種都實際算過，結果與正確答案不同）：
把規模差 6 當成增加 6%：振幅變成 1.06 倍。規模差是 log 值，不是百分率。
把 6 乘以 10 當成倍數：6 × 10 = 60，答「60 倍」。規模每多 1 是乘以 10，多 6 是連乘 6 次 10，也就是 10 的 6 次方，不是 6 × 10。
補救：回到課文，把「尺度差 → ÷ c → 10 的次方 → 代回檢查」每一步各寫一行，再重算原題。
回到課文：尺度差不是原量的差 、為什麼可以先相減
第 11 題補救一
（假想的教學情境，數字為假想。）使用公式：強度級 L = 10·log₁₀(I/I₀)（單位 dB），其中 I 是聲音強度，I₀ 是固定的基準強度，c = 10。施工中的工地約 105 dB，圖書館約 25 dB（皆為假想近似值）。兩位同學各寫了一種算法（假想的作答）：
提示（L1 到 L5，需要時再一層一層打開）
L1 方向 兩位同學都直接拿 dB 數字去算。先想：dB 是強度的本身，還是強度經過運算後的讀數？
L2 方向 L = 10·log₁₀(I/I₀)。dB 的讀數相減，得到的是 log 的哪一部分？
L3 方法 方法：L工 − L圖 = c·log₁₀(I工/I圖)，所以 log₁₀(I工/I圖) = (L工 − L圖) ÷ c。dB 差不是強度差，也不是強度的倍數。
L4 近乎完整 L工 − L圖 = 105 − 25 = 80 dB，c = 10，所以 log₁₀(I工/I圖) = 80 ÷ 10。請自己還原成倍數，再回頭說明 80 與 4.2 各是什麼。
L5 完整解答 差：ΔL = 80 dB。8 （100,000,000，一億）。
常見錯法與補救（做完或卡住再看） 下面是這一題可能出現的錯誤寫法（每一種都實際算過，結果與正確答案不同）：
忘了除以 c：直接寫 1080 。dB 差 80 要先除以 c = 10，指數才是 8。
把 ΔL ÷ c = 8 當成「8 倍」：沒有取 10 的次方。8 是 log 值，不是倍數。
補救：回到課文，把「尺度差 → ÷ c → 10 的次方 → 代回檢查」每一步各寫一行，再重算原題。
回到課文：尺度差不是原量的差 、c 不同，倍數就不同
第 12 題補救一
（假想的教學情境，數字為假想。）某虛構的「水質濁度指數」定義為 S = 5·log₁₀(Q/Q₀)（c = 5），Q 是水中懸浮物的量，Q₀ 是固定的基準量。週一讀數 8，週五讀數 58。兩位同學各寫了一種算法（假想的作答）：
提示（L1 到 L5，需要時再一層一層打開）
L1 方向 兩位同學都直接拿濁度指數的讀數去算。先找出這個量表的 c，再想：讀數相減得到的是什麼？
L2 方向 S 是 log 乘上 c。讀數相減之後，還要除以什麼，才得到 log 值？
L3 方法 方法：S週五 − S週一 = c·log₁₀(Q週五/Q週一)，所以 log₁₀(Q週五/Q週一) = 讀數差 ÷ 5。
L4 近乎完整 讀數差 = 58 − 8 = 50，c = 5，所以 log₁₀(Q週五/Q週一) = 50 ÷ 5。請自己還原成倍數，再回頭說明 50 與 7.25 各是什麼。
L5 完整解答 差：ΔS = 50。10 （10,000,000,000，百億）。
常見錯法與補救（做完或卡住再看） 下面是這一題可能出現的錯誤寫法（每一種都實際算過，結果與正確答案不同）：
忘了除以 c：直接寫 1050 。讀數差 50 要先除以 c = 5。
把 50 ÷ 5 = 10 當成「10 倍」：這個 10 是 log 值，還要取 10 的次方。
補救：回到課文，把「尺度差 → ÷ c → 10 的次方 → 代回檢查」每一步各寫一行，再重算原題。
回到課文：尺度差不是原量的差 、c 不同，倍數就不同
補救二：c、順序與正負
第 13 題補救二
（假想的教學情境，數字為假想。）使用公式：強度級 L = 10·log₁₀(I/I₀)（單位 dB），其中 I 是聲音強度，I₀ 是固定的基準強度，c = 10。吸塵器運轉時某處是 85 dB，關掉後降到 25 dB。某同學的算法（假想的作答）：−60 倍。」
提示（L1 到 L5，需要時再一層一層打開）
L1 方向 同學的減法本身沒有算錯。往下一步檢查：ΔL 已經是 log₁₀(倍數) 了嗎？
L2 方向 L 的公式前面有一個係數 c。從 ΔL 回到 log₁₀(倍數)，要怎麼處理 c？
L3 方法 方法：ΔL = c·log₁₀(I關/I開)，所以 log₁₀(I關/I開) = ΔL ÷ c，再改寫成 10 的次方。
L4 近乎完整 ΔL = −60 dB，c = 10，所以 log₁₀(I關/I開) = −60 ÷ 10。請自己算出指數，再改成分數表示。
L5 完整解答 差：ΔL = 25 − 85 = −60 dB。−6 （1/1,000,000，一百萬分之一）。
常見錯法與補救（做完或卡住再看） 下面是這一題可能出現的錯誤寫法（每一種都實際算過，結果與正確答案不同）：
把 c 乘上去：−60 × 10 = −600，答 10−600 。從 dB 差回到 log 值，是除以 c。
把 −6 當成「−6 倍」：倍數不會是負數，−6 是 log 值，要取 10 的負 6 次方。
相減順序顛倒（85 − 25 = 60），答 106 。這是「運轉時是關掉後的倍數」，與題目問的方向相反。
補救：回到課文，把「尺度差 → ÷ c → 10 的次方 → 代回檢查」每一步各寫一行，再重算原題。
回到課文：c 不同，倍數就不同 、順序與正負 、兩個方向的換算
第 14 題補救二
（假想的教學情境，數字為假想。）使用公式：聲壓級 L = 20·log₁₀(p/p₀)（單位 dB），其中 p 是聲壓，p₀ 是固定的基準聲壓，c = 20。某聲音的聲壓級從 40 dB 升到 120 dB。某同學的算法（假想的作答）：8 倍。」
提示（L1 到 L5，需要時再一層一層打開）
L1 方向 同學的 dB 差沒有算錯。回頭讀題目：題目指定的是哪一種 dB？它的 c 寫在哪裡？
L2 方向 這一題的公式寫在題目裡。把同學式子裡用到的 c，和題目寫的 c 逐一對照。
L3 方法 方法：不同的尺度，c 可能不同；c 以題目寫的為準，不能自己換。log₁₀(倍數) = ΔL ÷ 題目給的 c。
L4 近乎完整 ΔL = 80 dB，題目給的 c = 20，所以 log₁₀(p後/p前) = 80 ÷ 20。請自己算出指數並改成 10 的次方。
L5 完整解答 差：ΔL = 80 dB。4 （10,000，一萬）。
常見錯法與補救（做完或卡住再看） 下面是這一題可能出現的錯誤寫法（每一種都實際算過，結果與正確答案不同）：
忘了除以 c：答 1080 。dB 差 80 要先除以 c。
把 c 乘上去：80 × 20 = 1600，答 101600 。從 dB 差回到 log 值，是除以 c。
補救：回到課文，把「尺度差 → ÷ c → 10 的次方 → 代回檢查」每一步各寫一行，再重算原題。
回到課文：尺度公式與每個字母 、c 不同，倍數就不同
第 15 題補救二
（假想的教學情境，數字為假想。）使用公式：規模 M = log₁₀(A/A₀)，其中 A 是地震儀記錄到的最大振幅，A₀ 是固定的基準振幅，c = 1（教學簡化版，不含距離修正）。甲地震規模 3.6，乙地震規模 7.6。題目問：甲地震的最大振幅是乙地震的幾倍？某同學的算法（假想的作答）：4 。」
提示（L1 到 L5，需要時再一層一層打開）
L1 方向 同學的減法本身沒有算錯。回頭讀題目，看看題目問的倍數是「誰除以誰」。
L2 方向 規模差和倍數是配對的：被減數那一個量，在倍數的分子位置。把同學的減法順序和題目問的倍數對一對。
L3 方法 方法：ΔM = M甲 − M乙 = c·log₁₀(A甲/A乙)。被減數放甲，才跟「甲 ÷ 乙」對得上。
L4 近乎完整 M甲 − M乙 = 3.6 − 7.6 = −4，c = 1，所以 log₁₀(A甲/A乙) = −4。請自己改寫成 10 的次方，並用分數表示。
L5 完整解答 尺度值：M甲 = 3.6，M乙 = 7.6。−4 （1/10,000，一萬分之一）。
常見錯法與補救（做完或卡住再看） 下面是這一題可能出現的錯誤寫法（每一種都實際算過，結果與正確答案不同）：
把倒數的方向當成答案：答 104 （一萬倍）。這是乙 ÷ 甲，題目要的是甲 ÷ 乙。
答「−10000 倍」：倍數不會是負的；負號只出現在 log 值（指數）上。
答「log 不能是負的，所以無解」：Q 與 Q₀ 都是正數，Q 的比永遠是正數；log 值可以是負數，代表倍數小於 1。
補救：回到課文，把「尺度差 → ÷ c → 10 的次方 → 代回檢查」每一步各寫一行，再重算原題。
回到課文：順序與正負 、為什麼可以先相減
遷移：換個表示方式、換個情境
第 16 題遷移
（假想的教學情境，數字為假想。）使用公式：強度級 L = 10·log₁₀(I/I₀)（單位 dB），其中 I 是聲音強度，I₀ 是固定的基準強度，c = 10。音量計把兩個聲音的讀數標在下圖的分貝軸上：樹葉沙沙聲 10 dB，近距離的大型音響 120 dB（皆為假想的近似值）。圖上相鄰兩個刻度相差 10 dB。
圖不依比例，請依題目給的條件判斷。刻度間隔不等比 ：分貝軸的刻度等距，但對應的強度並不等距。 提示（L1 到 L5，需要時再一層一層打開）
L1 方向 (1) 數一數兩個標記之間有幾個「相差 10 dB」的格子。(2) 想一想：圖上每走一格，強度會怎麼變？格數跟指數有什麼關係？
L2 方向 軸上刻度是等距的，但強度並不是等距增加：每走一格，強度都「乘上同一個倍數」。這個倍數由 c 決定。
L3 方法 方法：格數 = dB 差 ÷ 10，也等於 log₁₀(強度倍數)，因為 ΔL = 10·log₁₀(倍數)。每格乘 10，走 n 格就是乘 10 的 n 次方。
L4 近乎完整 dB 差 = 120 − 10 = 110 dB。110 ÷ 10 就是格數，也是 log₁₀(倍數)。請自己算出格數，再改寫成 10 的次方。
L5 完整解答 (1) 兩個讀數相差 120 − 10 = 110 dB，每格 10 dB，所以隔了 11 格。11 （100,000,000,000，千億）。
常見錯法與補救（做完或卡住再看） 下面是這一題可能出現的錯誤寫法（每一種都實際算過，結果與正確答案不同）：
把 120 ÷ 10 = 12 當成倍數：答「12 倍」。dB 讀數的比值沒有意義。
把 dB 差當成倍數：答「110 倍」。要先除以 c 再取 10 的次方。
把格數 11 直接當成倍數：答「11 倍」。格數是指數，不是倍數。
補救：回到課文，把「尺度差 → ÷ c → 10 的次方 → 代回檢查」每一步各寫一行，再重算原題。
回到課文：兩個方向的換算 、尺度差不是原量的差
第 17 題遷移
（假想的教學情境，數字為假想。）使用公式：強度級 L = 10·log₁₀(I/I₀)（單位 dB），其中 I 是聲音強度，I₀ 是固定的基準強度，c = 10。一台機器單獨運轉時，在某處量到 62 dB。假設共有 100 台完全相同的機器同時運轉，各自對該處貢獻相同的強度，而且強度可以直接相加（教學簡化；要相加的是強度，不是 dB 讀數）。100 台同時運轉時，該處的強度級是幾 dB？
提示（L1 到 L5，需要時再一層一層打開）
L1 方向 先想：100 台一起運轉，強度變成單獨一台的幾倍？再想：dB 是強度級，不能把 62 直接乘以台數，也不能直接加上台數。
L2 方向 倍數已知後，這題有一半就是「已知倍數求尺度差」。想一想：算出來的是新的強度級，還是強度級的增加量？
L3 方法 方法：ΔL = 10·log₁₀(倍數)，這是強度級的增加量。算出 ΔL 之後，要加回原來的 62 dB。
L4 近乎完整 倍數是 100，log₁₀100 = 2，所以 ΔL = 10 × 2。最後一步是把這個增加量加到 62 dB 上。
L5 完整解答 倍數：100 台各貢獻相同強度，相加後強度是單獨一台的 100 倍。2 = 100。
常見錯法與補救（做完或卡住再看） 下面是這一題可能出現的錯誤寫法（每一種都實際算過，結果與正確答案不同）：
把 62 × 100：答「6200 dB」。dB 是對數尺度，倍數要先取 log₁₀ 再乘 c，再加到原讀數上。
把台數直接加到 dB：62 + 100 = 162，答「162 dB」。台數是強度的倍數，要先變成 dB 的增加量。
漏乘 c：log₁₀100 = 2，62 + 2 = 64，答「64 dB」。增加量是 c·log₁₀(倍數)，要乘 10。
補救：回到課文，把「倍數 → 取 log₁₀ → × c → 加到原讀數」每一步各寫一行，再重算原題。
回到課文：尺度公式與每個字母 、兩個方向的換算
第 18 題遷移
（假想的教學情境，數字為假想。）同一個聲音可以用兩種說法描述它的大小：強度級 L = 10·log₁₀(I/I₀)（單位 dB），其中 I 是聲音強度，I₀ 是固定的基準強度，c = 10；也可以用另一種說法：聲壓級 L = 20·log₁₀(p/p₀)（單位 dB），其中 p 是聲壓，p₀ 是固定的基準聲壓，c = 20。同一個聲音，兩種說法的 dB 讀數相同。教學用的近似：剛能聽見的聲音約 0 dB，接近疼痛的聲音約 120 dB。
提示（L1 到 L5，需要時再一層一層打開）
L1 方向 (1)(2) 的 dB 差一樣，公式的 c 不一樣。先分別找出兩個 c。(3) 等 (1)(2) 都算出來再比較。
L2 方向 dB 差先求一次，然後分別除以 c=10 與 c=20。
L3 方法 方法：log₁₀(強度倍數) = ΔL ÷ 10；log₁₀(聲壓倍數) = ΔL ÷ 20。(3) 比較兩個指數，看看一個是另一個的幾倍。
L4 近乎完整 ΔL = 120 − 0 = 120 dB。120 ÷ 10 與 120 ÷ 20 各是多少？算出來之後，觀察兩個指數的關係，再想想 10 的次方的乘方法則。
L5 完整解答 (1) log₁₀(強度倍數) = 120 ÷ 10 = 12，強度倍數 = 1012 （1,000,000,000,000，一兆）。6 （1,000,000，一百萬）。12 = (106 )²。
常見錯法與補救（做完或卡住再看） 下面是這一題可能出現的錯誤寫法（每一種都實際算過，結果與正確答案不同）：
兩個倍數都用 c = 10：聲壓倍數也答 1012 。聲壓級的 c 是 20，不是 10。
忘了除以 c：答強度倍數 10120 。dB 差 120 要先除以 c。
以為聲壓倍數是強度倍數的一半：1012 ÷ 2 = 5 × 1011 。一半的是指數，不是倍數。
補救：回到課文，把「尺度差 → ÷ c → 10 的次方 → 代回檢查」每一步各寫一行，再重算原題。
回到課文：尺度公式與每個字母 、c 不同，倍數就不同 、兩個方向的換算
