回課文。共 18 題，分六組，每組 3 題。每題先自己做，需要時再依序打開提示。看過第 3 層以上提示才做出來的題目，算是練習，還不算獨立完成；隔一段時間，不看提示，把原題重做一次。L5 會揭示完整解答。
共同規則：題目的情境和數字都是為了練習設計的假設，不是真實資料。不需要另外計算期望值或查表，也不需要使用計算機。各題請依題面指定的形式作答；數值欄依題目指定的單位，只寫數值，單位欄只寫選項代號。判斷與理由依各題要求填寫。
先看看自己對「變異數與標準差」的分辨掌握到哪裡。
社團抽獎（練習用的假設情境）：一次抽獎得到的獎金 X（元），平均 μ=45 元，變異數 Var(X)=196 元²。求標準差 σ。
(甲)標準差以元為單位，只寫整數；不要附單位字樣。
(乙)標準差單位選項：a＝元，b＝元²；單位欄只寫 a 或 b。
提示（一次只開一層，先自己試）：
先辨認題目提供的分散量及其量綱。
平均與變異數在本題扮演相同角色嗎？
從變異數轉到原量的分散尺度，回想平方的反運算。
找能自乘恢復已給變異數的候選數，並分開檢查量綱。
(甲) 14（元）；(乙) a。 196 元²是變異數；平均45元不參與開根。 14×14=196，取14。 單位元；14²=196。
這題可能出現的錯法（為練習設計的例子）。如果你的答案和下面某個結果相同，就是犯了那種錯：
補救：先用單位判斷：題目給的是「元²」，所以是變異數，要開根號；平均 μ 在這題只是干擾資料，不要拿它做運算。寫成一整行「σ=√（變異數）=（數）元」，最後平方回去核對。
回到課文：做法：四個動作與理由、算完怎麼自己檢查。補救後請遮住解答重做。
投籃練習（練習用的假設情境）：某同學每回合的進球數 Y（球），已知 σ²=0.49 球²。求標準差 σ。
(甲)標準差以球為單位，只寫小數；不要附單位字樣。
(乙)標準差單位選項：a＝球，b＝球²；單位欄只寫 a 或 b。
提示（一次只開一層，先自己試）：
符號上的平方是否已經去掉？
小數點的位值如何用分數保留下來？
先以整數比表示小數，再對兩部分使用平方的反運算。
得到候選小數後自乘，檢查是否恢復原來的小數。
(甲) 0.7（球）；(乙) a。 0.49=49/100。 √49/√100=7/10=0.7。 0.7²=0.49，單位球。
這題可能出現的錯法（為練習設計的例子）。如果你的答案和下面某個結果相同，就是犯了那種錯：
補救：小數先改寫成分數，分子、分母各開一次根號，再換回小數；用乘法核對小數點位置，並確認單位是「球」而不是「球²」。
回到課文：做法：四個動作與理由、完整示範。補救後請遮住解答重做。
小宇用某個機率分佈計算得分 X（分）的變異數，算完把結果寫成 Var(X)=−52 分²，接著想求標準差。
(甲)這個結果合理嗎？只寫「合理」或「不合理」。
(乙)能由這個結果求出實數標準差嗎？只寫「能」或「不能」。
(丙)另用一句話說明理由與下一步。
提示（一次只開一層，先自己試）：
先檢查算出的變異數是否符合定義。
差的平方與機率各有什麼符號限制？
根據變異數各項的性質，判斷報出的資料是否可能成立。
先下合理性與能否求值的判斷，再說明應回查哪一段計算。
(甲) 不合理；(乙) 不能。 (丙)變異數是差的平方乘非負機率的總和；負值不合理，應回頭檢查變異數計算。
整數、小數、分數的變異數，都能開出整齊的答案。
精密零件長度 L（毫米，練習用的假設情境），變異數 Var(L)=2.56 毫米²。求標準差 σ。
(甲)標準差以毫米為單位，只寫小數；不要附單位字樣。
(乙)標準差單位選項：a＝毫米，b＝毫米²；單位欄只寫 a 或 b。
提示（一次只開一層，先自己試）：
留意長度與長度平方的差別。
把小數換成整數比時，分母由什麼決定？
分子與分母各自使用平方的反運算。
候選小數要能平方回到原變異數；再核長度單位。
(甲) 1.6（毫米）；(乙) a。 2.56=256/100。 √256/√100=16/10=1.6。 1.6²=2.56；單位毫米。
這題可能出現的錯法（為練習設計的例子）。如果你的答案和下面某個結果相同，就是犯了那種錯：
補救：把 2.56 改寫成分數：兩位小數對應分母 100，分子、分母各開根號後換回小數；用乘法核對小數點的位置。
回到課文：做法：四個動作與理由、完整示範。補救後請遮住解答重做。
某班同學體重 W（公斤，練習用的假設情境），變異數 Var(W)=324 公斤²。求標準差 σ。
(甲)標準差以公斤為單位，只寫整數；不要附單位字樣。
(乙)標準差單位選項：a＝公斤，b＝公斤²；單位欄只寫 a 或 b。
提示（一次只開一層，先自己試）：
體重的分散尺度與已給量是否同單位？
用熟悉的平方數估計可能的範圍。
找出自乘能得到已給整數的數，再依標準差定義選根。
把候選值平方核對，最後檢查是否回到重量單位。
(甲) 18（公斤）；(乙) a。 18×18=324。 取非負根18，單位公斤。 18²=324。
這題可能出現的錯法（為練習設計的例子）。如果你的答案和下面某個結果相同，就是犯了那種錯：
補救：先用兩個已知的平方數夾住 324，再試出整數；寫完確認單位是「公斤」，並平方回去核對。
回到課文：做法：四個動作與理由、算完怎麼自己檢查。補救後請遮住解答重做。
某遊戲的獎金 Y（元，練習用的假設情境），變異數 Var(Y)=121/16 元²。求標準差 σ。
(甲)標準差以元為單位，只寫分數；不要附單位字樣。
(乙)標準差單位選項：a＝元，b＝元²；單位欄只寫 a 或 b。
提示（一次只開一層，先自己試）：
分數的上下兩部分都需要處理嗎？
分子與分母能否各自辨認為平方？
分數開根可分別處理分子、分母。
先各自求平方根再組成分數，把整個分數平方回核。
(甲) 11/4（元）；(乙) a。 121=11²，16=4²。 σ=11/4元。 (11/4)²=121/16。
這題可能出現的錯法（為練習設計的例子）。如果你的答案和下面某個結果相同，就是犯了那種錯：
補救：分數開根號要對分子、分母各開一次；寫完把答案平方，分子、分母都要回到題目給的數。
回到課文：做法：四個動作與理由、完整示範。補救後請遮住解答重做。
答案要寫成最簡根式。
某工廠每小時產量 Q（件，練習用的假設情境），變異數 Var(Q)=80 件²。求標準差 σ。
(甲)標準差以件為單位，只寫精確根式，保留√；根式分數的除法用 / 並加小括號避免歧義；不要附單位字樣。
(乙)標準差單位選項：a＝件，b＝件²；單位欄只寫 a 或 b。
提示（一次只開一層，先自己試）：
根號不能直接算成整數時，還有什麼表示方法？
因數中有哪些能對應整數的平方？
把平方因數的平方根移到根號外。
檢查根內剩餘因數，再用外係數平方乘根內數回核。
(甲) 4√(5)（件）；(乙) a。 80=16×5。 σ=4√5件。 (4√5)²=80。
這題可能出現的錯法（為練習設計的例子）。如果你的答案和下面某個結果相同，就是犯了那種錯：
補救：先列出能整除的平方數，取最大的一個：根號外面放它的平方根，根號裡放剩下的數；再檢查根號裡有沒有還能提出的平方因數，最後平方回去核對。
回到課文：做法：四個動作與理由、完整示範。補救後請遮住解答重做。
某批包裹的重量 W（公斤，練習用的假設情境），變異數 Var(W)=63 公斤²。求標準差 σ。
(甲)標準差以公斤為單位，只寫精確根式，保留√；根式分數的除法用 / 並加小括號避免歧義；不要附單位字樣。
(乙)標準差單位選項：a＝公斤，b＝公斤²；單位欄只寫 a 或 b。
提示（一次只開一層，先自己試）：
從因數檢查平方根能否化簡。
找平方因數與一般因數有什麼不同？
根號外係數取平方因數的平方根。
候選根式平方後必須恢復原整數，並檢查重量單位。
(甲) 3√(7)（公斤）；(乙) a。 63=9×7。 σ=3√7公斤。 (3√7)²=63。
這題可能出現的錯法（為練習設計的例子）。如果你的答案和下面某個結果相同，就是犯了那種錯：
補救：先找能整除的最大平方數：外面放它的平方根，根號裡放剩下的數；平方回去核對時，外面的數要先平方再乘根號裡的數。
回到課文：做法：四個動作與理由、完整示範。補救後請遮住解答重做。
某測驗的得分 Z（分，練習用的假設情境），變異數 Var(Z)=10/49 分²。求標準差 σ。
(甲)標準差以分為單位，只寫精確根式，保留√；根式分數的除法用 / 並加小括號避免歧義；不要附單位字樣。
(乙)標準差單位選項：a＝分，b＝分²；單位欄只寫 a 或 b。
提示（一次只開一層，先自己試）：
先分開看分子與分母的性質。
兩部分是否都能開成有理數？
分數的根號可拆成分子根號除以分母根號。
將可以化簡的部分處理完，不能化簡的部分保留根號，再平方回核。
(甲) √(10)/7（分）；(乙) a。 10沒有大於1的平方因數，49=7²。 σ=√10/7分。 (√10/7)²=10/49。
這題可能出現的錯法（為練習設計的例子）。如果你的答案和下面某個結果相同，就是犯了那種錯：
補救：分子、分母分開處理：分母是完全平方數就開出來，分子不是就留在根號裡；平方回去核對時分子、分母都要回到題目給的數。
回到課文：做法：四個動作與理由、完整示範。補救後請遮住解答重做。
題目裡有一份別人的算法，請找出錯誤並改正。
小華算一題：某班成績 X（分）的變異數 Var(X)=900 分²，他寫「σ=900÷2=450（分）」。請指出他錯在哪裡，並寫出正確的標準差。
(甲)標準差以分為單位，只寫整數；不要附單位字樣。
(乙)標準差單位選項：a＝分，b＝分²；單位欄只寫 a 或 b。
另用一句話指出題幹寫法的錯處。
提示（一次只開一層，先自己試）：
先檢查題幹採用的運算是否符合定義。
怎麼檢查一個候選標準差？
將題幹候選值平方與變異數比較，再改用開根求值。
訂正後數值也要平方回核，另說明原運算爲何不合。
(甲) 30（分）；(乙) a。 450²=202500，不等於900。 √900=30，σ=30分。 30²=900。 小華錯把開平方根當成除以2。
這題可能出現的錯法（為練習設計的例子）。如果你的答案和下面某個結果相同，就是犯了那種錯：
補救：分清楚「開根號」和「除以 2」是兩件事：只要把答案平方，就能看出 450 不對。重做一次，找自乘等於 900 的數，並平方回去核對。
回到課文：常見的錯與自我檢查、做法：四個動作與理由。補救後請遮住解答重做。
小美算一題：某等待時間 T（小時）的變異數 Var(T)=0.0025 小時²。她寫「√25=5，所以 σ=0.5 小時」。請指出她錯在哪裡，並寫出正確的標準差。
(甲)標準差以小時為單位，只寫小數；不要附單位字樣。
(乙)標準差單位選項：a＝小時，b＝小時²；單位欄只寫 a 或 b。
另用一句話指出題幹寫法的錯處。
提示（一次只開一層，先自己試）：
小數位置可以用什麼運算檢驗？
題幹候選值自乘後能恢復已給數嗎？
用分數表示原小數，以分母的平方根處理位值。
組成候選小數後再自乘；不要依題幹錯誤記錄推測位置。
(甲) 0.05（小時）；(乙) a。 0.5²=0.25，不等於0.0025。 0.0025=25/10000，σ=5/100=0.05。 0.05²=0.0025；單位小時。
小傑算一題：某機器的產量 X（件）的變異數 Var(X)=112 件²。他寫「112=16×7，所以 σ=16√7 件」。請指出他錯在哪裡，並寫出正確的標準差（最簡根式）。
(甲)標準差以件為單位，只寫精確根式，保留√；根式分數的除法用 / 並加小括號避免歧義；不要附單位字樣。
(乙)標準差單位選項：a＝件，b＝件²；單位欄只寫 a 或 b。
另用一句話指出題幹寫法的錯處。
提示（一次只開一層，先自己試）：
題幹根式的外係數可以怎樣覈查？
因數提出根號時要經過什麼運算？
把候選根式平方，與已給變異數比較。
保持因數分解，再處理外係數的根號運算，完成後重新回核。
(甲) 4√(7)（件）；(乙) a。 (16√7)²=1792，不等於112。 112=16×7，σ=4√7件。 (4√7)²=112。
單位與符號的小地方，最容易漏掉。
某批包裹的重量 X（公斤，練習用的假設情境），資料表上有一格寫著「441 公斤²」。甲說它是重量的標準差，乙說它是變異數。
(甲)誰說得對？只寫「甲」或「乙」。
(乙)重量的標準差以公斤為單位，只寫整數。
(丙)標準差單位選項：a＝公斤，b＝公斤²；單位欄只寫 a 或 b。
提示（一次只開一層，先自己試）：
先判讀表格所用的量綱。
原重量單位與表格單位有何差別？
比對變異數與標準差的定義，再計算相應尺度。
判定說法後找到能自乘恢復表格數值的候選數，再檢查單位。
(甲) 乙；(乙) 21（公斤）；(丙) a。 441公斤²對應變異數，乙正確。 21²=441，所以σ=21公斤。 數值21及單位公斤分開覈查。
這題可能出現的錯法（為練習設計的例子）。如果你的答案和下面某個結果相同，就是犯了那種錯：
補救：先看單位。「公斤²」有平方，代表這是變異數，要開根號並還原單位；寫完後平方回去核對。
回到課文：條件與邊界、做法：四個動作與理由。補救後請遮住解答重做。
小明寫：某等待時間 T（小時）的變異數 Var(T)=0.09 小時²，他求標準差時把平方方程的正負兩根都當成結果。這樣寫哪裡不對？請寫出正確的標準差。
(甲)標準差以小時為單位，只寫小數；不要附單位字樣。
(乙)標準差單位選項：a＝小時，b＝小時²；單位欄只寫 a 或 b。
另用一句話指出題幹寫法的錯處。
提示（一次只開一層，先自己試）：
平方方程與標準差有何不同？
分散大小的定義是否容許兩種符號？
依標準差定義選平方根，而不是列方程的解集合。
選好候選值後自乘回核，並說明題幹符號問題。
(甲) 0.3（小時）；(乙) a。 平方等於0.09的實數有正負兩根。 σ只取非負根，σ=0.3小時。 0.3²=0.09。
小玲算一題：某地板磁磚邊長 L（公分）的變異數 Var(L)=676 公分²，她寫「σ=√676=26 公分²」。
(甲)她的數字對不對？只寫「對」或「錯」。
(乙)她的單位對不對？只寫「對」或「錯」。
(丙)正確的標準差以公分為單位，只寫整數。
(丁)標準差單位選項：a＝公分，b＝公分²；單位欄只寫 a 或 b。
提示（一次只開一層，先自己試）：
題幹的數字和單位要分開檢查。
自乘回核數字後，還需覈查哪一項？
以原量的單位與平方單位對照兩種分散量。
數字覈查與量綱覈查分別判斷，不因一項正確而省略另一項。
(甲) 對；(乙) 錯；(丙) 26（公分）；(丁) a。 26²=676，題幹數字正確。 公分²是變異數單位，題幹單位錯。 σ=26公分。
這題可能出現的錯法（為練習設計的例子）。如果你的答案和下面某個結果相同，就是犯了那種錯：
補救：數字和單位分開檢查：數字平方回去要等於 676 才對；單位要回到 L 的單位，不是平方單位。
回到課文：做法：四個動作與理由、算完怎麼自己檢查。補救後請遮住解答重做。
同樣的想法，放進單位換算、比較與範圍的新情境。
某班同學的每日通勤時間 T，變異數 Var(T)=0.16 小時²。求標準差，並用「分鐘」表示（1 小時=60 分鐘）。
(甲)標準差以分鐘為單位，只寫整數；不要附單位字樣。
(乙)標準差單位選項：a＝分鐘，b＝分鐘²；單位欄只寫 a 或 b。
提示（一次只開一層，先自己試）：
留意題目要求的時間單位。
來源單位與目標單位怎樣對應？
可先求來源單位的標準差，再依單位關係換算。
用另一條路：先換變異數的平方單位再開根，與前一條路核對。
(甲) 24（分鐘）；(乙) a。 √0.16=0.4小時。 0.4×60=24分鐘。 24²=576=0.16×60²。
這題可能出現的錯法（為練習設計的例子）。如果你的答案和下面某個結果相同，就是犯了那種錯：
補救：單位換算要對得上「變異數」或「標準差」：變異數乘 3600（60²），標準差乘 60。兩條路都做一遍並互相驗算，最後答案的單位是分鐘。
回到課文：做法：四個動作與理由、算完怎麼自己檢查。補救後請遮住解答重做。
甲班數學成績的變異數是 96 分²；乙班數學成績的標準差是 10 分。哪一班的成績比較分散？請寫出理由。（不用計算機）
作答格式：分散較大的班級只寫「甲」「乙」或「一樣」；另用一句話寫出依據。
提示（一次只開一層，先自己試）：
比較分散量前，先看量的種類。
兩班資料目前是否可直接比較？
將兩邊都寫成變異數或都寫成標準差。
列同種類的兩個量，比較大小後給結論與依據。
乙班較分散。 乙標準差10分，變異數100分²。 100>96，所以乙較分散。 亦可比較√96與10，平方後仍為96與100。
某遊戲的得分 X（分，練習用的假設情境），平均 μ=120 分，變異數 Var(X)=256 分²。
(甲)求標準差。
(乙)寫出「平均減一個標準差」的端點。
(丙)寫出「平均加一個標準差」的端點。
前三欄均以分為單位，只寫整數。
(丁)標準差單位選項：a＝分，b＝分²；單位欄只寫 a 或 b。
提示（一次只開一層，先自己試）：
題目問的尺度與兩端點分別是哪一項？
端點應以哪個分散量作為與平均的距離？
先求標準差，再依題目指定方向得到端點。
把端點與平均的距離核對，再檢查所用標準差平方是否恢復變異數。
(甲) 16（分）；(乙) 104（分）；(丙) 136（分）；(丁) a。 √256=16，σ=16分。 左端120−16=104，右端120+16=136。 16²=256，兩端均離平均16分。
這題可能出現的錯法（為練習設計的例子）。如果你的答案和下面某個結果相同，就是犯了那種錯：
補救：端點用 μ−σ 與 μ+σ：兩者都要用標準差，先開根號再加減；寫完確認範圍以 μ 為中心左右對稱。
回到課文：做法：四個動作與理由、完整示範。補救後請遮住解答重做。