分散與標準化：相同平均為何可能完全不同

閱讀入口：國九先理解平均數以外的分散與全距；高一接續閱讀標準差與標準化。標示「選讀推理」的部分，可以在理解主線後再讀。 國家教育研究院

國九入口：平均相同，零件就一樣合用嗎？

一份驗收報告告訴你：兩批零件的平均長度都是100毫米，而設計要求恰好也是100毫米。

這是不是表示，兩批零件做得一樣好？

先把摘要放下，看看資料。以下零件、數據及規格都是假想的教學情境，不是實測紀錄：

單位都是毫米。兩批各有五件，總長度都是500毫米，所以平均數確實都是：

可是，假設零件必須落在97至103毫米之間才能使用，包含兩個端點，甲批五件全部符合要求，乙批卻有兩件不符合。

平均數沒有算錯。出問題的是，我們要求它回答了一個它沒有回答的問題。

平均數指出一種整體中心，卻不保證每件零件都靠近中心。長了9毫米與短了9毫米，在平均時可以互相抵消；在裝配時，卻不會因此都變得合用。

中心在哪裡，與個別資料散得多開，是兩個不同的問題。

先用一個簡單的方法看差別：找出最大值與最小值，計算兩者的差。這個差叫作全距。

兩批平均相同，但最遠兩端之間的跨度不同。

全距很容易計算，代價是只保留兩端。中間的數值即使移動，只要最大值與最小值不變，全距就不變。因此，全距告訴我們的是整體跨度，不是每一筆資料靠近中心的情形。NIST

這就引出了下一個問題：能不能讓每一筆資料與中心的距離，都參與描述這群資料？

在「標準差」這個名稱出現以前，人們已經能做什麼？

人類不是有了標準差，才第一次注意到觀測不會完全一致。處理觀測時，如何從不完全吻合的結果中選出近似答案；比較一群對象時，如何描述它們的共同位置與彼此差異，都是需要方法的問題。

十九世紀初，平方偏離已經進入這類研究。數學史研究記載，勒讓德在1805年發表最小平方法，將它作為近似工具。其基本判準，是把觀測與所選近似結果之間的差平方後加總，尋找使這個總量較小的選擇。這比「標準差」名稱的使用更早；處理平方誤差的方法，不能倒過來說成由今日的標準差公式才開始。Springer

另一路方法則從排序出發。高爾頓在1875年的文章中，先談逐一量測、取得數值的既有做法，再說明：即使沒有先把每個對象精密量成數字，也可能把它們依大小排列，選出中央及四分位附近的代表對象。他所說的中央位置，按今天的術語是中位數，不能把原文較寬泛的「mean」一律讀成算術平均數。Galton PDF

這種方法當時增加了一項實際能力：不必一開始就取得全部精密量測值，也能比較居中位置及散開情形。不過，高爾頓同時指出，選出了具有某種差異的代表對象，不等於已經得到差異的數值。知道誰較大，與知道相差多少，仍是兩件事。Galton PDF

聖安德魯斯大學的數學史條目，則把皮爾森使用「standard-deviation」名稱的記錄指向1894年論文第80頁。這是一個可查的用語節點，不表示排序、分散或平方偏離都在那一年才被發明。Maths History

這些方法不是一條「新方法出現，舊方法就失效」的淘汰線。排序、全距與平方偏離，各自保留不同資訊。若要計算標準差，仍然必須先取得數值；它不會代替量測，也不保證比找全距省力。

它增加的，是另一種可以反覆計算、比較與傳遞的摘要：把每一筆資料相對平均數的偏離，依同一套規則合成一個尺度。

高一主文：為什麼不能直接用離均差的平均表示分散？

回到甲批：

平均數是100。每筆資料減去平均數，得到：

這些數稱為離均差。負號表示在平均以下，正號表示在平均以上；絕對值表示離平均多遠。

這裡的「差」不表示資料錯了。平均數也不一定是理想值，只是在這個例子中恰好等於設計長度。

既然要描述整群資料離平均多遠，直接把離均差平均，會得到什麼？

這個平均可以計算，但不能用來區分資料散得多開。乙批更分散，離均差的平均卻同樣是零。

而且，這不是左右對稱才有的巧合。平均數的定義是「總和除以筆數」；因此，從每筆資料各減去一次平均數，合計減去的恰好就是原本的資料總和，最後一定得到零。

用甲批看，就是：

有方向的離均差適合表示在中心哪一側，卻會在加總時失去我們想保留的散開資訊。

要避免抵消，一個合理辦法是取絕對值，得到：

這些距離的平均，確實可以形成另一種分散量。因此，不能說「正負會抵消，所以只能平方」；平均絕對偏差也是可用的選擇。NIST

標準差走的是另一條路：先平方，再平均，最後開根號。

平方使每一項都不小於零，也使大偏離有更大的影響。離中心3毫米，平方後是9平方毫米；離中心1毫米，平方後是1平方毫米。原本三倍的距離，在平方和裡得到九倍的貢獻。

接著取平均，是為了不讓這個量只是隨著資料筆數堆高。把同一份資料完整複製一次，平方離均差總和會加倍，資料筆數也加倍；除以筆數後，分散量保持不變，符合「分布樣貌沒有改變」的意思。

最後開根號，是把單位帶回來。毫米經過平方成為平方毫米，再開根號才回到毫米，可以與原資料的距離對照。但這不會把前面的平方逐項取消，因為兩者之間已經先合計並取了平均。NIST

本篇把眼前的資料當作要描述的完整一組，每筆等權，至少有一筆。以 $n$ 表示筆數，以 $\mu$ 表示平均數；$\mu$ 也常寫作 $\overline{x}$。

變異數就是平方離均差的平均：

式子中的省略號表示把每筆資料的平方離均差全部加完，沒有漏掉任何一筆。變異數的非負平方根，就是標準差：

這裡的分母固定是完整資料的筆數 $n$。用一部分資料估計另一個未知群體，是不同的問題，本篇不混用那類公式。

算出2與6之後，究竟知道了什麼？

兩批的平均數都是100毫米。把計算展開：

所以甲批：

乙批：

原本相同的中心，現在配上不同的分散尺度。

還可以回查原始資料：這個例子特別安排成，乙批各位置的離均差是甲批對應離均差的三倍。平方後變成九倍，取平均仍是九倍，最後開根號回到三倍。標準差從2變成6，正好反映這個結構。

分母也需要看清楚。甲批的100雖然貢獻零，仍然是一筆資料，不能因為它沒有增加平方和，就把分母改成4。

若另有一份完整的四筆資料97、99、101、103，平均數同樣是100，它的標準差才是：

這是另一份資料，不能沿用五筆資料的分母。

不過，標準差為2毫米，不是說每件都離平均2毫米，也不是說一般算術意義的平均距離是2毫米。

甲批實際的五個距離是3、1、0、1、3，平均為：

最大的距離則是3毫米。這三個數回答不同問題：1.6是距離的算術平均，3是最大距離，2是平方距離平均後開根所得的尺度。

標準差讓每一筆偏離都參與計算，卻沒有把每一筆位置完整保存下來。它是一種摘要，不是原始資料的替身。

選讀推理：平均數為什麼與平方偏離相配？

既然可以用平方距離評量分散，為什麼偏偏從平均數量起，而不是從其他位置量起？

拿甲批來說，若把參照位置由100改成另一個數 $c$，五個平方距離的平均會是：

每個差都可以拆成兩段。例如：

其餘四筆也是同樣的拆法。平方展開後，原來五個平方離均差的平均是4；五個 ${(100-c)}^2$ 的平均仍是 ${(100-c)}^2$；交叉項的合計則含有：

因此，前面的式子恰好等於：

後面那一項不可能是負數，只有 $c=100$ 時才是零。也就是說，選擇平均數當中心，平方距離的平均最小，而且只有這個中心能達到最小值。

同樣的拆法也適用於其他有限資料：改用別的中心，平方距離的平均，等於原來的變異數再加上「兩個中心之差的平方」。

這是今天可以直接驗證的代數連結，不是宣稱歷史上的研究者全都按照這個教學順序發明標準差。它也不表示所有問題都應使用平均數，而是說：一旦選擇平方偏離作為判準，平均數就是與它相配的中心。

中心移動與尺度改變，不能混為一談

假設把甲批每個數都加上10，得到：

平均數變成110，但每筆資料與新平均數的差，仍然是：

所以標準差仍是2毫米。

整組一起平移，改變中心位置，沒有改變相對中心的散布。對原來97至103毫米的規格而言，這五件反而全部不合用。資料可以集中，卻集中在不符合要求的位置。

再換一種改動：不改變零件，只把毫米改記成公分。

平均數變成10公分，標準差變成0.2公分。零件沒有更整齊，只是單位變了。2毫米與0.2公分表示同樣的散布，不能只看數字2比0.2大，就說前者比較分散。

選讀推理：把這兩種變化合在一起

假設每個原數值 $x_i$ 都依同一規則改成：

其中 $a$、$b$ 是固定實數。新平均數為：

所以新離均差是：

每一項平方離均差都變成原來的 $a^2$ 倍，平均也是 $a^2$ 倍，開根後得到：

加上的 $b$ 隨平均數一起消去；乘上的 $a$ 則改變距離尺度。即使 $a<0$，反轉方向也不會讓距離變負，所以必須寫絕對值。

若 $a=0$，所有新資料都成為 $b$，標準差便是0。這不是公式失效，而是所有差異都被這個變換消掉了。

標準化：改用這群資料自己的散布當作尺

一個數比平均高出3單位，這個差距算大嗎？

單看「3」不能回答。在標準差為2的資料裡，它是1.5個標準差；在標準差為6的資料裡，它只有半個標準差。原始差距一樣，放在各自資料的散布中，相對位置卻不同。

把外部測量單位換成資料自身的變異尺度，也有歷史實例。高爾頓一篇記載於1888年12月5日收稿的研究，便將不同測量的偏離改用各自的變異尺度表示，以研究它們如何一起變動。他採用的中心是中位數，尺度是當時所稱的「或然誤差」，不是今日以平均數與標準差定義的公式。加爾頓網站

這個轉換讓研究者不只比較原始單位下的差，還能比較偏離相對於各自散布有多大。它是相對尺度的歷史實例，不能直接說成今日標準化分數的完整發明。

現在回到本篇的定義。當參照資料的標準差 $\sigma >0$ 時，數值 $x$ 的標準化數值為：

先減平均數，是把參照中心搬到零；再除以標準差，是改以這群資料的一個標準差為一單位。因此，$z$ 表示「高於或低於平均幾個標準差」。分子與分母的單位相同，相除後沒有原來的量綱；它不是另一種毫米。NIST

例如同樣是103毫米：

它在甲批位於平均以上1.5個標準差，在乙批則位於平均以上半個標準差。兩個結果都沒有改變零件長度，只是使用了不同的參照尺度。

換成一個假想成績例子：已知指定參照資料的平均數為60分、標準差為6分，72分便對應到：

意思是高於這個參照平均兩個標準差，不是高於平均2分。反過來，若已給 $z=-2$，就表示低於參照平均兩個標準差；它也不是名次或負兩分。

把甲批全部標準化，得到：

乙批全部標準化，恰好也得到同一組數。它們的平均數都是零，而標準差都是：

這不只對這兩組成立。從整組資料都減去自己的平均數，新的平均數就成為零；再把每個離均差除以自己的非零標準差，平方離均差的平均便除以原本的 ${\sigma }^2$，成為1，開根後仍是1。

所以，以同一組資料自己的平均數與非零標準差進行標準化，而且前後採用相同的計算約定，新的平均數為0、標準差為1。

若用的是另一組參照資料的平均數與標準差，仍能計算相對位置，但不能保證被轉換的這一組資料也有平均0、標準差1。

這個結果不需要假設資料呈現某種特定形狀。標準化不會自動把資料變成常態分布，也不會使所有資料都擁有相同形狀。甲乙的結果相同，是因為它們原先的對應離均差恰好成固定倍數，不是標準化的一般保證。

共用一種表示，不等於共用一個合格標準

甲批的103毫米與乙批的109毫米，都對應到 $z=1.5$，但依開頭的規格，前者合格，後者不合格。

標準化統一的是相對位置的表達，沒有改寫實際規格。

甚至同一個97至103毫米的規格，換到各自的標準化尺度後也不同。甲批對應的是：

乙批對應的卻是：

原本同一個物理要求，不能因為改用了相對尺度，就擅自畫成同一段合格區間。

此外，只要保留參照平均數、標準差與足夠的數值精度，就能反算原值：

乙批的 $z=1.5$，反算就是：

因此，標準化本身不是必然丟失原值；丟掉所用的中心、尺度，或過度四捨五入，才可能使原值無法準確還原。

邊界一：沒有分散，就沒有可借用的非零尺度

假設另一批五件零件全是110毫米。

它們的平均數為110，每個離均差都是零，所以標準差是0。

反過來，由於平方離均差都不小於零，它們的平均若為零，就必須每項都是零。因此，對本篇的完整有限資料：

但用這一組自己的平均數與標準差標準化，會遇到：

這個式子沒有定義，不能把每個標準化數值填成0。

原因不只是背誦「分母不能為零」。標準化想借用這群資料的散布當作尺；資料完全不散開，就沒有非零的散布長度可供換算。只有一筆資料時，也會落在這個情況。

同時，五件110毫米雖然完全一致，卻全部不符合開頭的規格。標準差為零表示一致，不表示正確，更不表示優秀。

邊界二：兩個摘要數值，仍不等於完整分布

再看一組用來檢查摘要限制的假想資料：

它的平均數仍是100，離均差為−4、1、1、1、1，標準差為：

丙批與甲批的平均數、標準差完全相同，甲批卻五件合格，丙批只有四件合格。相同摘要，不保證每件的位置或合格情形相同。

同樣地，兩批中的101毫米都對應到 $z=0.5$。但是甲批比101小的有三筆，丙批比101小的只有一筆。因此，跨不同群體比較時，相同標準化數值不保證相同排名，也不能直接換成固定的百分比。

這不表示標準化會打亂同一組資料的大小順序。在同一組資料裡，大家減去相同平均數，再除以同一個正的標準差，較大的值仍然較大，相等的值也仍相等。要分清楚的是「同一群體內保留順序」與「不同群體間排名相同」，不是同一件事。

這些例子是用來看清摘要的工作邊界，不是要否定摘要。知道它省略了什麼，才能判斷什麼時候需要回頭查看原始資料。

我們因此多了一種什麼判斷能力？

在當代工程統計中，評估製程不能只看平均數。NIST的製程能力說明，會把製程變異與規格界線相互比較，並要求考慮製程穩定性及資料條件。本篇的五筆假想資料，只能示範眼前資料如何被摘要，不能直接預測未來整個製程的合格率。NIST

背後的機制不神祕：中心偏移與散布過大，是不同問題；實際長度與相對於群體的距離，也是不同資訊。把它們拆開描述，才可能分別判斷。

把這個數學連結帶回成績報告，兩班平均相同，不能直接認定學習情況相同；兩份測驗的標準化數值相同，也不能只憑這個轉換，就認定它們衡量同一種能力，或兩個人的名次相同。

分散讓我們看見平均數沒有保留的差異；標準化讓我們知道，距離除了能用原始單位量，也能用參照資料自身的散布來量。

真正增加的能力，不只是多算兩個數，而是分得清楚：中心在哪裡、資料散得多開、比較使用哪一把尺，以及判斷好壞的標準究竟從哪裡來。