練習：寫出標準質因數分解

標準質因數分解有幾個要求？可以一個一個要求去檢查每個選項（是質數嗎？合併了嗎？順序呢？）。

先看每個選項的底數：哪些選項裡有不是質數的數？再看質數是否已用指數合併、排列是否由小到大。

先不急著比較選項。把標準寫法的四個要求（底數是質數、相同質數已合併、由小到大、指數 1 不寫）各列成一個檢查項目，再用每一項去掃過 (A)～(E)，看每個選項在哪幾項不合格。

做一張表：橫列是五個選項，直欄是四個要求，逐格打勾或打叉。哪個選項整列都沒有叉？每個有叉的選項，叉在哪一欄就是你要對它說的那一句。

答案是 (B)。①底數 2、3、7 都是質數；②兩個 2 已合併成 2²；③由小到大 2、3、7；④3 與 7 的指數 1 沒有寫。其他選項：(A) 2 沒有用指數合併；(C) 4 是合數（4=2×2）；(D) 順序不是由小到大；(E) 21 是合數（21=3×7）。回查：2²×3×7=4×21=84。

• 選 (A)：「每個數都是質數、乘起來也是 84，所以標準。」2×2×3×7 的確是質因數分解，但重複的 2 沒有用指數記，還不是標準寫法。補救：兩個 2 合併成 2²。
• 選 (D)：認為「質數對、有指數就可以」。7×3×2² 乘出來是 7×3×4=84，值對，但順序是 7、3、2，不是由小到大。補救：改排成 2²×3×7。
• 選 (C)：認為 4×3×7 已經拆得夠開。但 4 是合數，4=2×2，還沒拆完。補救：把 4 拆成 2×2，再合併成 2²。
• 選 (E)：認為 2² 已經用了指數就夠了。2²×21 乘出來是 4×21=84，值對，但 21 是合數，21=3×7，還沒拆完。補救：把 21 拆成 3×7，寫成 2²×3×7。

150 是偶數，最小的質數 2 可以整除嗎？先從最小的質數開始試。

用 2 除完之後，看商還是不是偶數；若不是，換下一個質數，看數字和能不能被 3 整除。

先用 2 試除，記下商；商若還是偶數就繼續用 2，否則看它的數字和是不是 3 的倍數，再決定下一個除數。每一步都把除數記在同一欄。

一直除到商變成 1 為止，把除數那一欄由上到下寫出來。數一數有沒有哪個質數出現不只一次，那個就要改用指數記。

短除：150÷2=75，75÷3=25，25÷5=5，5÷5=1。除數 2、3、5、5，其中 5 出現兩次，所以 150=2×3×5²。回查：2×3×25=6×25=150；底數都是質數，由小到大，5 已合併。

• 寫成 2×3×5×5：值是對的（2×3×5×5=150），但重複的 5 沒有用指數。補救：合併成 5²。
• 寫成 2×3×5：漏掉一個 5。回查：2×3×5=30，不是 150。補救：25 還要再除一次 5。
• 寫成 2×75：75 是合數（75=3×25），還沒拆完。補救：繼續拆，直到每個因數都是質數。

指數表示什麼？2³ 和 2×3 一樣嗎？

2³ 是「3 個 2 相乘」，3² 是「2 個 3 相乘」。先把每一個有指數的部分算成一個數。

先算 2³ 與 3²，再把三個數相乘。

把 2³ 寫成連乘的樣子，把 3² 也寫成連乘的樣子，各自算成一個數。最後把三個數（含單獨的 5）乘在一起，可以分兩步乘。

2³=8，3²=9，所以這個數是 8×9×5=72×5=360。回查：用短除法分解 360，得除數 2、2、2、3、3、5，也就是 2³×3²×5，與題目相同。

• 把指數當乘數：2³ 當成 2×3=6，3² 當成 3×2=6，算出 6×6×5=180。但 2³ 是 2×2×2=8，180 不是答案（正確是 360）。補救：指數 n 是「n 個底數相乘」。
• 只看底數：2×3×5=30。指數表示同一個質數出現的次數，不能丟掉。補救：先把每個冪展開，再相乘（正確是 360，不是 30）。

先從最小的質數 2 開始：90 能被 2 整除嗎？商再繼續試。

90÷2 之後看商：2 還能再除嗎？不能再除時，要換下一個質數。

商是奇數之後換下一個質數。看商的數字和是不是 3 的倍數，用 3 除，並記下每次的商，直到商變成質數為止。

同一個質數要除到除不盡才換。把除數那一欄由上到下寫出來，看哪個質數重複，再合併成指數，最後用乘回去檢查。

90÷2=45，45÷3=15，15÷3=5，5÷5=1。除數 2、3、3、5，其中 3 出現兩次，所以 90=2×3²×5。回查：2×9×5=90，底數都是質數，由小到大，3 已合併，其他指數 1 沒寫。

• 寫成 2×3×3×5：值是 90，但相同的 3 沒有合併成 3²。補救：數一數 3 出現幾次，用指數記。
• 寫成 2×3×5：漏了一個 3，乘回去只有 30。補救：15 還能再除一次 3（15=3×5），同一個質數要除到除不盡。
• 寫成 2×3×15：15 是合數（15=3×5），還沒拆完。補救：繼續拆到全是質數。

504 是偶數，先用 2 連續除，看能除幾次。

連續用 2 除，直到商變成奇數為止；然後換下一個質數。

連續用 2 除，每除一次就記一次，直到商變成奇數。再看這個奇數的數字和，決定下一個質數是不是 3。

換成 3 之後也一樣：連續除到除不盡，再換下一個質數，直到商變成質數。最後數一數每個質數各當了幾次除數。

504→252→126→63（三次除以 2），63→21→7（兩次除以 3），7÷7=1。除數是 2、2、2、3、3、7，所以 504=2³×3²×7。回查：8×9×7=72×7=504。

• 寫成 2³×63：63 是合數（63=9×7），還沒拆完。補救：63 的數字和是 9，是 3 的倍數，繼續除以 3。
• 寫成 2³×3×7：少了一個 3，乘回去是 8×3×7=168，不是 504。補救：63÷3=21 與 21÷3=7 各用掉一個 3，共兩個 3，要數清楚 3 共除了幾次。
• 寫成 2×2×2×3×3×7：值對但沒有用指數記。補救：2 出現 3 次寫 2³，3 出現 2 次寫 3²。

依序試最小的質數 2、3、5。715 的個位是什麼？

2 與 3 的檢查：看個位數是不是偶數、數字和是不是 3 的倍數。都不行時，換下一個質數 5，看個位數能不能判斷。

用 5 除之後得到一個新的商。對這個商，仍依序從 2 開始試：用個位數、數字和，以及直接心算乘法，逐一排除，直到找到能整除的質數為止。

每找到一個能整除的質數就除一次，再對新的商繼續試。商變成質數時就停，不需要再往下試。把所有除數與最後的商一起寫出來。

715÷5=143，143÷11=13，13÷13=1。除數是 5、11、13，各出現一次，所以 715=5×11×13。回查：5×11=55，55×13=715；底數都是質數、由小到大、指數 1 不寫。

• 寫成 5×143：143 看起來像質數，但 143=11×13（11×13=143），還沒拆完。補救：2、3、5、7 都除不盡就換 11，11×11=121 比 143 小，不能提前停。
• 寫成 13×11×5：值是 715，但質數由大到小排。補救：由小到大寫成 5×11×13。

12 還能拆嗎？每個 12 各自拆到質數為止，再把所有的葉收集起來。

兩個 12 各自拆成 3×4（或 2×6）後，還有合數要繼續拆。最後數一數每個質數各出現幾次。

(甲) 先把一個 12 拆成兩個較小的數，再繼續拆到只剩質數；兩個 12 的拆法相同，所以只要拆一次，再翻倍數。(乙) 72 可以先拆成兩個你熟悉的數相乘，再繼續拆。

(甲) 把兩個 12 的所有葉子集中，各質數各出現幾次？(乙) 把 72 的葉子與外面多出來的那個 2 放在一起，各質數各出現幾次？再和 (甲) 比較。

(甲) 12=3×4=3×2×2，兩個 12 的葉共有四個 2 和兩個 3，所以 144=2⁴×3²。回查：16×9=144。(乙) 144=2×72，72=8×9=2×2×2×3×3，加上外面的 2，共四個 2、兩個 3，也是 2⁴×3²。結論：拆法不同，葉（質數）一樣，標準質因數分解相同。

• 只拆了一個 12：寫成 2²×3，其實那只是 12（4×3=12，不是 144）。補救：兩個 12 都要拆，葉要全部收集。
• 把指數當乘數：看到四個 2 就寫 2×4=8，得到 8×3²=72，不是 144。補救：四個 2 相乘寫成 2⁴=16，16×9=144。

1215 的個位是 5，數字和是多少？先看最小的幾個質數哪一個先能整除。

1215 是奇數，2 不行；3 的倍數判斷法怎麼用？同一個質數要除到除不盡才換。

用 3 反覆除，每一次都記下商，直到除不盡為止。要特別留意：一共除了幾次 3？可以在旁邊用劃記數次數。

除不盡 3 之後，看剩下的商是不是質數。把除數那一欄寫出來，數各質數的次數，合併成指數，再乘回去檢查。

1215÷3=405，405÷3=135，135÷3=45，45÷3=15，15÷3=5，5÷5=1。3 出現 5 次，5 出現 1 次，所以 1215=3⁵×5。回查：3⁵=243，243×5=1215。

• 數錯次數：只寫 3⁴×5，乘回去是 81×5=405，不是 1215。補救：把每次除法的商寫出來，一次一次數除數。
• 先除 5 得 243 就停：寫成 5×243。243 是合數（243=3⁵），還沒拆完。補救：243 的數字和是 9，繼續用 3 除。

400 可以先拆成兩個容易看出來的因數相乘，例如 4×100。哪些葉還沒有拆到質數？

4 與 100 都不是質數，各自繼續拆；最後只收集質數。

4 還可以再拆成什麼？100 可以先拆成兩個較小的數，再各自拆到質數。拆完後把所有的葉子分類記錄。

把 4 與 100 的葉子集中起來，分別數 2 有幾個、5 有幾個，再用指數記。最後乘回去檢查。

400=4×100=(2×2)×(2×5)×(2×5)，共有四個 2 和兩個 5，所以 400=2⁴×5²。回查：16×25=400。

• 寫成 2²×10²：值是 4×100=400，但 10 是合數（10=2×5），底數必須是質數。補救：10 再拆成 2×5。
• 寫成 2⁴×5：漏掉一個 5，乘回去是 16×5=80，不是 400。補救：100 裡有兩個 5，要全部數出來。

先看小明對 2⁴ 的算法。指數 4 代表什麼？

小明對 2 和 4 做了什麼運算？查看課文中指數記號的定義，比較他的算法與定義有沒有差別。

(乙) 用短除法分解 48：用 2 反覆除，記下每次的商，直到商變成奇數，再看剩下的數。

數一數除數那一欄各質數出現幾次，合併成指數，再與 2⁴×3 比對。然後依指數的正確意義重算 2⁴×3，看乘積是否為 48。

(甲) 小明把 2⁴ 當成 2×4=8，其實 2⁴=2×2×2×2=16。(乙) 48÷2=24，24÷2=12，12÷2=6，6÷2=3，3÷3=1，除數是 2、2、2、2、3，所以 48=2⁴×3。回查：16×3=48。結論：48=2⁴×3 是對的，錯的是小明的檢查。

• 把指數當成加法：2⁴=2+2+2+2=8，同樣得到 8。補救：指數是連乘的個數，2×2×2×2=16。
• 重新分解時只除到 2³，寫成 2³×6：值是 8×6=48，但 6 是合數（6=2×3），沒拆完。補救：6 還能再除一次 2，同一個質數要除到除不盡。

回頭看定義：除了「底數是質數」「乘積對」，標準寫法還有哪些要求？

檢查定義的四個要求，哪一項這位同學沒有做到？

對照定義的每一項要求，逐項檢查 3²×2×7：底數、合併、排列、指數 1。看哪一項這位同學沒有檢查到。

(乙) 依定義的排列要求，重新寫出 126 的分解；可以先用短除法確認各質因數與次數，最後乘回去驗證是 126。

(甲) 說法不完全對：3²×2×7=9×2×7=126，值對、底數都是質數，但質數沒有由小到大排（3、2、7），所以不是標準寫法。(乙) 由小到大排成 2×3²×7。回查：2×9×7=126。

• 改寫成 2×7×3²：值還是 126，但順序是 2、7、3，3 排在 7 後面，仍不是由小到大。補救：依 2、3、7 排。
• 把 3² 拿掉指數，寫成 2×3×7：乘回去是 42，不是 126。補救：3 出現兩次，指數 2 不能丟。

把他寫的 2×3×11 乘出來，看看等不等於 132。

(乙) 看短除法的除數那一欄，每個質數各出現幾次？他的答案裡各出現幾次？

重新看短除法：每一行的除數寫在左邊，最後一行的商也是因數。把短除法裡出現的每個質數都列出來，與同學的答案逐一比對。

把短除法的所有除數與最後的商都納入，再把重複的質數用指數記，最後乘回去檢查是否為 132。

(甲) 2×3×11=66，不是 132。(乙) 短除法用 2 除了兩次（132→66→33），他只寫了一個 2。(丙) 質因數是 2、2、3、11，所以 132=2²×3×11。回查：4×3×11=132。

• 漏掉最後的商 11：寫成 2²×3，乘回去只有 12，不是 132。補救：最後的商 11 是質數，也要寫進答案。
• 寫成 2²×33：值是 4×33=132，但 33 是合數（33=3×11）。補救：33 繼續除以 3 得 11。

質數的定義是什麼？數一數 1 有幾個正因數。

質數要恰好有兩個不同的正因數。1 符合嗎？

檢查 1 的正因數有幾個，與質數的定義比對。(乙) 從最小的質數 2 開始用短除法，記下每次的商。

持續除，直到商變成 1。把除數那一欄寫出來，看各質數出現幾次，用指數合併，再乘回去檢查。

(甲) 1 只有一個正因數，不是質數（也不是合數），所以不能當質因數；乘 1 也不改變乘積，沒有意義。(乙) 54÷2=27，27÷3=9，9÷3=3，3÷3=1，除數是 2、3、3、3，所以 54=2×3³。回查：2×27=54。

• 寫成 2×27：值是 54，但 27 是合數（27=3×9），還沒拆完。補救：27 還能連續除以 3。
• 寫成 2×3×3×3：質數對，值也是 54，但三個 3 沒有合併。補救：寫成 3³。

「不是 2 的倍數、不是 5 的倍數」足以證明一個數是質數嗎？還有哪些質數沒有試？

2 與 5 之外還有 3、7、11 等質數。不妨用數字和檢查 3。

試試看 3：不用整除也行，可以用「各位數字和」的判斷法。試過之後，39 能分成哪兩個數相乘？

(乙) 把 39 拆開後，檢查拆出的每個數是不是質數；若是合數就繼續拆，直到全部是質數。最後把 117 的所有質因數按定義寫成標準形式。

(甲) 39 不是質數，39=3×13。同學只試了 2 與 5，沒有試 3。(乙) 117=3×39=3×3×13，13 是質數，所以 117=3²×13。回查：9×13=117。

• 寫成 3×3×13：質數與乘積都對，但相同的 3 沒有合併。補救：寫成 3²×13。
• 只把 39 拆開卻漏掉外面的 3：寫成 3×13，乘回去是 39，不是 117。補救：外面原本的那個 3 也要算進去。

標準質因數分解的底數有什麼要求？6 符合嗎？

6 是質數還是合數？如果是合數，它還能再拆成什麼？

把每個 6 拆成 2×3，再數一共有幾個 2、幾個 3。

把每個 6 拆開，把得到的所有質數集中起來，分別數各質數的個數，再用指數合併；最後乘回去檢查。

(甲) 6 是合數（6=2×3），底數不是質數，所以 6³ 不是標準質因數分解，只是中途的寫法。(乙) 6³=(2×3)×(2×3)×(2×3)，共三個 2 與三個 3，所以 216=2³×3³。回查：8×27=216。

• 以為 6³ 的指數只套到 3：寫成 2×3³，乘回去是 2×27=54，不是 216。補救：6 裡的 2 也要連乘三次，要寫 2³。
• 寫成 2³×3：只留一個 3，乘回去是 8×3=24，不是 216。補救：三個 6 各有一個 3，共三個 3。

短除法每一列除的都是質數。原來的數和這些除數、最後的商有什麼關係？

每除一次，原數就少一個質因數。把拿走的質因數全部乘回去，就是原數。

短除法每除一次就把一個質因數「拿走」。把拿走的每個質因數與最後留下的商一起想成乘法，原數就是這些全部相乘。

可以分步乘：先乘前幾個，再乘後面的，不要一次全乘。(乙) 寫出所有質因數後，重複的用指數記。

(甲) 這個數是 2×2×3×5×7=60×7=420。(乙) 2 出現兩次，其餘各一次，所以標準質因數分解是 2²×3×5×7。回查：用短除法分解 420，除數是 2、2、3、5，最後的商 7，與題目相同。

• 忘了最後的商：只乘除數 2×2×3×5=60，原數變成 60。補救：最後的商 7 也是質因數，要乘進去。
• 重複的 2 只算一次：2×3×5×7=210，不是 420。補救：兩個 2 都是除數，兩個都要乘；標準寫法再合併成 2²。

如果兩個乘積是同一個數，它們的標準質因數分解應該怎樣？先把每個因數分別分解。

分別分解 18、40、24、30，再把甲的兩個分解合起來、乙的兩個分解合起來，各自整理成標準寫法。

合起來時，用「數個數」的方法：同一個質數一共出現幾次，就用幾次方。

先把甲的兩個因數各自分解，再把兩個分解合在一起，數每個質數共出現幾次；乙也用同樣方式處理，最後比較兩邊的質因數與次數。

甲：18×40=(2×3²)×(2³×5)，共四個 2、兩個 3、一個 5，得 2⁴×3²×5。乙：24=2³×3，30=2×3×5，24×30 共四個 2、兩個 3、一個 5，也是 2⁴×3²×5。兩邊標準分解相同，所以結果相同。回查：16×9×5=720，18×40=720，24×30=720。

• 合併時把底數相乘：把 2 與 2³ 寫成 4³，但 4³=64，而四個 2 相乘是 16。補救：只數 2 的個數，1+3=4，寫成 2⁴，底數不變。
• 合起來之後不整理：寫成 2×3²×2³×5。值對，但同一個質數出現兩次，順序也亂。補救：把相同質數合併、由小到大排列。

先設 3 的指數是 b，2 的指數就是 b+1。b 可以是哪些正整數？

依序試 b=1、2、3……，每種情況寫出一個式子，看看值落在什麼範圍。

依序令 b 為 1、2、3……，每個 b 寫出對應的式子並算出數值，找出何時第一次落在 50 到 100 之間，以及何時超過。

算出各個 b 對應的數之後，圈出落在 50 到 100 之間的那一個。b 變大時數值如何變？這能幫助你確定沒有別的答案。

設 3 的指數是 b，2 的指數是 b+1。b=1：2²×3=12（太小）；b=2：2³×3²=8×9=72；b=3：2⁴×3³=16×27=432（太大）；b 更大只會更大。所以只有 72 在 50 到 100 之間，標準質因數分解是 2³×3²。回查：2 的指數 3 比 3 的指數 2 大 1。

• 以為「大 1」是指兩個指數相同：寫成 2²×3²=36，但 36 不在 50 到 100 之間，指數也沒有差 1。補救：2 的指數要比 3 的指數多 1。
• 只試了一組就停：取 2⁴×3³=432 超過 100。補救：把可能的 b 全部列出，再用「在 50 到 100 之間」挑出唯一的一個。