回課文。每題先自己做,需要時再依序展開提示。看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成,之後要隔一段時間,不看提示,用原題重做一次。L5 會揭示完整答案。
約定:f′、f″ 讀作一階、二階導函數;三階以上寫成 f(3)、f(4)(括號裡的數字是階,不是乘方);d2y/dx2 這類萊布尼茲符號各當成一個整體記號。題目中的函數與情境是為練習設計的。所有題目都只用到逐項微分,不需要計算機,階數最多到五階以內。
設 f(x) = x4 + 3x2 − 5x + 2,求三階導函數 f(3)(x)。
f(3) 的 3 是第幾階?要把 f 微分幾次?
每一次的結果,都是下一次微分的起點。
方法:逐階微分,先 f′,再 f″,再 f(3),每階都檢查常數項。
f′(x) = 4x3 + 6x − 5;f″(x) = 12x2 + 6。請再對 f″(x) 逐項微分一次,常數項會消失。
f′(x) = 4x3 + 6x − 5;f″(x) = 12x2 + 6;f(3)(x) = 24x。(12x2 變 24x;常數 6 變 0。)
可能的錯法:只微分兩次就停,寫 f(3)(x) = 12x2 + 6(那是 f″,不是第三階);或把 f″ 裡的常數 6 留下,寫成 24x + 6(常數的導函數是 0,正確是 24x)。補救:寫完每一階就數一次「微分了幾次」,並劃掉常數項。
設 y = 2x3 − 5x2 + x − 4,依序寫出 dy/dx、d2y/dx2、d3y/dx3、d4y/dx4。
四個符號,各自分子上的小數字分別代表什麼?
寫出一階之後,二階是由誰再微分得到的?
方法:從 dy/dx 開始,每一階都對上一階的結果再逐項微分一次。
dy/dx = 6x2 − 10x + 1;d2y/dx2 = 12x − 10。接著看這個一次式再微分會得到什麼,以及那個結果再微分會得到什麼。
dy/dx = 6x2 − 10x + 1;d2y/dx2 = 12x − 10;d3y/dx3 = 12;d4y/dx4 = 0。(三階是常數 12;常數再微分是 0。)
可能的錯法:把 d4y/dx4 寫成 12(常數再微分仍寫成原常數),或寫「不存在」。常數的導函數是 0,所以正確是 0。補救:到常數那一階就停下來,下一階直接寫 0。
設 y 是 x 的函數。下列哪些寫法都表示「y 對 x 微分兩次」?(可複選)
(A) y″ (B) d2y/dx2 (C) (dy/dx)2 (D) 先求 y′,再把 y′ 對 x 微分一次
微分兩次,和「把一階導函數乘自己」是同一件事嗎?
(C) 的 2 在括號外面,(B) 的 2 在 d 和 x 上面,位置不同。
方法:取一個簡單的函數,例如 y = x2,把四個寫法各算一次,看哪些結果相同。
y = x2 時:y′ = 2x,y″ = 2;(dy/dx)2 = (2x)2 = 4x2。請依同樣方式,把 (B)、(D) 各自算一次,再比較。
答案:(A)、(B)、(D)。(A)、(B) 是二階導數的兩種記號;(D) 是把一階導函數 y′ 再微分一次,正是二階導數的意思。(C) 是把一階導函數平方,y = x2 時得 4x2,而二階是 2,不同。
可能的錯法:只選 (B),以為 y″ 不是萊布尼茲符號的同義寫法(它們是同一階);或加選 (C),把 2 看成平方。補救:用 y = x2 比較,(C) 得 4x2、二階導數得 2,兩者不相等,所以 (C) 不是。
設 f(x) = 3x4 − x3 + 2x2 − 6x + 8,求 f(3)(x) 與 f(4)(x)。
四次式微分四次,會變成什麼樣的函數?
先把 f′、f″ 求出來,每一步都是下一步的材料。
方法:逐項微分。每一項係數乘次數、次數減 1;常數項變 0。
f′(x) = 12x3 − 3x2 + 4x − 6;f″(x) = 36x2 − 6x + 4。請由 f″ 求 f(3),再由 f(3) 求 f(4)。
f′(x) = 12x3 − 3x2 + 4x − 6;f″(x) = 36x2 − 6x + 4;f(3)(x) = 72x − 6;f(4)(x) = 72。(36x2 變 72x;−6x 變 −6;4 變 0。再微分一次:72x 變 72,−6 變 0。)
可能的錯法:少微分一次,把 f″(x) = 36x2 − 6x + 4 當成 f(3)(x);或 f(4)(x) 寫成 72x(那是 f(3) 的 72x 部分,還要再微分一次)。補救:在每一階前面寫上階的記號 f′、f″、f(3)、f(4),逐一對應。
設 y = −2x5 + x3 − 4x,求 d3y/dx3,並求 x = −1 時 d3y/dx3 的值。
三階導數要先經過哪兩階?
係數是負的,每次乘次數時負號都要保留。
方法:先求 dy/dx,再求 d2y/dx2,再求 d3y/dx3;最後才把 x = −1 代入。
dy/dx = −10x4 + 3x2 − 4;d2y/dx2 = −40x3 + 6x。對後者再微分一次,得到 d3y/dx3 的式子,再代 x = −1(−1 的平方是 1)。
dy/dx = −10x4 + 3x2 − 4;d2y/dx2 = −40x3 + 6x;d3y/dx3 = −120x2 + 6。x = −1 時:−120 × (−1)2 + 6 = −120 + 6 = −114。
可能的錯法:乘係數時漏掉負號,得 d3y/dx3 = 120x2 + 6,代 x = −1 得 126(正確是 −114);或把 (−1)2 算成 −1。補救:−2 × 5 = −10、−10 × 4 = −40、−40 × 3 = −120,每一步把負號寫出來;代值時用括號 (−1)2 = 1。
設 g(x) = 1⁄4x4 − 1⁄3x3 + x2,求 g′(x)、g″(x)、g(3)(x),並求 g(3)(2)。
分數係數要不要乘次數?規則有沒有因為係數是分數就改變?
先把 g′ 的每一項算整齊,再往下。
方法:係數乘次數、次數減 1;乘完能約的就約分,讓下一階好算。
g′(x) = x3 − x2 + 2x(1⁄4 × 4 = 1,1⁄3 × 3 = 1,1 × 2 = 2)。接著求 g″,再求 g(3)(x),最後代 x = 2。
g′(x) = x3 − x2 + 2x;g″(x) = 3x2 − 2x + 2;g(3)(x) = 6x − 2;g(3)(2) = 6 × 2 − 2 = 12 − 2 = 10。
可能的錯法:分數係數沒有乘上次數,g′ 寫成 1⁄4x3 − 1⁄3x2 + x,最後得 g(3)(2) = 7/3(正確是 10)。補救:不論係數是整數或分數,微分一定是「係數 × 次數」,不會因為係數是分數而省略。
設 y = f(x) = 5x3 + 4x2 − 7x + 1。請寫出 f″(x) 以及與它同一階的萊布尼茲寫法(用 y 與 x 表示)的式子,並求 x = 2 時的值。
f″ 是第幾階?萊布尼茲符號分子上要寫幾?
同一階的兩個記號,算出來的式子是同一個。
方法:求 f′ 之後再微分一次得 f″(x),它也就是 d2y/dx2 的式子;代值放在最後。
f′(x) = 15x2 + 8x − 7。對它再微分一次,得 f″(x) = d2y/dx2,再代 x = 2。
f′(x) = 15x2 + 8x − 7;f″(x) = d2y/dx2 = 30x + 8;x = 2 時 30 × 2 + 8 = 68。
可能的錯法:只微分一次,算出 f′(2) = 69(那是一階導數的值);或把 d2y/dx2 當成 (dy/dx)2。補救:先檢查你得到的式子是不是一次式(原式三次,微分兩次應是一次)。
位置函數 s = 2t4 − t3 + 5t(s 是 t 的函數)。請寫出 d2s/dt2,並求 t = 2 時 d2s/dt2 的值。
分母寫 dt,表示對哪個變數微分?
規則和對 x 微分完全一樣,只是變數改成 t。
方法:先求 ds/dt,再對 t 微分一次得 d2s/dt2;最後代 t = 2。
ds/dt = 8t3 − 3t2 + 5。再對 t 微分一次得 d2s/dt2,然後代 t = 2。
ds/dt = 8t3 − 3t2 + 5;d2s/dt2 = 24t2 − 6t;t = 2 時 24 × 4 − 6 × 2 = 96 − 12 = 84。
可能的錯法:只求一階,代 t = 2 得 ds/dt = 8 × 8 − 3 × 4 + 5 = 57(那是一階的值);或把變數寫成 x。補救:看分子的 2 決定微分幾次,看分母的 t 決定對誰微分。
設 f(x) = 4x4 − 7x3 + x − 5,求 f(4)(x) 與 f(5)(x),並寫出與它們同階的萊布尼茲符號(用 y = f(x))。
四次式微分四次之後是什麼?第五次呢?
括號裡的小數字是階,不是乘方。
方法:逐階求到 f(3)(x),再往後兩次;f(4) 對應 d4y/dx4,f(5) 對應 d5y/dx5。
f′(x) = 16x3 − 21x2 + 1;f″(x) = 48x2 − 42x;f(3)(x) = 96x − 42。再對這個一次式微分,看看它變成什麼;再微分一次呢?
f(3)(x) = 96x − 42;f(4)(x) = 96,也就是 d4y/dx4 = 96;f(5)(x) = 0,也就是 d5y/dx5 = 0。
可能的錯法:f(5)(x) 也寫成 96(常數的導函數是 0);或把 d5y/dx5 配到 f(4)。補救:四次式微分四次得常數,第五次得 0;符號的分子數字要等於括號裡的數字。
小安求 f(x) = 7x4 − 3x2 + 7x 的三階導函數,寫了:
f′(x) = 28x3 − 6x + 7
f″(x) = 84x2 − 6
f(3)(x) = 168x − 6
請指出他錯在哪一步,並寫出正確的 f(3)(x)。
先逐行檢查:每一行是不是由上一行微分一次得到?
特別看看最後一行,哪一項的來源有問題?
方法:對 f″(x) = 84x2 − 6 重新逐項微分一次。
f″ 裡的 −6 是常數。再微分時,84x2 會變成什麼,−6 又會變成什麼?
錯在最後一步:−6 是常數,常數的導函數是 0,應該消失,不能留在 f(3)(x) 裡。84x2 變 168x。正確:f(3)(x) = 168x。前兩行是對的。
可能的錯法:以為常數在每一次微分中都會保留;或看到前兩行對就不檢查最後一行。補救:對照 f″ 的每一項,逐項寫出它的導函數,常數項寫 0。
小怡求 y = −x3 + 2x 的 d2y/dx2,寫了:「dy/dx = −3x2 + 2,所以 d2y/dx2 = (dy/dx)2 = 9x4 − 12x2 + 4。」請指出錯在哪,並寫出正確的 d2y/dx2。
d2y/dx2 的 2 在表示什麼?
她的結果是幾次式?原式是三次,微分兩次應該是幾次?
方法:一階的 dy/dx 沒有錯,錯在第二步。第二步應該對 dy/dx 做什麼?
dy/dx = −3x2 + 2 是對的。第二階應該是「對這個式子再對 x 微分一次」,而不是把它平方。請對它逐項微分。
錯在把二階導數當成一階導函數的平方。2 是「微分兩次」。正確:把 dy/dx = −3x2 + 2 再對 x 微分一次,得 d2y/dx2 = −6x。(她的結果 9x4 − 12x2 + 4 是四次式,微分兩次不可能由三次式得到四次式。)
可能的錯法:除了把 2 看成平方,也可能只做了第一階就停。補救:用「次數檢查」:原式三次,二階導函數應是一次式。
小華說:「d2y/dx2 分子分母都有 d,可以約掉,變成 y/x2。所以 y = x5 的 d2y/dx2 就是 x5/x2 = x3。」請指出錯在哪,並求出正確的 d2y/dx2。
d 是一個可以約掉的數嗎?它表示什麼?
先用微分的方法算 y = x5 的二階,再和小華的 x3 比較。
方法:dy/dx 與 d2y/dx2 都是整體記號,d 是微分記號的一部分;照規則逐階微分。
dy/dx = 5x4。再對 x 微分一次,就是 d2y/dx2。
錯在把 d 當成數字約掉:d 是微分記號的一部分,不是乘數。正確:dy/dx = 5x4;d2y/dx2 = 20x3。小華的 x3 與 20x3 不同。
可能的錯法:把 d2y 看成 d 乘 d 乘 y;或把分母的 dx2 當成 (dx) 的平方去約分。補救:把萊布尼茲符號整個當成一個記號來讀:「y 對 x 的二階導函數」。
設 y = x4 + x3 − 6x,求 x = 2 時 d3y/dx3 的值。小星的作法是:「先把 x = 2 代入得 y = 12,再微分三次,得 0。」請指出錯在哪,並求出正確的值。
把 x = 2 代入 y 之後,得到的是函數還是一個數?
一個數再微分,會是多少?
方法:先寫出 d3y/dx3 這一階的式子,最後才代入 x = 2。
dy/dx = 4x3 + 3x2 − 6;d2y/dx2 = 12x2 + 6x。對後者再微分一次得到三階的式子,再代 x = 2。
錯在順序:先代入後得到常數 12,常數微分一定是 0,這等於改問了別的問題。正確:d3y/dx3 = 24x + 6,x = 2 時為 24 × 2 + 6 = 54。
可能的錯法:先代值再微分(得 0);或只算到 d2y/dx2 = 12 × 4 + 6 × 2 = 60(那是二階的值)。補救:先求出所要那一階的式子,最後才代值。
設 f(x) = 3x3 − x。小宇把 f(3)(x) 讀成「f(x) 的三次方」,寫成 (3x3 − x)3。請說明這個讀法錯在哪,並求出 f(3)(x) 與 f(3)(1)。
f(3) 與 f3 的差別在哪個符號?
括號裡的 3 是用來說明什麼的?
方法:f(3)(x) 是微分三次的結果,照逐階微分做。
f′(x) = 9x2 − 1;f″(x) = 18x。對 f″ 再微分一次得 f(3)(x)。
括號裡的 3 表示階,f(3) 是微分三次;f3 才是 f 的三次方。f′(x) = 9x2 − 1;f″(x) = 18x;f(3)(x) = 18,所以 f(3)(1) = 18。若用小宇的讀法,在 x = 1 得 (3 − 1)3 = 8,與 18 不同。
可能的錯法:把 f(3)(1) 當成 f(1) 的三次方 8;或認為常數 18 代入後會變。補救:有括號的小數字是階;三階導函數是常數 18 時,任何 x 值代入都是 18。
設 y = f(x) = 7x3 − 2x2。小美做了下面的對照,其中有兩列配錯了階:
f′(x) = 21x2 − 4x,對應 dy/dx
f″(x) = 42x − 4,她寫對應 d3y/dx3
f(3)(x) = 42,她寫對應 d2y/dx2
請指出配錯的兩列,並寫出正確的 d2y/dx2 與 d3y/dx3。
每一階的 f 記號,與萊布尼茲符號分子上的數字,應該怎樣對應?
f″ 是微分幾次的結果?f(3) 括號裡的數字又是幾?
方法:撇數或括號數字等於分子上 d 的次數,先核對這個。
f′ 的對應沒問題。請自己微分驗證 f″、f(3) 各是第幾階,再和小美寫的萊布尼茲符號分子上的數字逐列比對。
第二列、第三列配錯(對調了)。正確:d2y/dx2 = f″(x) = 42x − 4;d3y/dx3 = f(3)(x) = 42。第一列對。
可能的錯法:只看哪個式子「比較短」就配到最後面;或把 f″ 配到 d3y/dx3(以為 ″ 是三階)。補救:撇數或括號數字、分子的數字,三者(含微分次數)必須一致。
設 y = 3x5 − x2 + 9,求 d5y/dx5,以及再微分一次所得的函數。(提示:不必一階一階全寫出來,可以利用次數想一想。)
這個多項式是幾次?微分到第幾次會變成常數?
低次的項,例如 −x2 和 9,微分幾次之後就消失了?
方法:只有最高次項能撐到第五階。x5 微分五次是 5 × 4 × 3 × 2 × 1,再乘係數 3。
5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120(這是 x5 微分五次的結果)。係數 3 也要一起算進去。得到的第五階是常數,再微分一次會是什麼?
d5y/dx5 = 3 × 120 = 360(−x2 微分兩次後已是常數 −2,再微分就是 0;9 微分一次就是 0);再微分一次得 0(常數的導函數是 0)。
可能的錯法:忘記乘係數 3,寫成 120;或把再微分一次的結果也寫成 360。補救:五次式微分五次得常數,再微分一次必為 0;每個係數都要乘進去。
設 y = ax4 + bx3 + x(a、b 為常數)。已知 x = 1 時,d2y/dx2 = 30,且 x = 1 時,d3y/dx3 = 42。求 a、b。
a、b 是常數,微分時怎麼對待它們?
每個條件寫成關於 a、b 的一個等式。
方法:先求 d2y/dx2 與 d3y/dx3(含 a、b 的式子),再把 x = 1 代入,得到兩個等式。
d2y/dx2 = 12ax2 + 6bx;d3y/dx3 = 24ax + 6b。代 x = 1 得兩個關於 a、b 的方程式,解聯立。
12a + 6b = 30,24a + 6b = 42。兩式相減得 12a = 12,a = 1;代回 12 + 6b = 30,b = 3。檢查:24 + 18 = 42,符合。
可能的錯法:把兩個條件的階對調(把 30 配到三階、42 配到二階),得 24a + 6b = 30、12a + 6b = 42,解出 a = −1、b = 9(不符合原題);或把 a、b 也微分掉。補救:先確認哪個條件是哪一階,再列式;解完把 a、b 代回兩個條件檢查。
設 y 是 x 的四次多項式(最高次項係數不為 0)。下列哪些一定成立?(可複選)
(A) d4y/dx4 是不等於 0 的常數
(B) d2y/dx2 是二次多項式
(C) d5y/dx5 是一次多項式
(D) d3y/dx3 是三次多項式
每微分一次,次數怎麼變?
四次式微分一次是幾次、兩次是幾次,往下推。
方法:取一個四次式當例子,例如 y = 5x4 + x,逐階列出,並注意:每階的次數是不是都比上一階少 1。
y = 5x4 + x 的各階:20x3 + 1、60x2、120x、120、0。對照四個選項的次數與是否為 0。
答案:(A)、(B)。四次式微分四次,得到不為 0 的常數(例:y = 5x4 + x 得 120),所以 (A) 成立;微分兩次是二次,(B) 成立;微分五次是 0,不是一次多項式,(C) 不成立;微分三次是一次,(D) 說三次,不成立。
可能的錯法:以為每微分一次次數不變或只少一半,選到 (D) 或 (C)。補救:每微分一次,次數剛好少 1,四次式微分 k 次變成 4 − k 次,直到常數,再微分一次為 0。