練習:用試算表或程式做矩陣運算,並用一格手算核對

先分別寫出 A 與 B 的尺寸,格式是「列數×行數」。

乘法要不要成立,要看尺寸中的哪兩個數互相比較?加法和乘法比較的數一樣嗎?

AB 能算的條件是:A 的行數等於 B 的列數(把兩個尺寸並排寫,最中間相鄰的兩個數要相等)。兩個表一樣大是加法的條件,不是乘法的條件。

本題 A 的尺寸是 3×2,B 的尺寸是 3×2。把兩個尺寸並排寫成 (3×2)(3×2),請看中間相鄰的兩個數,判斷它們是否相等,再對照四個選項。

答案是(丙)。(3×2)(3×2):中間兩個數 2 與 3 不相等,A 的每一列只有 2 個數,B 的每一行卻有 3 個數,配不成對,所以 AB 不能算。(甲)(乙)都是假設能算;(丁)把加法的條件(兩表同尺寸)當成乘法的條件,兩者不同。補充:若要得到每間店的某種合計,通常是另一張尺寸相配的表(例如 2×1)來乘。

C=A+B 時,C 的每一格應該由 A、B 的哪個位置的數得到?

只有一格錯,所以其他格都與正確結果相同。你可以一列一列地比對,不必一次算完。

C 的 [i, j] 等於 A 的 [i, j] 加 B 的 [i, j]。逐格相加,把得到的數和輸出對照,第一個不相符的格就是答案;找到後再確認其餘格相符。

第 1 列:A 的 [3, 5, 2] 與 B 的 [2, 0, 7] 逐格相加,結果與輸出第 1 列 [5, 5, 9] 相符。請接著算第 2 列:A 的 [6, 1, 4] 與 B 的 [1, 8, 3] 逐格相加,與輸出第 2 列 [7, 9, 10] 比較。

第 2 列正確結果是 [7, 9, 7]:6+1=7、1+8=9、4+3=7。輸出的 [2, 3] 是 10,與 7 不同。答案:錯的是 [2, 3](乙店第 3 天),正確值是 7。

先確定:列代表什麼對象、行代表什麼屬性。

[i, j] 的 i 是列號、j 是行號。把題目給的列次序和行次序寫在矩陣旁邊,再去對照。

列由上而下是甲、乙、丙;行由左而右是週一、週二、週三、週四。[3, 2] 是第 3 列(哪一班)和第 2 行(星期幾)交會的那一格。

第 3 列是 [5, 2, 11, 13],第 2 行是每一列由左數來第 2 個數。請在第 3 列中取第 2 個數;[2, 3] 則是第 2 列 [8, 10, 3, 6] 的第 3 個數。

[3, 2]:丙班、週二,借書 2 本。[2, 3]:乙班、週三,借書 3 本。尺寸 3×4 與「3 個班、4 天」相符。

加法要求兩個表有什麼關係?結果表的尺寸怎麼決定?

[3, 2] 是第 3 列第 2 行。要用 A 和 B 的哪一格?

C 的 [3, 2] 等於 A 的 [3, 2] 加 B 的 [3, 2]。先在兩張表上找到第 3 列第 2 行。

A 的第 3 列是 [12, 35],B 的第 3 列是 [8, 9]。第 2 行就是各取第 2 個數:35 與 9。請把它們相加,並說明那一格是哪個倉庫、哪個商品。

A、B 都是 3×2,可以相加,C 也是 3×2。C 的 [3, 2]=35+9=44,意義是倉庫 3 的商品乙在進貨後有 44 件。

純量倍 kR 對 R 的每一格做的是同一個動作。這個動作是什麼?

輸出顯示的格,和 R 的「同一個位置」有什麼關係?

D 的 [i, j]=k×R 的 [i, j]。選一個已顯示的格,用「輸出值÷R 的值」得到 k,再用另一個已顯示的格核對是否得到同一個 k。

D 的 [1, 1] 顯示 60,R 的 [1, 1] 是 20;D 的 [2, 2] 顯示 90,R 的 [2, 2] 是 30。請各做一次除法,看商是否相同。得到 k 之後,再乘在 R 的 [1, 3] 上。

60÷20=3,90÷30=3,兩格得到同一個倍數,所以 k=3。D 的 [1, 3]=k×R 的 [1, 3]=3×5=15。

減法是 A 的每一格減 B 的同一格。要減的是哪一個減哪一個?題目說 D 表示什麼?

D=A−B 是「本月減上月」,值為正、為負、為 0 各代表什麼?

D 的 [i, j]=A 的 [i, j]−B 的 [i, j]。取 [1, 3] 與 [2, 3] 這兩格,依「本月減上月」的次序寫出算式。

A 的 [1, 3]=20,B 的 [1, 3]=25;A 的 [2, 3]=41,B 的 [2, 3]=41。請各自用「A 的值−B 的值」算,再依正負或 0 說明意義。

D 的 [1, 3]=20−25=-5:分店 1 的飲品丙本月比上月少賣 5 杯(負值表示減少)。D 的 [2, 3]=41−41=0:分店 2 的飲品丙兩個月銷量相同。

先寫 N、P 的尺寸,再並排成 (N 的尺寸)(P 的尺寸),看中間兩個數。

C 的 [2, 1] 要用 N 的哪一整列和 P 的哪一整行?兩者各有幾個數?

C 的 [i, j] 等於 N 的第 i 列與 P 的第 j 行「對應位置相乘再相加」。第 1 個數配第 1 個、第 2 個配第 2 個、第 3 個配第 3 個。

N 的第 2 列是 [1, 5, 2],P 的第 1 行是 [8, 6, 5](由上而下)。請寫出「1×8+5×6+2×5」這三項各自的積,再相加。結果表的尺寸看外側兩個數。

(2×3)(3×1):中間 3=3,能算,C 是 2×1。C 的 [2, 1]=1×8+5×6+2×5=8+30+10=48,表示第 2 組客人共付 48 元。

AB 與 BA 在乘法中,誰放在左邊、誰放在右邊?這會影響取哪一列、哪一行嗎?

AB 的 [1, 2] 用「左邊矩陣的第 1 列」和「右邊矩陣的第 2 行」。BA 的 [1, 2] 呢?

AB 的 [1, 2]=A 的第 1 列配 B 的第 2 行;BA 的 [1, 2]=B 的第 1 列配 A 的第 2 行。每個都是兩項相乘再相加。

A 的第 1 列 [2, 1],B 的第 2 行(由上而下)[5, 1];B 的第 1 列 [0, 5],A 的第 2 行(由上而下)[1, 4]。請各寫出兩項的積再相加。

AB 的 [1, 2]=2×5+1×1=11;BA 的 [1, 2]=0×1+5×4=20。兩個值不同(11≠20),可見矩陣乘法的次序不能對調。

先並排寫出 (N 的尺寸)(P 的尺寸),判斷能不能乘,再用外側兩個數決定 C 的尺寸。

C 的列由 N 的列決定,C 的行由 P 的行決定。想想列和行各代表什麼。

C 的 [i, j]=N 的第 i 列配 P 的第 j 行,三項相乘再相加。[2, 2] 要用 N 的第 2 列和 P 的第 2 行。

N 的第 2 列是 [3, 0, 5],P 的第 2 行(由上而下)是 [3, 2, 1]。請寫出 3×3、0×2、5×1 三項再相加,並想想「贈送點數」那一行說明了什麼。

(2×3)(3×2),中間 3=3,能算,C 是 2×2:列是團(第1團、第2團),行是「總票價(百元)」與「總贈送點數」。C 的 [2, 2]=3×3+0×2+5×1=9+0+5=14,表示第 2 團共得到 14 點贈送點數。

原表有幾列、幾行?工具讀到的矩陣有幾列、幾行?

把工具讀到的第 1 列,拿去和原表的某一行比比看。

原表第 1 行(由上而下)是 14、11、7。工具讀到的第 1 列是什麼?把原表的 6 個數字逐一在工具矩陣中找出來,看它們的位置有什麼規律,再判斷是個別格子出錯,還是有系統的現象。

請把下面兩組並排比較:原表的第 1 行與工具矩陣的第 1 列;原表的第 2 行與工具矩陣的第 2 列。同時數一數原表的 6 個數字有沒有全部出現、有沒有哪一個不一樣。再用你看到的現象逐項檢查四個選項。

答案是(乙)。工具讀到的矩陣,第 1 列是原表的第 1 行,第 2 列是原表的第 2 行,所有數字都在,只是列與行互換了(轉置),所以變成 2×3。若這樣直接拿去運算,列就成了商品、行成了店,和原本「列是對象、行是屬性」的語意相反。正確的輸入應是 3×2,第 1 列 [14, 9]。(甲)忽略了與原表不符;(丙)(丁)數字全都在、也都正確,不是少一格或抄錯。

矩陣 M 的第 1 列第 1 行,是試算表的哪一格?標題占了哪些位置?

矩陣的位置和試算表的儲存格位置之間,差了幾列、幾欄?

矩陣 M 的 [1, 1] 在試算表的 B2。所以矩陣的第 i 列對應試算表的第 i+1 列,矩陣的第 j 行對應試算表的第 j+1 欄(欄名要從 A 數起)。

[2, 3]:i=2,試算表的列號是 2+1;j=3,試算表的欄是 3+1=第 4 欄(欄名從 A 起依序數)。請把欄名和列號合起來,並讀出那一格的值。

[2, 3]:試算表的第 3 列(乙組)、第 4 欄 D(週三),儲存格是 D3,值是 8。矩陣的位置 [i, j] 與儲存格位置不同,因為標題占了第 1 列和 A 欄。

工具加的是「同一位置」的兩個數。A 的第 1 行和 B 的第 1 行,是同一個月份嗎?

加法的前提除了尺寸相同,還要看相同位置上的數是不是「同一個意義」。

先把 B 的行次序調成和 A 相同(一月、二月、三月),也就是把 B 每一列左右顛倒,再依位置相加;或直接找出同月份的兩個數相加。

調整後 B 的第 1 列是 [14, 9, 12],第 2 列是 [8, 16, 10]。倉庫 1 的一月是 A 的 [1, 1]=18 加調整後 B 的 [1, 1];倉庫 2 的三月是 A 的 [2, 3]=25 加調整後 B 的 [2, 3]。請完成兩個加法。

(1)工具只對位置相加:C 的 [1, 1]=18+12=30 把一月和三月加在一起,沒有意義;尺寸相同只保證能算,不保證意義正確。(2)先把 B 的月份調成一月、二月、三月,倉庫 1 的一月=18+14=32,倉庫 2 的三月=25+10=35。

矩陣乘積 AB 的 [1, 1] 要用 A 的哪一列、B 的哪一行?用了幾項?

輸出的 [1, 1] 是 15。A 的 [1, 1] 與 B 的 [1, 1] 是什麼數?

AB 的 [1, 1]=A 的第 1 列配 B 的第 1 行,對應相乘再加。再看看 15 是怎麼由 A、B 的哪些數得到的,是一項還是兩項?

A 的第 1 列 [3, 1],B 的第 1 行(由上而下)[5, 1]。請算 3×5+1×1,把結果和輸出的 15 比較;再想想 15 是用到 A 的第 1 列、B 的第 1 行中的幾對數得到的。最後看輸出的 [1, 2] 是 2,和 A 的 [1, 2]、B 的 [1, 2] 比較。

AB 的 [1, 1]=3×5+1×1=16,輸出是 15,不同。15=3×5 只是 A 的 [1, 1] 乘 B 的 [1, 1](同位置相乘),輸出的 [1, 2]=1×2=2 也是同位置相乘。所以這個輸出不是矩陣乘積 AB,而是逐格相乘的表。要做矩陣乘法,要用工具中矩陣乘法的指令(例如試算表的 MMULT,程式語言的 @ 或 dot)。

兩種運算在某一格的結果有可能相同。你要找的是「兩種結果相同」的那一格。

分別算每一格在「逐格相乘」與「矩陣乘積」的值,看看哪一格兩個值一樣。

逐格相乘:C 的 [i, j]=A 的 [i, j]×B 的 [i, j]。矩陣乘積:C 的 [i, j]=A 的第 i 列配 B 的第 j 行,兩項相加。

逐格相乘的四格:[2×5, 0×1; 3×0, 4×2]。矩陣乘積的 [1, 1]=2×5+0×0;[1, 2]=2×1+0×2;[2, 1]=3×5+4×0;[2, 2]=3×1+4×2。請算出八個數,逐格比較。

逐格相乘:[[10, 0],[0, 8]];矩陣乘積:[[10, 2],[15, 11]]。只有 [1, 1] 兩者都是 10,所以手算 [1, 1] 無法分辨;[1, 2](0 與 2)、[2, 1](0 與 15)、[2, 2](8 與 11)都能分辨。答案:(甲)。教訓:抽查的格要選「兩種可能會給出不同結果」的格,而且一格相符不能保證整張都對。

想要「每間店」的合計,結果表的列應該是什麼?行應該是什麼?它的尺寸應該是幾乘幾?

A 是 2×3,B 是 3×2。AB 和 BA 的尺寸各是多少?

把 A、B 的尺寸並排寫出 AB 與 BA 兩種次序,各取外側兩個數得到各自的結果尺寸,再和工具印出的 3×3 比較:工具把哪個矩陣放在左邊?

AB 的 [1, 2]=A 的第 1 列 [3, 1, 2] 配 B 的第 2 行(由上而下)[6, 3, 0]。請寫出 3×6、1×3、2×0 三項再相加,並說明意義。

3×3 是 BA 的尺寸,表示工具算成了 BA(B 放在左邊),也可以從輸出的 [1, 1]=2×3+6×0=6 看出(B 的第 1 列配 A 的第 1 行)。要得到店×(售價、成本),應算 AB,尺寸 2×2。AB 的 [1, 2]=3×6+1×3+2×0=18+3+0=21,意義是店 1 的總成本為 21 元。

程式的位置從 0 開始數,數學的位置 [i, j] 從 1 開始數。兩者相差多少?

先寫出 A、B 的列數與行數,判斷 A @ B 能不能算,再決定 C 的尺寸。

C[2][0] 的 2 是列的位置、0 是行的位置。轉成 [i, j] 要各加 1。再用 A 的那一列配 B 的那一行,對應相乘後相加。

先把 C[2][0] 轉成 [i, j]。然後在 A 中找第 i 列,在 B 中找第 j 行(由上而下寫成一排),把這一列和這一行的數對應相乘再相加。A、B 的尺寸請照 L2 先寫出來。

A 是 3×2,B 是 2×3,(3×2)(2×3),中間 2=2,C 是 3×3。C[2][0] 相當於 [3, 1]。值=4×1+5×3=4+15=19。

先並排寫出 (S 的尺寸)(p 的尺寸),看中間兩個數。

S 的每一列有三個數,分別是三種商品的件數。要和它配對的單價,應該怎麼排?

S 的行是商品甲、乙、丙。乘法要求左邊矩陣的行與右邊矩陣的列配對,所以右邊矩陣的「列」也要是商品。p 現在的列和行各是什麼?要怎麼改排,才能讓商品出現在列的方向上?

把三個單價改排成一行(由上而下仍依甲、乙、丙的次序 10、20、15)後,再檢查一次尺寸。店2 的總收入用 S 的第 2 列 [4, 6, 2] 配這一行:每種商品的件數乘它的單價,再把三項相加。

(1)(2×3)(1×3):中間 3 與 1 不相等,不能乘。(2)把 p 轉置成 3×1(列與行對調),(2×3)(3×1) 中間 3=3,可以乘,結果是 2×1。理由是:S 的行是商品,轉置後 p 的列也是商品,同一種商品的件數與單價才會配對。轉置不是隨意對調,它讓資料的語意一一對上。(3)店2 的總收入=4×10+6×20+2×15=40+120+30=190 元(店1 為 205 元)。

三個式子在同一格各會得到什麼值?要分辨,需要它們在那一格的值各不相同。

選 [1, 1],分別把 A 的 [1, 1] 與 B 的 [1, 1] 代進三個式子。

(甲)2A−B 的 [1, 1]=2×A 的 [1, 1]−B 的 [1, 1];(乙)A−2B 的 [1, 1]=A 的 [1, 1]−2×B 的 [1, 1];(丙)2(A−B) 的 [1, 1]=2×(A 的 [1, 1]−B 的 [1, 1])。

A 的 [1, 1]=4,B 的 [1, 1]=1。請算出三個式子在 [1, 1] 的值,與輸出的 [1, 1]=2 比較。再用第二格 [2, 3](A 是 7,B 是 4,輸出是 -1)核對你選的式子。

[1, 1]:(甲)2×4−1=7;(乙)4−2×1=2;(丙)2×(4−1)=6。輸出是 2,所以是(乙)A−2B。核對 [2, 3]:7−2×4=-1,與輸出的 -1 相符。(若只看 [1, 1] 沒有第二格的核對,仍可能是偶然。)