練習：把事件條件寫成樣本空間的子集
回課文。每題先自己做，需要時再依序展開提示。看過第 3 層以上提示才做出來的題目，算是練習，還不算獨立完成，之後要隔一段時間，不看提示，用原題重做一次。L5 會揭示完整答案。
記號：S 是樣本空間，事件是 S 的子集合，用大括號列舉元素。有序對 (a,b) 的第一個位置與第二個位置各代表題目指定的對象（例如紅骰與藍骰）。集合若只有一個元素也要寫成集合，沒有元素就寫 ∅。題目中的情境與數字是為了練習設計的，不是真實資料。
診斷題
練習 1
擲一顆骰子，只記錄出現的點數，樣本空間 S={1, 2, 3, 4, 5, 6}。事件 A：點數是質數；事件 B：點數大於 4。
(1) 把 A、B 各寫成 S 的子集合（列舉元素）。(2) A、B 是否互斥？說明理由。(3) A 是不是 S 裡的一個元素（基本結果）？
提示階梯（L1→L5）
L1（方向）
先弄清楚「質數」與「大於 4」各是什麼意思，再把 S 的六個結果一個一個檢查。〔回課文：寫出事件的四個步驟〕
L2（結構）
對 S 的每個點數各問兩個是非題：「它是質數嗎？」「它大於 4 嗎？」互斥要看兩個事件有沒有共同的結果。〔回課文：事件的定義〕
L3（方法）
質數是恰有兩個正因數的正整數。先各自列舉 A、B；再求 A∩B；A∩B 是不是 ∅ 決定互斥與否。(3) 想想：S 的元素是一個點數，A 是什麼？
L4（設定與中間結果）
各點數的正因數個數：1 有 1 個，2 有 2 個，3 有 2 個，4 有 3 個，5 有 2 個，6 有 4 個。「大於 4」的點數請你自己找。再比較 A、B 有沒有共同結果。
L5（完整揭示）
(1) 質數要恰有兩個正因數，所以 A={2, 3, 5}（1 只有一個正因數，4 與 6 有更多）；大於 4 的點數是 5 與 6，B={5, 6}。(2) A∩B={5}，不是 ∅，所以 A、B 不互斥（點數 5 同時符合兩個條件）。(3) 不是。S 的元素是單一個點數，A 是由 3 個點數組成的集合，是 S 的子集合，不是 S 的元素。回查：A、B 的每個元素都在 S 裡；沒收進 A 的 1、4、6 確實不是質數。
可能的錯法與補救（做完或卡住再看）
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：
- 把 1 當質數，寫 A={1, 2, 3, 5}（1 只有一個正因數，不是質數；正確 A={2, 3, 5}）
- 把「大於 4」寫成含 4，B={4, 5, 6}（4 不大於 4；正確 B={5, 6}）
- 因為 A、B 是兩個不同的集合，就說它們互斥（互斥要看有沒有共同結果，點數 5 同時在 A、B；正確：不互斥）
- (3) 回答「是」，並說 S 因此變成 7 個結果（事件 A 是一組結果，不是新結果；S 仍只有 6 個結果）
補救：
- 補救 1：回課文看質數的定義，用 1 到 6 各自的正因數個數檢查；重做時把每個點數的判斷寫成一欄表格。
- 補救 2：「大於」不含邊界，把 4 代入「4 大於 4 嗎？」檢查；見課文的比較用語表。
- 補救 3：互斥的檢驗方法是求 A∩B；先找兩個集合有沒有共同元素，不能只看它們長得不同。
- 針對本題：先列出 A、B 兩個集合，再逐一對照；重做時須完整寫出 (1)(2)(3) 三部分。
回到原題時須完整重寫，不可只改最後一個答案。
回到課文：〔回課文：寫出事件的四個步驟〕、〔回課文：事件的定義〕、〔回課文：互斥與餘事件〕
練習 2
依序擲 1 元、5 元、10 元硬幣各一枚，記錄（1 元，5 元，10 元）三枚的結果。樣本空間 S={(正,正,正), (正,正,反), (正,反,正), (正,反,反), (反,正,正), (反,正,反), (反,反,正), (反,反,反)}。事件 A：恰有兩枚正面。
把 A 寫成 S 的子集合（列舉元素），並說明你怎麼確定沒有漏掉。
提示階梯（L1→L5）
L1（方向）
「恰有兩枚正面」和「至少兩枚正面」有什麼不同？先用自己的話說一次。〔回課文：常見錯誤與自查〕
L2（結構）
三枚硬幣不同，位置有意義：正面是哪兩枚，會對應不同的結果。對 S 的每個結果各數一次「正」的個數。〔回課文：寫出事件的四個步驟〕
L3（方法）
方法：把 S 的 8 個結果逐一數出「正」的個數，只收個數剛好符合「恰有」的結果；最後再檢查沒收的結果是否真的不符合。
L4（設定與中間結果）
前四個結果正面的個數依序是：(正,正,正) 有 3、(正,正,反) 有 2、(正,反,正) 有 2、(正,反,反) 有 1。其餘四個結果的正面個數請你自己數，再選出符合「恰有」的結果並寫成集合。
L5（完整揭示）
逐一數正面的個數：(正,正,正) 有 3、(正,正,反) 有 2、(正,反,正) 有 2、(正,反,反) 有 1、(反,正,正) 有 2、(反,正,反) 有 1、(反,反,正) 有 1、(反,反,反) 有 0，恰為 2 的結果有三個，所以 A={(正,正,反), (正,反,正), (反,正,正)}，n(A)＝3。確認沒漏：恰兩枚正面等於「恰一枚反面」，反面可能是 1 元、5 元或 10 元三枚中的一枚，所以正好 3 個；其餘的 (正,正,正) 有 3 枚正面、(正,反,反) 等有 1 枚或 0 枚，都不符合。
可能的錯法與補救（做完或卡住再看）
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：
- 只寫一個結果 A={(正,正,反)}（漏掉另外兩種「哪一枚是反面」；正確 A={(正,正,反), (正,反,正), (反,正,正)}）
- 把「恰有」讀成「至少」，A={(正,正,正), (正,正,反), (正,反,正), (反,正,正)}（多收了 (正,正,正)；正確 A={(正,正,反), (正,反,正), (反,正,正)}）
- 把 A 寫成「2 枚正面」或「A＝2」（事件要寫成結果的集合，不是一個數）
補救：
- 補救 1：把「恰」「至少」的差別各代入 (正,正,正) 檢查：它有 3 枚正面，算不算「恰有兩枚」？
- 補救 2：先數出每個結果的正面個數再選，不要憑印象；課文示範一有逐項是非表可以模仿。
- 針對本題：重做時畫出 8 列表格，一欄寫結果，一欄寫正面個數，最後只收符合的列。
回到原題時須完整重寫，不可只改最後一個答案。
回到課文：〔回課文：寫出事件的四個步驟〕、〔回課文：常見錯誤與自查〕、〔回課文：文字說法與集合記號〕
練習 3
擲一顆紅骰與一顆藍骰，記錄（紅骰點數，藍骰點數），S 共有 36 個結果。事件 E：兩顆點數的和小於 11。
求 E 的餘事件 E′，把 E′ 的結果全部列出來。
圖：S 的 36 個結果各占一格，只是整理位置用的空白方格。圖不依比例，請依題目給的條件判斷。提示階梯（L1→L5）
L1（方向）
E′ 是「E 沒有發生」。先用一句話說出 E′ 的條件，再去找結果。〔回課文：事件的定義〕
L2（結構）
「小於 11」的相反說法不是「大於 11」：想一想和剛好是 11 的結果應該放在 E 還是 E′。
L3（方法）
E′ 的條件是「和不小於 11」，也就是和是 11 以上。兩顆骰子的點數最大都是 6，所以先想最大的和是多少，再逐一找。
L4（設定與中間結果）
和最大是 12（只有一種點數組合）。接著請你自己找和為 12 的所有結果、和為 11 的所有結果，注意紅、藍是兩顆不同的骰子，順序要分清。
L5（完整揭示）
E′ 是 S 中和不小於 11 的結果：和為 12 只有 (6,6)；和為 11 有 (5,6) 與 (6,5)。所以 E′={(5,6), (6,5), (6,6)}。回查：E 有 33 個結果，33＋3＝36＝n(S)。
可能的錯法與補救（做完或卡住再看）
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：
- 把 E′ 當成「和大於 11」，得 E′={(6,6)}（和剛好為 11 的結果也不在 E 裡；正確 E′={(5,6), (6,5), (6,6)}）
- 只寫 (5,6) 而漏掉 (6,5)，得 E′={(5,6), (6,6)}（紅、藍兩顆骰子不同，(6,5) 是另一個結果；正確 E′={(5,6), (6,5), (6,6)}）
- 把 E 的 33 個結果全部寫出來當作答案（那是 E，不是 E′）
補救：
- 補救 1：「小於 11」的餘事件是「不小於 11」，邊界 11 要放進 E′；見課文比較用語表。
- 補救 2：兩顆不同的骰子，有序對交換位置就是另一個結果；重做時逐格檢查圖中的方格。
- 針對本題：重做時先寫「E′ 的條件是和不小於 11」，再用 n(E)＋n(E′)＝36 回查。
回到原題時須完整重寫，不可只改最後一個答案。
回到課文：〔回課文：事件的定義〕、〔回課文：文字說法與集合記號〕、〔回課文：示範二〕
練習 A：從文字條件選出子集合
練習 4
袋中有 12 顆球，號碼為 1 到 12，抽一顆，只記錄號碼，樣本空間 S={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}。事件 A：號碼是 12 的因數。
把 A 寫成 S 的子集合。
提示階梯（L1→L5）
L1（方向）
「12 的因數」和「12 的倍數」不一樣。先說出「因數」的意思，再檢查。〔回課文：常見錯誤與自查〕
L2（結構）
對 S 的每個號碼 k 問一個是非題：「12 能被 k 整除嗎？」從 1 開始，一個一個檢查到 12，不要跳。
L3（方法）
方法：對 k＝1, 2, …, 12 各做一次除法 12÷k，看有沒有餘數；沒有餘數的 k 才收進 A。1 和 12 本身也要檢查。
L4（設定與中間結果）
先給你一部分：k＝5 時 12÷5 餘 2；k＝7 時餘 5；k＝8 時餘 4，這些都不符合。其餘的 k 請你自己判斷並收進集合。
L5（完整揭示）
逐一檢查：12÷1、12÷2、12÷3、12÷4、12÷6、12÷12 都整除，5、7、8、9、10、11 有餘數。所以 A={1, 2, 3, 4, 6, 12}。回查：A 的每個元素都能整除 12；有餘數的號碼都不在 A。
可能的錯法與補救（做完或卡住再看）
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：
- 漏掉 1 與 12（以為因數一定比 12 小而且大於 1），A={2, 3, 4, 6}（1 和 12 本身也是 12 的因數；正確 A={1, 2, 3, 4, 6, 12}）
- 把「因數」讀成「倍數」，A={12}（12 的倍數在 S 內只有 12；正確 A={1, 2, 3, 4, 6, 12}）
- 漏掉 12，A={1, 2, 3, 4, 6}（12 能被 12 整除；正確 A={1, 2, 3, 4, 6, 12}）
補救：
- 補救 1：把「因數」寫成「k 整除 12」，「倍數」寫成「12 整除 k」，代入 k＝6 看哪一句成立。
- 補救 2：一個一個檢查 1 到 12，每個 k 在紙上寫「整除」或「不整除」，不跳過頭尾。
- 針對本題：重做時先畫 12 格表，再收符合的 k，最後和 {1,…,12} 對照確認個數是 6。
回到原題時須完整重寫，不可只改最後一個答案。
回到課文：〔回課文：寫出事件的四個步驟〕、〔回課文：常見錯誤與自查〕
練習 5
擲一顆紅骰與一顆藍骰，記錄（紅骰點數，藍骰點數），S 共有 36 個結果。事件 B：紅骰點數是藍骰點數的 2 倍。
把 B 寫成 S 的子集合。
圖：S 的 36 個結果各占一格，只是整理位置用的空白方格。圖不依比例，請依題目給的條件判斷。提示階梯（L1→L5）
L1（方向）
有序對 (a,b) 的哪個位置是紅骰？「紅骰是藍骰的 2 倍」誰要乘 2？先把條件寫成一個算式。〔回課文：寫出事件的四個步驟〕
L2（結構）
固定藍骰的點數 b，紅骰需要是多少？這個數有沒有超過骰子的點數範圍（1 到 6）？
L3（方法）
方法：對藍骰點數 b＝1, 2, …, 6 逐一算出紅骰需要的點數 2b，只有 2b 仍在 1 到 6 之間才算一個結果。
L4（設定與中間結果）
b＝1 時紅骰要是 2；b＝2 時紅骰要是 4；b＝4 時紅骰要是 8，超過 6。b＝3、5、6 請你自己算，並把符合的寫成（紅,藍）。
L5（完整揭示）
條件是「紅＝2×藍」。藍＝1 → 紅＝2；藍＝2 → 紅＝4；藍＝3 → 紅＝6；藍＝4、5、6 → 紅需要是 8、10、12，超出骰子的點數。所以 B={(2,1), (4,2), (6,3)}。回查：每個結果的第一個數都是第二個數的 2 倍。
可能的錯法與補救（做完或卡住再看）
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：
- 把順序弄反，B={(1,2), (2,4), (3,6)}（那是「藍骰是紅骰的 2 倍」；正確 B={(2,1), (4,2), (6,3)}）
- 把「2 倍」讀成「差 2」，B={(3,1), (4,2), (5,3), (6,4)}（(3,1) 的紅骰是藍骰的 3 倍，不是 2 倍；正確 B={(2,1), (4,2), (6,3)}）
- 把 B 寫成「(2,1)、(4,2)」而漏掉紅骰是 6 的那個結果
補救：
- 補救 1：先寫出算式「紅＝2×藍」，並標明有序對的第一個數是紅骰，再逐格代入檢查。
- 補救 2：「倍」是乘法關係，「差」是減法關係；挑一個結果代入兩種說法檢查。
- 針對本題：重做時用「藍骰從 1 到 6」逐一列表，不要只找前面兩個。
回到原題時須完整重寫，不可只改最後一個答案。
回到課文：〔回課文：寫出事件的四個步驟〕、〔回課文：示範二〕
練習 6
袋中有 6 顆球，用「顏色＋號碼」表示：S={紅1, 紅2, 紅3, 白1, 白2, 黑1}。抽一顆，事件 C：抽到的球的號碼是奇數。
把 C 寫成 S 的子集合。
提示階梯（L1→L5）
L1（方向）
S 的每個結果是什麼樣子？條件看的是結果的哪一部分？〔回課文：寫出事件的四個步驟〕
L2（結構）
條件只看號碼，不看顏色；顏色不同的球只要號碼符合都要收。
L3（方法）
方法：逐一看 S 的 6 個結果，檢查號碼是不是奇數；符合就把「整個結果名稱」（連顏色一起）抄進集合。
L4（設定與中間結果）
紅2 的號碼是偶數，所以不符合。其餘 5 個結果的號碼請你逐一確認，符合的連同顏色整個寫進集合。
L5（完整揭示）
號碼是奇數的結果有 紅1、紅3、白1、黑1；紅2 與白2 的號碼是偶數，不符合。所以 C={紅1, 紅3, 白1, 黑1}。注意元素是「紅1」這樣整個結果，不是只有號碼。
可能的錯法與補救（做完或卡住再看）
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：
- 只寫號碼，C={1, 3}（S 的元素是「顏色＋號碼」的整個結果；正確 C={紅1, 紅3, 白1, 黑1}）
- 只看紅球，C={紅1, 紅3}（白1、黑1 的號碼也是奇數；正確 C={紅1, 紅3, 白1, 黑1}）
- 選成偶數，C={紅2, 白2}（那是 C′；正確 C={紅1, 紅3, 白1, 黑1}）
補救：
- 補救 1：把答案裡的每個元素和 S 的元素逐字對照，元素必須與 S 裡寫的一模一樣。
- 補救 2：條件沒有提到顏色，顏色就不能拿來篩選。
- 針對本題：重做時畫 6 列表格，一欄結果、一欄號碼、一欄「奇數？」。
回到原題時須完整重寫，不可只改最後一個答案。
回到課文：〔回課文：寫出事件的四個步驟〕、〔回課文：事件的定義〕
練習 B：用 ∩、∪、′ 處理事件
練習 7
抽一張寫著 1 到 15 的卡片，S={1, 2, 3, …, 15}。事件 A：號碼是 3 的倍數；事件 B：號碼是奇數。
求 A∩B 與 A∩B′，並把兩個集合各自寫出來。
提示階梯（L1→L5）
L1（方向）
先把 A、B 各自寫成集合。B′ 是什麼意思？它相對於哪個集合？〔回課文：事件的定義〕
L2（結構）
A∩B 的元素要同時在 A 與 B；A∩B′ 的元素在 A，而且不在 B。逐一檢查 A 的每個元素就不會漏。
L3（方法）
方法：先列出 A、B、B′，再走過 A 的每個元素，分別問「在 B 嗎？」「在 B′ 嗎？」。
L4（設定與中間結果）
A={3, 6, 9, 12, 15}；B={1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}；B′={2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}（S 中不是奇數的號碼）。請你逐一檢查 A 的元素，分別寫出 A∩B 與 A∩B′。
L5（完整揭示）
A 的元素中，3、9、15 在 B（奇數）裡；6、12 在 B′（偶數）裡。所以 A∩B={3, 9, 15}，A∩B′={6, 12}。回查：兩個集合沒有共同元素，合起來正好是 A（n＝3＋2＝5＝n(A)）。
可能的錯法與補救（做完或卡住再看）
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：
- 把 ∩ 當成 ∪，得 {1, 3, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 13, 15}（那是 A∪B；正確 A∩B={3, 9, 15}）
- 把 A∩B′ 寫成 (A∩B)′，得 12 個元素的 {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14}（括號改變意思；正確 A∩B′={6, 12}）
- 把 A∩B′ 寫成 B′ 本身，得 {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}（還沒和 A 取交集；正確 A∩B′={6, 12}）
補救：
- 補救 1：交集要「同時」在兩個集合；用「在 A 且在 B」改寫後逐一檢查。
- 補救 2：A∩B′ 的 ′ 只管緊貼的 B；(A∩B)′ 是另一個集合，先算括號。
- 針對本題：重做時先寫 B′ 的元素，再取與 A 的交集。
回到原題時須完整重寫，不可只改最後一個答案。
回到課文：〔回課文：事件的定義〕、〔回課文：文字說法與集合記號〕、〔回課文：互斥與餘事件〕
練習 8
擲一顆紅骰與一顆藍骰，記錄（紅骰點數，藍骰點數），S 共有 36 個結果。事件 A：兩顆點數相同；事件 B：兩顆點數的和為 8。
求 A∩B，並判斷 A、B 是否互斥。
圖：S 的 36 個結果各占一格，只是整理位置用的空白方格。圖不依比例，請依題目給的條件判斷。提示階梯（L1→L5）
L1（方向）
先分別把 A、B 的結果找出來。互斥要看哪一個集合是不是空集合？〔回課文：互斥與餘事件〕
L2（結構）
A∩B 的結果要同時符合兩個條件。A 的結果比較少，從 A 的結果開始檢查比較不容易漏。
L3（方法）
A 裡每個結果的兩個數相同，對這些結果逐一算兩數之和，看哪些和為 8。
L4（設定與中間結果）
A 的結果依序是 (1,1)、(2,2)、(3,3)、(4,4)、(5,5)、(6,6)；前三個的和依序是 2、4、6。其餘的和請你自己算，找出和為 8 的結果，並判斷 A∩B 是否為 ∅。
L5（完整揭示）
A={(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}。這些結果的和依序是 2、4、6、8、10、12，只有 (4,4) 的和為 8。所以 A∩B={(4,4)}，不是 ∅，A、B 不互斥。回查：B={(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)}，其中只有 (4,4) 的兩個數相同。
可能的錯法與補救（做完或卡住再看）
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：
- 把 A∩B 寫成 (4,4) 或 4，沒有加大括號（A∩B 是集合，只有一個元素也要寫成 {(4,4)}）
- 把 A∪B 當成 A∩B，寫出 10 個結果的集合（聯集是「至少一個」；正確 A∩B={(4,4)}）
- 看到 A、B 的條件不同就說互斥（互斥是 A∩B＝∅，本題 (4,4) 同時在 A、B；正確：不互斥）
補救：
- 補救 1：集合答案要加大括號，哪怕只有一個元素。
- 補救 2：「同時」是交集，「至少一個」是聯集；重做時把句子改寫成「在 A 且在 B」。
- 針對本題：先找出 A 的 6 個結果，再逐一算和。
回到原題時須完整重寫，不可只改最後一個答案。
回到課文：〔回課文：互斥與餘事件〕、〔回課文：文字說法與集合記號〕、〔回課文：邊界、非例與特殊情形〕
練習 9
依序擲 1 元、5 元、10 元硬幣各一枚，記錄（1 元，5 元，10 元）的結果。樣本空間 S={(正,正,正), (正,正,反), (正,反,正), (正,反,反), (反,正,正), (反,正,反), (反,反,正), (反,反,反)}。事件 A：1 元硬幣是正面；事件 B：恰有兩枚正面。
求積事件 A∩B 與和事件 A∪B。
提示階梯（L1→L5）
L1（方向）
先分別把 A、B 寫成集合。A 的條件只看第一個位置。〔回課文：寫出事件的四個步驟〕
L2（結構）
A∩B：同時符合兩個條件；A∪B：至少符合一個，重複出現的結果只算一次。
L3（方法）
方法：把 A、B 的結果並排比較，同時在兩邊的結果就是 A∩B；全部放在一起、重複的只留一個就是 A∪B。
L4（設定與中間結果）
A={(正,正,正), (正,正,反), (正,反,正), (正,反,反)}；B={(正,正,反), (正,反,正), (反,正,正)}。請你逐一比較，寫出 A∩B 與 A∪B。
L5（完整揭示）
同時在 A、B 的結果是 (正,正,反) 與 (正,反,正)，所以 A∩B={(正,正,反), (正,反,正)}。把 A 的 4 個結果與 B 裡 A 沒有的 (反,正,正) 合在一起，A∪B={(正,正,正), (正,正,反), (正,反,正), (正,反,反), (反,正,正)}。回查：n(A∪B)＝4＋3－2＝5，與列出的個數相同。
可能的錯法與補救（做完或卡住再看）
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：
- A∩B 只寫一個，得 {(正,正,反)}（(正,反,正) 也同時在 A、B 裡；正確 A∩B={(正,正,反), (正,反,正)}）
- 把 A∪B 的個數算成 n(A)＋n(B)＝7（兩個重複的結果被算了兩次；正確 n(A∪B)＝5）
- 把 A∩B 寫成 B（沒有檢查 (反,正,正) 第一枚是反面，不在 A 裡）
補救：
- 補救 1：把 B 的每個結果拿去問「第一枚是正面嗎？」，不是的就不在 A∩B。
- 補救 2：聯集裡重複的結果只寫一次；先數 A 再補上 B 多出來的。
- 針對本題：重做時分兩欄列出 A、B，再用表格標出重複的結果。
回到原題時須完整重寫，不可只改最後一個答案。
回到課文：〔回課文：文字說法與集合記號〕、〔回課文：寫出事件的四個步驟〕
補救一：讀題與列舉時的錯
練習 10
袋中有 8 顆球，號碼為 1 到 8，抽一顆，樣本空間 S={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}。事件 A：號碼是 3 的倍數或 4 的倍數。
小強寫道：「3 的倍數有 3、6；4 的倍數有 4、8；沒有一個號碼同時是 3 的倍數又是 4 的倍數，所以 A=∅。」
請指出小強錯在哪裡，並寫出正確的 A。
提示階梯（L1→L5）
L1（方向）
對照題目與小強的句子：題目用的連接詞是什麼？小強檢查的是哪一種情況？〔回課文：文字說法與集合記號〕
L2（結構）
「或」表示至少符合其中一個。這對應交集還是聯集？
L3（方法）
正確做法：把 3 的倍數所成的集合與 4 的倍數所成的集合合併，重複的結果只寫一次。
L4（設定與中間結果）
在 S 裡，3 的倍數是 3、6；4 的倍數是 4、8。請你合併這兩組並寫成集合，再檢查有沒有重複的號碼。
L5（完整揭示）
錯在把「或」當成了「且」：小強找的是「同時是 3 的倍數又是 4 的倍數」的號碼（那是交集，在 S 裡確實沒有），但題目的「或」是「至少符合一個」，對應聯集。正確：A={3, 4, 6, 8}。回查：3、6、4、8 各自至少符合一個條件；1、2、5、7 兩個條件都不符合。
可能的錯法與補救（做完或卡住再看）
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：
- 如小強，A=∅（把「或」讀成「且」；正確 A={3, 4, 6, 8}）
- 只寫 3 的倍數，A={3, 6}（漏了 4 的倍數；正確 A={3, 4, 6, 8}）
- 把 12 也放進去，A={3, 4, 6, 8, 12}（12 不在 S 裡，事件必須是 S 的子集；正確 A={3, 4, 6, 8}）
補救：
- 補救 1：把題目句子改寫成「在 3 的倍數集合，或在 4 的倍數集合」，再選聯集。
- 補救 2：寫完答案後，每個元素都回頭對照 S，確認它屬於 S。
- 針對本題：重做時先把兩個倍數集合各自寫出，再合併。
回到原題時須完整重寫，不可只改最後一個答案。
回到課文：〔回課文：文字說法與集合記號〕、〔回課文：事件的定義〕
練習 11
擲一顆紅骰與一顆藍骰，記錄（紅骰點數，藍骰點數），S 共有 36 個結果。事件 B：兩顆點數的和為 4。
小美寫道：「(1,3) 和 (3,1) 差不多，只要寫一個就好，所以 B={(1,3), (2,2)}。」
請指出小美錯在哪裡，並寫出正確的 B。
圖：S 的 36 個結果各占一格，只是整理位置用的空白方格。圖不依比例，請依題目給的條件判斷。提示階梯（L1→L5）
L1（方向）
紅骰與藍骰是兩顆不同的骰子，有序對的兩個位置各代表哪一顆？〔回課文：常見錯誤與自查〕
L2（結構）
(1,3) 是紅 1、藍 3；(3,1) 是紅 3、藍 1。這兩個結果會同時出現嗎？它們是不是同一種結果？
L3（方法）
方法：讓紅骰點數從 1 到 6，逐一算藍骰需要多少點才能使和為 4，且藍骰點數要在 1 到 6 之間。
L4（設定與中間結果）
紅＝1 時藍需要 3；紅＝4 時藍需要 0，不可能。紅＝2、3、5、6 請你自己判斷，把可以的結果寫成（紅,藍）。
L5（完整揭示）
錯在把 (1,3) 與 (3,1) 當成同一種結果：紅骰與藍骰不同，兩者是不同的結果，都要收進 B。逐一檢查：紅＝1 → 藍＝3；紅＝2 → 藍＝2；紅＝3 → 藍＝1；紅＝4、5、6 → 藍需要是 0、－1、－2，不可能。所以 B={(1,3), (2,2), (3,1)}。回查：三個結果的和都是 4。
可能的錯法與補救（做完或卡住再看）
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：
- 如小美，B={(1,3), (2,2)}（漏了 (3,1)；正確 B={(1,3), (2,2), (3,1)}）
- 漏掉兩數相同的結果，B={(1,3), (3,1)}（(2,2) 的和也是 4；正確 B={(1,3), (2,2), (3,1)}）
- 把 B 寫成 {4}（4 是和，不是結果；S 的元素是有序對）
補救：
- 補救 1：兩顆不同的骰子，交換位置就是另一種結果；用不同顏色提醒自己。
- 補救 2：不要因為兩個數相同就不收，也不要因為兩個數相反就合併，逐格檢查。
- 針對本題：重做時讓紅骰從 1 到 6 列表，一列一列寫出藍骰需要的點數。
回到原題時須完整重寫，不可只改最後一個答案。
回到課文：〔回課文：常見錯誤與自查〕、〔回課文：示範二〕
練習 12
轉盤分成五個區域，轉一次，記錄指針停在哪個顏色，樣本空間 S={紅, 橘, 黃, 綠, 藍}。事件 C：指針停在不是綠色、也不是藍色的區域。
小志寫道：「C 是一種可能出現的結果，所以樣本空間要改成 S={紅, 橘, 黃, 綠, 藍, C}，C 是第六個元素。」
請指出小志錯在哪裡，寫出 C 的正確表示，並說明 S 要不要改。
提示階梯（L1→L5）
L1（方向）
一次轉盤只會停在一個區域。C 是一個區域嗎？〔回課文：邊界、非例與特殊情形〕
L2（結構）
事件是 S 的什麼？事件和結果的角色有什麼不同？
L3（方法）
方法：逐一檢查 S 的 5 個結果，符合條件的收進一個集合，那個集合就是 C。想一想：為了寫出 C，S 本身需要增加或改變什麼嗎？
L4（設定與中間結果）
綠色不符合條件（它是「也不是綠色」要排除的）。其餘四個顏色請你逐一檢查，符合的寫成集合，並想一想 S 要不要動。
L5（完整揭示）
錯在把事件 C 當成結果：C 不是一個區域，而是一組結果（停在紅、橘、黃其中之一）。S 不需要改，仍是 {紅, 橘, 黃, 綠, 藍}，C 是它的子集合。逐一檢查：紅、橘、黃符合，綠、藍不符合。所以 C={紅, 橘, 黃}。
可能的錯法與補救（做完或卡住再看）
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：
- 如小志，S={紅, 橘, 黃, 綠, 藍, C}（事件不是結果，不能加進 S；正確 S 仍是 5 個結果）
- 只排除藍色，C={紅, 橘, 黃, 綠}（「也不是綠色」要把綠也排除；正確 C={紅, 橘, 黃}）
- 取成了相反的事件，C={綠, 藍}（那是 C′；正確 C={紅, 橘, 黃}）
補救：
- 補救 1：S 的元素是試驗的每種結果；事件是結果的集合，寫在大括號裡，不放進 S。
- 補救 2：「不是…也不是…」兩個條件都要排除；逐一檢查每個顏色。
- 針對本題：重做時先寫 S（5 個顏色，不變），再寫 C。
回到原題時須完整重寫，不可只改最後一個答案。
回到課文：〔回課文：邊界、非例與特殊情形〕、〔回課文：事件的定義〕
補救二：運算與關係的錯
練習 13
抽一張寫著 1 到 14 的卡片，S={1, 2, …, 14}。事件 A：號碼是偶數；事件 B：號碼是 7 的倍數。
小亮寫道：「A∪B 表示 A 和 B 同時發生，所以 A∪B={14}。」
請指出小亮錯在哪裡，並寫出正確的 A∪B 與 A∩B。
提示階梯（L1→L5）
L1（方向）
∪ 與 ∩ 哪一個代表「同時發生」？哪一個代表「至少一個發生」？〔回課文：文字說法與集合記號〕
L2（結構）
小亮算出來的那個集合，是用哪一種條件選出來的？它符合「至少一個發生」嗎？先把 A、B 列出來再判斷。
L3（方法）
方法：先把 A、B 各列出來。A∪B 是「在 A 或在 B」的結果全部放在一起，A∩B 是「在 A 且在 B」的結果。
L4（設定與中間結果）
A={2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}；B={7, 14}。請你寫出 A∪B（重複的號碼只寫一次）與 A∩B。
L5（完整揭示）
錯在把 ∪ 當成「同時」：{14} 是兩個事件同時發生的結果，那是 A∩B。A∪B 是「至少一個發生」。A={2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}，B={7, 14}，所以 A∪B={2, 4, 6, 7, 8, 10, 12, 14}（14 同時在 A、B，只寫一次），A∩B={14}。回查：n(A∪B)＝7＋2－1＝8。
可能的錯法與補救（做完或卡住再看）
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：
- 如小亮，A∪B={14}（那是 A∩B；正確 A∪B={2, 4, 6, 7, 8, 10, 12, 14}）
- 把 A∪B 的個數算成 n(A)＋n(B)＝9（14 被算了兩次；正確 n(A∪B)＝8）
- A∩B 寫成 {7, 14}（7 是奇數，不在 A 裡；正確 A∩B={14}）
補救：
- 補救 1：∪ 像杯子「合併」，∩ 像「重疊」；把「同時」改寫成「在 A 且在 B」。
- 補救 2：聯集的重複結果只算一次；個數用 n(A)＋n(B)－n(A∩B)。
- 針對本題：重做時先寫 A、B 兩個集合，再分別寫 A∩B 與 A∪B。
回到原題時須完整重寫，不可只改最後一個答案。
回到課文：〔回課文：文字說法與集合記號〕、〔回課文：事件的定義〕
練習 14
轉一個標有 1 到 9 的轉盤，記錄指針停的號碼，樣本空間 S={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}。事件 A={1, 2, 3}，事件 B={7, 8, 9}。
小綺寫道：「A、B 沒有共同的結果，所以互斥；互斥就是 B 是 A 的餘事件，因此 A∪B=S。」
請指出小綺的話哪一部分對、哪一部分錯，並寫出正確的 A′ 與 A∪B。
提示階梯（L1→L5）
L1（方向）
小綺的話有兩個說法：「互斥」與「B 就是 A 的餘事件」。先分開檢查。〔回課文：互斥與餘事件〕
L2（結構）
餘事件 A′ 是 S 裡所有不在 A 的結果。4、5、6 在 A 裡嗎？在 B 裡嗎？
L3（方法）
餘事件要滿足哪兩個條件？互斥又只要求哪幾個？把兩者比一比，看小綺的哪一步多推了東西。先把 A′ 求出來，再和 B 比較。
L4（設定與中間結果）
先寫出 S 裡不屬於 A 的結果，共有幾個？再把它們和 B 的 3 個結果比較有沒有不同。A∪B 請你用 A、B 的元素合併後，和 S 比較。
L5（完整揭示）
互斥那一半是對的：A∩B=∅。但互斥不等於餘事件。A′ 是 S 中不在 A 的結果，A′={4, 5, 6, 7, 8, 9}，其中 4、5、6 不在 B 裡，所以 B≠A′。A∪B={1, 2, 3, 7, 8, 9}，少了 4、5、6，不是整個 S。
可能的錯法與補救（做完或卡住再看）
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：
- 如小綺，A′=B={7, 8, 9}（漏掉 4、5、6；正確 A′={4, 5, 6, 7, 8, 9}）
- A′ 只寫 {4, 5, 6}（7、8、9 也不在 A 裡；正確 A′={4, 5, 6, 7, 8, 9}）
- 寫 A∪B=S（A∪B 只有 6 個結果，少了 4、5、6）
補救：
- 補救 1：判斷餘事件要同時檢查兩件事：A∩B=∅ 以及 A∪B=S。
- 補救 2：A′ 先從 S 裡逐個檢查「不在 A」，不要直接拿另一個事件頂替。
- 針對本題：重做時先寫 S，劃掉 A 的元素，剩下的就是 A′。
回到原題時須完整重寫，不可只改最後一個答案。
回到課文：〔回課文：互斥與餘事件〕、〔回課文：示範二〕
練習 15
抽一顆球，球上號碼為 1 到 8，樣本空間 S={1, 2, …, 8}。事件 A：號碼是偶數；事件 B：號碼是 4 的倍數。
題目問：「A 發生但 B 沒有發生」的結果有哪些？小宇把它寫成 A′∩B，算得 A′∩B=∅。
請指出小宇錯在哪裡，並寫出正確的集合記號與元素。
提示階梯（L1→L5）
L1（方向）
「A 發生」「B 沒有發生」各自要用哪個集合表示？小宇的記號把 ′ 放在哪個集合上？〔回課文：文字說法與集合記號〕
L2（結構）
「沒有發生」要用餘事件。對照小宇寫的式子，哪一個事件被取了餘事件？
L3（方法）
先把「A 發生」與「B 沒有發生」各自用集合記號寫出來，再想想「而且」要用哪一種運算。
L4（設定與中間結果）
B={4, 8}，所以 B′={1, 2, 3, 5, 6, 7}。A={2, 4, 6, 8}。請你找出同時符合「A 發生」與「B 沒有發生」的結果，並寫出正確的記號。
L5（完整揭示）
錯在把 ′ 放錯集合：「B 沒有發生」是 B′，不是 A′。「A 發生但 B 沒有發生」寫成 A∩B′。B′={1, 2, 3, 5, 6, 7}，A={2, 4, 6, 8}，所以 A∩B′={2, 6}。小宇算的 A′∩B 是「A 沒有發生但 B 發生」，因為 4 的倍數都是偶數（B⊆A），所以是 ∅。
可能的錯法與補救（做完或卡住再看）
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：
- 如小宇，A′∩B=∅（那是「A 沒發生但 B 發生」；正確 A∩B′={2, 6}）
- 把「A 發生但 B 沒發生」寫成 A∩B，得 {4, 8}（那是「同時發生」；正確 A∩B′={2, 6}）
- 寫成 (A∩B)′，得 {1, 2, 3, 5, 6, 7}（那是「沒有同時發生」；正確 A∩B′={2, 6}）
補救：
- 補救 1：「沒發生」的那個事件才加 ′；「A 發生」就直接寫 A。
- 補救 2：A∩B′ 與 (A∩B)′ 不同；先算括號內的集合。
- 針對本題：重做時先寫 B′，再取與 A 的交集。
回到原題時須完整重寫，不可只改最後一個答案。
回到課文：〔回課文：文字說法與集合記號〕、〔回課文：互斥與餘事件〕
遷移：換個樣本空間與表示方式
練習 16
擲一顆紅骰與一顆藍骰，這次只記錄兩顆點數的和，樣本空間 S={2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}。事件 A：和為偶數；事件 B：和為質數。
(1) 求 A∩B 與 A∪B。(2) 事件 D：「兩顆骰子的點數相同」，能不能寫成這個 S 的子集合？說明理由。
提示階梯（L1→L5）
L1（方向）
S 的元素現在是「和」，不是有序對。先列出 A、B。〔回課文：示範四〕
L2（結構）
(1) 對 S 的每個和各問「是偶數嗎？」「是質數嗎？」。(2) 想想：和是 6 的結果，可能是哪些兩顆骰子的點數？
L3（方法）
(1) 方法：先列出 A、B，同時在兩邊的是 A∩B，全部合併是 A∪B。(2) 方法：看 S 裡的一個元素，能不能判斷「兩顆點數相同」是「是」或「否」。
L4（設定與中間結果）
A={2, 4, 6, 8, 10, 12}；質數有 2、3、5、7、11，請你確認 B 並完成 (1)。(2) 請你列出和是 6 的所有點數組合（紅,藍），再逐一問「兩顆點數相同嗎？」，看這些答案是不是一致，據此判斷 D 能不能由 S 的元素決定。
L5（完整揭示）
(1) A={2, 4, 6, 8, 10, 12}，B={2, 3, 5, 7, 11}，所以 A∩B={2}，A∪B={2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12}（9 既不是偶數也不是質數，不在 A∪B 裡）。(2) 不能。S 的元素「6」代表和為 6，可能是 (3,3)（點數相同）也可能是 (2,4)（點數不同），同一個元素裡混著符合與不符合兩種情形，所以 D 無法寫成這個 S 的子集合；要記錄每顆骰子的點數才行。
可能的錯法與補救（做完或卡住再看）
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：
- 把 A∪B 寫成整個 S（A∪B 不含 9；正確 A∪B={2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12}）
- 寫 A∩B=∅（2 同時是偶數與質數；正確 A∩B={2}）
- (2) 回答「D 的結果是 {2, 4, 6, 8, 10, 12}」（那是 A，和為偶數的事件；點數相同不能由「和」判斷）
補救：
- 補救 1：先確認 S 的元素記錄的是什麼，再決定條件能不能判斷。
- 補救 2：9 逐一檢查：偶數嗎？不是；質數嗎？不是。所以不在 A∪B。
- 針對本題：重做 (2) 時舉一個和相同、但點數相同與不同都可能出現的例子。
回到原題時須完整重寫，不可只改最後一個答案。
回到課文：〔回課文：示範四〕、〔回課文：邊界、非例與特殊情形〕
練習 17
從甲、乙、丙、丁四人中選兩人去開會（不分先後，「甲乙」與「乙甲」是同一種結果），樣本空間 S={甲乙, 甲丙, 甲丁, 乙丙, 乙丁, 丙丁}。事件 B：乙、丙兩人中至少有一人被選到；事件 C：甲被選到。
(1) 把 B 寫成 S 的子集合。(2) 求 B′，並判斷 C 是不是 B′。
提示階梯（L1→L5）
L1（方向）
S 的每個元素是一個兩人組合。「至少有一人」要怎麼對一個組合檢查？〔回課文：文字說法與集合記號〕
L2（結構）
逐一看 S 的 6 個組合名稱，看裡面有沒有「乙」或「丙」。有任何一個就符合 B。
L3（方法）
B′ 的條件是「乙、丙都沒有被選到」。C 的條件是「甲被選到」。把 B′ 與 C 的結果列出來比較。
L4（設定與中間結果）
乙、丙都沒被選到，也就是組合裡既沒有「乙」也沒有「丙」。請你逐一檢查 S 的 6 個組合，列出這樣的組合，再列出 C，比較兩個集合有沒有一樣。B 請你逐一檢查後寫出。
L5（完整揭示）
(1) 含乙或丙的組合共 5 個：B={甲乙, 甲丙, 乙丙, 乙丁, 丙丁}（乙丙兩人都在也符合「至少」）。(2) B′ 是 S 中不在 B 的組合：B′={甲丁}。C={甲乙, 甲丙, 甲丁}，C 有 3 個結果，B′ 只有 1 個結果，所以 C 不是 B′（B′⊆C，但 C 還有 甲乙、甲丙，這兩個組合在 B 裡）。回查：5＋1＝6＝n(S)。
可能的錯法與補救（做完或卡住再看）
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：
- 把「至少一人」讀成「恰一人」，漏掉乙丙，B={甲乙, 甲丙, 乙丁, 丙丁}（乙丙兩人都被選到時，乙、丙中至少有一人也成立；正確 B={甲乙, 甲丙, 乙丙, 乙丁, 丙丁}）
- 把 B 讀成「乙、丙兩人都被選到」，B={乙丙}（那是「兩人都被選到」，不是「至少一人」；正確 B={甲乙, 甲丙, 乙丙, 乙丁, 丙丁}）
- 說 C 就是 B′（C 還有 甲乙、甲丙；B′ 只有 甲丁）
補救：
- 補救 1：「至少一人」包含「恰好一人」與「兩人都」，兩種情形都要收。
- 補救 2：比較兩個事件是否相同，要比較集合的所有元素，不是只看一個。
- 針對本題：重做時先逐一檢查 6 個組合，再單獨求 B′。
回到原題時須完整重寫，不可只改最後一個答案。
回到課文：〔回課文：文字說法與集合記號〕、〔回課文：互斥與餘事件〕、〔回課文：寫出事件的四個步驟〕
練習 18
班上有七位同學，任選一位同學，樣本空間 S={甲, 乙, 丙, 丁, 戊, 己, 庚}。每位同學的性別與參加的社團如下表（「無」表示沒有參加社團）。
| 同學 | 性別 | 社團 |
|---|
| 甲 | 男 | 籃球 |
| 乙 | 女 | 合唱 |
| 丙 | 男 | 無 |
| 丁 | 女 | 籃球 |
| 戊 | 男 | 合唱 |
| 己 | 女 | 無 |
| 庚 | 男 | 籃球 |
(1) 事件 M：選到的是男生，而且參加籃球隊。(2) 事件 N：選到的是女生，或參加合唱團。請把 M、N 各寫成 S 的子集合。
提示階梯（L1→L5）
L1（方向）
先看關鍵詞：(1) 的「而且」、(2) 的「或」，各對應交集還是聯集？〔回課文：文字說法與集合記號〕
L2（結構）
把每個條件先整理成集合：男生、女生、籃球隊、合唱團各是哪些同學？
L3（方法）
方法：先分別整理成四個集合，再依「且」「或」的意思取交集或聯集。
L4（設定與中間結果）
男生={甲, 丙, 戊, 庚}；參加籃球隊={甲, 丁, 庚}。請你先完成 M；再整理出女生與參加合唱團的同學，完成 N。
L5（完整揭示）
(1) 男生={甲, 丙, 戊, 庚}，籃球隊={甲, 丁, 庚}，「且」取交集，M={甲, 庚}。(2) 女生={乙, 丁, 己}，合唱團={乙, 戊}，「或」取聯集，同學只寫一次，N={乙, 丁, 戊, 己}。回查：丙（男、無）不在 N；戊（男、合唱）在 N，因為他參加合唱團。
可能的錯法與補救（做完或卡住再看）
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：
- (1) 寫成聯集，M={甲, 丙, 丁, 戊, 庚}（「而且」要同時符合；正確 M={甲, 庚}）
- (2) 寫成交集，N={乙}（「或」只要符合一個；正確 N={乙, 丁, 戊, 己}）
- (2) 漏掉男生但參加合唱團的戊（戊雖是男生，參加合唱團就符合；正確 N 含戊）
補救：
- 補救 1：「而且」「同時」用 ∩；「或」「至少一個」用 ∪；先改寫成「在…且在…」。
- 補救 2：逐一對每位同學檢查兩個條件，不要憑印象。
- 針對本題：重做時先整理四個集合（男、女、籃球、合唱），再運算。
回到原題時須完整重寫，不可只改最後一個答案。
回到課文：〔回課文：文字說法與集合記號〕、〔回課文：寫出事件的四個步驟〕