練習:辨識二元一次方程

先問自己:二元一次方程要「同時」滿足哪幾件事?對每一式逐一檢查,不要只憑「有沒有 x 和 y」下判斷。〔回課文:什麼是二元一次方程〕

檢查三件事:①是不是等式(有等號);②含未知數的每一項是不是「已知數乘一個未知數」;③整理後能不能寫成 ax+by=c。〔回課文:逐項檢查「一次」〕

(B) 的 xy 是 x 乘 y;(C) 用的符號是 >;(E) 有 x²。想想這三式各違反了哪一件事。

(B)(C)(E) 各有一處不合格。(A)、(D) 請你自己逐項檢查;(D) 的右邊是 0,請判斷 c=0 會不會讓它不合格。

(A)2x+3y=7:a=2、b=3、c=7,是。(B)xy=6:xy 是兩個未知數相乘,不是「已知數×單一未知數」,不是。(C)x+y>4:是不等式,不是等式,不是。(D)5x−y=0:a=5、b=−1、c=0,c 可以是 0,是。(E)x²+y=1:x² 的次數是 2,不是一次,不是。答案:(A)和(D)。

目標是把「含未知數的項」都放到等號左邊,常數放右邊。右邊有哪些項要搬過來?〔回課文:判斷的步驟〕

搬項時,項的正負號要怎麼變?先找出右邊所有含未知數的項(連同它們的符號)。

右邊的 +x 搬到左邊變成 −x;右邊的 −2y 搬到左邊變成 +2y。

左邊變成 4x−x+2y,右邊只剩 3。請合併左邊的同類項。

4x=3−2y+x → 4x−x+2y=3 → 3x+2y=3。所以 (a,b,c)=(3,2,3)。檢查:取 x=1、y=1,整理前「左−右」是 4−(3−2+1)=2;整理後 3+2−3=2,相同。

這是對五個式子逐一判斷的題。每個式子先問:它是等式嗎?

有些式子要先整理(例如去括號)才看得清楚;字母不是 x、y 也可以。〔回課文:判斷的步驟〕

① 的 x/3 是 (1/3)×x;② 有平方;③ 要先去括號;④ 沒有等號;⑤ 的字母是 s、t。

③ 去括號得 4p+4=q−2,再移項整理。請對 ① ③ ⑤ 逐項檢查是否合格,再回頭看 ② 和 ④ 各違反了哪一件事,最後數一數有幾個。

①x/3−y=2:a=1/3、b=−1、c=2,是。②x²−y²=5:次數是 2,不是。③4(p+1)=q−2 → 4p+4=q−2 → 4p−q=−6:是。④3x+2y−1:沒有等號,不是方程式。⑤s+t=10:a=1、b=1、c=10,是。答案:3 個(①③⑤)。

把它和 ax+by=c 對照,每個位置各對上什麼?〔回課文:什麼是二元一次方程〕

係數要連同前面的正負號一起讀;c 在等號右邊。

x 的係數是 7;y 那一項是「−4y」,也就是 (−4)×y。

a=7,b 是 −4(不是 4),c 在等號右邊。再確認:有等號嗎?每一項都是「已知數×單一未知數」嗎?

7x−4y=12 已經是 ax+by=c 的形式。每項合格:7×x、(−4)×y、常數 12。所以是二元一次方程,(a,b,c)=(7,−4,12)。

u 前面沒有寫數字,它的係數是多少?〔回課文:什麼是二元一次方程〕

u 就是 1×u;「−v」就是 (−1)×v。

把 u−v=8 改寫成 □u+□v=8,兩個空格各填什麼?

u+(−1)v=8,所以 a、b 各是多少?

u−v=8 可以寫成 1u+(−1)v=8。每項合格,有等號,a、b 不全為 0,所以是二元一次方程。(a,b,c)=(1,−1,8)。

四式都有等號,把注意力放在「每一項是不是已知數乘一個未知數」。〔回課文:逐項檢查「一次」〕

看看每個未知數出現在哪裡:分子、分母,還是乘方?

(乙)的 y/4 和 (丙)的 5/y 都像分數,分別問:未知數在分子還是分母?

(乙):y/4=(1/4)×y,y 在分子,合格。(丙):5/y 的 y 在分母,能不能寫成「已知數×y」?

(甲):a=3、b=1、c=0,是。(乙):a=1、b=−1/4、c=6,是。(丙):5/y 中 y 在分母,不是「已知數×單一未知數」,不合格,所以(丙)不是。(丁):a=−1、b=8、c=−1,是。答案:(丙)。

先去括號,再把含未知數的項移到等號左邊。〔回課文:判斷的步驟〕

去括號時,3 要乘到括號內「每一項」。

左邊變成 3x−6;右邊的 y 和 4x 搬到左邊都要變號;常數 −6 搬到右邊。

3x−4x−y=6,先合併 3x−4x。

3(x−2)=y+4x → 3x−6=y+4x → 3x−4x−y=6 → −x−y=6。每項合格,a、b 不全為 0,所以是,(a,b,c)=(−1,−1,6)。檢查:取 x=1、y=1,整理前「左−右」是 3(−1)−5=−8,整理後 −1−1−6=−8,相同。

這題要整理後才能判斷;先把兩邊的同類項合併。〔回課文:判斷的步驟〕

兩邊都有 3x,移項後會發生什麼事?

3x 會抵消,但別忘了還有別的項。

整理後剩下 xy+y=2。問自己:xy 這一項合不合格?

3x+xy=2−y+3x:把右邊的 −y 搬到左邊變 +y,右邊的 3x 搬到左邊變 −3x,得 3x−3x+xy+y=2,合併得 xy+y=2。式子中有 xy,是 x 乘 y,不是「已知數×單一未知數」,所以不是二元一次方程。(3x 消失了,但並沒有變成 y=2,因為 xy 還在。)

去括號、合併、移項,三件事都要做。〔回課文:判斷的步驟〕

先簡化左邊:3(x−y)+2y 去括號後是 3x−3y+2y,再合併 y 項。

左邊是 3x−y;右邊是 2x−y−4。把右邊含未知數的項搬到左邊(要變號)。

3x−y−2x+y=−4。合併後,x 的係數是多少?y 的係數是多少?

3(x−y)+2y=3x−3y+2y=3x−y;式子變成 3x−y=2x−y−4,移項得 3x−y−2x+y=−4,合併得 x=−4,也就是 1x+0y=−4。(a,b,c)=(1,0,−4),a、b 不全為 0,所以依本課是二元一次方程。檢查:取 x=3、y=1,整理前「左−右」是 8−1=7,整理後 3−(−4)=7,相同。

小明的理由只提到「兩個未知數」,這夠嗎?別忘了「一次」。〔回課文:什麼是二元一次方程〕

看 xy 這一項:它是「已知數乘一個未知數」嗎?〔回課文:逐項檢查「一次」〕

試著讓 x=1、2、3,分別算出 xy=12 與 x+y=7 的 y,再比較 y 的變化。

xy=12 時 y=12、6、4;x+y=7 時 y=6、5、4。x 每增加 1,哪一個式子的 y 每次改變一樣多?

小明說得不對。xy 是 x 乘 y,兩個未知數相乘,不是「已知數×單一未知數」,不符合「一次」,所以 xy=12 不是二元一次方程。比較:x=1、2、3 時,xy=12 的 y 是 12、6、4(先減 6、再減 2,變化不固定);x+y=7 的 y 是 6、5、4(每次都減 1,變化固定)。符合 ax+by=c(b 不是 0)的式子,y=(c−ax)÷b,x 增加 1 時 y 一律改變 −a÷b,是固定的,xy=12 沒有這個性質。

分數出現在哪裡?是當作未知數的係數,還是未知數在分母?〔回課文:逐項檢查「一次」〕

x/2 的意思是 x 除以 2,也就是 x 乘以什麼數?

x/2=(1/2)×x。再對照 ax+by=c,a 可以是分數嗎?〔回課文:什麼是二元一次方程〕

a=1/2,b=1,c=3。再想:判斷「一次」的關鍵是什麼?

小華說得不對。x/2=(1/2)×x,是「已知數 1/2 乘一個未知數 x」,一次項合格;y 項係數 1;3 是常數。所以 x/2+y=3 是二元一次方程,(a,b,c)=(1/2,1,3)。判斷「一次」要看未知數有沒有在分母、有沒有相乘或乘方,不是看有沒有分數。對照:2/x 的 x 在分母,才不合格。

對照定義的三個條件:是等式、兩種未知數、每項是一次。三式各違反哪一個?〔回課文:什麼是二元一次方程〕

(A) 看次數,(B) 看符號,(C) 數一數未知數有幾種。

y³ 是 y 乘 y 乘 y;≥ 不是等號;(C) 的字母有 x、y、z。

y³ 與 3y 不同:取 y=2,y³ 與 3y 各是多少?

(A)y³ 的次數是 3,不是一次(y³ 不是 3y)。(B)用的是 ≥,是不等式,不是等式。(C)有 x、y、z 三種未知數,是三元,不是二元。

逐行檢查這位同學的每一步,哪一步會讓「左右相等」被破壞?〔回課文:常見錯誤〕

看第一個箭頭:2(x−y) 去括號。

2 要乘到括號內每一項,括號裡有哪兩項?

正確去括號後應該是 2x−2y;再與右邊的 x+3 比較,重做後面兩步。

錯在第一步:2(x−y)=2x−2y,同學寫成 2x−y,漏乘了 y。正確:2(x−y)=x+3 → 2x−2y=x+3 → 2x−x−2y=3 → x−2y=3,所以 (a,b,c)=(1,−2,3)。驗證:取 x=3、y=1,2(x−y)=4,而同學寫的 2x−y=5,兩者不同。

這位同學的 x、y 項處理得如何?重點檢查常數項。〔回課文:判斷的步驟〕

常數 −5 從左邊搬到右邊,符號要怎麼變?

−5 搬到右邊變成 +5;右邊原有的 1 還在。

右邊現在是 1 再加上 5。

錯在常數項:−5 搬到右邊要變號成 +5,同學寫成 1−5。正確:2x−5=3y+1 → 2x−3y=1+5=6,所以 (a,b,c)=(2,−3,6)。驗證:取 x=1、y=1,整理前「左−右」是 (2−5)−(3+1)=−7;正確式 2−3−6=−7;同學的式子 2−3+4=3,不同。

先檢查整理的每一步,再檢查最後的結論。〔回課文:判斷的步驟〕

整理的動作(去括號、移項、合併)都做得對。問題在結論。回頭看定義中對 a、b 的限制。〔回課文:什麼是二元一次方程〕

定義要求「a、b 不全為 0」。這位同學的 a 和 b 各是多少?

a=0 且 b=0 同時成立。此時等號左邊不管 x、y 是多少都等於 0,左邊還剩什麼未知數?

整理過程沒有錯:左邊 3x+2y−2x=x+2y,與右邊 x+2y+5 比較,移項合併得 0x+0y=5。但 a、b 同時為 0,不符合「a、b 不全為 0」,所以結論錯誤:它不是二元一次方程。而且 0=5 永遠不成立,沒有任何 x、y 能使它成立。

付的總錢數 = 每種票的單價 × 張數,兩種加起來。〔回課文:為什麼需要〕

買成人票花多少元?買學生票花多少元?

成人票:150 元乘以 x 張,是 150x;學生票:80 元乘以 y 張,是 80y。

150x+80y=1000。對照 ax+by=c,讀出 a、b、c。

總花費是 150x+80y=1000。每一項都是「已知數×單一未知數」,有等號,a、b 不全為 0,所以是二元一次方程,(a,b,c)=(150,80,1000)。驗算:4 張成人票、5 張學生票時,150×4+80×5=600+400=1000,這組搭配符合式子(此處只是驗證式子描述得對,不要求求解)。

周長和面積的公式各是什麼?先列式,再判斷。

周長是四個邊長相加(兩個長、兩個寬);面積是長乘寬。

(甲)x+y+x+y=24;(乙)長乘寬等於 24。

(甲)整理成 2x+2y=24;(乙)寫成 xy=24。請對 (乙)的 xy 做檢查。〔回課文:逐項檢查「一次」〕

(甲)周長:x+y+x+y=24,整理得 2x+2y=24,每一項是「已知數×單一未知數」,是二元一次方程,(a,b,c)=(2,2,24)。(乙)面積:xy=24,xy 是兩個未知數相乘,不是,所以不是二元一次方程。

把 (k−3) 和 (2k−6) 當成 a 和 b。(2) 問的是 a、b 什麼時候「同時」為 0。〔回課文:什麼是二元一次方程〕

(1)把 k=5 代進兩個括號;(2)要找讓 a=0 且 b=0 的 k。

a=0 要 k−3=0;b=0 要 2k−6=0。各自的 k 是多少?是否相同?

注意 2k−6=2(k−3)。這個關係告訴你:a=0 時,b 會是多少?請據此判斷,再把求出的 k 代回式子看看變成什麼。

(1)k=5:a=5−3=2,b=2×5−6=4,c=9,(a,b,c)=(2,4,9)。(2)a=0 要 k=3,b=0 要 2k−6=0 也是 k=3,所以 k=3 時 a、b 同時為 0,式子變成 0x+0y=9,不是二元一次方程。k 不等於 3 時,a=k−3 不是 0,所以 a、b 不全為 0,都是二元一次方程。答案:k=3。