回課文。每題先自己做,需要時再依序展開提示。看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成,之後要隔一段時間,不看提示,用原題重做一次。L5 會揭示完整答案。
記號:輻角用度表示,主輻角取 0°≤θ<360°;結果請寫成 a+bi,實部與虛部用精確值(整數、分數、根式),不用近似小數,也不需要計算機。題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。
求 (√3+i)6,以 a+bi 表示。
√3+i 是標準式。要用棣美弗定理,第一步要先把它改寫成哪一種形式?它需要知道哪兩個量?〔回課文:極式〕
流程是:極式 → 模取 n 次方、輻角乘 n → 把 nθ 約化到 0°≤θ<360° → 代入特殊角的 cos、sin → 展開成 a+bi。先把這幾步的形狀寫出來,先不要急著代數字。〔回課文:計算步驟〕
本題 √3+i 在第一象限,r=2,θ=30°(先畫點看象限,再決定輻角)。套定理:模是 r6,輻角是 6×30°。
模變成 64,輻角 nθ=180°。約化:180° 已在 0°≤θ<360° 內,不必再約化。請自己查 cos180°、sin180°,乘上 64,寫成 a+bi,再用 a²+b² 檢查。
(1)化極式:√3+i 在第一象限,r=2,θ=30°,所以 z=2(cos30°+i sin30°)。(2)用定理:模 rn=(2)6=64,輻角 nθ=6×30°=180°。(3)約化:180° 已在 0°≤θ<360° 內,不必再約化。(4)特殊角:cos180°=−1,sin180°=0。(5)回直角式:z6=64×[(−1)+(0)i]=−64。檢查:實部與虛部的平方和應等於 (rn)²=4096。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):模沒有跟著乘冪,只把輻角乘 6,寫成 2(cos180°+i sin180°),得 −2(正確為 −64);把兩個部分各自取 6 次方,寫成 (√3)6+i6=27−1,得 26(正確為 −64)。
補救1:先看〔回課文:定理〕。模要取 n 次方,輻角要乘 n,兩件事都要做。用 n=2 驗:(1+i)²=2i 的模是 2=(√2)²,不是 √2。重做時單獨寫一行「rn=…」。 補救2:先看〔回課文:常見的錯〕。(a+bi)n 不等於 an+(bi)n:例如 (1+i)²=2i,而 1²+i²=0。重做時先化成極式,不要逐項取次方。
回到原題時須完整重寫「極式、模與輻角、約化、結果」幾個部分,不可只改最後一個數;看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成,須隔一段時間不看提示以原題重做。〔回課文:定理〕
記號:輻角用度表示,主輻角取 0°≤θ<360°;結果請寫成 a+bi,實部與虛部用精確值(整數、分數、根式),不用近似小數,也不需要計算機。題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。
求 (1−i)5,以 a+bi 表示。
1−i 是標準式。要用棣美弗定理,第一步要先把它改寫成哪一種形式?它需要知道哪兩個量?〔回課文:極式〕
流程是:極式 → 模取 n 次方、輻角乘 n → 把 nθ 約化到 0°≤θ<360° → 代入特殊角的 cos、sin → 展開成 a+bi。先把這幾步的形狀寫出來,先不要急著代數字。〔回課文:計算步驟〕
本題 1−i 在第四象限,r=√2,θ=315°(先畫點看象限,再決定輻角)。套定理:模是 r5,輻角是 5×315°。
模變成 4√2,輻角 nθ=1575°。約化:1575° 減去 360°×4 得 135°。請自己查 cos135°、sin135°,乘上 4√2,寫成 a+bi,再用 a²+b² 檢查。
(1)化極式:1−i 在第四象限,r=√2,θ=315°,所以 z=√2(cos315°+i sin315°)。(2)用定理:模 rn=(√2)5=4√2,輻角 nθ=5×315°=1575°。(3)約化:1575° 減去 360°×4 得 135°。(4)特殊角:cos135°=−√2/2,sin135°=√2/2。(5)回直角式:z5=4√2×[(−√2/2)+(√2/2)i]=−4+4i。檢查:實部與虛部的平方和應等於 (rn)²=32。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):把 1−i 的輻角當成 45°(忽略它在第四象限),得 −4−4i(正確為 −4+4i);模只取一次,沒有乘冪,寫成 √2(cos135°+i sin135°),得 −1+i(正確為 −4+4i)。
補救1:先看〔回課文:極式與象限〕。先在複數平面上畫出點,確認象限,再決定輻角;用 a、b 的正負對照 cosθ、sinθ 的正負。重做時單獨寫一行「在第幾象限,θ=…」。 補救2:先看〔回課文:定理〕。模要取 n 次方,輻角要乘 n,兩件事都要做。用 n=2 驗:(1+i)²=2i 的模是 2=(√2)²,不是 √2。重做時單獨寫一行「rn=…」。
回到原題時須完整重寫「極式、模與輻角、約化、結果」幾個部分,不可只改最後一個數;看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成,須隔一段時間不看提示以原題重做。〔回課文:極式與象限〕
記號:輻角用度表示,主輻角取 0°≤θ<360°;結果請寫成 a+bi,實部與虛部用精確值(整數、分數、根式),不用近似小數,也不需要計算機。題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。
求 (−2+2i)3,以 a+bi 表示。
−2+2i 是標準式。要用棣美弗定理,第一步要先把它改寫成哪一種形式?它需要知道哪兩個量?〔回課文:極式〕
流程是:極式 → 模取 n 次方、輻角乘 n → 把 nθ 約化到 0°≤θ<360° → 代入特殊角的 cos、sin → 展開成 a+bi。先把這幾步的形狀寫出來,先不要急著代數字。〔回課文:計算步驟〕
本題 −2+2i 在第二象限,r=2√2,θ=135°(先畫點看象限,再決定輻角)。套定理:模是 r3,輻角是 3×135°。
模變成 16√2,輻角 nθ=405°。約化:405° 減去 360°×1 得 45°。請自己查 cos45°、sin45°,乘上 16√2,寫成 a+bi,再用 a²+b² 檢查。
(1)化極式:−2+2i 在第二象限,r=2√2,θ=135°,所以 z=2√2(cos135°+i sin135°)。(2)用定理:模 rn=(2√2)3=16√2,輻角 nθ=3×135°=405°。(3)約化:405° 減去 360°×1 得 45°。(4)特殊角:cos45°=√2/2,sin45°=√2/2。(5)回直角式:z3=16√2×[(√2/2)+(√2/2)i]=16+16i。檢查:實部與虛部的平方和應等於 (rn)²=512。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):只取各部分的 3 次方,漏掉交叉項:(−2)3+(2i)3,得 −8−8i(正確為 16+16i);把輻角寫成 −45°(只看 2/(−2) 的反正切,沒看象限),得 −16−16i(正確為 16+16i);模沒有乘冪,寫成 2√2(cos45°+i sin45°),得 2+2i(正確為 16+16i)。
補救1:先看〔回課文:常見的錯〕。(a+bi)n 不等於 an+(bi)n:例如 (1+i)²=2i,而 1²+i²=0。重做時先化成極式,不要逐項取次方。 補救2:先看〔回課文:極式與象限〕。先在複數平面上畫出點,確認象限,再決定輻角;用 a、b 的正負對照 cosθ、sinθ 的正負。重做時單獨寫一行「在第幾象限,θ=…」。 補救3:先看〔回課文:定理〕。模要取 n 次方,輻角要乘 n,兩件事都要做。用 n=2 驗:(1+i)²=2i 的模是 2=(√2)²,不是 √2。重做時單獨寫一行「rn=…」。
回到原題時須完整重寫「極式、模與輻角、約化、結果」幾個部分,不可只改最後一個數;看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成,須隔一段時間不看提示以原題重做。〔回課文:計算步驟〕
記號:輻角用度表示,主輻角取 0°≤θ<360°;結果請寫成 a+bi,實部與虛部用精確值(整數、分數、根式),不用近似小數,也不需要計算機。題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。
設 z=3(cos40°+i sin40°),求 z3,以 a+bi 表示。
題目已經是極式了。定理會讓模與輻角各自怎麼變?最後要回到什麼形式?〔回課文:定理〕
模取 n 次方,輻角乘 n。輻角 40° 本身不是特殊角,但乘上 n 之後會變成可以查表的角。算出後再看需不需要約化。〔回課文:計算步驟〕
本題 r=3,θ=40°,n=3。模變成 33,輻角變成 3×40°。
模變成 27,輻角 nθ=120°(已在 0° 到 360° 之間,不必約化)。請自己查 cos120°、sin120°,乘上 27,再分別整理實部與虛部。
(1)題給極式 z=3(cos40°+i sin40°),r=3,θ=40°。(2)用定理:模 r3=33=27,輻角 nθ=3×40°=120°。(3)約化:120° 已在 0°≤θ<360° 內。(4)特殊角:cos120°=−1/2,sin120°=√3/2。(5)回直角式:z3=27×[(−1/2)+(√3/2)i]=−27/2+(27√3/2)i。檢查:實部與虛部的平方和 729/4+2187/4=2916/4=729=27²。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):模寫成 3×3=9,而不是 33,得 −9/2+(9√3/2)i(正確為 −27/2+(27√3/2)i);漏掉虛數單位,寫成 27(cos120°+sin120°),得 −27/2+27√3/2(正確為 −27/2+(27√3/2)i);把 120° 的正弦取成負值(以為在第三象限),得 −27/2−(27√3/2)i(正確為 −27/2+(27√3/2)i)。
補救1:先看〔回課文:定理〕。模要取 n 次方,輻角要乘 n,兩件事都要做。用 n=2 驗:(1+i)²=2i 的模是 2=(√2)²,不是 √2。重做時單獨寫一行「rn=…」。 補救2:先看〔回課文:常見的錯〕。極式是 r(cos nθ+i sin nθ),sin 那一項要帶 i。重做時把 cos 與 sin 的值分別放進實部與虛部,並確認結果含 i;結果若沒有 i,就是實數,要回頭檢查。 補救3:先看〔回課文:約化與特殊角表〕。約化只能加減 360° 的整數倍,再查 0° 到 360° 之間的特殊角表,並看 cos、sin 的正負是否與象限一致。重做時單獨寫一行「約化後=…」。
回到原題時須完整重寫「極式、模與輻角、約化、結果」幾個部分,不可只改最後一個數;看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成,須隔一段時間不看提示以原題重做。〔回課文:定理〕
記號:輻角用度表示,主輻角取 0°≤θ<360°;結果請寫成 a+bi,實部與虛部用精確值(整數、分數、根式),不用近似小數,也不需要計算機。題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。
求 (√3−3i)4,以 a+bi 表示。
√3−3i 是標準式。要用棣美弗定理,第一步要先把它改寫成哪一種形式?它需要知道哪兩個量?〔回課文:極式〕
流程是:極式 → 模取 n 次方、輻角乘 n → 把 nθ 約化到 0°≤θ<360° → 代入特殊角的 cos、sin → 展開成 a+bi。先把這幾步的形狀寫出來,先不要急著代數字。〔回課文:計算步驟〕
本題 √3−3i 在第四象限,r=2√3,θ=300°(先畫點看象限,再決定輻角)。套定理:模是 r4,輻角是 4×300°。
模變成 144,輻角 nθ=1200°。約化:1200° 減去 360°×3 得 120°。請自己查 cos120°、sin120°,乘上 144,寫成 a+bi,再用 a²+b² 檢查。
(1)化極式:√3−3i 在第四象限,r=2√3,θ=300°,所以 z=2√3(cos300°+i sin300°)。(2)用定理:模 rn=(2√3)4=144,輻角 nθ=4×300°=1200°。(3)約化:1200° 減去 360°×3 得 120°。(4)特殊角:cos120°=−1/2,sin120°=√3/2。(5)回直角式:z4=144×[(−1/2)+(√3/2)i]=−72+72√3 i。檢查:實部與虛部的平方和應等於 (rn)²=20736。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):模寫成 2√3×4=8√3,而不是 (2√3)4,得 −4√3+12i(正確為 −72+72√3 i);輻角取 60°(只看反正切的絕對值,忘了它在第四象限),得 −72−72√3 i(正確為 −72+72√3 i)。
補救1:先看〔回課文:定理〕。模要取 n 次方,輻角要乘 n,兩件事都要做。用 n=2 驗:(1+i)²=2i 的模是 2=(√2)²,不是 √2。重做時單獨寫一行「rn=…」。 補救2:先看〔回課文:極式與象限〕。先在複數平面上畫出點,確認象限,再決定輻角;用 a、b 的正負對照 cosθ、sinθ 的正負。重做時單獨寫一行「在第幾象限,θ=…」。
回到原題時須完整重寫「極式、模與輻角、約化、結果」幾個部分,不可只改最後一個數;看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成,須隔一段時間不看提示以原題重做。〔回課文:極式與象限〕
記號:輻角用度表示,主輻角取 0°≤θ<360°;結果請寫成 a+bi,實部與虛部用精確值(整數、分數、根式),不用近似小數,也不需要計算機。題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。
求 (−√3−i)5,以 a+bi 表示。
−√3−i 是標準式。要用棣美弗定理,第一步要先把它改寫成哪一種形式?它需要知道哪兩個量?〔回課文:極式〕
流程是:極式 → 模取 n 次方、輻角乘 n → 把 nθ 約化到 0°≤θ<360° → 代入特殊角的 cos、sin → 展開成 a+bi。先把這幾步的形狀寫出來,先不要急著代數字。〔回課文:計算步驟〕
本題 −√3−i 在第三象限,r=2,θ=210°(先畫點看象限,再決定輻角)。套定理:模是 r5,輻角是 5×210°。
模變成 32,輻角 nθ=1050°。約化:1050° 減去 360°×2 得 330°。請自己查 cos330°、sin330°,乘上 32,寫成 a+bi,再用 a²+b² 檢查。
(1)化極式:−√3−i 在第三象限,r=2,θ=210°,所以 z=2(cos210°+i sin210°)。(2)用定理:模 rn=(2)5=32,輻角 nθ=5×210°=1050°。(3)約化:1050° 減去 360°×2 得 330°。(4)特殊角:cos330°=√3/2,sin330°=−1/2。(5)回直角式:z5=32×[(√3/2)+(−1/2)i]=16√3−16i。檢查:實部與虛部的平方和應等於 (rn)²=1024。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):輻角取 30°(沒有注意到它在第三象限),得 −16√3+16i(正確為 16√3−16i);模只取一次,沒有乘冪,寫成 2(cos330°+i sin330°),得 √3−i(正確為 16√3−16i)。
補救1:先看〔回課文:極式與象限〕。先在複數平面上畫出點,確認象限,再決定輻角;用 a、b 的正負對照 cosθ、sinθ 的正負。重做時單獨寫一行「在第幾象限,θ=…」。 補救2:先看〔回課文:定理〕。模要取 n 次方,輻角要乘 n,兩件事都要做。用 n=2 驗:(1+i)²=2i 的模是 2=(√2)²,不是 √2。重做時單獨寫一行「rn=…」。
回到原題時須完整重寫「極式、模與輻角、約化、結果」幾個部分,不可只改最後一個數;看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成,須隔一段時間不看提示以原題重做。〔回課文:極式與象限〕
記號:輻角用度表示,主輻角取 0°≤θ<360°;結果請寫成 a+bi,實部與虛部用精確值(整數、分數、根式),不用近似小數,也不需要計算機。題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。
求 (−3+3√3 i)−2,以 a+bi 表示。
−3+3√3 i 是標準式。要用棣美弗定理,第一步要先把它改寫成哪一種形式?它需要知道哪兩個量?〔回課文:極式〕
流程同正整數次方,只是 n 變成負數:模變成 r 的負次方(就是倒數的冪),輻角 nθ 會是負角,要加 360° 的整數倍回到 0° 到 360° 之間。〔回課文:零與負整數次方〕
本題 −3+3√3 i 在第二象限,r=6,θ=120°(先畫點看象限,再決定輻角)。套定理:模是 r−2,輻角是 −2×120°。
模變成 1/36,輻角 nθ=−240°。約化:−240° 加上 360°×1 得 120°。請自己查 cos120°、sin120°,乘上 1/36,寫成 a+bi,再用 a²+b² 檢查。
(1)化極式:−3+3√3 i 在第二象限,r=6,θ=120°,所以 z=6(cos120°+i sin120°)。(2)用定理:模 rn=(6)−2=1/36,輻角 nθ=−2×120°=−240°。(3)約化:−240° 加上 360°×1 得 120°。(4)特殊角:cos120°=−1/2,sin120°=√3/2。(5)回直角式:z−2=1/36×[(−1/2)+(√3/2)i]=−1/72+(√3/72)i。檢查:實部與虛部的平方和應等於 (rn)²=1/1296。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):把 z−2 當成 −(z2),先算 z2 再變號,得 18+18√3 i(正確為 −1/72+(√3/72)i);模取了負次方,但輻角沒有跟著變號,用 +240°,得 −1/72−(√3/72)i(正確為 −1/72+(√3/72)i);模寫成 1/(6×2)=1/12,而不是 1/62,得 −1/24+(√3/24)i(正確為 −1/72+(√3/72)i)。
補救1:先看〔回課文:零與負整數次方〕。負整數次方是倒數:模取 r 的負次方,輻角乘 n 之後是負角。用 z×z−n=1 驗算:兩個模相乘為 1,兩個輻角相加為 0°。重做時先寫出 nθ 的符號。 補救2:先看〔回課文:定理〕。模要取 n 次方,輻角要乘 n,兩件事都要做。用 n=2 驗:(1+i)²=2i 的模是 2=(√2)²,不是 √2。重做時單獨寫一行「rn=…」。
回到原題時須完整重寫「極式、模與輻角、約化、結果」幾個部分,不可只改最後一個數;看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成,須隔一段時間不看提示以原題重做。〔回課文:零與負整數次方〕
記號:輻角用度表示,主輻角取 0°≤θ<360°;結果請寫成 a+bi,實部與虛部用精確值(整數、分數、根式),不用近似小數,也不需要計算機。題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。
求 (2−2i)−3,以 a+bi 表示。
2−2i 是標準式。要用棣美弗定理,第一步要先把它改寫成哪一種形式?它需要知道哪兩個量?〔回課文:極式〕
流程同正整數次方,只是 n 變成負數:模變成 r 的負次方,輻角 nθ 會是負角,要加 360° 的整數倍回到 0° 到 360° 之間。〔回課文:零與負整數次方〕
本題 2−2i 在第四象限,r=2√2,θ=315°(先畫點看象限,再決定輻角)。套定理:模是 r−3,輻角是 −3×315°。
模變成 √2/32,輻角 nθ=−945°。約化:−945° 加上 360°×3 得 135°。請自己查 cos135°、sin135°,乘上 √2/32,寫成 a+bi,再用 a²+b² 檢查。
(1)化極式:2−2i 在第四象限,r=2√2,θ=315°,所以 z=2√2(cos315°+i sin315°)。(2)用定理:模 rn=(2√2)−3=√2/32,輻角 nθ=−3×315°=−945°。(3)約化:−945° 加上 360°×3 得 135°。(4)特殊角:cos135°=−√2/2,sin135°=√2/2。(5)回直角式:z−3=√2/32×[(−√2/2)+(√2/2)i]=−1/32+(1/32)i。檢查:實部與虛部的平方和應等於 (rn)²=1/512。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):輻角沒有變號,用 +945°(約化後 225°),得 −1/32−(1/32)i(正確為 −1/32+(1/32)i);模取了 3 次方卻忘了取倒數,用 16√2,得 −16+16i(正確為 −1/32+(1/32)i)。
補救1:先看〔回課文:零與負整數次方〕。負整數次方是倒數:模取 r 的負次方,輻角乘 n 之後是負角。用 z×z−n=1 驗算:兩個模相乘為 1,兩個輻角相加為 0°。重做時先寫出 nθ 的符號。
回到原題時須完整重寫「極式、模與輻角、約化、結果」幾個部分,不可只改最後一個數;看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成,須隔一段時間不看提示以原題重做。〔回課文:零與負整數次方〕
記號:輻角用度表示,主輻角取 0°≤θ<360°;結果請寫成 a+bi,實部與虛部用精確值(整數、分數、根式),不用近似小數,也不需要計算機。題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。
設 z=−2+2√3 i,求 z0 與 z−1,各以 a+bi 表示。
零次方和負一次方各自要怎麼定義?z−1 用定理算出來的結果,要怎麼和 1/z 對得起來?〔回課文:零與負整數次方〕
z0 不用算輻角:任何非零複數的 0 次方是什麼?z−1 則套定理,n=−1,模與輻角各變成什麼?〔回課文:零與負整數次方〕
本題 z 在第二象限,r=4,θ=120°。z0 直接由定義得到;z−1 的模是 r−1,輻角是 −θ。
z−1 的模是 1/4,輻角 −120°,加 360° 得 240°。請自己查 cos240°、sin240° 並寫成 a+bi;z0 請依定義直接寫出。
z0:z≠0,所以 z0=1(也等於 r0[cos0°+i sin0°]=1)。z−1:z 在第二象限,r=4,θ=120°;模 4−1=1/4,輻角 −120°,加 360° 得 240°;cos240°=−1/2,sin240°=−√3/2;z−1=(1/4)×[(−1/2)+(−√3/2)i]=−1/8−(√3/8)i。檢查:z×z−1 的模是 4×(1/4)=1,而且 (−2+2√3 i)×(−1/8−(√3/8)i) 展開後 =(2/8+6/8)+(2√3/8−2√3/8)i=1,與 1/z 相符。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):以為任何數的 0 次方都是 0,寫 z0=0,得 0(正確為 1);z−1 的輻角沒有變號,用 +120°,得 −1/8+(√3/8)i(正確為 −1/8−(√3/8)i);把 z−1 當成 −z,寫 2−2√3 i,得 2−2√3 i(正確為 −1/8−(√3/8)i)。
補救1:先看〔回課文:零與負整數次方〕。非零複數的 0 次方是 1(模 r0=1、輻角 0°)。重做時先寫出「z≠0,所以 z0=1」。 補救2:先看〔回課文:零與負整數次方〕。負整數次方是倒數:模取 r 的負次方,輻角乘 n 之後是負角。用 z×z−n=1 驗算:兩個模相乘為 1,兩個輻角相加為 0°。重做時先寫出 nθ 的符號。
回到原題時須完整重寫「極式、模與輻角、約化、結果」幾個部分,不可只改最後一個數;看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成,須隔一段時間不看提示以原題重做。〔回課文:零與負整數次方〕
記號:輻角用度表示,主輻角取 0°≤θ<360°;結果請寫成 a+bi,實部與虛部用精確值(整數、分數、根式),不用近似小數,也不需要計算機。題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。
同學計算 (1−√3 i)5,寫了下面的過程:
1−√3 i 的 r=2,θ=300°。請指出他哪一個地方和定理不符,並寫出正確的結果(以 a+bi 表示)。
(1−√3 i)5=2(cos1500°+i sin1500°)=2(cos60°+i sin60°)=1+√3 i。
把他的第一個等號和定理逐項比對:n 次方之後,模和輻角各自應該怎麼變?他寫的是否都照做了?〔回課文:定理〕
兩個量都要檢查,不要只檢查其中一個。輻角的部分請自己重算一遍乘法與約化,模的部分請看他寫的數字有沒有經過 n 次方。
定理:[r(cosθ+i sin θ)]n=rn(cos nθ+i sin nθ)。請自己重算 5×300° 並約化;並看他寫的模 2 有沒有取 5 次方。
正確的模應是 25=32;輻角 5×300°=1500°,約化:1500° 減去 360°×4 得 60°。請自己查 cos60°、sin60°,乘上正確的模並整理成 a+bi。
錯在第一個等號:輻角照定理乘 5 了(1500°,約化為 60° 也對),但模仍是 2,沒有取 5 次方,應為 25=32。正確:(1−√3 i)5=32(cos60°+i sin60°)=32×[1/2+(√3/2)i]=16+16√3 i。檢查:16²+(16√3)²=256+768=1024=32²。他的答案 1+√3 i 的模只有 2。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):改正模時只乘成 2×5=10,得 5+5√3 i(正確為 16+16√3 i);改正時順便把輻角改成 60°(誤判它在第一象限),得 16−16√3 i(正確為 16+16√3 i)。
補救1:先看〔回課文:定理〕。模要取 n 次方,輻角要乘 n,兩件事都要做。用 n=2 驗:(1+i)²=2i 的模是 2=(√2)²,不是 √2。重做時單獨寫一行「rn=…」。 補救2:先看〔回課文:極式與象限〕。先在複數平面上畫出點,確認象限,再決定輻角;用 a、b 的正負對照 cosθ、sinθ 的正負。重做時單獨寫一行「在第幾象限,θ=…」。
回到原題時須完整重寫「極式、模與輻角、約化、結果」幾個部分,不可只改最後一個數;看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成,須隔一段時間不看提示以原題重做。〔回課文:定理〕
記號:輻角用度表示,主輻角取 0°≤θ<360°;結果請寫成 a+bi,實部與虛部用精確值(整數、分數、根式),不用近似小數,也不需要計算機。題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。
同學計算 [2(cos30°+i sin30°)]2,寫了下面的過程:
[2(cos30°+i sin30°)]2=22[cos(30°×30°)+i sin(30°×30°)]請指出他哪一個地方和定理不符,並寫出正確的結果(以 a+bi 表示)。
=4(cos900°+i sin900°)=4(cos180°+i sin180°)=−4。
定理讓輻角「乘 n」。他的括號裡,對輻角做的是哪一種運算?〔回課文:定理〕
先確認他把「n」用在模、輻角時,各自是不是定理說的運算;再用 n=2 的意義(同一個數乘兩次)想一想:乘兩次之後,角度是加倍還是平方?
n 次方就是連乘 n 次,每乘一次,輻角「加上」一次 θ。所以 n 次方的輻角是 nθ。請重算本題的輻角,再用 0° 到 360° 內的特殊角代入。〔回課文:定理為什麼成立〕
模 22=4(他這部分是對的);輻角應為 2×30°=60°,不需要再約化。請自己查 cos60°、sin60° 並整理成 a+bi。
錯在輻角:他把輻角自己乘自己(30°×30°=900°),應為 2×30°=60°。模 22=4 是對的。正確:[2(cos30°+i sin30°)]2=4(cos60°+i sin60°)=4×[1/2+(√3/2)i]=2+2√3 i。檢查:改用連乘 (√3+i)(√3+i)=3+2√3 i+i²=2+2√3 i,相同。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):把「平方」當成「加倍」:2(cos60°+i sin60°),得 1+√3 i(正確為 2+2√3 i);漏掉虛數單位,寫成 4(cos60°+sin60°),得 2+2√3(正確為 2+2√3 i)。
補救1:先看〔回課文:定理〕。n 次方是連乘 n 次,輻角每次加 θ,所以是 nθ,不是 θ 的平方,也不是 2θ 的別種寫法。用 n=2 驗:(√3+i)²=2+2√3 i,輻角 60°=2×30°。 補救2:先看〔回課文:常見的錯〕。極式是 r(cos nθ+i sin nθ),sin 那一項要帶 i。重做時把 cos 與 sin 的值分別放進實部與虛部,並確認結果含 i;結果若沒有 i,就是實數,要回頭檢查。
回到原題時須完整重寫「極式、模與輻角、約化、結果」幾個部分,不可只改最後一個數;看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成,須隔一段時間不看提示以原題重做。〔回課文:定理〕
記號:輻角用度表示,主輻角取 0°≤θ<360°;結果請寫成 a+bi,實部與虛部用精確值(整數、分數、根式),不用近似小數,也不需要計算機。題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。
同學計算 (√3−i)3,寫了下面的過程:
√3−i 的 r=2,θ=330°。請指出他哪一個地方的寫法不完整,並寫出正確的結果(以 a+bi 表示)。
(√3−i)3=23(cos990°+sin990°)=8(cos270°+sin270°)=8(0−1)=−8。
極式的括號裡,正弦那一項前面少了什麼?把他的結果當成複數,實部和虛部各是多少?〔回課文:極式〕
先確認他每一個等號是否仍是「複數」的寫法;再確認 cos、sin 的值是各自放在實部與虛部,還是被加在一起。
極式是 r(cosθ+i sinθ),sin 那一項要乘虛數單位 i。他的 990° 約化與 8 的來源可先自己檢查一遍。
他的模 8 與約化 990°→270° 都是對的。正確寫法:8(cos270°+i sin270°),其中 cos270°=0、sin270°=−1。請自己整理成 a+bi。
錯在他把 sin270° 的那一項前面漏掉了 i:極式是 r(cos nθ+i sin nθ),所以應為 8(cos270°+i sin270°)=8×[0+(−1)i]=−8i。他寫的 −8 是實數,但本題結果的實部是 0。檢查:(√3−i)2=3−2√3 i+i²=2−2√3 i,再乘 (√3−i):2√3−2i−6i+2√3 i²=2√3−8i−2√3=−8i,相同。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):改正時把輻角誤取成 30°(忽略第四象限),得 8i(正確為 −8i);改正時模寫成 2×3=6,得 −6i(正確為 −8i)。
補救1:先看〔回課文:極式與象限〕。先在複數平面上畫出點,確認象限,再決定輻角;用 a、b 的正負對照 cosθ、sinθ 的正負。重做時單獨寫一行「在第幾象限,θ=…」。 補救2:先看〔回課文:定理〕。模要取 n 次方,輻角要乘 n,兩件事都要做。用 n=2 驗:(1+i)²=2i 的模是 2=(√2)²,不是 √2。重做時單獨寫一行「rn=…」。
回到原題時須完整重寫「極式、模與輻角、約化、結果」幾個部分,不可只改最後一個數;看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成,須隔一段時間不看提示以原題重做。〔回課文:極式與象限〕
記號:輻角用度表示,主輻角取 0°≤θ<360°;結果請寫成 a+bi,實部與虛部用精確值(整數、分數、根式),不用近似小數,也不需要計算機。題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。
同學計算 (−1+i)7,寫了下面的過程:
−1+i 的 r=√2,θ=135°。請指出他哪一個地方有錯,並寫出正確的結果(以 a+bi 表示)。
r7=8√2,7θ=945°。945°=900°+45°,所以只剩 45°。
(−1+i)7=8√2(cos45°+i sin45°)=8+8i。
約化輻角時,可以隨意減去哪些角度?他減去的 900° 是這種角度嗎?〔回課文:約化〕
約化的目的是把 nθ 換成「同一個方向」的角,所以只能加減 360° 的整數倍。請檢查他減去的數是不是 360° 的整數倍。
945° 要減去的是 360° 的整數倍,並讓結果落在 0° 與 360° 之間。請自己找出該減多少倍,再查特殊角表。
模 8√2 他是對的;945° 應減去 360°×2,得 225°。請自己查 cos225°、sin225° 並乘上 8√2。
錯在約化:900° 不是 360° 的整數倍(360°×2=720°,360°×3=1080°),所以不能這樣減;945°−720°=225°。正確:8√2(cos225°+i sin225°)=8√2×[(−√2/2)+(−√2/2)i]=−8−8i。他的 45° 和 225° 差了 180°,結果的正負號整個相反。檢查:(−8)²+(−8)²=128=(8√2)²。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):改正約化後仍把模寫成 7√2,得 −7−7i(正確為 −8−8i);改正時把 z 的輻角看成 −45°(只算反正切,沒看象限),得 8+8i(正確為 −8−8i)。
補救1:先看〔回課文:定理〕。約化只能加減 360° 的整數倍,再查 0° 到 360° 之間的特殊角表,並看 cos、sin 的正負是否與象限一致。重做時單獨寫一行「約化後=…」。 補救2:先看〔回課文:極式與象限〕。先在複數平面上畫出點,確認象限,再決定輻角;用 a、b 的正負對照 cosθ、sinθ 的正負。重做時單獨寫一行「在第幾象限,θ=…」。
回到原題時須完整重寫「極式、模與輻角、約化、結果」幾個部分,不可只改最後一個數;看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成,須隔一段時間不看提示以原題重做。〔回課文:約化〕
記號:輻角用度表示,主輻角取 0°≤θ<360°;結果請寫成 a+bi,實部與虛部用精確值(整數、分數、根式),不用近似小數,也不需要計算機。題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。
同學計算 (−2√3+2i)3,寫了下面的過程:
r=4。tanθ=2/(−2√3)=−1/√3,所以 θ=−30°。請指出他哪一個地方有錯,並寫出正確的結果(以 a+bi 表示)。
(−2√3+2i)3=43[cos(−90°)+i sin(−90°)]=−64i。
先在複數平面上畫出 −2√3+2i:它的實部、虛部各是正或負?它在第幾象限?他得到的輻角 −30° 落在哪一個象限?〔回課文:極式與象限〕
tanθ 的值只決定「方向線」,同一個 tan 值對應兩個相差 180° 的角。要選哪一個,必須看實部與虛部的正負。
實部為負、虛部為正,在第二象限,主輻角介於 90° 與 180° 之間,且與負 x 軸的夾角是反正切算出的 30°。據此重新決定 θ,再套定理。
正確的 θ=150°;模 43=64,輻角 3θ=450°。約化:450° 減去 360°×1 得 90°。請自己查 cos90°、sin90° 並整理成 a+bi。
錯在輻角:−2√3+2i 實部為負、虛部為正,在第二象限,θ=150°,不是 −30°(−30° 在第四象限,方向和本題差了 180°)。正確:r3=64,3θ=450°,約化得 90°;64(cos90°+i sin90°)=64×[0+1i]=64i。檢查:(−2√3+2i)2=12−8√3 i+4i²=8−8√3 i;再乘 (−2√3+2i):(8)(−2√3)+(8)(2i)+(−8√3 i)(−2√3)+(−8√3 i)(2i)=−16√3+16i+48i+16√3=64i,相同。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):模寫成 4×3=12,而不是 43,得 12i(正確為 64i);漏掉虛數單位,寫成 64(cos90°+sin90°),得 64(正確為 64i);沒有把 450° 約化,把 cos450°、sin450° 當成 cos45°、sin45°,得 32√2+32√2 i(正確為 64i)。
補救1:先看〔回課文:定理〕。模要取 n 次方,輻角要乘 n,兩件事都要做。用 n=2 驗:(1+i)²=2i 的模是 2=(√2)²,不是 √2。重做時單獨寫一行「rn=…」。 補救2:先看〔回課文:常見的錯〕。極式是 r(cos nθ+i sin nθ),sin 那一項要帶 i。重做時把 cos 與 sin 的值分別放進實部與虛部,並確認結果含 i;結果若沒有 i,就是實數,要回頭檢查。 補救3:先看〔回課文:約化〕。約化只能加減 360° 的整數倍,再查 0° 到 360° 之間的特殊角表,並看 cos、sin 的正負是否與象限一致。重做時單獨寫一行「約化後=…」。
回到原題時須完整重寫「極式、模與輻角、約化、結果」幾個部分,不可只改最後一個數;看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成,須隔一段時間不看提示以原題重做。〔回課文:極式與象限〕
記號:輻角用度表示,主輻角取 0°≤θ<360°;結果請寫成 a+bi,實部與虛部用精確值(整數、分數、根式),不用近似小數,也不需要計算機。題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。
同學計算 (2+2√3 i)−2,寫了下面的過程:
r=4,θ=60°。請指出他哪一個地方有錯,並寫出正確的結果(以 a+bi 表示)。
(2+2√3 i)−2=4−2[cos(2×60°)+i sin(2×60°)]=(1/16)[−1/2+(√3/2)i]=−1/32+(√3/32)i。
n=−2 時,定理裡的 nθ 是多少?他在括號裡寫的 2×60° 對得起來嗎?〔回課文:零與負整數次方〕
模與輻角兩處都要檢查。輻角的部分請你自己用 n 乘 θ 重算,特別注意 n 的正負號;算出後再約化到 0° 與 360° 之間。
z−2=1/z2:分母的方向是 120°,取倒數之後方向變成相反的方向(相對於實軸對稱)。也就是輻角是 −120°。
模 4−2=1/16 他是對的;輻角 −2×60°=−120°,約化:−120° 加上 360°×1 得 240°。請自己查 cos240°、sin240° 並整理成 a+bi。
錯在輻角的符號:n=−2,輻角應是 nθ=−120°(負角),他寫成 +120°(等於用了 n=+2 的方向)。−120° 加 360° 得 240°。正確:(1/16)(cos240°+i sin240°)=(1/16)×[(−1/2)+(−√3/2)i]=−1/32−(√3/32)i。檢查:(2+2√3 i)2=4+8√3 i−12=−8+8√3 i,把它乘上答案:(−8)(−1/32)+(−8)(−√3/32)i+(8√3 i)(−1/32)+(8√3 i)(−√3/32 i)=1/4+(√3/4)i−(√3/4)i+3/4=1,所以答案確實是它的倒數。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):負指數處理錯成 −16:把 4−2 看成 −(42),得 8+8√3 i(正確為 −1/32−(√3/32)i);把 z−2 當成 −(z2),得 8−8√3 i(正確為 −1/32−(√3/32)i);模寫成 1/(4×2)=1/8,得 −1/16−(√3/16)i(正確為 −1/32−(√3/32)i)。
補救1:先看〔回課文:零與負整數次方〕。負整數次方是倒數:模取 r 的負次方,輻角乘 n 之後是負角。用 z×z−n=1 驗算:兩個模相乘為 1,兩個輻角相加為 0°。重做時先寫出 nθ 的符號。 補救2:先看〔回課文:定理〕。模要取 n 次方,輻角要乘 n,兩件事都要做。用 n=2 驗:(1+i)²=2i 的模是 2=(√2)²,不是 √2。重做時單獨寫一行「rn=…」。
回到原題時須完整重寫「極式、模與輻角、約化、結果」幾個部分,不可只改最後一個數;看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成,須隔一段時間不看提示以原題重做。〔回課文:零與負整數次方〕
記號:輻角用度表示,主輻角取 0°≤θ<360°;結果請寫成 a+bi,實部與虛部用精確值(整數、分數、根式),不用近似小數,也不需要計算機。題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。
複數平面上有一個質點,起點對應複數 2。每一步的動作相同:先以原點為中心逆時針旋轉 135°,再把質點到原點的距離變成原來的 √2 倍。連續做 5 步之後,質點的位置對應哪一個複數?(以 a+bi 表示)
「逆時針旋轉 135° 並放大 √2 倍」可以用乘上哪一個複數來表示?5 步就是乘幾次?〔回課文:為什麼乘法是縮放加旋轉〕
每一步乘的複數,模是放大倍率,輻角是旋轉角。連乘 5 次,再乘上起點。先決定「每一步乘的數」,再用定理。
每一步乘 w=√2(cos135°+i sin135°)(也就是 −1+i)。5 步之後的位置是 2×w5。請套定理算 w5,最後記得乘上起點 2。
w5 的模 (√2)5=4√2,輻角 5×135°=675°,約化:675° 減去 360°×1 得 315°。請自己算出 w5=a+bi,再乘上起點 2。
每一步等於乘 w=√2(cos135°+i sin135°)。5 步後位置為 2w5。w5:模 (√2)5=4√2,輻角 5×135°=675°,減 360° 得 315°;cos315°=√2/2,sin315°=−√2/2;w5=4√2×[(√2/2)+(−√2/2)i]=4−4i。乘上起點:2×(4−4i)=8−8i。檢查:模 |8−8i|=8√2,應等於 2×(√2)5=8√2。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):忘了乘起點 2,直接寫 w5,得 4−4i(正確為 8−8i);只放大一次(√2 倍)、起點 2 照乘,旋轉 5 步:2√2(cos315°+i sin315°),得 2−2i(正確為 8−8i);放大倍率寫成 5×√2,而不是 (√2)5,並乘起點 2,得 10−10i(正確為 8−8i)。
補救1:先看〔回課文:計算步驟〕。題目問的是「位置」,要把每一步的乘法連乘 5 次後,再乘上起點。重做時先寫出「位置=起點×w5」。 補救2:先看〔回課文:定理〕。模要取 n 次方,輻角要乘 n,兩件事都要做。用 n=2 驗:(1+i)²=2i 的模是 2=(√2)²,不是 √2。重做時單獨寫一行「rn=…」。
回到原題時須完整重寫「極式、模與輻角、約化、結果」幾個部分,不可只改最後一個數;看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成,須隔一段時間不看提示以原題重做。〔回課文:為什麼乘法是縮放加旋轉〕
記號:輻角用度表示,主輻角取 0°≤θ<360°;結果請寫成 a+bi,實部與虛部用精確值(整數、分數、根式),不用近似小數,也不需要計算機。題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。
設 z=cos20°+i sin20°。求 z6+z−6 的值。(提示:不必先算出 cos20°、sin20°。)
z 的模是多少?這會讓 z6 與 z−6 的模各是多少?〔回課文:定理〕
分別用定理寫出 z6 與 z−6 的極式(n 分別是 6 與 −6),看它們的輻角有什麼關係,加起來時哪一項會抵消。〔回課文:零與負整數次方〕
z6=cos(6×20°)+i sin(6×20°),z−6=cos(−6×20°)+i sin(−6×20°)。cos 是偶函數、sin 是奇函數,加起來時虛部會怎樣?
z6=cos120°+i sin120°,z−6=cos(−120°)+i sin(−120°)。請自己查特殊角的值,把兩個複數各寫成 a+bi,再相加。
|z|=1,所以模不影響。z6=cos120°+i sin120°=−1/2+(√3/2)i;z−6=cos(−120°)+i sin(−120°)=−1/2−(√3/2)i(−120° 加 360° 得 240°,cos240°=−1/2,sin240°=−√3/2,結果相同)。相加:(−1/2−1/2)+(√3/2−√3/2)i=−1。檢查:兩數互為共軛複數,和必為實數,且等於 2cos120°=−1。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):z−6 的輻角沒有變號,把兩項都當成 cos120°+i sin120°,得 −1+√3 i(正確為 −1);以為 z−6=−z6,所以和為 0,得 0(正確為 −1)。
補救1:先看〔回課文:零與負整數次方〕。負整數次方是倒數:模取 r 的負次方,輻角乘 n 之後是負角。用 z×z−n=1 驗算:兩個模相乘為 1,兩個輻角相加為 0°。重做時先寫出 nθ 的符號。
回到原題時須完整重寫「極式、模與輻角、約化、結果」幾個部分,不可只改最後一個數;看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成,須隔一段時間不看提示以原題重做。〔回課文:零與負整數次方〕
記號:輻角用度表示,主輻角取 0°≤θ<360°;結果請寫成 a+bi,實部與虛部用精確值(整數、分數、根式),不用近似小數,也不需要計算機。題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。
求 (√3+i)7+(√3−i)7 的值。
√3+i 與 √3−i 的模與輻角有什麼關係?它們的 7 次方之間,又會有什麼關係?〔回課文:極式〕
先各自化成極式,分別用定理算 7 次方;輻角互為相反數的兩個複數,它們的次方相加時,虛部會怎樣?
兩者的模都是 2,輻角分別為 30° 與 330°(也可以用 −30°)。它們的 7 次方,模都是 27,輻角分別是 7×30° 與 7×330°。
(√3+i)7:模 128,輻角 210°,約化 210°;(√3−i)7:模 128,輻角 2310°,約化 150°。請自己查特殊角的值,各寫成 a+bi 後相加。
(√3+i)7:模 27=128,輻角 7×30°=210°;cos210°=−√3/2,sin210°=−1/2,值為 128×[(−√3/2)+(−1/2)i]=−64√3−64i。(√3−i)7:模 128,輻角 7×330°=2310°,減 360°×6 得 150°;cos150°=−√3/2,sin150°=1/2,值為 128×[(−√3/2)+(1/2)i]=−64√3+64i。相加:(−64√3−64√3)+(−64+64)i=−128√3。檢查:兩數互為共軛複數,和必為實數,且等於 2×(−64√3)。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):把 cos210° 的符號取成正(以為 210° 在第一象限),得到 2×128×(√3/2),得 128√3(正確為 −128√3);只算了第一項,忘了加第二項,得 −64√3−64i(正確為 −128√3);模寫成 2×7=14,而不是 27,輻角照算,兩項相加,得 −14√3(正確為 −128√3)。
補救1:先看〔回課文:約化與特殊角表〕。約化只能加減 360° 的整數倍,再查 0° 到 360° 之間的特殊角表,並看 cos、sin 的正負是否與象限一致。重做時單獨寫一行「約化後=…」。 補救2:先看〔回課文:計算步驟〕。回到課文的計算步驟,逐項寫出每一行,最後用 a²+b²=(rn)² 檢查。 補救3:先看〔回課文:定理〕。模要取 n 次方,輻角要乘 n,兩件事都要做。用 n=2 驗:(1+i)²=2i 的模是 2=(√2)²,不是 √2。重做時單獨寫一行「rn=…」。
回到原題時須完整重寫「極式、模與輻角、約化、結果」幾個部分,不可只改最後一個數;看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成,須隔一段時間不看提示以原題重做。〔回課文:極式與象限〕