回課文。每題先自己做,需要時再依序展開提示。看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成,之後要隔一段時間,不看提示,用原題重做一次。L5 會揭示完整答案。
先不看提示作答,看看你的直覺會不會被「至少、不超過、不足」騙到。
記號:未知數的字母由題目設定;題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。不等式只用 >、<、≥、≤ 四個符號,被限制的量寫在符號左邊、基準數寫在右邊(題目另有指定順序時依題目)。
遊樂園規定:搭乘某項設施的人,身高至少 120 公分。設某位遊客的身高為 x 公分,寫出「可以搭乘」的條件,用一個不等式表示。
「至少 120」是在規定最矮的下限,還是最高的上限?想想:身高 150 公分的人可以搭嗎?剛好 120 公分的人呢?
先決定符號的尖端要指向哪一邊(尖端指向較小的數),再決定符號下面要不要加一條底線(含不含 120)。 〔回課文:詞語對照表〕
「至少」就是不可以少於 120。想想:比 120 高的人可以搭嗎?剛好 120 的人呢?比 120 矮的人呢?
被限制的量是身高 x。請先分別判斷「比 120 高、剛好 120、比 120 矮」三種身高可不可以搭,再把結果寫成 x □ 120,自己選出方格裡的符號。
答案:x ≥ 120。理由:「至少 120」允許 120 本身,也允許更高,所以用含等號的 ≥。檢查:x=120 時 120≥120 成立(可搭);x=119 時不成立(不可搭);x=150 時成立(可搭),三個檢查值都和規定相符。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):
補救:
記號:未知數的字母由題目設定;題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。不等式只用 >、<、≥、≤ 四個符號,被限制的量寫在符號左邊、基準數寫在右邊(題目另有指定順序時依題目)。
某電梯的標示寫著:一次載重不超過 800 公斤。設這一次載的總重為 w 公斤,寫出「沒有超載」的條件,用一個不等式表示。
「不超過」是「超過」前面加了「不」。先想:什麼叫「超過 800 公斤」?它的相反是什麼?
「不超過」的意思是:沒有比 800 重。那剛好 800 公斤算不算超過? 〔回課文:否定詞「不」〕
超過 800 就是 w>800。「不超過」是它的相反:想想 w 比 800 輕、剛好 800、比 800 重這三種情形,哪些「不是」超過?
被限制的量是總重 w。請把「比 800 輕、剛好 800、比 800 重」三種情形各判斷一次有沒有超載,再用一個符號寫成 w □ 800,自己選出方格裡的符號。
答案:w ≤ 800。理由:超過是 w>800,不超過就是「不是 w>800」,留下 w<800 與 w=800 兩種情形,合起來是 w≤800。檢查:w=800 時成立(沒超載);w=801 時不成立(超載);w=500 時成立。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):
補救:
記號:未知數的字母由題目設定;題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。不等式只用 >、<、≥、≤ 四個符號,被限制的量寫在符號左邊、基準數寫在右邊(題目另有指定順序時依題目)。
停車場入口的看板寫著:剩餘車位不足 5 個時,請改停別處。設剩餘車位為 n 個,寫出「需要改停別處」的條件,用一個不等式表示。
「不足 5 個」是不夠 5 個。如果剛好剩 5 個,算「足夠」還是「不足」?
先判斷尖端要指向哪一邊,再判斷 5 本身要不要包含在內。 〔回課文:詞語對照表〕
「不足」和「足夠」是相反的兩半。想想:剛好 5 個車位算足夠還是不足?比 5 個多、比 5 個少又各算哪一種?
被限制的量是 n。請分別判斷 n=5、n=4、n=8 時需不需要改停別處,再把結果寫成 n □ 5,自己選出方格裡的符號。
答案:n < 5。理由:剛好 5 個車位是「足夠」,不是「不足」,所以 5 不包含在內。檢查:n=5 時 5<5 不成立(不用改停);n=4 時成立(要改停);n=0 時成立。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):
補救:
照第 3 節的對照表,把一句話寫成不等式。
記號:未知數的字母由題目設定;題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。不等式只用 >、<、≥、≤ 四個符號,被限制的量寫在符號左邊、基準數寫在右邊(題目另有指定順序時依題目)。
某款手機設定:電量低於 20% 時,會跳出省電提示。設電量為 p%,寫出「會跳出省電提示」的條件,用一個不等式表示。
「低於」是往小的方向還是大的方向?剛好 20% 的時候會不會跳出提示?
先決定尖端指向哪一邊,再決定含不含 20。「低於」這個詞有沒有說「或等於」? 〔回課文:詞語對照表〕
查課文詞語對照表找「低於」那一列,看它對應的符號;再問自己:剛好 20% 時,「低於 20%」成立嗎?
被限制的量是電量 p。請分別判斷 p=20、p=19、p=50 時會不會跳出省電提示,再把結果寫成 p □ 20,自己選出方格裡的符號。
答案:p < 20。理由:「低於」只包含比 20% 小的電量,剛好 20% 不包含。檢查:p=20 時不成立(不提示);p=19 時成立(提示);p=50 時不成立。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):
補救:
記號:未知數的字母由題目設定;題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。不等式只用 >、<、≥、≤ 四個符號,被限制的量寫在符號左邊、基準數寫在右邊(題目另有指定順序時依題目)。
社團規定:報名人數超過 40 人時,要加開一班。設報名人數為 n 人,寫出「要加開一班」的條件,用一個不等式表示。
「超過」往大的方向還是小的方向?剛好 40 人時要加開一班嗎?
決定尖端的方向,再決定含不含 40。想一想:「超過」有包含「剛好等於」嗎? 〔回課文:詞語對照表〕
查課文詞語對照表找「超過」那一列,看它對應的符號;再問自己:剛好 40 人時,「超過 40 人」成立嗎?
被限制的量是人數 n。請分別判斷 n=40、n=41、n=30 時要不要加開一班,再把結果寫成 n □ 40,自己選出方格裡的符號。
答案:n > 40。理由:「超過」不包含 40 本身。檢查:n=40 時不成立(不加開);n=41 時成立(加開);n=30 時不成立。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):
補救:
記號:未知數的字母由題目設定;題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。不等式只用 >、<、≥、≤ 四個符號,被限制的量寫在符號左邊、基準數寫在右邊(題目另有指定順序時依題目)。
某獎學金規定:學期平均成績 85 分以上,才符合申請資格。設平均成績為 m 分,寫出「符合資格」的條件,用一個不等式表示。
(本課約定:「以上」與「以下」都包含那個數本身。)
「85 分以上」指的是 85 分以及比 85 更高的分數嗎?還是只有比 85 更高?
先決定尖端指向哪一邊,再決定含不含 85。看看題目最後那句約定怎麼說。 〔回課文:詞語對照表〕
依題目最後那句約定,「85 分以上」包不包含剛好 85 分?想想剛好 85 分的人符不符合資格。
被限制的量是平均成績 m。請分別判斷 m=85、m=84.5、m=92 時符不符合資格,再把結果寫成 m □ 85,自己選出方格裡的符號。
答案:m ≥ 85。理由:「85 分以上」包含剛好 85 分。檢查:m=85 時成立(符合資格);m=84.5 時不成立;m=92 時成立。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):
補救:
反過來,看符號說出意思相同的話,並分辨看似相近的說法。
記號:未知數的字母由題目設定;題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。
下列哪一句話可以用 x ≤ 6 表示?
(A) x 小於 6 (B) x 不超過 6 (C) x 超過 6 (D) x 至少 6
請選出答案,並再寫出另一種能表示 x ≤ 6 的說法。
先看符號:x ≤ 6 的尖端指向哪個數?底線代表什麼?
把四個選項各自寫成符號,再和 x ≤ 6 比較。 〔回課文:詞語對照表〕
請自己把 (A)(B)(C)(D) 四句話各寫成符號(查課文詞語對照表),再看哪一個符號和 x ≤ 6 一模一樣。
x ≤ 6 的意思是「x 比 6 小,或剛好 6」。請用 x=6 和 x=7 各檢查一次四個選項,只有一個選項的結果和 x ≤ 6 完全一致。另一種說法,可以到課文「詞語對照表」裡 ≤ 那一列找。
答案:(B)。理由:(A) 是 x<6,不含 6;(C) 是 x>6;(D) 是 x≥6;只有 (B)「不超過 6」是 x≤6。另一種說法:至多 6、6 以下,或「小於或等於 6」。檢查:x=6 時 6≤6 成立,而 (A) 的 6<6 不成立;x=7 時 7≤6 不成立,而 (C) 的 7>6 成立。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):
補救:
記號:未知數的字母由題目設定;題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。
有一個不等式 s > 15。下列哪一句話與它的意思相同?
(甲) s 不超過 15 (乙) s 超過 15 (丙) s 至少 15 (丁) s 不足 15
請選出答案,並再寫出另一個意思相同的說法。
先讀符號:s > 15 說的是 s 比 15 大,還是比 15 小?含不含 15?
把四個選項各自寫成符號。小心:每個選項都要分別檢查方向,以及含不含等號。 〔回課文:四個符號〕
用 s=15 與 s=20 代入 s > 15 和每個選項的說法,兩者結果完全一致的才是同一句話。
與 s > 15 完全一致的那個說法,在 s=15 時不成立、s=20 時成立。另一個意思相同的說法,可以到課文「詞語對照表」裡 > 那一列找。
答案:(乙)。理由:甲是 s≤15;丙是 s≥15,多了 s=15;丁是 s<15;只有乙「超過 15」是 s>15。另一個說法:大於 15(或多於 15、高於 15)。檢查:s=15 時 15>15 不成立,而「至少 15」會接受 15,所以丙不對。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):
補救:
記號:未知數的字母由題目設定;題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。
不等式 y ≥ 3 表示某個班級借走的書本數 y 本。下列哪些說法的意思和 y ≥ 3 相同?(可能不只一個)
(甲) 至少 3 本 (乙) 不少於 3 本 (丙) 少於 3 本 (丁) 3 本以上 (戊) 超過 3 本
(本課約定:「以上」與「以下」都包含那個數本身。)
先讀符號:y ≥ 3 是比 3 大或剛好 3 嗎?
把五個說法各自寫成符號。其中有兩個詞要特別小心:「不少於」帶有「不」字;「超過」有沒有包含 3? 〔回課文:否定詞「不」〕
用 y=3、y=5、y=1 三個值代入 y ≥ 3,再用同樣三個值逐一檢查每個說法(「以上」怎麼算,看題目最後那句約定)。
請先用 y=3、y=5、y=1 三個值,分別判斷「少於 3 本」「不少於 3 本」各自成不成立,再和 y ≥ 3 在這三個值的結果比較;其餘四個說法也用同樣方法一個一個檢查。
答案:甲、乙、丁。理由:甲「至少 3」是 y≥3;乙「不少於 3」是 y≥3;丁「3 以上」(含本數)是 y≥3;丙「少於 3」是 y<3;戊「超過 3」是 y>3,不含 3。檢查:y=3 時,甲乙丁都成立,丙戊不成立。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):
補救:
專門練習「不超過」「不少於」這類帶「不」的詞,以及「相反」要改哪兩件事。
記號:未知數的字母由題目設定;題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。不等式只用 >、<、≥、≤ 四個符號,被限制的量寫在符號左邊、基準數寫在右邊(題目另有指定順序時依題目)。
社區布告欄規定:每個攤位張貼的海報不超過 9 張。設海報數為 x 張。
小明把這個規定寫成 x < 9,他的理由是:「不超過,就是比 9 少。」
請指出小明哪裡有問題,並寫出正確的不等式。
如果一個攤位貼了剛好 9 張,有沒有違反規定?
小明把「不超過」直接當成「比 9 少」。想一想,「不超過」是「超過」加上「不」,應該怎麼處理? 〔回課文:否定詞「不」〕
超過 9 張是 x>9。「不超過」是它的相反:想想 x 比 9 少、剛好 9、比 9 多這三種張數,哪些「不是」超過?
請分別判斷海報 8 張、9 張、10 張有沒有違反規定,再看小明的式子 x<9 在這三個張數的判斷,有沒有哪一個和規定不一致;然後自己重新寫一次不等式。
答案:x ≤ 9。小明的問題:x<9 不含 9,但貼剛好 9 張並沒有超過,是符合規定的。檢查:x=9 時 9≤9 成立(沒違規),而 9<9 不成立(小明的式子誤判違規);x=10 時不成立(違規);x=8 時成立。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):
補救:
記號:未知數的字母由題目設定;題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。不等式只用 >、<、≥、≤ 四個符號,被限制的量寫在符號左邊、基準數寫在右邊(題目另有指定順序時依題目)。
設某次活動的練習時間為 t 分鐘。請分別用不等式表示:
(1) 練習時間不少於 12 分鐘; (2) 練習時間不多於 12 分鐘。
「不少於」和「不多於」看起來都有「少」或「多」,但「不」會把方向轉成相反。
先分別寫出「少於 12」與「多於 12」的符號,再用「不」取相反。 〔回課文:否定詞「不」〕
「少於 12」是 t<12,「不少於 12」是它的相反。「多於 12」是 t>12,「不多於 12」是它的相反。
請分別判斷 t 比 12 小、剛好 12、比 12 大三種情形,「不少於 12」與「不多於 12」各包含哪幾種,再把兩個結果寫成符號。
答案:(1) t ≥ 12;(2) t ≤ 12。理由:(1) 少於是 t<12,不少於就是 t≥12;(2) 多於是 t>12,不多於就是 t≤12。檢查:t=13 時 (1) 成立、(2) 不成立;t=11 時 (1) 不成立、(2) 成立;t=12 時兩個都成立。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):
補救:
記號:未知數的字母由題目設定;題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。不等式只用 >、<、≥、≤ 四個符號,被限制的量寫在符號左邊、基準數寫在右邊(題目另有指定順序時依題目)。
場地規定:每位使用者的停留時間 x 分鐘,不少於 7 分鐘(也就是 x ≥ 7)。
如果某人違反這項規定,他的停留時間 x 應該滿足哪一個不等式?請用一個不等式表示,並說出對應的中文說法。
「違反規定」就是 x ≥ 7「不成立」。如果剛好停留 7 分鐘,有沒有違反?
一個不等式與它的相反,兩者合起來要把所有 x 都涵蓋,而且沒有重疊。x=7 要放在哪一邊? 〔回課文:否定詞「不」〕
x ≥ 7 與它的相反,要把所有 x 分成互不重疊的兩半。想想:x=7 屬於 x ≥ 7 這一半,還是屬於相反的那一半?
請判斷 x=6.5、x=7、x=10 各屬於「守規定」還是「違反」,再把違反的那些寫成一個不等式;中文說法可到課文「詞語對照表」裡找。
答案:x < 7(少於 7 分鐘、不足 7 分鐘)。理由:x≥7 與 x<7 把所有數分成兩半,x=7 只屬於 x≥7。檢查:x=7 時 7≥7 成立(守規定),7<7 不成立;x=6.5 時 6.5<7 成立(違規);x=10 時 10<7 不成立(沒違規)。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):
補救:
練習用剛好等於基準數的值,判斷該不該含等號。
記號:未知數的字母由題目設定;題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。
社團採購時規定:每件商品的價格不超過 150 元。設某商品價格為 p 元。
甲同學寫 p < 150,乙同學寫 p ≤ 150。請用「剛好 150 元的商品」檢查:這件商品可以買嗎?哪一位同學寫對了?
先不看符號,只看規定:剛好 150 元的商品,有沒有「超過」150 元?
再把 p=150 分別代入甲、乙兩個式子,看看哪一個的結果和規定一致。 〔回課文:寫不等式的步驟(含邊界檢查)〕
把 p=150 代入 p<150 是 150<150,真假如何?代入 p≤150 呢?再想想:規定的「不超過 150」允不允許剛好 150 元?
請自己算出 p=150 時,甲、乙兩個式子各是成立還是不成立,再和「規定允不允許剛好 150 元」比對。
答案:可以買,乙同學寫對了,p ≤ 150。理由:150 元沒有超過 150 元,符合規定;p<150 會把 150 排除,是錯的。檢查:p=150 時乙式成立、甲式不成立;p=151 時兩式都不成立;p=100 時兩式都成立。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):
補救:
記號:未知數的字母由題目設定;題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。不等式只用 >、<、≥、≤ 四個符號,被限制的量寫在符號左邊、基準數寫在右邊(題目另有指定順序時依題目)。
某條公車路線規定:身高未滿 115 公分的兒童免費搭乘。設兒童的身高為 h 公分,寫出「可以免費」的條件,用一個不等式表示。
小宇的身高剛好是 115 公分,他要不要付費?請用你的不等式說明。
「未滿 115」的意思是還沒有到 115。剛好 115 公分,算不算「未滿」?
先決定符號的方向,再用 115 這個邊界值檢查要不要包含它。 〔回課文:寫不等式的步驟(含邊界檢查)〕
「未滿」是「不到」。想想:剛好 115 公分算不算「不到 115」?
請分別判斷 h=114、h=115、h=130 的兒童可不可以免費,再把結果寫成 h □ 115,自己選出方格裡的符號。再把 h=115 代入你的式子,回答小宇的問題。
答案:h < 115。小宇的身高 115:115<115 不成立,所以他要付費。理由:未滿 = 不到 115,115 本身不算。檢查:h=114 時成立(免費);h=115 時不成立(要付費);h=130 時不成立。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):
補救:
記號:未知數的字母由題目設定;題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。不等式只用 >、<、≥、≤ 四個符號,被限制的量寫在符號左邊、基準數寫在右邊(題目另有指定順序時依題目)。
某手機方案:每月網路用量超過 20 GB 之後,網速會降低。設某月用量為 g GB,寫出「網速會降低」的條件,用一個不等式表示。
請用 20 GB 與 20.5 GB 兩個用量檢查你的式子,說明這兩個用量各會不會降速。
規定說「超過 20 GB 之後」才降速。剛好用了 20 GB,有沒有降速?
先決定符號方向,再用邊界值 20 檢查要不要包含它。 〔回課文:寫不等式的步驟(含邊界檢查)〕
查課文詞語對照表找「超過」那一列;再問自己:剛好用了 20 GB,算不算「超過 20 GB」?
被限制的量是用量 g。請分別判斷 g=20、g=20.5、g=10 會不會降速,再把結果寫成 g □ 20,自己選出方格裡的符號。然後把 20 與 20.5 各代入你的式子。
答案:g > 20。檢查:g=20 時 20>20 不成立,不降速;g=20.5 時 20.5>20 成立,降速;g=10 時不成立。若寫成 g≥20,g=20 就會降速,和規定不符。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):
補救:
被限制的量是式子、句子倒過來寫,或限制的是總量時,怎麼寫。
記號:未知數的字母由題目設定;題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。不等式只用 >、<、≥、≤ 四個符號,被限制的量寫在符號左邊、基準數寫在右邊(題目另有指定順序時依題目)。
一個數 x 的 2 倍再加 3,結果不超過 17。寫出這個條件,用一個不等式表示(只要列出不等式,不需要求 x)。
句子裡「被限制的量」不是 x 本身,而是「x 的 2 倍再加 3」。先把這個量用 x 寫出來。
先寫出「x 的 2 倍再加 3」這個式子,再找限制詞「不超過」,決定符號。 〔回課文:寫不等式的步驟(含邊界檢查)〕
「x 的 2 倍」怎麼用 x 寫?再加 3 之後,整個被限制的量怎麼寫?「不超過 17」:想想這個量比 17 小、剛好 17、比 17 大三種情形,哪些「不是」超過?
把被限制的量放在符號左邊、17 放在右邊,寫成「(你寫出的式子) □ 17」。請分別取 x=7、x=8、x=0,算出被限制的量的值,判斷各自是不是不超過 17,再自己選出方格裡的符號。
答案:2x+3 ≤ 17。理由:被限制的量是 2x+3,「不超過」包含 17。檢查:x=7 時 2×7+3=17,17≤17 成立;x=8 時 19≤17 不成立;x=0 時 3≤17 成立。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):
補救:
記號:未知數的字母由題目設定;題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。不等式只用 >、<、≥、≤ 四個符號,被限制的量寫在符號左邊、基準數寫在右邊(題目另有指定順序時依題目)。
宅配公司規定:每個包裹的總重(包含空紙箱)不得超過 20 公斤。一個空紙箱重 2 公斤,裡面的水果重 w 公斤。寫出「包裹符合規定」的條件,用一個不等式表示(只需列出,不需要化簡)。
規定限制的是「總重」,不只是水果。總重是由哪些東西合起來的?
先寫出總重,再找限制詞「不得超過」。「不得」是不可以的意思,所以和「不超過」同義嗎? 〔回課文:寫不等式的步驟(含邊界檢查)〕
總重是由水果和空紙箱合起來的,請用 w 把總重寫出來。「不得超過 20」:想想總重剛好 20 公斤算不算超過?
把總重放左邊、20 放右邊,寫成「(你寫出的總重) □ 20」。請分別判斷 w=18、w=19、w=10 時的總重有沒有超過 20,再自己選出方格裡的符號。
答案:w+2 ≤ 20。理由:總重是 w+2,「不得超過 20」包含剛好 20。檢查:w=18 時總重 20,20≤20 成立;w=19 時總重 21,不成立;w=10 時總重 12,成立。(若你已學過移項,w ≤ 18 也是同一個意思,但本題只要求列出不等式。)
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):
補救:
記號:未知數的字母由題目設定;題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。不等式只用 >、<、≥、≤ 四個符號,被限制的量寫在符號左邊、基準數寫在右邊(題目另有指定順序時依題目)。
活動說明寫著:目標人數 50 人,不超過實際報名人數 n 人(也就是「50 不超過 n」)。
請(1)先照句子的順序寫出不等式;(2)再改寫成 n 在左邊的不等式。
句子裡是誰「不超過」誰?是 50 不超過 n,還是 n 不超過 50?
先照句子順序,把「50」放左邊、「n」放右邊,再決定符號。 〔回課文:主詞在哪裡〕
句型「甲 不超過 乙」:想想甲剛好等於乙時,「甲不超過乙」成立嗎?甲放在符號左邊、乙放在右邊,請照句子順序寫出 (1)。
(2) 要把 n 換到左邊:兩邊交換位置後,符號要怎麼改,才會和 (1) 是同一句話?可以用 n=50、n=49、n=80 代入兩式檢查。
答案:(1) 50 ≤ n;(2) n ≥ 50。理由:50 不超過 n,表示 50 不比 n 大,所以 n 至少是 50。檢查:n=50 時 50≤50 成立;n=49 時 50≤49 不成立;n=80 時 50≤80 成立。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):
補救: