計算有限項等比級數
從逐項相加看見固定公比的結構，辨認 a、r、n 並選對求和方式。
P01
加得出來，為何還要找方法？
把3、6、12、24、48這五筆數量合在一起，逐項相加得到93，這個方法完全正確。若每次都按同一倍數變化，項數增加時，有沒有辦法利用重複結構，減少漏加一項的機會？本節不是否定加法，而是把「每項都要重新處理」改成「找出相鄰項可以對齊的關係」。最後仍會用小規模逐項加總檢查，因為公式算得快，卻不能替我們讀對首項與項數。
P02
倍數不是多加多少
數列是按次序列出的數，級數則把這些項相加。3、6、12每次乘2，所以6÷3=2、12÷6=2；它不是每次加同一個數。相鄰公比的方向是「後項除以前項」，不能倒著除。2、4、7的後項除以前項分別是2和7/4，不一致；不能看前兩項就把整段當成等比。若倍數、分數除法或等比的意思還沒學過，可以直接說明，先補好這些先備知識，再繼續往下學。
P03
幾次相乘，與共有幾項
由首項a開始，第1項就是a，往第2項乘一次r，往第3項乘兩次r。所以當r≠0時，第n項寫ar^(n−1)，n是項數而不是相乘次數；例如3、6、12、24、48共有5項，末項3×2^4=48。正整數次方表示反覆相乘：(−2)^3=−8，(−2)^4=16；負底數要把負號包進括號。(1/2)^3=1/8，分子分母都乘三次。r=0時直接由首項開始逐次乘0，不必把首項寫成含0^0的式子。
P04
整串相減與分數
等式兩邊乘同一個數仍相等；整串相減時，減號作用到每一項。例如(3+6+12)−(6+12+24)=3−24，不是只減第一個6。分數相減先同分母，1−1/8=8/8−1/8=7/8；除以非零分數等於乘倒數，(7/8)÷(1/2)=(7/8)×2=7/4。不能除以0。這些算則是接下來推導的工具；若某一步不熟，先就該一步說不會，補好後再回來。
P05
有限等比和：先定清楚邊界
本節只加有限的n項，n是正整數。首項記a，之後每項都是前項乘同一個實數r；若相鄰項的前項非零，可用後項÷前項核公比。記這n項總和為S。r≠1時，S=a(1−r^n)/(1−r)；r=1時，每項都等於a，S=na，不能用分母為0的那一式。這裡的練習用整數或有理數，答案保留精確分數。省略號只省略中間按已知規則生成的有限項，必須另有明確的項數或末項，不能憑幾項猜未給的規律。
P06
乘公比，把同樣的項移到同一位置
仍取S=3+6+12+24+48。每項乘2得到2S=6+12+24+48+96；注意乘到末項後多出96，而不是仍停在48。兩串對齊相減：S−2S=(3+6+12+24+48)−(6+12+24+48+96)=3−96。中間四項各有一次加、一次減，所以消去；留下原首項與新串末端。這個「錯開一項再相減」是公式的來源，不是神秘的記憶口訣。
P07
相減沒有消掉總和，還要解回S
由S−2S=3−96，左邊是−S，右邊是−93，因此S=93。若反過來用2S−S，便是S=96−3=93；兩種方向都可以，但兩邊的方向要一致。一般式也可寫a(r^n−1)/(r−1)，因分子分母同乘−1，與a(1−r^n)/(1−r)相同。不能只改分子或只改分母的符號。直接加3+6+12+24+48=93，為這個具體例子提供另一條核算路徑。
P08
把對齊的理由推到任意有限項數
先取n≥3、r≠0。寫S=a+ar+…+ar^(n−1)，乘r得rS=ar+ar²+…+ar^n。中間對應項相減，得到(1−r)S=a−ar^n=a(1−r^n)。只在r≠1時除以1−r，便得S=a(1−r^n)/(1−r)。末項是ar^(n−1)，相減多出的下一項才是ar^n；這正是公式指數為n的理由。n=2時直接寫S=a+ar、rS=ar+ar²，相減同樣得到a−ar²；不把省略號多算成一項。r=1不能在此除以0，要另算；n=1和r=0用P12/P13直接檢查，不靠未定義的0^0補漏洞。
P09
公比為1：不是例外忘記背，而是不能除0
例如5+5+5+5，a=5、r=1、n=4，四個5相加就是4×5=20。若硬代分式，會得到5(1−1^4)/(1−1)=0/0，它不是0，也不是20，這種除法沒有定義。由(1−r)S=a(1−r^n)只能得到0=0，沒有求出S。因此先看r是否為1，選na是把原來的相加做完，不是另猜一個答案。負首項或分數首項也相同，例如三個−2的和是−6。
P10
公比可以是分數，答案仍是精確的
看8+4+2+1+1/2，共5項，r=1/2。S=8[1−(1/2)^5]/(1−1/2)=8×(31/32)÷(1/2)=31/2。逐項相加8+4+2+1=15，再加1/2，也是31/2。指數5不是看到末項1/2就猜的，而是由五項決定。分母1/2要做除法，不是再乘1/2；寫成小數近似可能掩蓋分數算錯，本題用精確分數即可。
P11
負公比：首項非零時相鄰項換號，但同一機制仍成立
看2+(−4)+8+(−16)，共4項。各次後項÷前項都是−2，末項2×(−2)^3=−16。總和S=2[1−(−2)^4]/[1−(−2)]=2×(−15)/3=−10；直接相加也為−10。負公比不是負首項：−2、−4、−8的公比是正2。算r^n時括號不可漏，且奇數次方負、偶數次方正；若答案錯先看是哪個算則，而不是只因出現負號就重新講整課。
P12
只有一項：總和就是首項
若只取首項9，n=1，S=9。沒有第二項可用來推公比；題目若另明示生成規則公比為4，便可核9(1−4^1)/(1−4)=9。若另給r=1，則na=1×9=9。這不是用末項反推出一個不存在的相鄰比。對單項而未給r的題，直接相加已足夠，應說「公比無法由單項唯一辨識」，不能把自己的猜測冒充題目已知。
P13
零公比與全零：不要做0除0
若題目明說首項4，之後每次乘0，取4項，便是4、0、0、0，總和4。一般而言，r=0且n為任意有限正整數時，首項是a，其餘已取項都是0，總和a；0^n=0使求和公式也給a，不需0^0。後段的0÷0不能用來驗比，但逐次乘0的規則已給；公式用正整數n=4得4(1−0^4)/(1−0)=4，沒有0^0。若首項0且明給每次乘3，有限各項全為0，總和0；若只看到一串0，公比不能由相鄰除法唯一決定。這些是核條件的邊界，不在未給規則時強迫猜r，也不把n=0或非整數項數塞進本節公式。
P14
省略號、省略首項與項數的陷阱
題面說「等比數列依次為1、3、9、…，取前4項」，就補出27，四項和40；不能看三個已印出的數就說n=3。如果寫2^0+2^1+2^2+2^3，共4項，首項是2^0=1，公比2，末項8；指數從0開始不表示沒有首項。只有2、4、…而沒有明定規則與停止位置，資訊不足，先請求澄清；不為了套公式自行補出題意。
P15
考場落地：先圈三個參數，再做兩路檢查
求有限等比和時，先圈出a、r、n，核對相鄰倍數或題目給的生成規則，再看末項。接著判斷r是否等於1，寫完整代入式，最後用逐項相加核對。只求出最後一項，還沒有求出總和；遇到卡住的步驟，可以標出來再提問。
P16
同一錯答案，可能是不同根因
若把五項當四項，重新從首項數到末項；若把r讀成倒數，檢查後項如何由前項得到；若r=1卻寫出分母1−r，改用S=na；若負公比的次方算錯，先核括號及奇偶。找到第一個不確定的步驟，比只改最後答案更有用。
P17
遇到難題：說出已知與卡點
遇到難題，可以說「我認為已知……；我做到……因為……；我卡在……」，也可以直接說「不會」「題意看不懂」「這段沒有教過」。把已知的a、r、n及卡住的計算寫下，便於一起找到下一步。
P18
從逐項算，到看見可重用的結構
有限等比和仍可逐項相加檢查；固定公比讓兩串對齊，相減後只留下兩端。請用自己的話說明a、r、n從何而來，以及為何r=1要另外計算。看過的例題只能用來練習說理；換一題新的有限等比和，仍能選對分支並核對總和，才更能檢查自己是否掌握。