練習：驗證對稱軸通過二次函數的頂點

先把式子對照成 f(x)=a(x−h)²+k，看括號裡是不是「x 減一個數」。h 要讀的是「被減掉的那個數」。

x+2 還不是「x 減一個數」的樣子，要先改寫括號。頂點是 (h,k)；軸只由 h 決定，與 k 無關。

方法：①把括號改寫成 x−h；②頂點是 (h,k)；③軸是 x=h；④檢查時，f(h−1) 的括號是 (h−1)−h，f(h+1) 的括號是 (h+1)−h，先算括號再平方。

已知 a=3、k=−1。把 x+2 寫成 x−( ) 之後，括號裡的數就是 h。再把 h−1、h+1 代入：兩個括號分別是 −1 與 1，平方後各是多少？乘 3 再加 (−1)，比較兩邊。

①x+2=x−(−2)，所以 h=−2，a=3，k=−1。②頂點 (−2,−1)。③軸是鉛垂線 x=−2。④d=1：h−1=−3，f(−3)=3(−3+2)²−1=3·1−1=2；h+1=−1，f(−1)=3(−1+2)²−1=3·1−1=2。兩者相等，與 x=−2 是軸一致；頂點 (−2,−1) 的橫坐標就是 −2，在軸上。

把 x+2 直接讀成 h=2，得到軸 x=2。自查：d=1 時 f(1)=3(1+2)²−1=26，f(3)=3(3+2)²−1=74，兩者不相等，所以 x=2 不是軸。補救：先改寫 x+2=x−(−2)，再讀 h。

把軸寫成水平線 y=−1。自查：圖上的點 (−3,2) 對 y=−1 鏡射得 (−3,−4)，但 f(−3)=2，所以 (−3,−4) 不在圖形上。補救：軸是鉛垂線，方程式只含 x。

想一想：「說明 x=1 是軸」要涵蓋圖上所有的點，還是只要幾個點？

圖上有無限多個點。看哪個理由真的處理了「每一對」離軸一樣遠的點。

方法：逐一檢查四個理由：它有沒有用到函數式？它檢查了幾個 d？它有沒有說明其他點也成立？

先把四個理由歸類：只談頂點的位置、用字母 d 代表任意距離、只看圖、算了一對具體的數。再問：哪一類涵蓋了所有的 d？

丙。丙用字母 d 代表任意距離，算出 f(1−d)=f(1+d)=3d²+2，涵蓋圖上每一對點。甲只看圖，沒有用函數式，圖有誤差，而且沒說明理由；乙只驗了 d=1 一對（0 與 2），其他 d 沒有檢查；丁只說頂點在 x=1 上，沒有說明其他點如何對稱。

選乙：f(0)=f(2)=5 是真的，但它只是 d=1 的一個算例。自查：這個算例有沒有包含 d=2、d=3…？補救：改用字母 d，證明所有 d 都成立。

選丁：頂點的橫坐標是 1，只說明頂點在 x=1 上。軸的意思是每個點的鏡射點都在圖上，頂點只是其中一個點（d=0）。

圖上同高度的兩點，連線是一條水平線。想一想：這條線段的中點橫坐標怎麼算？

A、B 同高（y 都是 6），C、D 同高（y 都是 0）。先各自算出兩個中點的橫坐標。

方法：中點橫坐標＝兩端橫坐標相加再除以 2。同高兩點的中點在對稱軸上（課文路線二），所以兩個中點應該在同一條鉛垂線上。

A、B 的橫坐標相加得 4；C、D 的橫坐標相加得 4。各自除以 2 得兩個中點的橫坐標；再比較它們，寫出軸的方程式。

A、B：(−2+6)/2=2；C、D：(0+4)/2=2。兩個中點的橫坐標相同，都是 2。因為同高兩點的中點在軸上，所以鉛垂對稱軸是 x=2。檢查：A、B 到 x=2 的距離都是 4；C、D 的距離都是 2。

用橫坐標的差除以 2：(6−(−2))/2=4，(4−0)/2=2。兩個數不同，而且這不是中點的位置。補救：中點要「相加」再除以 2。

把縱坐標也平均：A、B 的縱坐標平均是 6，C、D 是 0，得到兩個不同的數，這是「高度」，不是軸的位置。軸是鉛垂線，只和橫坐標有關。

f(2−d) 的括號是「(2−d) 減 2」，先算這個括號。

(2−d)−2 與 (2+d)−2 化簡後，一個與另一個只差一個負號。想一想：平方之後，這個負號會怎樣？

方法：把 x=2−d、x=2+d 分別代入 3(x−2)²+1，括號化簡後再平方；用 (−d)²=d² 比較兩邊。

f(2−d)=3(−d)²+1；f(2+d)=3(d)²+1。下一步：把 (−d)² 化簡，比較兩式。然後說明每個點的鏡射點為什麼也在圖上，並寫出 d=0 的點。

f(2−d)=3((2−d)−2)²+1=3(−d)²+1=3d²+1；f(2+d)=3((2+d)−2)²+1=3d²+1。兩者相等，對所有 d 成立。圖上任一點 (x,y) 都可寫成 x=2+d（d=x−2），它的鏡射點橫坐標是 2−d，高度也是 3d²+1，所以在圖上，x=2 是對稱軸。d=0 時得 f(2)=1，頂點 (2,1) 在軸上。

把 (−d)² 寫成 −d²，得到 f(2−d)=−3d²+1。自查：d=2 時，−3·4+1=−11，但直接算 f(0)=3(0−2)²+1=13。補救：負數平方是正數。

忘了減 h，寫 f(2−d)=3(2−d)²+1。自查：d=2 時 3·0+1=1，而 f(0)=13。補救：括號是 x−h，要把 x=2−d 代進去再減 2。

先從式子讀出 h（把 x+4 改寫成 x 減一個數），h−6 與 h+6 就是兩個要代入的輸入。

先算出兩個輸入的數值，再把它們代入括號 x+4。注意 a 是負數。

方法：括號先算，再平方，最後乘 −1/2 再加 7。負號不在平方裡面。

兩個輸入是 −10 與 2；括號 x+4 分別是 −6 與 6；平方後各是多少？再乘 −1/2、加 7。

x+4=x−(−4)，h=−4，要檢驗 x=−4。h−6=−10：f(−10)=−(1/2)(−10+4)²+7=−(1/2)·36+7=−18+7=−11。h+6=2：f(2)=−(1/2)(2+4)²+7=−18+7=−11。兩者都是 −11，相等，符合 x=−4 是軸（頂點 (−4,7)）。

把 −1/2 和括號一起平方：(−(1/2)·6)²=9，再加 7 得 16。這不是 −11。補救：平方只作用在括號 (x+4) 上，a 在平方之後才乘。

把 h 讀成 4（沒把 x+4 改寫成 x−(−4)）：取 h−6=−2、h+6=10，f(−2)=−(1/2)(−2+4)²+7=5，f(10)=−(1/2)(10+4)²+7=−91，兩個結果不相等，卻不知道哪裡出錯。自查：x=h 代入括號 x+4，括號要變成 0。補救：先把 x+4 寫成 x−(−4)，讀出 h=−4。

先讀出 h，再用 h−d 與 h+d 當作兩個輸入。

h 與 d 都是分數，h−d 與 h+d 是分數的加減；算出來可能是整數。

方法：①h−d、h+d 各是多少；②代入括號 x−h，括號會是兩個互為相反數的數；③平方、乘 4、加 3。

兩個輸入是 −1 與 2；括號 x−1/2 分別是 −3/2 與 3/2；平方後各是多少？乘 4 再加 3 後比較。

h=1/2。h−d=1/2−3/2=−1，h+d=1/2+3/2=2。f(−1)=4(−1−1/2)²+3=4·(9/4)+3=12；f(2)=4(2−1/2)²+3=4·(9/4)+3=12。兩者都是 12，相等，符合 x=1/2 是對稱軸。

把 −1−1/2 算成 −1/2，得 f(−1)=4·(1/4)+3=4，與 f(2)=12 不等，以為軸不成立。補救：−1−1/2=−3/2。

把 d 當成 3：f(1/2−3)=f(−5/2)=4·9+3=39，f(1/2+3)=f(7/2)=39。這是另一個 d 的結果，不是題目要的 d=3/2。補救：題目給的 d 是 3/2。

同高的意思是 y 相同。先把 y 值相同的點分組。

哪些 y 值出現不只一次？每組的兩點，橫坐標再怎麼處理？

方法：同高兩點的橫坐標相加再除以 2，就是軸的位置（課文路線二）。幾組得到的結果應該一樣。

三組配對的橫坐標相加分別是 8、8、8。各除以 2 得什麼？落單的點，想想它的鏡射點橫坐標是多少，表中有沒有那一列？

同高的配對：(0,31) 與 (8,31)；(2,7) 與 (6,7)；(3,1) 與 (5,1)。中點橫坐標都是 (0+8)/2=(2+6)/2=(3+5)/2=4，所以軸是 x=4。落單的 (1,17)：它的鏡射點橫坐標是 2·4−1=7，表中沒有 x=7 這一列，只是沒列出來，不表示算錯（若 f 取 x=7，應得 17）。

把「中點」算成差的一半：(6−2)/2=2、(5−3)/2=1，三組得到不同的數。自查：真正的中點，三組應該都相同。補救：相加再除以 2。

取表中最小的 y（1）所在的 x=3，當作 h。自查：(3,1) 與 (5,1) 同高，它們的中點是 4，不是 3；頂點不一定在表裡。補救：用同高點的中點求軸。

兩點的縱坐標相同，表示什麼？

同高的兩點，中點在軸上。先算中點的橫坐標。

方法：h=(p+q)/2，其中 p、q 是兩點的橫坐標（課文路線二）。算出後，再用距離檢查。

p+q=−9+1，先算出和；除以 2 得 h。距離檢查：|p−h| 與 |q−h|。

同高的兩點中點在軸上：h=(−9+1)/2=−8/2=−4。軸是 x=−4。檢查：−9 到 −4 的距離是 5，1 到 −4 的距離也是 5，相等。

只相加不除以 2：−9+1=−8，當成 h。自查：−9 到 −8 距離 1，1 到 −8 距離 9，不相等。補救：中點要除以 2。

用差的一半：(1−(−9))/2=5。自查：−9 到 5 距離 14，1 到 5 距離 4，不相等；差的一半是兩點距離的一半，不是軸的位置。

先確認兩點是不是同高，再想想中點的橫坐標怎麼求。

中點的橫坐標可能不是整數；分數也要照算。

方法：軸的橫坐標＝兩點橫坐標之和的一半。再用距離檢查：兩個距離都用「大的減小的」。

兩點橫坐標相加得 −3；再除以 2。距離檢查時，用算出的 h 去減兩個橫坐標。

同高，所以中點在軸上：(−4+1)/2=−3/2，軸是 x=−3/2。檢查：1−(−3/2)=5/2；(−3/2)−(−4)=5/2，兩個距離相等。

只相加：−4+1=−3，把軸寫成 x=−3。自查：−4 到 −3 距離 1，1 到 −3 距離 4，不相等。補救：除以 2。

用差的一半：(1−(−4))/2=5/2，軸寫成 x=5/2。自查：−4 到 5/2 距離 13/2，1 到 5/2 距離 3/2，不相等。補救：相加，不是相減。

比較 x+1 和標準式裡的 x−h：中間的符號一樣嗎？

要讓 x+1 變成「x 減一個數」，被減的數是正數還是負數？

方法：把 x+1 改寫成 x−( )，括號裡的數才是 h。小華的線 x=1 要算 f(1−2) 與 f(1+2)；正確的線算 f(h−2) 與 f(h+2)。

改寫後 h 是負數。正確軸上，h−2 與 h+2 的括號分別是 −2 與 2，平方得 4，再乘 −3 加 5。小華的線：f(−1) 與 f(3) 各算一次。

錯在把 x+1 直接讀成 h=1。x+1=x−(−1)，所以 h=−1，正確的軸是 x=−1。小華的線 x=1：f(1−2)=f(−1)=−3(−1+1)²+5=5；f(1+2)=f(3)=−3(3+1)²+5=−43，不相等，所以 x=1 不是軸。正確的軸 x=−1：f(−3)=−3(−3+1)²+5=−3·4+5=−7；f(1)=−3(1+1)²+5=−7，相等。

檢查正確軸時，把 −3 也放進平方：(−3·(−2))²=36，加 5 得 41。這不等於 f(−3)=−7。補救：先平方括號 (−2)²=4，再乘 a=−3。

只檢查 d=2 一次，就說「證明了」。補救：這只是一個算例，要用字母 d 才能說明所有點。

對稱軸像一面鏡子，圖形上每個點照鏡子之後，還會在圖形上才算。拿水平線 y=−3 當鏡子，鏡射時哪個坐標會變？

用具體的點試：f(3)=6，所以 (3,6) 在圖形上。找出它對 y=−3 的鏡射點，再看那個點在不在圖上。

方法：水平線的鏡射保持橫坐標不變，只把縱坐標「翻」到對面。再回頭看標準式：軸應該由 h 決定，是什麼方向的線？

(3,6) 對 y=−3 的鏡射點是 (3,−12)。檢查 f(3) 等不等於 −12。然後讀出 h，寫出正確的軸，再算 d=3 時的 f(h−3)、f(h+3)。

(3,6) 在圖形上（f(3)=(3−6)²−3=6）。對 y=−3 鏡射得 (3,−12)；但 f(3)=6，不等於 −12，所以 (3,−12) 不在圖形上，y=−3 不是軸。頂點的高度 k=−3 與軸無關。正確的軸是鉛垂線 x=h=6。d=3：f(3)=(3−6)²−3=6；f(9)=(9−6)²−3=6，相等。

把 k 當成 h（把 −3 當成橫坐標），寫成 x=−3。自查：d=3 時 f(−6)=(−6−6)²−3=141，f(0)=(0−6)²−3=33，不相等。補救：h 是括號裡的數 6，k 是括號外的 −3。

軸應該在兩個同高點「中間」，而且到兩點一樣遠。先檢查小凱的 5 到 −2、到 8 各是多遠。

小凱算的 (8−(−2))/2 是什麼量？它和中點橫坐標有什麼不同？

方法：先回想兩點的中點橫坐標怎麼算，再和小凱寫的式子逐項對照，看哪一個運算不同。

−2 與 8 相加得 6；再除以 2 得 h。檢查時，用 h 減 −2 與用 8 減 h，比較兩個距離。

錯在把「相減再除以 2」當成中點。(8−(−2))/2=5 是兩點距離的一半；5 到 −2 距離 7，到 8 距離 3，不相等，所以 x=5 不是軸。正確：h=(−2+8)/2=3。檢查：3−(−2)=5，8−3=5，相等。軸是 x=3。

只相加不除：−2+8=6，寫 h=6。自查：−2 到 6 距離 8，8 到 6 距離 2，不相等。補救：中點要除以 2。

同高的另一個點，會在軸的哪一邊？它離軸比 P 近、一樣遠，還是更遠？

先讀出軸 x=h。P 與 Q 互為鏡射點，到軸的距離相同，高度也相同。

方法：互為鏡射的兩點，橫坐標之和是 2h（課文路線二）。所以 Q 的橫坐標＝2h−(P 的橫坐標)。最後用 f 驗證。

h=2，所以 2h=4。先把 x=−1 代入求 P 的縱坐標；Q 的橫坐標是 4 減去 P 的橫坐標，再把它代進 f，看縱坐標是否與 P 一樣。

f(−1)=3(−1−2)²−5=3·9−5=22，P(−1,22)。軸 x=2，Q 的橫坐標是 2·2−(−1)=5。驗證：f(5)=3(5−2)²−5=22，所以 Q(5,22) 在圖形上，與 P 同高。檢查中點：(−1+5)/2=2。

只把橫坐標改成相反數，得 Q(1,22)。自查：f(1)=3(1−2)²−5=−2，不是 22，所以 (1,22) 不在圖形上。補救：鏡射的對象是軸 x=2，不是 y 軸。

先處理兩個同高的點：它們能告訴你 h 還是 k？

先求 h；再把其中一個點代入 y=−2(x−h)²+k，解出 k。

方法：h＝兩個橫坐標相加的一半；然後把 (1,−3) 代入 −3=−2(1−h)²+k，括號用你算出的 h，解方程式求 k。

h 由 1 與 7 求出；代入後的方程式是 −3=−2·(括號平方)+k，先算括號平方，再移項求 k。最後用 (7,−3) 檢查：f(7) 是否等於 −3。

同高，h=(1+7)/2=4。代入 (1,−3)：−3=−2(1−4)²+k=−2·9+k=−18+k，k=15。頂點 (4,15)。檢查：f(7)=−2(7−4)²+15=−18+15=−3，與題目相符。

h 用差的一半：(7−1)/2=3，得 −3=−2(1−3)²+k，k=5，頂點 (3,5)。自查：f(7)=−2(7−3)²+5=−27，不等於 −3，所以錯。補救：h 要用 (1+7)/2。

解 k 時漏掉 a=−2：−3=(1−4)²+k，得 k=−12，頂點 (4,−12)。自查：f(7)=−2(7−4)²−12=−30，不等於 −3。補救：代入時要保留 a。

P、Q 同高，它們與頂點 V 的位置有什麼關係？先想想 P、Q 的中點在哪裡。

先把 P、Q 代入 f 確認在圖上；再用距離公式分別算 VP 與 VQ。

方法：距離 =√(Δx²+Δy²)，Δx、Δy 是兩點橫、縱坐標的差。算完後把根式化成最簡。

VP：Δx=4，Δy=8（取絕對值）；平方和是多少？再開根號化簡。VQ 的 Δx、Δy 請自己找，用同樣的方法算，最後比較兩個長度。

f(1)=(1/2)(1−5)²−1=7，f(9)=(1/2)(9−5)²−1=7，所以 P、Q 在圖上。VP²=(1−5)²+(7−(−1))²=16+64=80，VQ²=(9−5)²+(7−(−1))²=16+64=80，所以 VP=VQ=√80=4√5。原因：P、Q 同高，中點橫坐標是 (1+9)/2=5，在對稱軸 x=5 上；V 也在這條軸上，軸把 P 鏡射到 Q，V 不動，所以 VP 與 VQ 一樣長。

把距離寫成 Δx+Δy：VP=4+8=12。自查：12 比 √80（約 8.9）大太多；距離公式有平方與開根號。

把 √80 化成 8√5：8√5=√320，不等於 √80。補救：√80=√(16·5)=4√5。

「是軸」要對所有 d 成立；「不是軸」只要一個 d 不成立就夠了。你要分別用兩種不同的寫法。

先從式子讀出 h。對稱軸應該是三條線之中的哪一條？再逐條檢查。

方法：對每條線 x=c，取 d=1，算 f(c−1) 與 f(c+1)；不相等的就是反例。對剩下那條，改用字母 d。

已知 a=−1/2，k=4。三條線各取 d=1，要比較的兩個輸入分別是：甲（c=1）f(0) 與 f(2)；乙（c=2）f(1) 與 f(3)；丙（c=−1）f(−2) 與 f(0)。算完後，對你認為是軸的那一條，再改用字母 d 說明。

h=1，所以甲（x=1）是軸。乙（x=2）：f(1)=4，f(3)=−(1/2)·4+4=2，不相等，乙不是軸。丙（x=−1）：f(−2)=−(1/2)·9+4=−1/2，f(0)=−(1/2)·1+4=7/2，不相等，丙不是軸。甲：f(1−d)=−(1/2)d²+4=f(1+d)，對所有 d 成立，頂點 (1,4) 也在 x=1 上。

看圖覺得甲通過最高點就選甲，但沒有計算。結論雖然對，理由不足：圖只是示意，要用計算說明。

對乙只算了一個 d，就說「乙不是軸，所以甲是軸」。補救：否定乙只能說明乙不是軸，甲是不是軸要另外用字母 d 證明。

要證明的是「對所有 d」。想一想：怎樣用一個字母代表所有的距離？

先分別寫出 h−d 與 h+d 這兩個輸入，代入 f。

方法：①f(h−d)；②f(h+d)；③用 (−d)²=d² 比較；④說明圖上每個點都能寫成 x=h+d；⑤取 d=0。

f(h−d)=a((h−d)−h)²+k；f(h+d)=a((h+d)−h)²+k。括號分別化簡成什麼？再用 (−d)²=d² 比較。最後交代：任一點的橫坐標 x 都可以令 d=x−h。

f(h−d)=a((h−d)−h)²+k=a(−d)²+k=ad²+k；f(h+d)=a((h+d)−h)²+k=ad²+k。所以對任意實數 d，f(h−d)=f(h+d)。圖上任一點 (x,y)，令 d=x−h，則 x=h+d；它的鏡射點橫坐標是 2h−x=h−d，高度也是 ad²+k，所以在圖上。因為 x 可取所有實數，h−d 一定有定義。d=0 時得 f(h)=k，頂點 (h,k) 鏡射後仍是自己，所以在 x=h 上。因此 x=h 是穿過頂點的鉛垂對稱軸。

用數字（如 a=2、h=1）代進去算一次就說「證明完成」。這只是一個算例。補救：用字母 a、h、d 一般地寫。

把 (−d)² 寫成 −d²，得到 f(h−d)=−ad²+k，與 f(h+d) 不相等。補救：負數平方是正數。

沒有說明「為什麼 d 可以代表圖上所有的點」。補救：加一句：任一點的橫坐標 x 可令 d=x−h。

對稱軸的要求：圖形上「每一個」點的鏡射點都還在圖形上。

鏡射點的橫坐標可能會跑出 x≥0 的範圍。想想：離軸很遠的右側點，它的鏡射點在哪裡？

方法：在右側取一個離 x=2 夠遠的點（橫坐標大於 4），算它的鏡射點橫坐標 2·2−x，檢查是否落在 x≥0 之內。

取橫坐標 5 的點：先算它的縱坐標，確認它在這個受限的圖形上（5≥0）。再算它對 x=2 的鏡射點橫坐標 4−5，最後檢查這個橫坐標有沒有滿足 x≥0。

不是。點 (5,8) 在圖形上（g(5)=8，且 5≥0）。它對 x=2 的鏡射點是 (−1,8)，橫坐標 −1 不滿足 x≥0，所以 (−1,8) 不在這個受限的圖形上。因此 x=2 不再是它的對稱軸。這也說明本課要求定義域是所有實數。

只檢查靠近軸的點：g(1)=0、g(3)=0，兩點都在 x≥0 之內，就說 x=2 是軸。這只檢查了 d=1，沒有檢查所有的點。補救：要找離軸更遠的點，如 d=3。

認為「完整拋物線的軸是 x=2，所以受限圖形也是」。補救：受限圖形要重新檢查鏡射點在不在圖形上。