練習：用條件機率的乘法公式求交集

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先自己寫出路徑、等式、乘積和上界，再看提示。第 1 階和第 2 階仍可再試。打開第 3 階或更後面，這一題就不算獨立完成，收起提示後要回到同一題重做。

診斷：沿 A 的條件乘回去

診斷題 1

情境（為練習設計，不是調查或實測）：設計好的籤筒，只在這一題使用。
事件 A：籤被標成甲組。事件 B：這支籤被標成圓點。
題目給定 P(A)=2/5，而且 P(A)>0。沿著先經 A 的表示路徑，P(B|A)=1/2。
請依序寫出四件事：先經 A 的表示路徑，並說明這不是現實時間的先後；等式 P(A∩B)=P(A)P(B|A)；乘出來的交集；以及 0≤交集≤P(A)。
不要假設 A 與 B 獨立，不要把 P(A|B) 當成 P(B|A)，不要使用機率質量函數，也不要由已經看到的結果反推原因。
第 1 階提示

診斷題 1：先標出A＝籤被標成甲組，B＝這支籤被標成圓點。路徑先經 A，這只是條件的表示，不是現實時間的先後。這一階不要相乘。

第 2 階提示

診斷題 1：寫下尚未計算的等式 P(A∩B)=P(A)P(B|A)。

第 3 階提示（此階起不算獨立完成）

診斷題 1：先寫 (2/5)×(1/2)，先不要把乘積算出來。

做完或卡住後再看：常見錯法與補救

容易寫成的錯法：學生只寫 1/2，沒有乘上 P(A)，得到 1/2。

回到 診斷題 1。教學裡的乘法等式對的是這一題：只用題給的 P(A) 與 P(B|A) 相乘。不要沿用「學生只寫 1/2，沒有乘上 P(A)，得到 1/2」這個寫法。寫完等式、乘積和 0≤交集≤P(A) 之後，再重做這一題。第 3 階和更後面的提示不算獨立完成。 做完請回到這一題，不要直接換題。

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診斷題 2

情境（為練習設計，不是調查或實測）：設計好的兩段分類，不是調查。
事件 A：物件被分到大組。事件 B：物件被點上星號。
題目給定 P(A)=3/4，而且 P(A)>0。沿著先經 A 的表示路徑，P(B|A)=2/3。
請依序寫出四件事：先經 A 的表示路徑，並說明這不是現實時間的先後；等式 P(A∩B)=P(A)P(B|A)；乘出來的交集；以及 0≤交集≤P(A)。
不要假設 A 與 B 獨立，不要把 P(A|B) 當成 P(B|A)，不要使用機率質量函數，也不要由已經看到的結果反推原因。
第 1 階提示

診斷題 2：先標出A＝物件被分到大組，B＝物件被點上星號。路徑先經 A，這只是條件的表示，不是現實時間的先後。這一階不要相乘。

第 2 階提示

診斷題 2：寫下尚未計算的等式 P(A∩B)=P(A)P(B|A)。

第 3 階提示（此階起不算獨立完成）

診斷題 2：先寫 (3/4)×(2/3)，先不要把乘積算出來。

做完或卡住後再看：常見錯法與補救

容易寫成的錯法：學生把 3/4 和 2/3 相加，得到 17/12。

回到 診斷題 2。教學裡的乘法等式對的是這一題：只用題給的 P(A) 與 P(B|A) 相乘。不要沿用「學生把 3/4 和 2/3 相加，得到 17/12」這個寫法。寫完等式、乘積和 0≤交集≤P(A) 之後，再重做這一題。第 3 階和更後面的提示不算獨立完成。 做完請回到這一題，不要直接換題。

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診斷題 3

情境（為練習設計，不是調查或實測）：這棵樹只有一支被問到。
事件 A：路徑進入左支。事件 B：末端是實心。
題目給定 P(A)=1/5，而且 P(A)>0。沿著先經 A 的表示路徑，P(B|A)=3/5。
題目另外寫了 P(B^c|A)=2/5。這個數不要乘進交集。
請依序寫出四件事：先經 A 的表示路徑，並說明這不是現實時間的先後；等式 P(A∩B)=P(A)P(B|A)；乘出來的交集；以及 0≤交集≤P(A)。
不要假設 A 與 B 獨立，不要把 P(A|B) 當成 P(B|A)，不要使用機率質量函數，也不要由已經看到的結果反推原因。
第 1 階提示

診斷題 3：先標出A＝路徑進入左支，B＝末端是實心。路徑先經 A，這只是條件的表示，不是現實時間的先後。這一階不要相乘。

第 2 階提示

診斷題 3：寫下尚未計算的等式 P(A∩B)=P(A)P(B|A)。不要把 P(B^c|A) 放進所求的這一支。

第 3 階提示（此階起不算獨立完成）

診斷題 3：先寫 (1/5)×(3/5)，先不要把乘積算出來。

做完或卡住後再看：常見錯法與補救

容易寫成的錯法：學生把 P(B^c|A)=2/5 也乘進去，得到 6/125。

回到 診斷題 3。教學裡先經 A 的路徑說明對的是這一題：只用題給的 P(A) 與 P(B|A) 相乘。不要沿用「學生把 P(B^c|A)=2/5 也乘進去，得到 6/125」這個寫法。寫完等式、乘積和 0≤交集≤P(A) 之後，再重做這一題。第 3 階和更後面的提示不算獨立完成。 做完請回到這一題，不要直接換題。

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初練：百分數、小數與約分

初練甲 1

情境（為練習設計，不是調查或實測）：用百分數寫的設計比例，不是出席紀錄。
事件 A：標記落在青組。事件 B：標記蓋了方章。
題目給定 P(A)=40%，而且 P(A)>0。沿著先經 A 的表示路徑，P(B|A)=25%。
請依序寫出四件事：先經 A 的表示路徑，並說明這不是現實時間的先後；等式 P(A∩B)=P(A)P(B|A)；乘出來的交集；以及 0≤交集≤P(A)。
不要假設 A 與 B 獨立，不要把 P(A|B) 當成 P(B|A)，不要使用機率質量函數，也不要由已經看到的結果反推原因。
第 1 階提示

初練甲 1：先標出A＝標記落在青組，B＝標記蓋了方章。路徑先經 A，這只是條件的表示，不是現實時間的先後。這一階不要相乘。

第 2 階提示

初練甲 1：寫下尚未計算的等式 P(A∩B)=P(A)P(B|A)。

第 3 階提示（此階起不算獨立完成）

初練甲 1：先寫 (40%)×(25%)，先不要把乘積算出來。

做完或卡住後再看：常見錯法與補救

容易寫成的錯法：學生把 40 和 25 直接相乘得到 1000。

回到 初練甲 1。教學裡百分數、小數和約分的做法對的是這一題：只用題給的 P(A) 與 P(B|A) 相乘。不要沿用「學生把 40 和 25 直接相乘得到 1000」這個寫法。寫完等式、乘積和 0≤交集≤P(A) 之後，再重做這一題。第 3 階和更後面的提示不算獨立完成。 做完請回到這一題，不要直接換題。

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初練甲 2

情境（為練習設計，不是調查或實測）：用小數寫的設計比例，不是測量數據。
事件 A：球被放入紅筐。事件 B：球貼了白標。
題目給定 P(A)=0.6，而且 P(A)>0。沿著先經 A 的表示路徑，P(B|A)=0.5。
請依序寫出四件事：先經 A 的表示路徑，並說明這不是現實時間的先後；等式 P(A∩B)=P(A)P(B|A)；乘出來的交集；以及 0≤交集≤P(A)。
不要假設 A 與 B 獨立，不要把 P(A|B) 當成 P(B|A)，不要使用機率質量函數，也不要由已經看到的結果反推原因。
第 1 階提示

初練甲 2：先標出A＝球被放入紅筐，B＝球貼了白標。路徑先經 A，這只是條件的表示，不是現實時間的先後。這一階不要相乘。

第 2 階提示

初練甲 2：寫下尚未計算的等式 P(A∩B)=P(A)P(B|A)。

第 3 階提示（此階起不算獨立完成）

初練甲 2：先寫 (0.6)×(0.5)，先不要把乘積算出來。

做完或卡住後再看：常見錯法與補救

容易寫成的錯法：學生把 0.6 和 0.5 相加，得到 11/10。

回到 初練甲 2。教學裡百分數、小數和約分的做法對的是這一題：只用題給的 P(A) 與 P(B|A) 相乘。不要沿用「學生把 0.6 和 0.5 相加，得到 11/10」這個寫法。寫完等式、乘積和 0≤交集≤P(A) 之後，再重做這一題。第 3 階和更後面的提示不算獨立完成。 做完請回到這一題，不要直接換題。

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初練甲 3

情境（為練習設計，不是調查或實測）：選了需要約分的兩個分數。
事件 A：紙片畫了橫線。事件 B：紙片畫了黑點。
題目給定 P(A)=3/8，而且 P(A)>0。沿著先經 A 的表示路徑，P(B|A)=4/9。
請依序寫出四件事：先經 A 的表示路徑，並說明這不是現實時間的先後；等式 P(A∩B)=P(A)P(B|A)；乘出來的交集；以及 0≤交集≤P(A)。
不要假設 A 與 B 獨立，不要把 P(A|B) 當成 P(B|A)，不要使用機率質量函數，也不要由已經看到的結果反推原因。
第 1 階提示

初練甲 3：先標出A＝紙片畫了橫線，B＝紙片畫了黑點。路徑先經 A，這只是條件的表示，不是現實時間的先後。這一階不要相乘。

第 2 階提示

初練甲 3：寫下尚未計算的等式 P(A∩B)=P(A)P(B|A)。

第 3 階提示（此階起不算獨立完成）

初練甲 3：先寫 (3/8)×(4/9)，先不要把乘積算出來。

做完或卡住後再看：常見錯法與補救

容易寫成的錯法：學生把 4/9 上下顛倒再乘，寫成 (3×9)/(8×4)，得到 27/32。

回到 初練甲 3。教學裡百分數、小數和約分的做法對的是這一題：只用題給的 P(A) 與 P(B|A) 相乘。不要沿用「學生把 4/9 上下顛倒再乘，寫成 (3×9)/(8×4)，得到 27/32」這個寫法。寫完等式、乘積和 0≤交集≤P(A) 之後，再重做這一題。第 3 階和更後面的提示不算獨立完成。 做完請回到這一題，不要直接換題。

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初練：路徑、旁支與條件為 1

初練乙 1

情境（為練習設計，不是調查或實測）：顏色和形狀印在同一張紙上，沒有先後工序。
事件 A：紙上是綠色。事件 B：紙上是三角形。
題目給定 P(A)=1/3，而且 P(A)>0。沿著先經 A 的表示路徑，P(B|A)=3/4。
A 與 B 是同一件東西上的兩種標記，現實裡沒有先後。樹上位在前面的 A 只是條件的寫法。
請依序寫出四件事：先經 A 的表示路徑，並說明這不是現實時間的先後；等式 P(A∩B)=P(A)P(B|A)；乘出來的交集；以及 0≤交集≤P(A)。
不要假設 A 與 B 獨立，不要把 P(A|B) 當成 P(B|A)，不要使用機率質量函數，也不要由已經看到的結果反推原因。
第 1 階提示

初練乙 1：先標出A＝紙上是綠色，B＝紙上是三角形。路徑先經 A，這只是條件的表示，不是現實時間的先後。這一階不要相乘。

第 2 階提示

初練乙 1：寫下尚未計算的等式 P(A∩B)=P(A)P(B|A)。即使 A 與 B 同時在，仍寫這條等式。先經 A 不是時間順序。

第 3 階提示（此階起不算獨立完成）

初練乙 1：先寫 (1/3)×(3/4)，先不要把乘積算出來。

做完或卡住後再看：常見錯法與補救

容易寫成的錯法：學生寫「A 沒有先發生，所以不能乘」。

回到 初練乙 1。教學裡先經 A 的路徑說明對的是這一題：只用題給的 P(A) 與 P(B|A) 相乘。不要沿用「學生寫『A 沒有先發生，所以不能乘』」這個寫法。寫完等式、乘積和 0≤交集≤P(A) 之後，再重做這一題。第 3 階和更後面的提示不算獨立完成。 做完請回到這一題，不要直接換題。

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初練乙 2

情境（為練習設計，不是調查或實測）：樹的右支有自己的條件機率，這一題不問右支。
事件 A：進入上行。事件 B：末端標成星。
題目給定 P(A)=2/7，而且 P(A)>0。沿著先經 A 的表示路徑，P(B|A)=5/6。
題目另外寫了 P(B|A^c)=1/2。這個數不要乘進交集。
請依序寫出四件事：先經 A 的表示路徑，並說明這不是現實時間的先後；等式 P(A∩B)=P(A)P(B|A)；乘出來的交集；以及 0≤交集≤P(A)。
不要假設 A 與 B 獨立，不要把 P(A|B) 當成 P(B|A)，不要使用機率質量函數，也不要由已經看到的結果反推原因。
第 1 階提示

初練乙 2：先標出A＝進入上行，B＝末端標成星。路徑先經 A，這只是條件的表示，不是現實時間的先後。這一階不要相乘。

第 2 階提示

初練乙 2：寫下尚未計算的等式 P(A∩B)=P(A)P(B|A)。不要把 P(B|A^c) 放進所求的這一支。

第 3 階提示（此階起不算獨立完成）

初練乙 2：先寫 (2/7)×(5/6)，先不要把乘積算出來。

做完或卡住後再看：常見錯法與補救

容易寫成的錯法：學生把 P(B|A^c)=1/2 也乘進去，得到 5/42。

回到 初練乙 2。教學裡先經 A 的路徑說明對的是這一題：只用題給的 P(A) 與 P(B|A) 相乘。不要沿用「學生把 P(B|A^c)=1/2 也乘進去，得到 5/42」這個寫法。寫完等式、乘積和 0≤交集≤P(A) 之後，再重做這一題。第 3 階和更後面的提示不算獨立完成。 做完請回到這一題，不要直接換題。

回到教學　回到這一題

初練乙 3

情境（為練習設計，不是調查或實測）：本題規定：進入圈內之後，末端一定標成方。
事件 A：標記進入圈內。事件 B：標記標成方。
題目給定 P(A)=5/6，而且 P(A)>0。沿著先經 A 的表示路徑，P(B|A)=1。
請依序寫出四件事：先經 A 的表示路徑，並說明這不是現實時間的先後；等式 P(A∩B)=P(A)P(B|A)；乘出來的交集；以及 0≤交集≤P(A)。
不要假設 A 與 B 獨立，不要把 P(A|B) 當成 P(B|A)，不要使用機率質量函數，也不要由已經看到的結果反推原因。
第 1 階提示

初練乙 3：先標出A＝標記進入圈內，B＝標記標成方。路徑先經 A，這只是條件的表示，不是現實時間的先後。這一階不要相乘。

第 2 階提示

初練乙 3：寫下尚未計算的等式 P(A∩B)=P(A)P(B|A)。0 和 1 都可以出現在乘式裡，先不要把交集改成 1。

第 3 階提示（此階起不算獨立完成）

初練乙 3：先寫 (5/6)×(1)，先不要把乘積算出來。

做完或卡住後再看：常見錯法與補救

容易寫成的錯法：學生因為條件機率是 1，就把交集寫成 1，得到 1。

回到 初練乙 3。教學裡 0 與 1 的界對的是這一題：只用題給的 P(A) 與 P(B|A) 相乘。不要沿用「學生因為條件機率是 1，就把交集寫成 1，得到 1」這個寫法。寫完等式、乘積和 0≤交集≤P(A) 之後，再重做這一題。第 3 階和更後面的提示不算獨立完成。 做完請回到這一題，不要直接換題。

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補救：條件方向與時間先後

補救甲 1

情境（為練習設計，不是調查或實測）：把兩個方向的條件機率都寫出來。
事件 A：選到長繩。事件 B：選到深色握把。
題目給定 P(A)=1/2，而且 P(A)>0。沿著先經 A 的表示路徑，P(B|A)=2/5。
題目另外寫了 P(A|B)=3/4。這個數不要乘進交集。
請依序寫出四件事：先經 A 的表示路徑，並說明這不是現實時間的先後；等式 P(A∩B)=P(A)P(B|A)；乘出來的交集；以及 0≤交集≤P(A)。
不要假設 A 與 B 獨立，不要把 P(A|B) 當成 P(B|A)，不要使用機率質量函數，也不要由已經看到的結果反推原因。
第 1 階提示

補救甲 1：先標出A＝選到長繩，B＝選到深色握把。路徑先經 A，這只是條件的表示，不是現實時間的先後。這一階不要相乘。

第 2 階提示

補救甲 1：寫下尚未計算的等式 P(A∩B)=P(A)P(B|A)。因子是 P(B|A)，不是 P(A|B)。

第 3 階提示（此階起不算獨立完成）

補救甲 1：先寫 (1/2)×(2/5)，先不要把乘積算出來。

做完或卡住後再看：常見錯法與補救

容易寫成的錯法：學生改乘 P(A|B)=3/4，得到 3/8。

回到 補救甲 1。教學裡條件方向不能對調的說明對的是這一題：只用題給的 P(A) 與 P(B|A) 相乘。不要沿用「學生改乘 P(A|B)=3/4，得到 3/8」這個寫法。寫完等式、乘積和 0≤交集≤P(A) 之後，再重做這一題。第 3 階和更後面的提示不算獨立完成。 做完請回到這一題，不要直接換題。

回到教學　回到這一題

補救甲 2

情境（為練習設計，不是調查或實測）：句子先說「若 B 發生」，那個數是反方向。
事件 A：杯子是窄口。事件 B：杯子有蓋。
題目給定 P(A)=3/5，而且 P(A)>0。沿著先經 A 的表示路徑，P(B|A)=1/3。
題目另外寫了 P(A|B)=4/5。這個數不要乘進交集。
請依序寫出四件事：先經 A 的表示路徑，並說明這不是現實時間的先後；等式 P(A∩B)=P(A)P(B|A)；乘出來的交集；以及 0≤交集≤P(A)。
不要假設 A 與 B 獨立，不要把 P(A|B) 當成 P(B|A)，不要使用機率質量函數，也不要由已經看到的結果反推原因。
第 1 階提示

補救甲 2：先標出A＝杯子是窄口，B＝杯子有蓋。路徑先經 A，這只是條件的表示，不是現實時間的先後。這一階不要相乘。

第 2 階提示

補救甲 2：寫下尚未計算的等式 P(A∩B)=P(A)P(B|A)。因子是 P(B|A)，不是 P(A|B)。

第 3 階提示（此階起不算獨立完成）

補救甲 2：先寫 (3/5)×(1/3)，先不要把乘積算出來。

做完或卡住後再看：常見錯法與補救

容易寫成的錯法：學生改乘 P(A|B)=4/5，得到 12/25。

回到 補救甲 2。教學裡條件方向不能對調的說明對的是這一題：只用題給的 P(A) 與 P(B|A) 相乘。不要沿用「學生改乘 P(A|B)=4/5，得到 12/25」這個寫法。寫完等式、乘積和 0≤交集≤P(A) 之後，再重做這一題。第 3 階和更後面的提示不算獨立完成。 做完請回到這一題，不要直接換題。

回到教學　回到這一題

補救甲 3

情境（為練習設計，不是調查或實測）：兩種貼紙貼在同一本筆記本封面，沒有先貼哪一張的時間。
事件 A：封面有斜線貼紙。事件 B：封面有圓貼紙。
題目給定 P(A)=5/8，而且 P(A)>0。沿著先經 A 的表示路徑，P(B|A)=2/5。
A 與 B 是同一件東西上的兩種標記，現實裡沒有先後。樹上位在前面的 A 只是條件的寫法。
請依序寫出四件事：先經 A 的表示路徑，並說明這不是現實時間的先後；等式 P(A∩B)=P(A)P(B|A)；乘出來的交集；以及 0≤交集≤P(A)。
不要假設 A 與 B 獨立，不要把 P(A|B) 當成 P(B|A)，不要使用機率質量函數，也不要由已經看到的結果反推原因。
第 1 階提示

補救甲 3：先標出A＝封面有斜線貼紙，B＝封面有圓貼紙。路徑先經 A，這只是條件的表示，不是現實時間的先後。這一階不要相乘。

第 2 階提示

補救甲 3：寫下尚未計算的等式 P(A∩B)=P(A)P(B|A)。即使 A 與 B 同時在，仍寫這條等式。先經 A 不是時間順序。

第 3 階提示（此階起不算獨立完成）

補救甲 3：先寫 (5/8)×(2/5)，先不要把乘積算出來。

做完或卡住後再看：常見錯法與補救

容易寫成的錯法：學生寫「A 沒有先發生，所以不能乘」。

回到 補救甲 3。教學裡先經 A 的路徑說明對的是這一題：只用題給的 P(A) 與 P(B|A) 相乘。不要沿用「學生寫『A 沒有先發生，所以不能乘』」這個寫法。寫完等式、乘積和 0≤交集≤P(A) 之後，再重做這一題。第 3 階和更後面的提示不算獨立完成。 做完請回到這一題，不要直接換題。

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補救：0、1 與獨立假設

補救乙 1

情境（為練習設計，不是調查或實測）：把「若已選甲，再選乙」設成不會發生。
事件 A：棋子在甲盒。事件 B：這顆棋子標成乙。
題目給定 P(A)=2/3，而且 P(A)>0。沿著先經 A 的表示路徑，P(B|A)=0。
請依序寫出四件事：先經 A 的表示路徑，並說明這不是現實時間的先後；等式 P(A∩B)=P(A)P(B|A)；乘出來的交集；以及 0≤交集≤P(A)。
不要假設 A 與 B 獨立，不要把 P(A|B) 當成 P(B|A)，不要使用機率質量函數，也不要由已經看到的結果反推原因。
第 1 階提示

補救乙 1：先標出A＝棋子在甲盒，B＝這顆棋子標成乙。路徑先經 A，這只是條件的表示，不是現實時間的先後。這一階不要相乘。

第 2 階提示

補救乙 1：寫下尚未計算的等式 P(A∩B)=P(A)P(B|A)。條件機率是 0 也可以乘。

第 3 階提示（此階起不算獨立完成）

補救乙 1：先寫 (2/3)×(0)，先不要把乘積算出來。

做完或卡住後再看：常見錯法與補救

容易寫成的錯法：學生寫「條件機率是 0，所以無解」。

回到 補救乙 1。教學裡 0 與 1 的界對的是這一題：只用題給的 P(A) 與 P(B|A) 相乘。不要沿用「學生寫『條件機率是 0，所以無解』」這個寫法。寫完等式、乘積和 0≤交集≤P(A) 之後，再重做這一題。第 3 階和更後面的提示不算獨立完成。 做完請回到這一題，不要直接換題。

回到教學　回到這一題

補救乙 2

情境（為練習設計，不是調查或實測）：把事件 A 的機率設成 1。
事件 A：這回合會發一張牌。事件 B：發出的牌是紅花色。
題目給定 P(A)=1，而且 P(A)>0。沿著先經 A 的表示路徑，P(B|A)=3/7。
請依序寫出四件事：先經 A 的表示路徑，並說明這不是現實時間的先後；等式 P(A∩B)=P(A)P(B|A)；乘出來的交集；以及 0≤交集≤P(A)。
不要假設 A 與 B 獨立，不要把 P(A|B) 當成 P(B|A)，不要使用機率質量函數，也不要由已經看到的結果反推原因。
第 1 階提示

補救乙 2：先標出A＝這回合會發一張牌，B＝發出的牌是紅花色。路徑先經 A，這只是條件的表示，不是現實時間的先後。這一階不要相乘。

第 2 階提示

補救乙 2：寫下尚未計算的等式 P(A∩B)=P(A)P(B|A)。0 和 1 都可以出現在乘式裡，先不要把交集改成 1。

第 3 階提示（此階起不算獨立完成）

補救乙 2：先寫 (1)×(3/7)，先不要把乘積算出來。

做完或卡住後再看：常見錯法與補救

容易寫成的錯法：學生因為 P(A)=1，就把交集寫成 1，得到 1。

回到 補救乙 2。教學裡 0 與 1 的界對的是這一題：只用題給的 P(A) 與 P(B|A) 相乘。不要沿用「學生因為 P(A)=1，就把交集寫成 1，得到 1」這個寫法。寫完等式、乘積和 0≤交集≤P(A) 之後，再重做這一題。第 3 階和更後面的提示不算獨立完成。 做完請回到這一題，不要直接換題。

回到教學　回到這一題

補救乙 3

情境（為練習設計，不是調查或實測）：另外給了 P(B)，它和 P(B|A) 不相等。
事件 A：便當有湯。事件 B：便當有小菜。
題目給定 P(A)=1/2，而且 P(A)>0。沿著先經 A 的表示路徑，P(B|A)=3/4。
題目另外寫了 P(B)=1/2。這個數不要乘進交集。
請依序寫出四件事：先經 A 的表示路徑，並說明這不是現實時間的先後；等式 P(A∩B)=P(A)P(B|A)；乘出來的交集；以及 0≤交集≤P(A)。
不要假設 A 與 B 獨立，不要把 P(A|B) 當成 P(B|A)，不要使用機率質量函數，也不要由已經看到的結果反推原因。
第 1 階提示

補救乙 3：先標出A＝便當有湯，B＝便當有小菜。路徑先經 A，這只是條件的表示，不是現實時間的先後。這一階不要相乘。

第 2 階提示

補救乙 3：寫下尚未計算的等式 P(A∩B)=P(A)P(B|A)。不要把 P(B) 放進乘式，這一題沒有假設獨立。

第 3 階提示（此階起不算獨立完成）

補救乙 3：先寫 (1/2)×(3/4)，先不要把乘積算出來。

做完或卡住後再看：常見錯法與補救

容易寫成的錯法：學生改乘 P(B)=1/2，當成獨立，得到 1/4。

回到 補救乙 3。教學裡不要假設獨立的說明對的是這一題：只用題給的 P(A) 與 P(B|A) 相乘。不要沿用「學生改乘 P(B)=1/2，當成獨立，得到 1/4」這個寫法。寫完等式、乘積和 0≤交集≤P(A) 之後，再重做這一題。第 3 階和更後面的提示不算獨立完成。 做完請回到這一題，不要直接換題。

回到教學　回到這一題

遷移：個數說法、混寫與單支

遷移題 1

情境（為練習設計，不是調查或實測）：設計 12 個標記，用來把個數說成兩段比例，不是普查。
事件 A：標記屬於 A 這一段。事件 B：標記被標成 B。
題目給定 P(A)=5/12，而且 P(A)>0。沿著先經 A 的表示路徑，P(B|A)=2/5。
12 個標記裡有 5 個屬於 A；這 5 個裡有 2 個再標成 B。先寫成 P(A)=5/12 與 P(B|A)=2/5，再相乘。不要把 2/5 直接當交集。
請依序寫出四件事：先經 A 的表示路徑，並說明這不是現實時間的先後；等式 P(A∩B)=P(A)P(B|A)；乘出來的交集；以及 0≤交集≤P(A)。
不要假設 A 與 B 獨立，不要把 P(A|B) 當成 P(B|A)，不要使用機率質量函數，也不要由已經看到的結果反推原因。
第 1 階提示

遷移題 1：先標出A＝標記屬於 A 這一段，B＝標記被標成 B。路徑先經 A，這只是條件的表示，不是現實時間的先後。這一階不要相乘。

第 2 階提示

遷移題 1：寫下尚未計算的等式 P(A∩B)=P(A)P(B|A)。

第 3 階提示（此階起不算獨立完成）

遷移題 1：先寫 (5/12)×(2/5)，先不要把乘積算出來。

做完或卡住後再看：常見錯法與補救

容易寫成的錯法：學生只寫 2/5，沒有乘上 P(A)，得到 2/5。

回到 遷移題 1。教學裡百分數、小數和約分的做法對的是這一題：只用題給的 P(A) 與 P(B|A) 相乘。不要沿用「學生只寫 2/5，沒有乘上 P(A)，得到 2/5」這個寫法。寫完等式、乘積和 0≤交集≤P(A) 之後，再重做這一題。第 3 階和更後面的提示不算獨立完成。 做完請回到這一題，不要直接換題。

回到教學　回到這一題

遷移題 2

情境（為練習設計，不是調查或實測）：同一題裡混用小數和分數。
事件 A：路線經過橋。事件 B：路線轉進巷。
題目給定 P(A)=0.8，而且 P(A)>0。沿著先經 A 的表示路徑，P(B|A)=1/4。
請依序寫出四件事：先經 A 的表示路徑，並說明這不是現實時間的先後；等式 P(A∩B)=P(A)P(B|A)；乘出來的交集；以及 0≤交集≤P(A)。
不要假設 A 與 B 獨立，不要把 P(A|B) 當成 P(B|A)，不要使用機率質量函數，也不要由已經看到的結果反推原因。
第 1 階提示

遷移題 2：先標出A＝路線經過橋，B＝路線轉進巷。路徑先經 A，這只是條件的表示，不是現實時間的先後。這一階不要相乘。

第 2 階提示

遷移題 2：寫下尚未計算的等式 P(A∩B)=P(A)P(B|A)。

第 3 階提示（此階起不算獨立完成）

遷移題 2：先寫 (0.8)×(1/4)，先不要把乘積算出來。

做完或卡住後再看：常見錯法與補救

容易寫成的錯法：學生把 0.8 和 1/4 相加，得到 21/20。

回到 遷移題 2。教學裡百分數、小數和約分的做法對的是這一題：只用題給的 P(A) 與 P(B|A) 相乘。不要沿用「學生把 0.8 和 1/4 相加，得到 21/20」這個寫法。寫完等式、乘積和 0≤交集≤P(A) 之後，再重做這一題。第 3 階和更後面的提示不算獨立完成。 做完請回到這一題，不要直接換題。

回到教學　回到這一題

遷移題 3

情境（為練習設計，不是調查或實測）：A 之後分成兩支，只問其中一支。
事件 A：光點進入區間 A。事件 B：光點落在小格 B。
題目給定 P(A)=3/10，而且 P(A)>0。沿著先經 A 的表示路徑，P(B|A)=2/3。
題目另外寫了 P(B^c|A)=1/3。這個數不要乘進交集。
請依序寫出四件事：先經 A 的表示路徑，並說明這不是現實時間的先後；等式 P(A∩B)=P(A)P(B|A)；乘出來的交集；以及 0≤交集≤P(A)。
不要假設 A 與 B 獨立，不要把 P(A|B) 當成 P(B|A)，不要使用機率質量函數，也不要由已經看到的結果反推原因。
第 1 階提示

遷移題 3：先標出A＝光點進入區間 A，B＝光點落在小格 B。路徑先經 A，這只是條件的表示，不是現實時間的先後。這一階不要相乘。

第 2 階提示

遷移題 3：寫下尚未計算的等式 P(A∩B)=P(A)P(B|A)。不要把 P(B^c|A) 放進所求的這一支。

第 3 階提示（此階起不算獨立完成）

遷移題 3：先寫 (3/10)×(2/3)，先不要把乘積算出來。

做完或卡住後再看：常見錯法與補救

容易寫成的錯法：學生把兩支條件機率相加成 2/3+1/3，得到 1。

回到 遷移題 3。教學裡先經 A 的路徑說明對的是這一題：只用題給的 P(A) 與 P(B|A) 相乘。不要沿用「學生把兩支條件機率相加成 2/3+1/3，得到 1」這個寫法。寫完等式、乘積和 0≤交集≤P(A) 之後，再重做這一題。第 3 階和更後面的提示不算獨立完成。 做完請回到這一題，不要直接換題。

回到教學　回到這一題

錯法要回到哪裡

做完或卡住後再看：常見錯法與補救
錯法教學然後
學生只寫 1/2，沒有乘上 P(A)，得到 1/2。教學回到 診斷題 1
學生把 3/4 和 2/3 相加，得到 17/12。教學回到 診斷題 2
學生把 P(B^c|A)=2/5 也乘進去，得到 6/125。教學回到 診斷題 3
學生把 40 和 25 直接相乘得到 1000。教學回到 初練甲 1
學生把 0.6 和 0.5 相加，得到 11/10。教學回到 初練甲 2
學生把 4/9 上下顛倒再乘，寫成 (3×9)/(8×4)，得到 27/32。教學回到 初練甲 3
學生寫「A 沒有先發生，所以不能乘」。教學回到 初練乙 1
學生把 P(B|A^c)=1/2 也乘進去，得到 5/42。教學回到 初練乙 2
學生因為條件機率是 1，就把交集寫成 1，得到 1。教學回到 初練乙 3
學生改乘 P(A|B)=3/4，得到 3/8。教學回到 補救甲 1
學生改乘 P(A|B)=4/5，得到 12/25。教學回到 補救甲 2
學生寫「A 沒有先發生，所以不能乘」。教學回到 補救甲 3
學生寫「條件機率是 0，所以無解」。教學回到 補救乙 1
學生因為 P(A)=1，就把交集寫成 1，得到 1。教學回到 補救乙 2
學生改乘 P(B)=1/2，當成獨立，得到 1/4。教學回到 補救乙 3
學生只寫 2/5，沒有乘上 P(A)，得到 2/5。教學回到 遷移題 1
學生把 0.8 和 1/4 相加，得到 21/20。教學回到 遷移題 2
學生把兩支條件機率相加成 2/3+1/3，得到 1。教學回到 遷移題 3