回課文。共 18 題，分六組，每組 3 題。每題先自己做，需要時再依序打開提示。看過第 3 層以上提示才做出來的題目，算是練習，還不算獨立完成；隔一段時間，不看提示，把原題重做一次。L5 會揭示完整解答。
共同規則：題目的情境和數字都是為了練習設計的假設，不是真實資料。每題都已寫明各次互不影響、每次成功機率相同，你不必判斷是否獨立。不需要查表或使用計算機；機率用最簡分數或有限小數表示。
某題庫系統每次隨機出一題，出到「新題」的機率是 7/9（教學假設），各次互不影響。連續出 3 題，結果依序是：新題、舊題、新題。求這條結果序列的機率。
提示（一次只開一層，先自己試）：
先弄清楚：一次出題只有哪兩種結果？題目關心的「成功」是哪一種，它的機率是多少？
把題目給的三次結果依序標成「成」或「敗」。失敗的機率不是題目直接給的數，要自己算出來。
各次互不影響，整條序列的機率就是各次機率相乘：標「成」的次乘 p，標「敗」的次乘 1−p。
p＝7/9，1−p＝2/9。三次依序是成、敗、成，算式是 7/9×2/9×7/9。最後的連乘由你完成。
成功＝出到新題，p＝7/9；失敗＝舊題，機率 2/9。序列「新題、舊題、新題」是成、敗、成，機率 7/9×2/9×7/9＝98/729。分子 7×2×7＝98，分母 9×9×9＝729，兩邊各自連乘。答案：98/729。
這題可能出現的錯法（為練習設計的例子）。如果你的答案和下面某個結果相同，就是犯了那種錯：
回到課文：計算的五個步驟與每一步的理由、伯努力試驗、序列與乘法。補救後請遮住解答重做。
某自動門每次感應成功的機率是 2/7（教學假設），各次互不影響。連續走近 3 次，結果依序是：成功、失敗、成功。求這條結果序列的機率。
提示（一次只開一層，先自己試）：
這條序列有三次結果，其中有幾次是成功、幾次是失敗？先數清楚。
感應成功的機率題目有給；失敗的機率要用「兩種結果的機率加起來是 1」算出來。
各次互不影響，所以依序都發生的機率是各次機率相乘。成功那次乘 p，失敗那次乘 1−p，格數要和次數一樣。
p＝2/7，1−p＝5/7。依序是成、敗、成，算式是 2/7×5/7×2/7。最後的連乘由你完成。
成功＝感應成功，p＝2/7；失敗的機率 1−2/7＝5/7。序列是成、敗、成：2/7×5/7×2/7＝20/343。分子 2×5×2＝20，分母 7×7×7＝343。答案：20/343。
這題可能出現的錯法（為練習設計的例子）。如果你的答案和下面某個結果相同，就是犯了那種錯：
回到課文：計算的五個步驟與每一步的理由、常見的錯與自我檢查。補救後請遮住解答重做。
社團用抽籤決定值日，每次抽完把籤放回，各次互不影響。已知每次「沒抽中」的機率是 4/11。小欣連抽 3 次，結果依序是：抽中、抽中、沒抽中。求這條結果序列的機率。
提示（一次只開一層，先自己試）：
題目給的 4/11 是哪一種結果的機率？它是成功的機率嗎？
要先決定「成功」是什麼。若把「抽中」當成功，p 就不是 4/11，要由已知的失敗機率反推。
兩種結果的機率加起來是 1，所以 p＝1−（沒抽中的機率）。求出 p 之後，標「成」的次乘 p，標「敗」的次乘 1−p。
p＝1−4/11＝7/11，1−p＝4/11。序列依序是成、成、敗，算式是 7/11×7/11×4/11。最後的連乘由你完成。
成功＝抽中，p＝1−4/11＝7/11；失敗＝沒抽中，機率 4/11。序列成、成、敗：7/11×7/11×4/11＝196/1331。分子 7×7×4＝196，分母 11×11×11＝1331。答案：196/1331。
這題可能出現的錯法（為練習設計的例子）。如果你的答案和下面某個結果相同，就是犯了那種錯：
回到課文：計算的五個步驟與每一步的理由、常見的錯與自我檢查。補救後請遮住解答重做。
某投影機每次開機成功的機率是 5/12（教學假設），各次互不影響。連續開機 3 次，結果依序是：失敗、失敗、成功。求這條結果序列的機率。
提示（一次只開一層，先自己試）：
先寫下：成功的機率 p 是多少？失敗的機率是多少？
三次的結果依序是敗、敗、成，三個格子各自要乘哪一個數？
整條序列的機率是三格機率的乘積；兩個失敗的格子乘的是同一個數。
失敗的機率是 7/12。算式是 7/12×7/12×5/12。最後的連乘由你完成。
p＝5/12，1−p＝7/12。序列敗、敗、成：7/12×7/12×5/12＝245/1728。分子 7×7×5＝245，分母 12×12×12＝1728；245 與 1728 沒有公因數，所以已是最簡分數。答案：245/1728。
這題可能出現的錯法（為練習設計的例子）。如果你的答案和下面某個結果相同，就是犯了那種錯：
回到課文：計算的五個步驟與每一步的理由、完整示範。補救後請遮住解答重做。
某射擊遊戲每次擊中目標的機率是 5/7（教學假設），各次互不影響。連射 4 次，結果依序是：擊中、沒中、沒中、擊中。求這條結果序列的機率。
提示（一次只開一層，先自己試）：
四次結果裡，擊中幾次、沒中幾次？算式要有幾個因子？
擊中的機率題目有給；沒中的機率要自己算。
依序都發生，各次機率相乘：擊中的格乘 p，沒中的格乘 1−p。
p＝5/7，1−p＝2/7。算式是 5/7×2/7×2/7×5/7，共 4 個因子。最後的連乘由你完成。
5/7×2/7×2/7×5/7＝100/2401。分子 5×2×2×5＝100，分母 7×7×7×7＝2401。因子個數 4 與次數相同。答案：100/2401。
這題可能出現的錯法（為練習設計的例子）。如果你的答案和下面某個結果相同，就是犯了那種錯：
回到課文：計算的五個步驟與每一步的理由、完整示範。補救後請遮住解答重做。
某手機 App 每次推播被使用者點開的機率是 15%（教學假設），各次互不影響。連續推播 2 次，結果依序是：沒被點開、被點開。求這條結果序列的機率（用小數表示）。
提示（一次只開一層，先自己試）：
百分率可以改寫成小數：15% 是多少？沒被點開的機率又是多少？
兩次依序是敗、成，兩個格子各乘哪一個數？
把兩格的機率相乘。小數相乘時，先當整數乘，再依兩個因數的小數位數合計決定小數點位置。
p＝0.15，1−p＝0.85。算式是 0.85×0.15。最後的乘法由你完成。
p＝15%＝0.15，1−p＝0.85。0.85×0.15：85×15＝1275，兩個因數共有 4 位小數，所以是 0.1275。答案：0.1275。
這題可能出現的錯法（為練習設計的例子）。如果你的答案和下面某個結果相同，就是犯了那種錯：
回到課文：計算的五個步驟與每一步的理由、完整示範。補救後請遮住解答重做。
某物流公司每次送貨「延誤」的機率是 1/12（教學假設），各次互不影響。追蹤連續 3 次送貨，結果依序是：延誤、準時、準時。若把「延誤」當成功，求這條結果序列的機率。
提示（一次只開一層，先自己試）：
這題的「成功」不是好事，是「延誤」。先寫下：成功＝？ p＝？
把三次結果依序標成成或敗，注意「準時」是失敗。
失敗的機率是 1 減去延誤的機率。兩次準時乘的是同一個數。
p＝1/12，1−p＝11/12。三次是成、敗、敗，算式是 1/12×11/12×11/12。最後的連乘由你完成。
成功＝延誤，p＝1/12；失敗＝準時，機率 11/12。序列成、敗、敗：1/12×11/12×11/12＝121/1728。分子 1×11×11＝121，分母 12×12×12＝1728。答案：121/1728。
這題可能出現的錯法（為練習設計的例子）。如果你的答案和下面某個結果相同，就是犯了那種錯：
回到課文：計算的五個步驟與每一步的理由、完整示範、伯努力試驗、序列與乘法。補救後請遮住解答重做。
某遊戲角色每次施放招式成功的機率是 8/11（教學假設），各次互不影響。連續施放 3 次，第 1 次成功，接著連續兩次失敗。求這條結果序列的機率。
提示（一次只開一層，先自己試）：
題目用文字描述了序列。先把它改寫成「第 1 次、第 2 次、第 3 次」各是什麼。
「接著連續兩次失敗」表示第 2 次和第 3 次都是失敗。
三格各自的機率相乘；兩個失敗的格子乘同一個數。
p＝8/11，1−p＝3/11。序列是成、敗、敗，算式是 8/11×3/11×3/11。最後的連乘由你完成。
序列：成、敗、敗。8/11×3/11×3/11＝72/1331。分子 8×3×3＝72，分母 11×11×11＝1331；72 與 1331 沒有公因數。答案：72/1331。
這題可能出現的錯法（為練習設計的例子）。如果你的答案和下面某個結果相同，就是犯了那種錯：
回到課文：計算的五個步驟與每一步的理由、伯努力試驗、序列與乘法。補救後請遮住解答重做。
袋中有 2 顆紅球、5 顆白球，球的大小和手感都相同。每次隨機取一顆，看完顏色後放回袋中搖勻，各次互不影響。把「取到紅球」當成功，連續取 3 次，結果依序是：白球、紅球、白球。求這條結果序列的機率。
提示（一次只開一層，先自己試）：
每次取完都放回，所以每一次的情況都一樣。先算一次取到紅球的機率，也就是 p。
一次取球共有幾顆可能被取到？其中紅球幾顆？白球幾顆？
p＝紅球數÷全部球數，失敗（白球）的機率是白球數÷全部球數。再把三格的機率相乘。
全部 7 顆，p＝2/7，白球機率 5/7。序列是敗、成、敗，算式是 5/7×2/7×5/7。最後的連乘由你完成。
取後放回，所以每次 p＝2/7，失敗（白球）的機率 5/7。序列白、紅、白是敗、成、敗：5/7×2/7×5/7＝50/343。分子 5×2×5＝50，分母 7×7×7＝343。答案：50/343。
這題可能出現的錯法（為練習設計的例子）。如果你的答案和下面某個結果相同，就是犯了那種錯：
回到課文：計算的五個步驟與每一步的理由、用得上的條件。補救後請遮住解答重做。
某機器每次啟動成功的機率是 3/11（教學假設），各次互不影響。連續啟動 3 次，結果依序是：成功、失敗、失敗。小宇的算法如下：
「成功 3/11，失敗 8/11，所以機率是 3/11＋8/11＋8/11＝19/11。」
請指出小宇的錯，並寫出正確的機率。
提示（一次只開一層，先自己試）：
先看小宇算出的 19/11：它可以是一個機率嗎？機率有什麼範圍？
小宇的算式用的運算，和「三次結果依序全部發生」相符嗎？
「依序全部發生」要用的運算是乘法，因為各次互不影響；加法只用在「二選一」的情形。
改成連乘後，三格是成、敗、敗：3/11×8/11×8/11。最後的連乘由你完成，並說明小宇的 19/11 為何不可能是機率。
小宇錯在把各次機率相加。19/11 大於 1，不可能是機率。正確：3/11×8/11×8/11＝192/1331（分子 3×8×8＝192，分母 11×11×11＝1331）。答案：192/1331。
這題可能出現的錯法（為練習設計的例子）。如果你的答案和下面某個結果相同，就是犯了那種錯：
回到課文：常見的錯與自我檢查、伯努力試驗、序列與乘法。補救後請遮住解答重做。
某感應燈每次亮起的機率是 4/11（教學假設），各次互不影響。連續靠近 3 次，結果依序是：亮、不亮、亮。小萱的算法如下：
「每一次的機率都是 4/11，所以機率是 4/11×4/11×4/11＝64/1331。」
請指出小萱的錯，並寫出正確的機率。
提示（一次只開一層，先自己試）：
逐格檢查小萱的算式：三次的結果各是什麼？第 2 次是「亮」嗎？
「不亮」的機率和「亮」的機率是同一個數嗎？
兩種結果的機率加起來是 1，所以不亮的機率是 1 減去亮的機率。每一格要乘的是它自己那種結果的機率。
不亮的機率是 7/11。三次是成、敗、成，正確的算式是 4/11×7/11×4/11。最後的連乘由你完成。
小萱把「不亮」那一格也乘成 4/11；不亮的機率是 1−4/11＝7/11。正確：4/11×7/11×4/11＝112/1331（分子 4×7×4＝112，分母 1331）。答案：112/1331。
這題可能出現的錯法（為練習設計的例子）。如果你的答案和下面某個結果相同，就是犯了那種錯：
回到課文：常見的錯與自我檢查、計算的五個步驟與每一步的理由。補救後請遮住解答重做。
某選手每次投進的機率是 5/7（教學假設），各次互不影響。連投 4 次，結果依序是：投進、沒進、投進、投進。小倩的算法如下：
「有投進、有沒進，所以是 (5/7)²×(2/7)²＝100/2401。」
請指出小倩的錯，並寫出正確的機率。
提示（一次只開一層，先自己試）：
先把 4 次的結果依序標成成或敗，數一數成幾次、敗幾次。
小倩算式裡兩個指數都是 2，它們的和是多少？和 4 次相符嗎？
指數是在記「那個因子出現了幾次」。成的次數和敗的次數相加必須等於試驗的次數，而且要照結果數，不能憑感覺。
4 次中成 3 次、敗 1 次。算式是 5/7×2/7×5/7×5/7，也可以寫成 p 的幾次方乘 (1−p) 的幾次方。最後的連乘由你完成。
投進 3 次、沒進 1 次，指數應是 3 與 1，不是 2 與 2。正確：5/7×2/7×5/7×5/7＝(5/7)³×(2/7)＝250/2401（分子 125×2＝250，分母 2401）。答案：250/2401。
這題可能出現的錯法（為練習設計的例子）。如果你的答案和下面某個結果相同，就是犯了那種錯：
回到課文：常見的錯與自我檢查、計算的五個步驟與每一步的理由。補救後請遮住解答重做。
某裝置每次運作成功的機率是 p（0<p<1），各次互不影響。已知連續 2 次都成功的機率是 49/81。(1) 求 p。(2) 連續運作 3 次，結果依序是：成功、失敗、失敗，求這條結果序列的機率。
提示（一次只開一層，先自己試）：
「連續 2 次都成功」這條序列是哪兩格？它的機率用 p 怎麼寫？
把這個式子等於 49/81，變成一個關於 p 的方程式。0<p<1 這個條件有什麼用？
解 p²＝49/81 時，兩個根只有一個符合 0<p<1。得到 p 之後，(2) 的三格就和一般題目一樣。
(1) 解 p²＝49/81 時，只取符合 0<p<1 的那個根。(2) 得到 p 之後，序列成、敗、敗的算式是 p×(1−p)×(1−p)，數值請自己代入並完成連乘。
(1) 連續 2 次成功的機率是 p²＝49/81，p＝7/9 或 −7/9，因 0<p<1，p＝7/9。(2) 失敗機率 2/9，序列成、敗、敗：7/9×2/9×2/9＝28/729（分子 7×2×2＝28，分母 729）。答案：(1) 7/9；(2) 28/729。
這題可能出現的錯法（為練習設計的例子）。如果你的答案和下面某個結果相同，就是犯了那種錯：
回到課文：伯努力試驗、序列與乘法、計算的五個步驟與每一步的理由。補救後請遮住解答重做。
某遊戲每次抽中稀有獎勵的機率是 3/13（教學假設），各次互不影響。連抽 3 次。甲序列是：抽中、抽中、沒抽中；乙序列是：沒抽中、沒抽中、抽中。哪一條序列的機率比較大？大的是小的幾倍？
提示（一次只開一層，先自己試）：
兩條序列各有幾個「成」、幾個「敗」？不要先憑感覺選，先分別算出來。
甲的算式有兩個 p、一個 1−p；乙有兩個 1−p、一個 p。這裡 p 比 1/2 大還是小？
分別算出甲與乙的機率，再用大的除以小的；兩個分母相同，倍數可以直接用分子相比。
p＝3/13，1−p＝10/13。甲：3/13×3/13×10/13；乙：10/13×10/13×3/13。請算出兩個數，再比較。
甲＝3/13×3/13×10/13＝90/2197；乙＝10/13×10/13×3/13＝300/2197。分母同為 2197，300 大於 90，乙比較大，倍數 300÷90＝10/3。因為抽中的機率不到一半，成功比較少的序列反而比較容易出現。答案：乙較大，是甲的 10/3 倍。
這題可能出現的錯法（為練習設計的例子）。如果你的答案和下面某個結果相同，就是犯了那種錯：
回到課文：計算的五個步驟與每一步的理由、邊界、反例與非例。補救後請遮住解答重做。
某機器每次運作成功的機率是 p（0<p<1），各次互不影響。已知「連續 2 次都成功」的機率是「連續 2 次都失敗」的機率的 25/36 倍。(1) 求 p。(2) 連續運作 3 次，結果依序是：成功、失敗、成功，求這條結果序列的機率。
提示（一次只開一層，先自己試）：
「連續 2 次都成功」與「連續 2 次都失敗」的機率，各用 p 與 1−p 怎麼寫？
題目告訴你前者是後者的 25/36 倍，把它寫成方程式，兩邊都是平方的形式。
兩邊開平方（取正的），得到 p 與 1−p 的比值；再用這個比值解出 p。
p²＝(25/36)×(1−p)² 開平方（取正）得 p＝(5/6)×(1−p)。接著解這個一次方程式求 p；(2) 的序列成、敗、成，算式是 p×(1−p)×p，代入後連乘由你完成。
(1) p²＝(25/36)(1−p)²，兩邊皆正，開平方 p＝(5/6)(1−p)，6p＝5−5p，p＝5/11。(2) 失敗機率 6/11，序列成、敗、成：5/11×6/11×5/11＝150/1331（分子 5×6×5＝150，分母 1331）。答案：(1) 5/11；(2) 150/1331。
這題可能出現的錯法（為練習設計的例子）。如果你的答案和下面某個結果相同，就是犯了那種錯：
回到課文：伯努力試驗、序列與乘法、計算的五個步驟與每一步的理由。補救後請遮住解答重做。
轉盤平均分成 12 格，其中 5 格是紅色、4 格是藍色、3 格是黃色，指針停在每一格的機會均等。每次轉動互不影響。把「停在紅色」當成成功，連轉 3 次，結果依序是：紅色、紅色、不是紅色。求這條結果序列的機率。
提示（一次只開一層，先自己試）：
先決定成功是什麼，再從格數算出一次轉動的 p。「不是紅色」包含哪些顏色？
失敗＝不是紅色，它不是單指某一種顏色。它佔幾格？
p＝紅色格數÷12，失敗機率＝其餘格數÷12，兩者相加應該是 1。再把三格的機率相乘。
p＝5/12，失敗（藍或黃，共 7 格）的機率 7/12。序列是成、成、敗，算式是 5/12×5/12×7/12。最後的連乘由你完成。
p＝5/12；不是紅色＝藍 4 格＋黃 3 格＝7 格，機率 7/12。序列成、成、敗：5/12×5/12×7/12＝175/1728（分子 5×5×7＝175，分母 12×12×12＝1728）。答案：175/1728。
這題可能出現的錯法（為練習設計的例子）。如果你的答案和下面某個結果相同，就是犯了那種錯：
回到課文：計算的五個步驟與每一步的理由、伯努力試驗、序列與乘法。補救後請遮住解答重做。
箱中有 25 顆球，編號 1 到 25，每顆被取到的機會均等。每次取一顆，記下號碼後放回，各次互不影響。把「號碼是質數」當成成功，連取 2 次，結果依序是：不是質數、是質數。求這條結果序列的機率。
提示（一次只開一層，先自己試）：
先決定成功是什麼。1 到 25 的整數中，有哪些是質數？1 算不算質數？
把質數一個一個列出來數，再算失敗的個數：共 25 顆球。
p＝質數的個數÷25，失敗機率＝其餘個數÷25。取後放回，所以每一次的 p 都一樣。再把兩格相乘。
1 到 25 的質數有 9 個，p＝9/25，1−p＝16/25。序列是敗、成，算式是 16/25×9/25。最後的乘法由你完成。
1 到 25 的質數：2、3、5、7、11、13、17、19、23，共 9 個，p＝9/25；不是質數的有 25−9＝16 個，機率 16/25（1 不是質數，歸在這一類）。序列敗、成：16/25×9/25＝144/625。答案：144/625。
這題可能出現的錯法（為練習設計的例子）。如果你的答案和下面某個結果相同，就是犯了那種錯：
回到課文：計算的五個步驟與每一步的理由、用得上的條件。補救後請遮住解答重做。
某打卡機每次成功讀取的機率是 45%（教學假設），各次互不影響。(1) 連續讀取 2 次，結果依序是：失敗、成功，求這條結果序列的機率（用小數表示）。(2) 如果已經知道第 1 次是失敗，這時第 2 次成功的機率是多少？為什麼？
提示（一次只開一層，先自己試）：
(1) 先把 45% 改寫成小數，再寫出失敗的機率，兩格相乘。
(2) 題目一直強調「各次互不影響」，這句話對第 2 次的機率有什麼影響？
(1) 乘法：0.55 乘 0.45 先當 55×45 計算。(2) 想一想：前一次的結果會不會改變下一次成功的機率？
(1) 算式是 0.55×0.45，最後的乘法由你完成。(2) 不要把 (1) 的結果拿來用，(2) 問的是「單單第 2 次」的機率。
(1) p＝0.45，1−p＝0.55。0.55×0.45：55×45＝2475，兩因數共 4 位小數，所以 0.2475。(2) 各次互不影響，第 1 次的結果不會改變第 2 次，所以第 2 次成功的機率仍是 0.45。答案：(1) 0.2475；(2) 0.45。
這題可能出現的錯法（為練習設計的例子）。如果你的答案和下面某個結果相同，就是犯了那種錯：