練習：非零數的 0 次方

先看底數是哪一個數，再確認它是不是 0。

0 次方的規定和底數是正是負沒有關係，只和「底數不為 0」有關。

套用課文的 0 次方等式（先確認它的條件），把 a 換成這題的底數。注意括號有沒有把負號包進底數。

先檢查底數有沒有符合 0 次方等式的條件，再套用等式寫出 (−5)⁰ 的值；回核時，把題目給的 a¹÷a¹ 裡的 a 換成這題的底數。

①底數 −5≠0。②(−5)⁰=1。③回核：(−5)¹÷(−5)¹=(−5)÷(−5)=1，同時等於 (−5)¹⁻¹=(−5)⁰，一致。答：1。

• 錯法：(−5)⁰=0。
  為什麼錯：把 0 次方當成「沒有」，或當成 (−5)×0；指數不是乘數。
  補救：回到課文〈0 次方不是 0、不是 a、也不是 0 乘 a〉，讀完再回到這一題。
• 錯法：(−5)⁰=−5。
  為什麼錯：「一個都沒乘，剩下底數」說的是 1 次方：(−5)¹=−5。
  補救：回到課文〈0 次方不是 0、不是 a、也不是 0 乘 a〉，讀完再回到這一題。
• 錯法：(−5)⁰=−1。
  為什麼錯：把負號留在外面，等於把式子看成 −(5⁰)；本題括號已把 −5 整個包成底數，值是 1。
  補救：回到課文〈負號、括號與位置〉，讀完再回到這一題。

補救之後，把提示和這一段都關起來，用原題重寫一次，不要換題。

逐項算出值，再和 1 比較。

有些式子看起來像 0 次方，但指數或運算其實不一樣。逐項看清楚：它是次方還是乘法？指數是幾？

判斷每一項前先看三件事：是不是次方、指數是不是 0、底數是不是 0。再用 0 次方等式（記得它的條件）決定它的值是不是 1。

逐項寫下三件事：是次方還是乘法、指數是幾、底數是不是 0；再算出每一項的值，和 1 比較。

符合的是 (A) 與 (C)。(A) 7≠0，7⁰=1。(B) 7¹=7，不是 1。(C) 底數 −7≠0，(−7)⁰=1。(D) 0×7=0，它是乘法，不是次方，值也不是 1。

• 錯法：只選 (A)，認為底數是負數就不能用。
  為什麼錯：底數是負數沒有關係，只要不是 0；(−7)⁰=1，(C) 也要選。
  補救：回到課文〈定義與條件〉，讀完再回到這一題。
• 錯法：答 (A)(B)(C)，認為 7¹=1，所以多選 (B)。
  為什麼錯：7¹=7，不是 1。1 次方是底數自己，0 次方才是 1。
  補救：回到課文〈0 次方不是 0、不是 a、也不是 0 乘 a〉，讀完再回到這一題。
• 錯法：答 (A)(C)(D)，把 0×7 當成 1，所以多選 (D)，把 0 次方和乘 0 搞混。
  為什麼錯：0×7=0，不是 1；它是乘法，與 7⁰ 無關。
  補救：回到課文〈0 次方不是 0、不是 a、也不是 0 乘 a〉，讀完再回到這一題。

補救之後，把提示和這一段都關起來，用原題重寫一次，不要換題。

三個底數各自先檢查是不是 0，再各自求值，最後相加。

底數是分數或小數，不會改變 0 次方的結果。

每一項都用 0 次方等式（記得它的條件）。

三項都要用 0 次方等式(a≠0)，再把三個結果相加。

1/2、0.5、2 都不為 0，所以 (1/2)⁰=1，(0.5)⁰=1，2⁰=1；和為 1+1+1=3。

• 錯法：三項都當成 0：0+0+0=0。
  為什麼錯：0 次方不是 0。每一項都是 1，和是 3。
  補救：回到課文〈0 次方不是 0、不是 a、也不是 0 乘 a〉，讀完再回到這一題。
• 錯法：只有整數底數才變 1，分數與小數保留底數：1/2+0.5+1=2。
  為什麼錯：0 次方的結果與底數的種類無關，(1/2)⁰=1，(0.5)⁰=1。
  補救：回到課文〈定義與條件〉，讀完再回到這一題。

補救之後，把提示和這一段都關起來，用原題重寫一次，不要換題。

先確認底數，回核時要小心負數相除的符號。

先判斷底數是不是 0。回核時，把 a¹÷a¹ 裡的 a 換成這題的底數。

用 0 次方等式（記得條件）；回核時，a¹÷a¹ 可以直接除，也可以用同底數相除的指數律，兩種結果要相等。

先套用 0 次方等式。回核時想想：負數除以負數，商的正負號是什麼？

①−5/3≠0。②(−5/3)⁰=1。③回核：(−5/3)¹÷(−5/3)¹=(−5/3)÷(−5/3)=1，同時等於 (−5/3)¹⁻¹=(−5/3)⁰，一致。答：1。

• 錯法：(−5/3)⁰=−5/3。
  為什麼錯：那是 1 次方 (−5/3)¹ 的值。0 次方是 1。
  補救：回到課文〈0 次方不是 0、不是 a、也不是 0 乘 a〉，讀完再回到這一題。
• 錯法：(−5/3)⁰=0。
  為什麼錯：0 次方不是 0；指數不是乘數。
  補救：回到課文〈0 次方不是 0、不是 a、也不是 0 乘 a〉，讀完再回到這一題。
• 錯法：(−5/3)⁰ 寫成 −1，回核 (−5/3)÷(−5/3) 也寫成 −1，認為負數除以負數還是負。
  為什麼錯：負數除以負數得正數，(−5/3)÷(−5/3)=1；底數 −5/3≠0，(−5/3)⁰=1，不是 −1。
  補救：回到課文〈完整示範四〉，讀完再回到這一題。

補救之後，把提示和這一段都關起來，用原題重寫一次，不要換題。

兩個底數各自先檢查是不是 0，再各自求值、相減。

底數很大或很小，都不影響 0 次方的結果。

兩項都用 0 次方等式（記得它的條件）。

兩項各用 0 次方等式(a≠0)，再把兩個結果相減。

100≠0，100⁰=1；0.01≠0，(0.01)⁰=1；1−1=0。答：0。

• 錯法：(0.01)⁰=0.01，所以 1−0.01=0.99。
  為什麼錯：底數是小數也一樣，(0.01)⁰=1，差是 0。
  補救：回到課文〈定義與條件〉，讀完再回到這一題。
• 錯法：100⁰=100，所以 100−1=99。
  為什麼錯：底數很大也一樣，100⁰=1。
  補救：回到課文〈0 次方不是 0、不是 a、也不是 0 乘 a〉，讀完再回到這一題。

補救之後，把提示和這一段都關起來，用原題重寫一次，不要換題。

0 次方與 1 次方不一樣，分開算。

6¹ 的意思是幾個 6 相乘？6⁰ 要用 0 次方等式。

分別看 6¹ 與 6⁰：1 次方和 0 次方的意義不同；6⁰ 要先檢查底數，再用 0 次方等式。

先算出 6⁰ 的值，再與 6¹ 的值相加。

6≠0，6⁰=1；6¹=6；1+6=7。答：7。

• 錯法：6⁰=0，所以 0+6=6。
  為什麼錯：0 次方不是 0；6⁰=1，和是 7。
  補救：回到課文〈0 次方不是 0、不是 a、也不是 0 乘 a〉，讀完再回到這一題。
• 錯法：6⁰=6，所以 6+6=12。
  為什麼錯：「一個都沒乘剩下 6」是 1 次方；6⁰=1。
  補救：回到課文〈0 次方不是 0、不是 a、也不是 0 乘 a〉，讀完再回到這一題。

補救之後，把提示和這一段都關起來，用原題重寫一次，不要換題。

先分清楚兩個式子各自的底數是什麼。

一個有括號，一個沒有；括號決定負號是不是底數的一部分。

分別指出兩個式子的底數各是什麼；負號有沒有被括號包進底數？

先決定每個式子的 0 次方作用在誰身上，算出那個底數的 0 次方，再處理沒有被包進底數的符號。

(−4)⁰：底數 −4≠0，值是 1。−4⁰：先算 4⁰=1，再加負號，得 −1。1 與 −1 不同，兩者不相同。

• 錯法：兩個都是 1。
  為什麼錯：第二式的底數只有 4，負號在最後，−4⁰=−1。
  補救：回到課文〈負號、括號與位置〉，讀完再回到這一題。
• 錯法：兩個都是 −1。
  為什麼錯：第一式有括號，−4 整個是底數，(−4)⁰=1。
  補救：回到課文〈負號、括號與位置〉，讀完再回到這一題。
• 錯法：兩個都是 0。
  為什麼錯：0 次方不是 0；一個是 1，一個是 −1。
  補救：回到課文〈0 次方不是 0、不是 a、也不是 0 乘 a〉，讀完再回到這一題。

補救之後，把提示和這一段都關起來，用原題重寫一次，不要換題。

先看 0 次方作用在誰身上。

比較兩式：0 次方各自作用在哪個底數上？第二式括號裡的算式要先怎麼處理？

第一式先處理 0 次方那一項，再做乘法；第二式先把括號算成一個數，檢查它是不是 0，再用 0 次方等式。

第一式是 5 乘上 7⁰ 的值；第二式的括號算出一個數後，再用 0 次方等式。

5×7⁰：7≠0，7⁰=1，5×1=5。(5×7)⁰：括號內 5×7=35，35≠0，35⁰=1。答：5 與 1。

• 錯法：5×7⁰=(5×7)⁰=1。
  為什麼錯：0 次方只管緊鄰的 7，5 在括號外，所以第一式是 5×1=5。
  補救：回到課文〈負號、括號與位置〉，讀完再回到這一題。
• 錯法：5×7⁰=5×0=0。
  為什麼錯：7⁰ 是 1，不是 0；所以是 5×1=5。
  補救：回到課文〈0 次方不是 0、不是 a、也不是 0 乘 a〉，讀完再回到這一題。

補救之後，把提示和這一段都關起來，用原題重寫一次，不要換題。

先把 (−8)⁰ 算成一個數，再做乘法。

(−8)⁰ 的底數是 −8，與前面的 −6 是兩個獨立的部分。

先用 0 次方等式（記得條件）算出 (−8)⁰ 的值，再與 −6 相乘。

把 (−8)⁰ 的值代入，算 −6 乘它的結果。

−8≠0，(−8)⁰=1；−6×1=−6。答：−6。

• 錯法：(−8)⁰=−8，所以 −6×(−8)=48。
  為什麼錯：(−8)⁰=1，不是 −8。
  補救：回到課文〈0 次方不是 0、不是 a、也不是 0 乘 a〉，讀完再回到這一題。
• 錯法：先算 (−6)×(−8)=48，再取 0 次方，得 1。
  為什麼錯：−6 在括號外，0 次方只管 (−8)，不是整個乘積。
  補救：回到課文〈負號、括號與位置〉，讀完再回到這一題。
• 錯法：(−8)⁰=0，所以結果是 0。
  為什麼錯：0 次方不是 0。
  補救：回到課文〈0 次方不是 0、不是 a、也不是 0 乘 a〉，讀完再回到這一題。

補救之後，把提示和這一段都關起來，用原題重寫一次，不要換題。

比較 (−6)⁰ 與 (−6)×0：它們用的是同一種運算嗎？

先看小華把 (−6)⁰ 變成了哪一種運算，再回想指數記號原本代表什麼。

選一個正整數指數（例如 3）：(−6) 的那個次方，和 (−6) 乘那個指數，是同一個數嗎？再想 0 次方該用哪一條等式。

回想指數記號代表什麼，再改用 0 次方等式（記得條件）重寫；回核時，把題目裡的 a¹÷a¹ 套用到這個底數。

錯在：指數不是乘數，(−6)⁰ 不等於 (−6)×0。檢查：(−6)³=−216，而 (−6)×3=−18，兩者不同，可見「指數就是乘數」不成立。正確寫法：底數 −6≠0，(−6)⁰=1。回核：(−6)¹÷(−6)¹=(−6)÷(−6)=1，同時等於 (−6)¹⁻¹=(−6)⁰。

• 錯法：改成 (−6)⁰=−6。
  為什麼錯：那是 1 次方的值。0 次方是 1。
  補救：回到課文〈0 次方不是 0、不是 a、也不是 0 乘 a〉，讀完再回到這一題。
• 錯法：改成 (−6)⁰=−1。
  為什麼錯：把負號當成要留在外面。底數是 −6（整個），(−6)⁰=1。
  補救：回到課文〈負號、括號與位置〉，讀完再回到這一題。

補救之後，把提示和這一段都關起來，用原題重寫一次，不要換題。

「剩下底數自己」其實是哪一個次方的意思？

試試 (−9)¹，它的值是多少？它描述的是幾次方？

算算 (−9)¹ 是多少，再想：阿志說的「剩下底數自己」描述的是它嗎？0 次方該用哪一條等式？

反證：假設 (−9)⁰=−9，再用同底數相乘的指數律，分別算 (−9)⁰×(−9)² 的兩種算法，看兩個結果會不會相同。

錯在把 0 次方和 1 次方弄混。(−9)¹=−9，而 (−9)⁰=1（−9≠0）。若 (−9)⁰=−9，同底數相乘的指數律就不成立：(−9)×(−9)²=(−9)×81=−729，但 (−9)⁰⁺²=81。回核：(−9)¹÷(−9)¹=1。答：1。

• 錯法：改成 (−9)⁰=0。
  為什麼錯：0 次方不是 0；若是 0，(−9)⁰×(−9)² 會是 0，不等於 81。
  補救：回到課文〈0 次方不是 0、不是 a、也不是 0 乘 a〉，讀完再回到這一題。
• 錯法：改成 (−9)⁰=−1。
  為什麼錯：底數 −9≠0，(−9)⁰=1；−1 只會在 −9⁰ 這種沒有括號的寫法出現。
  補救：回到課文〈負號、括號與位置〉，讀完再回到這一題。

補救之後，把提示和這一段都關起來，用原題重寫一次，不要換題。

同底數相除時，指數怎麼處理？先看 2⁵÷2³ 與 2² 的關係。

2⁵÷2³=32÷8=4=2²。指數 5、3 和 2 之間是什麼運算關係？

先用 L2 的例子判斷指數要做哪一種運算，再把它用在 2³÷2³。另一種方法：先把 2³ 算成一個數。

方法一：指數做完那個運算後，得到 2 的幾次方，再用 0 次方等式；方法二：先算出 2³ 的值，再做除法。兩法要得到同一個值。

錯在：把指數相減寫成相除。正確：方法一 2³÷2³=2³⁻³=2⁰=1（2≠0）；方法二 2³=8，8÷8=1。兩法一致，答：1。小宇的 2^3÷3=2¹=2 與 8÷8=1 不符，可見寫錯了。

• 錯法：改成 2³⁻³=2⁰=0。
  為什麼錯：0 次方不是 0；而且 8÷8=1，不是 0。
  補救：回到課文〈0 次方不是 0、不是 a、也不是 0 乘 a〉，讀完再回到這一題。
• 錯法：改成 2³÷2³=2³⁺³=2⁶=64。
  為什麼錯：相除時指數相減，不是相加；64 也與 8÷8=1 不符。
  補救：回到課文〈先備與記號〉，讀完再回到這一題。

補救之後，把提示和這一段都關起來，用原題重寫一次，不要換題。

先把每個括號算成一個數。

0 次方等式有一個條件，是什麼？

先把四個括號各算成一個數，再拿 0 次方等式的條件逐一檢查。

底數若不符合條件，本課不給這種式子任何值。請逐項算出底數後判斷；符合條件的再求值。

(A) 8−3=5≠0，(8−3)⁰=1；(B) 6−6=0，不適用；(C) −1/3+1/3=0，不適用；(D) 2−5=−3≠0，(2−5)⁰=1。可以用的是 (A) 與 (D)。

• 錯法：四個都選，認為任何數的 0 次方都是 1。
  為什麼錯：條件是 a≠0。(B)、(C) 的底數算出來是 0，不能用這條等式。
  補救：回到課文〈為什麼底數不能是 0〉，讀完再回到這一題。
• 錯法：只選 (A)，認為底數是負數的 (D) 不行。
  為什麼錯：(D) 的底數是 −3，不是 0，(2−5)⁰=1，也可以用。
  補救：回到課文〈負號、括號與位置〉，讀完再回到這一題。

補救之後，把提示和這一段都關起來，用原題重寫一次，不要換題。

先算兩個括號，確認底數不是 0。

括號裡先算成一個數；0 次方不能「分配」給括號裡的每一項。

分別把兩個括號算成一個數（分數要先通分），再檢查它們是不是 0。

兩項都用 0 次方等式（記得條件），再把兩個結果相加。

1/2−1/3=1/6≠0，(1/6)⁰=1；−2−3=−5≠0，(−5)⁰=1。和為 1+1=2。答：2。

• 錯法：把 0 次方分配給每一項：(1/2)⁰−(1/3)⁰=0，(−2)⁰−3⁰=0，和為 0。
  為什麼錯：括號整個是一個底數，(a−b)⁰ 要先算出 a−b。兩項各是 1，和是 2。
  補救：回到課文〈負號、括號與位置〉，讀完再回到這一題。
• 錯法：(−2−3)⁰=−5，所以 1+(−5)=−4。
  為什麼錯：底數是 −5，不為 0，(−5)⁰=1，不是 −5。
  補救：回到課文〈0 次方不是 0、不是 a、也不是 0 乘 a〉，讀完再回到這一題。

補救之後，把提示和這一段都關起來，用原題重寫一次，不要換題。

回想「商的說明」：兩種算法中，第二種算的是什麼？

先把 0³ 算成一個數，再看除號後面的數。

0³=0×0×0。接著 0³÷0³ 變成什麼除法？

先算出 0³ 是多少，把它代進 0³÷0³，看除號後面的數是什麼，再想想這樣的除法能不能進行。

0³=0×0×0=0，所以 0³÷0³=0÷0。除數是 0，除法不能進行，「不為 0 的數除以它自己是 1」這一步用不上，所以無法由商的說明得到 a⁰=1。這就是條件 a≠0 不能省的原因。本課不給底數 0 的 0 次方任何值。

• 錯法：0÷0=0，所以結果是 0。
  為什麼錯：除數是 0 的除法不能進行，不能硬給一個值。
  補救：回到課文〈為什麼底數不能是 0〉，讀完再回到這一題。
• 錯法：0÷0=1，因為自己除自己。
  為什麼錯：「自己除自己是 1」只對不為 0 的數成立。
  補救：回到課文〈為什麼底數不能是 0〉，讀完再回到這一題。

補救之後，把提示和這一段都關起來，用原題重寫一次，不要換題。

先數一數：沒折時有幾層？折一次呢？

每折一次，層數變成 2 倍，從 1 層開始。

依序乘 2，一直到 n=4。n=0 那一格要和 2⁰ 比。

從 1 層開始，每一格都是前一格的 2 倍；n=0 的格子是還沒有折的狀態。

(1) n=0：1 層；n=1：2 層；n=2：4 層；n=3：8 層；n=4：16 層。(2) 一致：2≠0，2⁰=1，與「沒折就是 1 層」相同。若 2⁰ 是 0，就變成「沒有紙」，與事實不符。回核：每格除以 2，2¹÷2=1=2⁰。

• 錯法：n=0 時 2⁰=0，所以沒有紙。
  為什麼錯：還沒折時紙還在，是 1 層；2⁰=1。
  補救：回到課文〈0 次方出現在哪裡〉，讀完再回到這一題。
• 錯法：n=0 時 2⁰=2，所以是 2 層。
  為什麼錯：「剩下底數」是 1 次方；沒折時是 1 層，2⁰=1。
  補救：回到課文〈0 次方不是 0、不是 a、也不是 0 乘 a〉，讀完再回到這一題。

補救之後，把提示和這一段都關起來，用原題重寫一次，不要換題。

先算 10⁰，再乘 6；最後把四項加起來。

先檢查 10 這個底數，再決定 10⁰ 能不能用 0 次方等式。

10⁰ 用 0 次方等式求值，再乘 6。

前三項各自把 10 的次方乘開再乘係數；第四項就是要求的 6×10⁰；把四項加起來和 4506 比。

10≠0，10⁰=1，6×10⁰=6。4×10³=4000，5×10²=500，0×10¹=0，6×10⁰=6；4000+500+0+6=4506，相符。答：6。

• 錯法：10⁰=0，所以 6×10⁰=0，總和是 4500。
  為什麼錯：個位數會消失，總和 4500 不是 4506；10⁰=1。
  補救：回到課文〈0 次方出現在哪裡〉，讀完再回到這一題。
• 錯法：10⁰=10，所以 6×10⁰=60，總和是 4560。
  為什麼錯：「剩下底數」是 1 次方；總和 4560 不是 4506；10⁰=1。
  補救：回到課文〈0 次方不是 0、不是 a、也不是 0 乘 a〉，讀完再回到這一題。

補救之後，把提示和這一段都關起來，用原題重寫一次，不要換題。

先把 5³ 算成一個數。

(2) 套用題目給的同底數相乘指數律：指數要怎麼處理？

(1) 把 5⁰ 換成題目給的值，再與 5³ 的值相乘；(2) 先把指數相加，寫成單一個冪，再算出它的值。

(1)、(2) 兩種算法的結果要互相比較。第 (3) 小題：把 5⁰=0 代進 (1)，看結果和 (2) 一不一樣。

(1) 5⁰×5³=1×125=125；(2) 5⁰⁺³=5³=125；一致。(3) 若 5⁰=0，(1) 變成 0×125=0，但 (2) 仍是 125，0≠125，矛盾。所以 5⁰ 只能是 1（因為 5³≠0）。

• 錯法：5⁰×5³=5^0×3=5⁰=1。
  為什麼錯：同底數相乘，指數相加，不是相乘；5⁰×5³=125。
  補救：回到課文〈先備與記號〉，讀完再回到這一題。
• 錯法：5⁰×5³=0，因為 0 乘什麼都是 0。
  為什麼錯：5⁰ 不是數字 0，而是 1；乘起來是 125。
  補救：回到課文〈0 次方不是 0、不是 a、也不是 0 乘 a〉，讀完再回到這一題。

補救之後，把提示和這一段都關起來，用原題重寫一次，不要換題。