如果每天都要手算一長串乘除，會怎樣？乘法規則並不難找，困難在反覆展開、進位、除法與校核。十七世紀研究食象的 Briggs 已經製作計算數表，仍深感繁重計算的負擔。Napier 在1614年出版的對數著作，吸引他的正是減輕這些工作的能力。Briggs 傳記
對數不是讓人第一次能乘除，而是換一個地方算：原來的量要相乘，換成對數後可以相加，最後再回到原量。這要求事先製表和校核，但一張表可以反覆使用。計算的準備成本與使用成本被重新分配，數表的精度仍限制答案。
Napier 最初的設定和今天不同；Briggs與他討論改制，後來在1617年刊出新的表。以下用今天以10為底的常用對數，看清機制；文中的小表與數字是教學構造，不是早期表格的復原。
10²=100，10³=1000。當100與1000相乘時，兩組10共有五個，所以乘積是10⁵。若把100記成指數2，把1000記成指數3，乘法便能轉到另一側做2+3=5，再由5回查10⁵。
這種反查有一個名稱：
log x=y，意思恰好是10^y=x，且x>0。
本篇 log 均以10為底。x是原數，y是它對應的指數，不能把兩者混成同一個數。log 1=0，因為10⁰=1；log 0.01=−2，因為10⁻²=0.01。負的對數值完全可能，原數卻仍然是正的。log 0和log(−10)在實數範圍沒有定義，因為10的實數次方不會等於零或負數。
指數不必是整數。10^(1/2)=√10，所以 log √10=1/2。實數指數的先備性質保證：每個正數恰好對應一個10的實數次方。因此對數不是只供100、1000這些整齊數字使用的暗號。
先準備三筆現代近似對照：log 2≈0.30103，log 3≈0.47712，log 6≈0.77815。它們可以用10的次方回查，分別接近2、3、6。前兩個指數相加為0.77815，正好對應第三個數。為什麼這不是巧合？
設兩個正數 A=10^u、B=10^v，由指數律，AB=10^(u+v)。因此乘積所對應的指數是u+v。除法同理：A/B=10^(u−v)。原量的乘除會變成指數的加減，根源是10的冪相乘、相除時，指數相加、相減。
以構造計算200×30÷6為例。相應的對數近似為2.30103、1.47712、0.77815。把乘除搬到指數一側：
2.30103+1.47712−0.77815=3.00000。
再回來，10³=1000。直接驗算200×30÷6也等於1000。此例刻意選得可手算，以便核對整條流程；面對較長數字，查表所替代的才是更多筆算工作。近似表一般會帶來捨入誤差，這次剛好得到整數不能保證每次如此。
這也指出限制：log(A+B)不能由上面的理由變成log A+log B。以A=B=10，右側是2，表示原量100；左側卻對應20。把加法誤當成乘法，是把原量那一側的操作換錯了。
早期數表讓重複的乘除得以改成查表、加減、反查；之後計算尺再把對數關係做成可滑動的刻度。蘇格蘭國立博物館：對數的計算影響 這條歷史線的突破在於重用轉換，並不是每一筆計算從此無誤。
計算機已經能直接乘除，對數為什麼仍值得學？因為它還改變我們比較數量的方式：相同的倍率，可以改寫成相同的距離。
看一份構造資料，原量依次為1、10、100、1000。用等差刻度畫圖，前幾個數擠在靠近零的位置；改記常用對數，就是0、1、2、3。現在每前進1，原量乘10；每前進2，原量乘100。這不是把差異刪掉，而是用「倍數」作為閱讀距離的規則。
圖中等距的是對數值0、1、2、3，對應的原量1、10、100、1000並不等差。這條尺度沒有零原量的位置；左端的0指log 1，不是log 0。
例如某正量採明確定義的紀錄 s=log(Q/Q₀)，Q₀是固定的正參考量，使比值沒有單位。甲記2、乙記3，還原為Q甲=100Q₀、Q乙=1000Q₀；兩筆紀錄差1，乙是甲的10倍，不是多一個原量單位。若紀錄改採10 log(Q/Q₀)，相同倍率就會差10。因此看到「對數尺度」四字，仍必須先讀底數、係數與參考量，不能把所有刻度都當成同一種。
對數把「數量有多少」改問成「相對於基準累積了多少倍率」。它既能把計算移到較簡單的運算，也能把跨越許多數量級的資料改成可讀尺度。每一次轉換都保留一條回路：log x=y之後，要能用10^y回到x。會走回去，才不會把顯示的指數誤當成原來的世界。