假設班上製作紀念冊，每本材料費30元，每次另付80元裝訂準備費。訂10本要380元，訂20本要680元。若人數還在變動，難道每多問一個數，就得再寫一段計算？
這是教學假想情境，不是代數發明的歷史故事。它讓我們看見一個真正的問題：算出一個答案，與把所有這類答案的共同規則交給別人，是兩件事。算術早已能處理確定數量；代數表示要保留的，是數量還沒確定時仍然成立的結構。
代數並不是某天把數字換成字母才突然出現。九世紀花拉子米的代數著作已用文字說明未知量、計算與方程整理，並非使用今天這套字母記號。文字也能傳授一般方法；因此不能把前人的困境說成「沒有字母便不能推理」。[1]
但讀一長串「某數的三倍，再加另一個數的兩倍」，必須一路記住每個量指什麼、哪個操作作用在哪個量上。約定x、y分別表示這兩個數後，3x＋2y便把對應關係留在紙面上；若後面又出現x，就能直接認出是同一個量。這個表達成本可由教例直接比較，不代表已量測古代人的錯誤率。
1591年，韋達的著作系統地用字母表示已知量與未知量：他採母音與子音區分兩者，並不是我們現在慣用的那套。這使寫下來的運算可以保留某些量尚未代成數字的形式，成為處理一類問題的工具。他當時仍要求比較的量符合量的同質性，不能把他的符號體系完全當成今日課本。[2]
所以突破是漸進的：已有文字方法與運算，再把量和操作壓縮成可反覆辨認、可直接操作的表示。符號節省的不是思考本身，而是反覆描述相同關係的負擔。
回到紀念冊，設x表示「訂購本數」，x只能取這個情境允許的非負整數；假定確實下單時才收準備費，以下討論x至少為1。總費用用元計，便是
30x＋80。
30x是30×x，表示每本30元乘本數；80是整筆訂單只收一次的費用。這個式子不需要先知道x，就已交代費用怎麼組成。當x＝10時，代入得到30×10＋80＝380；x＝20時得到680。x可以換成n，量義不變便仍是同一規則。反過來，即使都寫x，若一處代表本數、另一處代表每本售價，就不能混用。
30x＋80叫作代數式，表示一個量；它還沒有要求這個量等於某個指定數，所以不是要我們立刻「解出x」。式子能先描述，再接受各種允許的輸入。若另加「總費用為680元」，才有30x＋80＝680這個方程；那是下一篇的問題。
圖1：本數改變時，每本材料費那一部分隨之改變；整筆準備費保持80元。框的大小不表示價格比例，箭頭表示計算順序。
這個表示還能回答列表沒直接寫出的問題：在同一收費規則下，多一本就多30元，因為新增的是一份材料費，80元並未再收。若店家改成滿20本免準備費，原式便不能涵蓋所有訂單；字母不會保證假設永遠正確。
再看一個與金額無關的純數例子：3x＋2x。這是三份x加兩份同一個x，所以是五份x，即5x。更精確地說，分配律給出3x＋2x＝(3＋2)x＝5x。這個理由不依賴某個特別的x，因此對允許代入的各個數都成立。
3x中的3叫作係數，記錄有幾份x；−2x的係數是−2，負號也包含在內。本篇只討論一次項與常數，同類項的判準是變數部分相同，不是數字係數相同。3x和−2x是同類項；3x和3y則不是，因為x與y未必同值。若x＝2、y＝5，3x＋3y＝21，寫成6x卻只有12。不能合成一項，不表示不能相加：3x＋3y已經是一個合法的和，只是不能把它當成六份x。
常數項沒有變數，彼此也能合併：例如3＋2x＋7＝2x＋10，但不能把10再併入2x成為12x。再看3−2x＋7x中，三個項是3、−2x、7x；減號必須跟著所減的項。後兩項合成(−2＋7)x＝5x，得到3＋5x，而不是3−9x。檢查x＝1，原式是8，錯式卻是−6，足以推翻那個化簡。但只試一個值碰巧相等，不能證明兩式對所有值都相等；一般的理由仍是運算律。
括號同樣保存結構。3(x＋1)表示三份完整的「x加1」，所以每份都有那個1，展開是3x＋3。若漏成3x＋1，便只加了一次1。反過來，3x＋3可收回3(x＋1)，兩種寫法各自凸顯不同面貌：前者看得見同類項，後者看得見重複的整組。
係數是分數時理由也不變：(1/2)x＋(1/3)x＝(5/6)x，表示同一個x的半份與三分之一份合起來。不能把分母直接相加成(2/5)x；相加的是份量，要用分數加法。一次式的化簡，並不是另一套任意規定，而是已學過的數的運算保留到未知的量上。
假想你買x本每本30元的筆記本，再買y支每支10元的筆。總金額是30x＋10y元。兩項都表示金額，所以可相加；但本數和筆數可能各自改變，不能因兩項同為「元」就合成40x。若另有條件x＝y，才可在那個條件下改寫成40x。
另一方面，3公尺加2公分不是把數字寫成5便結束；先統一成公分才得到302公分。同類項處理的是符號中的同一變數部分，單位檢查處理的是現實中的同一種量和尺度，兩個檢查不能互相代替。代數越簡短，越需要先把這些意義說清楚。
今天把一個計算規則放進表格供不同訂單使用，核心機制仍是如此：每列填本數，套同一個「乘30再加80」的規則，就能得到各列金額。這裡說的是可實作的教學模型，不是特定商家的真實收費。它的價值在於共用結構可集中檢查：若準備費變90，只需改規則中的常數；若每本成本改35，則改係數。能分辨哪一部分變了，便比只盯著380或680更容易追問原因。
你學會本篇後，要能把量義、單位和條件放在字母前面，把同類項合併的理由放在口訣前面。一個式子之所以可以服務一批數量，是因為這批情況共享同一結構；一旦條件變了，就要重新檢查式子。至於已知總額後怎樣反找本數，將由方程與等價接續。
[1] J. J. O’Connor、E. F. Robertson，University of St Andrews，MacTutor，Al-Khwarizmi，正文關於文字代數及運算部分。本文未把後來的記號倒寫為花拉子米原文。
[2] 同作者，MacTutor，François Viète，正文1591年著作、已知與未知量字母及同質性部分。不是親讀全部歷史著作。其餘例子、比較與應用為本篇教學構造。