練習:以配方法解二次方程

先把常數項移到右側。左側 x²+8x 要補上一個什麼數,才會變成完全平方 (x+?)²?〔回課文:配方的想法〕

步驟的形狀:移項 → (必要時)兩側同除以首項係數 → 兩側同時補「一次項係數一半的平方」→ 左側寫成平方 → 看右側是正、零還是負 → 開平方取 ± → 解 x → 回查。先把這幾步的形狀寫在紙上,先不要代數字。〔回課文:步驟與理由〕

整理成 x²+8x=9。一次項係數是 8,它的一半是 4,所以兩側都要加 (4)²=16。

兩側加完後是 (x+4)²=25。接下來請自己開平方(別忘了 ±)、解出 x,最後回查。

原方程:x²+8x−9=0。

(1)移項:把常數項移到右側,得 x²+8x=9。(目的:左側只留含 x 的項,才能補成平方。)

(2)補平方:一次項係數 8 的一半是 4,它的平方是 16。兩側都加 16,得 x²+8x+16=9+16,左側就是 (x+4)²,右側是 25,即 (x+4)²=25。

(3)25 是正數,可以開平方,取正負兩種:x+4=±√25=±5。(根號內能化簡就先化簡。)

(4)把 4 移到右側:x=−4±5,所以 x=1 或 x=−9。

(5)回查:x=1 代入 x²+8x−9:1+8+(−9)=0;x=−9 代入 x²+8x−9:81+(−72)+(−9)=0,兩個根都成立。

配成平方時,左側補了一個數,右側要怎麼辦?把每位同學的 (x+h)² 展開,跟 x²+12x 比比看。〔回課文:配方的想法〕

(x+h)² 展開是 x²+2hx+h²。對照 x²+12x,先找出 h,再看多出來的 h² 要怎麼處理。〔回課文:步驟與理由〕

2h=12,所以 h=6,(x+6)²=x²+12x+36,比左側 x²+12x 多了 36。補了 36,右側的 −5 也要加 36。

右側是 −5+36=31,所以補平方後應該是 (x+6)²=31。請對照四位同學的式子,找出哪一位相符、其他三位各自錯在哪裡;再自己開平方求 x,並回查。

(1)正確的是乙。理由:一次項係數 12 的一半是 6,6 的平方是 36;兩側都加 36,得 x²+12x+36=−5+36,即 (x+6)²=31。

甲:(x+6)² 展開是 x²+12x+36,比 x²+12x 多 36,右側沒有跟著加 36,所以 (x+6)²=−5 是另一個方程(它在實數範圍內無解,但原方程有解)。丙:加的是 12²=144(一次項係數的平方,不是它一半的平方),而且 x²+12x+144 不是 (x+12)²(那是 x²+24x+144)。丁:只加了一半 6,而 x²+12x+6 不是 (x+6)²(那是 x²+12x+36);它的解之一 x=−5 代入原方程:25−60+5=−30,不成立。

(2)由 (x+6)²=31,得 x+6=±√31,所以 x=−6±√31。回查:取 x=−6+√31,x²=67−12√31;x²+12x+5=(67−12√31)+(−72+12√31)+5=0。

(平方)=一個數。這個數是正數、0、負數時,分別會發生什麼事?〔回課文:右側是正、零、負〕

任何實數的平方都大於或等於 0。想想:平方等於 0 只有一種可能;平方等於正數有兩種;平方等於負數呢?

(a)右側 5 是正數,開平方取 ±,x+1=±√5;(b)右側是 0;(c)右側是 −4。

(a)x+1=±√5,再把 1 移到右側;(b)x−2=0;(c)平方的最小值是 0,右側 −4 比 0 還小,能相等嗎?

(a)右側 5 是正數,有兩個實數根:x+1=±√5,所以 x=−1±√5(即 x=−1+√5 或 x=−1−√5)。

(b)右側是 0,(x−2)²=0 只有 x−2=0 一種可能,所以只有一個實數根 x=2(兩個根相同,合寫成一個值,稱重根)。

(c)右側 −4 是負數,而任何實數的平方都大於或等於 0,所以沒有實數根。

先把常數項移到右側。左側 x²+6x 要補上一個什麼數,才會變成完全平方 (x+?)²?〔回課文:配方的想法〕

步驟的形狀:移項 → (必要時)兩側同除以首項係數 → 兩側同時補「一次項係數一半的平方」→ 左側寫成平方 → 看右側是正、零還是負 → 開平方取 ± → 解 x → 回查。先把這幾步的形狀寫在紙上,先不要代數字。〔回課文:步驟與理由〕

整理成 x²+6x=5。一次項係數是 6,它的一半是 3,所以兩側都要加 (3)²=9。

兩側加完後是 (x+3)²=14。接下來請自己開平方(別忘了 ±)、解出 x,最後回查。

原方程:x²+6x−5=0。

(1)移項:把常數項移到右側,得 x²+6x=5。(目的:左側只留含 x 的項,才能補成平方。)

(2)補平方:一次項係數 6 的一半是 3,它的平方是 9。兩側都加 9,得 x²+6x+9=5+9,左側就是 (x+3)²,右側是 14,即 (x+3)²=14。

(3)14 是正數,可以開平方,取正負兩種:x+3=±√14。(根號內能化簡就先化簡。)

(4)把 3 移到右側,得 x=−3±√14。

(5)回查:取 x=−3+√14,則 x²=23−6√14;所以 x²+6x−5 代入得 1×(23−6√14)+6×(−3+√14)+(−5)=0。另一個根只是把 √14 換成 −√14,同樣成立。

先把常數項移到右側。左側 x²−5x 要補上一個什麼數,才會變成完全平方 (x+?)²?〔回課文:配方的想法〕

步驟的形狀:移項 → (必要時)兩側同除以首項係數 → 兩側同時補「一次項係數一半的平方」→ 左側寫成平方 → 看右側是正、零還是負 → 開平方取 ± → 解 x → 回查。先把這幾步的形狀寫在紙上,先不要代數字。〔回課文:步驟與理由〕

整理成 x²−5x=−3。一次項係數是 −5,它的一半是 −5/2,所以兩側都要加 (−5/2)²=25/4。

兩側加完後是 (x−5/2)²=13/4。接下來請自己開平方(別忘了 ±)、解出 x,最後回查。

原方程:x²−5x+3=0。

(1)移項:把常數項移到右側,得 x²−5x=−3。(目的:左側只留含 x 的項,才能補成平方。)

(2)補平方:一次項係數 −5 的一半是 −5/2,它的平方是 25/4。兩側都加 25/4,得 x²−5x+25/4=−3+25/4,左側就是 (x−5/2)²,右側是 13/4,即 (x−5/2)²=13/4。

(3)13/4 是正數,可以開平方,取正負兩種:x−5/2=±√(13/4)=±√13/2。(根號內能化簡就先化簡。)

(4)把 −5/2 移到右側,得 x=5/2±√13/2,也可以合併寫成 x=(5±√13)/2。

(5)回查:取 x=5/2+√13/2,則 x²=19/2+5√13/2;所以 x²−5x+3 代入得 1×(19/2+5√13/2)+(−5)×(5/2+√13/2)+3=0。另一個根只是把 √13 換成 −√13,同樣成立。

先把常數項移到右側。左側 x²+10x 要補上一個什麼數,才會變成完全平方 (x+?)²?〔回課文:配方的想法〕

步驟的形狀:移項 → (必要時)兩側同除以首項係數 → 兩側同時補「一次項係數一半的平方」→ 左側寫成平方 → 看右側是正、零還是負 → 開平方取 ± → 解 x → 回查。先把這幾步的形狀寫在紙上,先不要代數字。〔回課文:步驟與理由〕

整理成 x²+10x=−21。一次項係數是 10,它的一半是 5,所以兩側都要加 (5)²=25。

兩側加完後是 (x+5)²=4。接下來請自己開平方(別忘了 ±)、解出 x,最後回查。

原方程:x²+10x+21=0。

(1)移項:把常數項移到右側,得 x²+10x=−21。(目的:左側只留含 x 的項,才能補成平方。)

(2)補平方:一次項係數 10 的一半是 5,它的平方是 25。兩側都加 25,得 x²+10x+25=−21+25,左側就是 (x+5)²,右側是 4,即 (x+5)²=4。

(3)4 是正數,可以開平方,取正負兩種:x+5=±√4=±2。(根號內能化簡就先化簡。)

(4)把 5 移到右側:x=−5±2,所以 x=−3 或 x=−7。

(5)回查:x=−3 代入 x²+10x+21:9+(−30)+21=0;x=−7 代入 x²+10x+21:49+(−70)+21=0,兩個根都成立。

首項係數是 3,而完全平方 (x+?)² 展開後 x² 的係數是 1。補平方之前,你要先對方程做什麼?〔回課文:步驟與理由〕

步驟的形狀:移項 → (必要時)兩側同除以首項係數 → 兩側同時補「一次項係數一半的平方」→ 左側寫成平方 → 看右側是正、零還是負 → 開平方取 ± → 解 x → 回查。先把這幾步的形狀寫在紙上,先不要代數字。〔回課文:步驟與理由〕

先移項、再同除以 3(右側也要除),得 x²+2x=2。一次項係數是 2,它的一半是 1,所以兩側都要加 (1)²=1。

兩側加完後是 (x+1)²=3。接下來請自己開平方(別忘了 ±)、解出 x,最後回查。

原方程:3x²+6x−6=0。

(1)移項:把常數項移到右側,得 3x²+6x=6。(目的:左側只留含 x 的項,才能補成平方。)

(2)兩側同除以 3(每一項都要除,右側也要除),得 x²+2x=2。(完全平方式 (x+h)² 展開後 x² 的係數是 1,所以要先讓它變成 1。)

(3)補平方:一次項係數 2 的一半是 1,它的平方是 1。兩側都加 1,得 x²+2x+1=2+1,左側就是 (x+1)²,右側是 3,即 (x+1)²=3。

(4)3 是正數,可以開平方,取正負兩種:x+1=±√3。(根號內能化簡就先化簡。)

(5)把 1 移到右側,得 x=−1±√3。

(6)回查:取 x=−1+√3,則 x²=4−2√3;所以 3x²+6x−6 代入得 3×(4−2√3)+6×(−1+√3)+(−6)=0。另一個根只是把 √3 換成 −√3,同樣成立。

首項係數是 2,而完全平方 (x+?)² 展開後 x² 的係數是 1。補平方之前,你要先對方程做什麼?〔回課文:步驟與理由〕

步驟的形狀:移項 → (必要時)兩側同除以首項係數 → 兩側同時補「一次項係數一半的平方」→ 左側寫成平方 → 看右側是正、零還是負 → 開平方取 ± → 解 x → 回查。先把這幾步的形狀寫在紙上,先不要代數字。〔回課文:步驟與理由〕

先移項、再同除以 2(右側也要除),得 x²−(3/2)x=1。一次項係數是 −3/2,它的一半是 −3/4,所以兩側都要加 (−3/4)²=9/16。

兩側加完後是 (x−3/4)²=25/16。接下來請自己開平方(別忘了 ±)、解出 x,最後回查。

原方程:2x²−3x−2=0。

(1)移項:把常數項移到右側,得 2x²−3x=2。(目的:左側只留含 x 的項,才能補成平方。)

(2)兩側同除以 2(每一項都要除,右側也要除),得 x²−(3/2)x=1。(完全平方式 (x+h)² 展開後 x² 的係數是 1,所以要先讓它變成 1。)

(3)補平方:一次項係數 −3/2 的一半是 −3/4,它的平方是 9/16。兩側都加 9/16,得 x²−(3/2)x+9/16=1+9/16,左側就是 (x−3/4)²,右側是 25/16,即 (x−3/4)²=25/16。

(4)25/16 是正數,可以開平方,取正負兩種:x−3/4=±√(25/16)=±5/4。(根號內能化簡就先化簡。)

(5)把 −3/4 移到右側:x=3/4±5/4,所以 x=2 或 x=−1/2。

(6)回查:x=2 代入 2x²−3x−2:8+(−6)+(−2)=0;x=−1/2 代入 2x²−3x−2:1/2+3/2+(−2)=0,兩個根都成立。

首項係數是 −1,而完全平方 (x+?)² 展開後 x² 的係數是 1。補平方之前,你要先對方程做什麼?〔回課文:步驟與理由〕

步驟的形狀:移項 → (必要時)兩側同除以首項係數 → 兩側同時補「一次項係數一半的平方」→ 左側寫成平方 → 看右側是正、零還是負 → 開平方取 ± → 解 x → 回查。先把這幾步的形狀寫在紙上,先不要代數字。〔回課文:步驟與理由〕

先移項、再同除以 −1(右側也要除),得 x²−2x=4。一次項係數是 −2,它的一半是 −1,所以兩側都要加 (−1)²=1。

兩側加完後是 (x−1)²=5。接下來請自己開平方(別忘了 ±)、解出 x,最後回查。

原方程:−x²+2x+4=0。

(1)移項:把常數項移到右側,得 −x²+2x=−4。(目的:左側只留含 x 的項,才能補成平方。)

(2)兩側同除以 −1(每一項都要除,右側也要除),得 x²−2x=4。(完全平方式 (x+h)² 展開後 x² 的係數是 1,所以要先讓它變成 1。)

(3)補平方:一次項係數 −2 的一半是 −1,它的平方是 1。兩側都加 1,得 x²−2x+1=4+1,左側就是 (x−1)²,右側是 5,即 (x−1)²=5。

(4)5 是正數,可以開平方,取正負兩種:x−1=±√5。(根號內能化簡就先化簡。)

(5)把 −1 移到右側,得 x=1±√5。

(6)回查:取 x=1+√5,則 x²=6+2√5;所以 −x²+2x+4 代入得 (−1)×(6+2√5)+2×(1+√5)+4=0。另一個根只是把 √5 換成 −√5,同樣成立。

把小明寫的 (x+5)² 展開,跟原方程的左側 x²+10x 比一比,看看差了什麼。〔回課文:不能這樣做的例子〕

小明的左側「變成」了完全平方,中間一定補了一個數。補的數有沒有同時加在右側?

(x+5)²=x²+10x+25,比 x²+10x 多了 25。所以兩側都要加 25,右側變成 2+25。

正確的是 (x+5)²=27。接下來請自己開平方,並把 √27 化簡(27=9×3),最後回查。

小明錯在補平方這一步:(x+5)²=x²+10x+25,左側補了 25,右側沒有跟著加,所以他的 (x+5)²=2 已經不是原方程。

原方程:x²+10x=2(也就是 x²+10x−2=0)。

(1)移項:把常數項移到右側,得 x²+10x=2。(目的:左側只留含 x 的項,才能補成平方。)

(2)補平方:一次項係數 10 的一半是 5,它的平方是 25。兩側都加 25,得 x²+10x+25=2+25,左側就是 (x+5)²,右側是 27,即 (x+5)²=27。

(3)27 是正數,可以開平方,取正負兩種:x+5=±√27=±3√3。(根號內能化簡就先化簡。)

(4)把 5 移到右側,得 x=−5±3√3。

(5)回查:取 x=−5+3√3,則 x²=52−30√3;所以 x²+10x−2 代入得 1×(52−30√3)+10×(−5+3√3)+(−2)=0。另一個根只是把 √3 換成 −√3,同樣成立。

把 (x−3)² 展開,看看它是不是等於 x²−6x+36。完全平方裡中間項和常數項的關係是什麼?〔回課文:配方的想法〕

(x+h)²=x²+2hx+h²:一次項係數是 2h,要補的是 h²,不是一次項係數本身的平方。

x²−6x 的一次項係數是 −6,它的一半是 −3,−3 的平方是 9,所以兩側該加的是 9。

正確的是 (x−3)²=1+9=10。接下來請自己開平方、解出 x,並回查。

小華錯在補的數:他補了 6²=36,但 (x−3)²=x²−6x+9,常數項應該是 9=(−6÷2)²,不是 36。而且 x²−6x+36 根本不是 (x−3)²。

原方程:x²−6x=1(也就是 x²−6x−1=0)。

(1)移項:把常數項移到右側,得 x²−6x=1。(目的:左側只留含 x 的項,才能補成平方。)

(2)補平方:一次項係數 −6 的一半是 −3,它的平方是 9。兩側都加 9,得 x²−6x+9=1+9,左側就是 (x−3)²,右側是 10,即 (x−3)²=10。

(3)10 是正數,可以開平方,取正負兩種:x−3=±√10。(根號內能化簡就先化簡。)

(4)把 −3 移到右側,得 x=3±√10。

(5)回查:取 x=3+√10,則 x²=19+6√10;所以 x²−6x−1 代入得 1×(19+6√10)+(−6)×(3+√10)+(−1)=0。另一個根只是把 √10 換成 −√10,同樣成立。

把小強的 x²+4x=6 乘回 3,看看是不是原方程 3x²+12x=6。

兩側同除以 3 的時候,方程的「每一項」都要除,包括右側的常數。

3x²+12x=6 同除以 3:x²+4x=?(右側 6÷3=?)

正確的是 x²+4x=2。一次項係數 4 的一半是 2,兩側加 4,得 (x+2)²=6。請自己開平方並回查。

小強同除以 3 時,只除了左側(3x²→x²,12x→4x),右側的 6 沒有除。x²+4x=6 乘 3 後是 3x²+12x=18,不是原方程。

原方程:3x²+12x=6(也就是 3x²+12x−6=0)。

(1)移項:把常數項移到右側,得 3x²+12x=6。(目的:左側只留含 x 的項,才能補成平方。)

(2)兩側同除以 3(每一項都要除,右側也要除),得 x²+4x=2。(完全平方式 (x+h)² 展開後 x² 的係數是 1,所以要先讓它變成 1。)

(3)補平方:一次項係數 4 的一半是 2,它的平方是 4。兩側都加 4,得 x²+4x+4=2+4,左側就是 (x+2)²,右側是 6,即 (x+2)²=6。

(4)6 是正數,可以開平方,取正負兩種:x+2=±√6。(根號內能化簡就先化簡。)

(5)把 2 移到右側,得 x=−2±√6。

(6)回查:取 x=−2+√6,則 x²=10−4√6;所以 3x²+12x−6 代入得 3×(10−4√6)+12×(−2+√6)+(−6)=0。另一個根只是把 √6 換成 −√6,同樣成立。

小美得到的 x=4 代入原方程成立嗎?再想想,方程 x²−2x−8=0 最多有幾個根?

(x−1)²=9 的意思是:什麼數的平方是 9?

3²=9,而且 (−3)²=9。所以 x−1 可以是 3,也可以是另一個數。

x−1=3 得 x=4;另一邊 x−1=−3 得 x=?。把兩個根都代回原方程。

小美在開平方時漏了負的那一邊:(x−1)²=9 表示 x−1=3 或 x−1=−3,她只寫了 x−1=3。

原方程:x²−2x−8=0。

(1)移項:把常數項移到右側,得 x²−2x=8。(目的:左側只留含 x 的項,才能補成平方。)

(2)補平方:一次項係數 −2 的一半是 −1,它的平方是 1。兩側都加 1,得 x²−2x+1=8+1,左側就是 (x−1)²,右側是 9,即 (x−1)²=9。

(3)9 是正數,可以開平方,取正負兩種:x−1=±√9=±3。(根號內能化簡就先化簡。)

(4)把 −1 移到右側:x=1±3,所以 x=4 或 x=−2。

(5)回查:x=4 代入 x²−2x−8:16+(−8)+(−8)=0;x=−2 代入 x²−2x−8:4+4+(−8)=0,兩個根都成立。

小芳最後得到的 x=3+√7,代回原方程 x²+6x+2=0,左側會是 0 嗎?

(x+3)²=7 之後,x+3=±√7。接下來要把 +3 移到右側,移項時符號會怎樣?

x+3=±√7 ⇒ x=?±√7。+3 移到右側變成 −3。

請把 x+3=√7 與 x+3=−√7 各自解出 x,再用代入法檢查其中一個根是否讓 x²+6x+2 等於 0。

小芳在最後一步移項時忘了變號:x+3=±√7 要得到 x=−3±√7,不是 3±√7。代入檢查可以發現問題:x=3+√7 時,x²+6x+2=(16+6√7)+(18+6√7)+2=36+12√7,不等於 0。

原方程:x²+6x=−2(也就是 x²+6x+2=0)。

(1)移項:把常數項移到右側,得 x²+6x=−2。(目的:左側只留含 x 的項,才能補成平方。)

(2)補平方:一次項係數 6 的一半是 3,它的平方是 9。兩側都加 9,得 x²+6x+9=−2+9,左側就是 (x+3)²,右側是 7,即 (x+3)²=7。

(3)7 是正數,可以開平方,取正負兩種:x+3=±√7。(根號內能化簡就先化簡。)

(4)把 3 移到右側,得 x=−3±√7。

(5)回查:取 x=−3+√7,則 x²=16−6√7;所以 x²+6x+2 代入得 1×(16−6√7)+6×(−3+√7)+2=0。另一個根只是把 √7 換成 −√7,同樣成立。

小宇的答案 x=2+√3 代入原方程 x²−4x+7=0,左邊真的是 0 嗎?(先算 x² 再代入。)

(x−2)²=−3:有哪個實數,平方以後會是負數?

任何實數平方後都大於或等於 0。所以第三步的「x−2=±√3」能不能成立?它會讓 (x−2)² 等於多少?〔回課文:右側是正、零、負〕

右側 −3 是負數,如果 x 是實數,x−2 也是實數,它的平方不會是負數。請據此寫出你的結論,並說明為什麼不能開平方。

小宇的錯在第三步:(x−2)²=−3,右側是負數,而實數的平方不會是負數,所以不能寫 x−2=±√3(那會得到 (x−2)²=3)。他得到的 x=2+√3 與 x=2−√3 代入原方程:x=2+√3 時 x²=7+4√3,x²−4x+7=(7+4√3)+(−8−4√3)+7=6;x=2−√3 時 x²=7−4√3,x²−4x+7=(7−4√3)+(−8+4√3)+7=6,都不等於 0。

原方程:x²−4x+7=0。

(1)移項:把常數項移到右側,得 x²−4x=−7。(目的:左側只留含 x 的項,才能補成平方。)

(2)補平方:一次項係數 −4 的一半是 −2,它的平方是 4。兩側都加 4,得 x²−4x+4=−7+4,左側就是 (x−2)²,右側是 −3,即 (x−2)²=−3。

(3)右側 −3 是負數,而任何實數的平方都大於或等於 0,所以 (x−2)²=−3 不可能成立:這個方程在實數範圍內沒有根。

設寬為 x cm,長用 x 表示是多少?面積=長×寬,列出方程式。

列出的方程式是 x(x+6)=20,先整理成 x²+6x=20 的形狀,再用配方法。解出來的根要檢查是不是合理的長度。

x²+6x=20。一次項係數 6 的一半是 3,兩側加 9。

(x+3)²=29,x=−3±√29。寬是不是可以是負數?

設寬為 x cm(x>0),則長為 x+6 cm,面積 x(x+6)=20,整理成 x²+6x=20。

一次項係數 6 的一半是 3,兩側加 9:(x+3)²=29,x+3=±√29,所以 x=−3+√29 或 x=−3−√29。

寬必須是正數:−3−√29 是負數,不合;−3+√29(因為 5<√29<6,約在 2 與 3 之間)是正數,合。所以寬是 (√29−3) cm,長是 (√29+3) cm。

回查:長−寬=(√29+3)−(√29−3)=6 cm,符合;面積=(√29+3)(√29−3)=29−9=20 cm²,符合。

先把 x²+6x+k=0 的常數項 k 移到右側,再補平方。右側會是含 k 的式子。〔回課文:步驟與理由〕

補平方後右側是「(含 k 的式子)」。回想:右側是正、零、負時,各有幾個實數根?〔回課文:右側是正、零、負〕

x²+6x=−k;一次項係數 6 的一半是 3,兩側加 9,右側是 −k+9=9−k。再看 9−k 什麼時候是正、零、負。

(x+3)²=9−k。右側 9−k 是正數、0、負數時,k 各要滿足什麼條件?請自己解 9−k>0、9−k=0、9−k<0,再任取 k=5、9、10 各代入驗證。

(1)x²+6x+k=0 移項得 x²+6x=−k;兩側加 9,得 (x+3)²=9−k。

(2)兩個相異實數根:右側 9−k>0,即 k<9。恰有一個實數根:9−k=0,即 k=9(此時 x=−3,兩個根相同,稱重根)。沒有實數根:9−k<0,即 k>9。

回查:k=5 時方程是 x²+6x+5=0,(x+3)²=4,x=−1 或 −5,兩個根;k=9 時 (x+3)²=0,x=−3,一個根;k=10 時 (x+3)²=−1,沒有實數根。

這個方程不是 ax²+bx+c=0 的形狀。先把括號展開、把右側移到左側,整理好再配方。

(x+1)(x−5) 展開要注意每一項的符號;右側 3x−12 移到左側要變號。整理後得 x²+bx+c=0。

(x+1)(x−5)=x²−4x−5,所以方程整理成 x²−4x−5=3x−12,即 x²−7x+7=0。一次項係數 −7 的一半是 −7/2。

x²−7x=−7,兩側加 (7/2)²=49/4,得 (x−7/2)²=21/4。請自己開平方(√(21/4) 的分母是 √4=2)並回查。

先展開、整理:(x+1)(x−5)=x²−4x−5,所以 x²−4x−5=3x−12,移項得 x²−7x+7=0。

(1)移項:把常數項移到右側,得 x²−7x=−7。(目的:左側只留含 x 的項,才能補成平方。)

(2)補平方:一次項係數 −7 的一半是 −7/2,它的平方是 49/4。兩側都加 49/4,得 x²−7x+49/4=−7+49/4,左側就是 (x−7/2)²,右側是 21/4,即 (x−7/2)²=21/4。

(3)21/4 是正數,可以開平方,取正負兩種:x−7/2=±√(21/4)=±√21/2。(根號內能化簡就先化簡。)

(4)把 −7/2 移到右側,得 x=7/2±√21/2,也可以合併寫成 x=(7±√21)/2。

(5)回查:取 x=7/2+√21/2,則 x²=35/2+7√21/2;所以 x²−7x+7 代入得 1×(35/2+7√21/2)+(−7)×(7/2+√21/2)+7=0。另一個根只是把 √21 換成 −√21,同樣成立。