把紙上的圖案沿一條線摺起來，兩邊能完全重合，似乎就已經懂得對稱了。但若圖形無法摺起來，或是一條有無限多個點的曲線，我們要如何確定「每一處」都配得上？若只看幾個位置，又憑什麼決定其餘部分？
這個問題背後有兩種工作：辨認既有形狀的關係，以及依照關係製造新形狀。對稱把它們接在一起。只要找到正確的配對規則，已知一點就能決定另一點；若整個圖形遵守同一規則，我們就不必把每一點都當成互不相關的資料。
古希臘的圓錐曲線研究已經使用精確的構作與證明。阿波羅尼奧斯《圓錐曲線論》研究直徑、切線等關係；它不是憑外觀猜測曲線。然而，用文字逐一敘述複雜的一般命題十分繁重，這是數學史家 Heath 評論該書時指出的表達成本。MacTutor：阿波羅尼奧斯
十七世紀，費馬在重建古代軌跡研究時，將曲線條件轉成含兩個未知量的方程；方程化簡與軸、原點的改變因此可以相互對照。當時得到的是由方程分類、構作曲線的系統方法，仍依靠既有幾何定理，所用框架也還不是今天慣用的兩條固定直角座標軸。DSB：Fermat，Analytic Geometry
我們今天可以把這一步發展的意義說得更具體：原本要用幾何語句交代的「另一邊在哪裡」，能寫成適用所有點的算式；圖形移了位置，也可以改參數而保留同一條規則。下面用現代座標展示這個能力。
想像沿鉛直線 x=3 摺紙。點 P=(1,5) 距離摺線兩單位，摺過去便是 P′=(5,5)：高度不變，到摺線的距離相同，兩點連線被摺線垂直平分。點 (3,2) 就在摺線上，摺後留在原處。
把3換成任何數h，原來那個點的橫坐標為x，另一點的橫坐標x′必須滿足 (x+x′)/2=h。因此
關於 x=h 的反射： (x,y) → (2h−x,y)。
這裡的「反射」與「圖形軸對稱」還差一步。任何點都能反射到某處；只有整個圖形反射之後恰好與原圖重合，x=h 才是它的對稱軸。例如只畫點 (1,5)，反射後出現 (5,5)，原圖沒有它，原圖就不對稱。若把兩點都畫上，反射只會交換它們，圖形便保持不變。
同樣的想法也適用於水平摺線：關於x軸反射，把y改成−y，x保持不變。關於y軸反射，把x改成−x，y保持不變。換哪個坐標，取決於垂直摺線的方向；對稱不是看到負號就把所有數都變號。
考慮 f(x)=(x−3)²+1，定義域為所有實數。x=1、5 時都得到5；x=2、4 時都得到2。這些點看起來遵守 x=3 的反射規則，可是兩組相等仍不足以證明整條曲線。
讓t表示距離3的有向偏移。從3往兩邊取3+t與3−t，代入得到
f(3+t)=t²+1， f(3−t)=(−t)²+1=t²+1。
平方把相反偏移變成相同結果。t沒有固定成某個數，所以這一次推理同時處理全部點：每個 (3+t,t²+1) 都配得上 (3−t,t²+1)。反射後仍在曲線上，才證明x=3是對稱軸。
圖中實線是 y=(x−3)²+1 的可見部分；虛線x=3垂直平分兩條水平配對線。圖形只顯示有限範圍，整條曲線的保證來自上面的任意t推理。
如果曲線寫成 f(x)=a(x−h)²+k，a≠0，同樣有 f(h+t)=f(h−t)=at²+k。a改變開口方向與寬窄，k改變高度，都沒有破壞平方的配對關係。h才決定鉛直軸的位置。軸是一條線x=h；(h,k)是軸上的頂點，兩者不能互相替代。
這個統一表示也顯示方法的邊界。只取x≥3，雖然公式沒變，左側搭檔卻被排除，剩下的半條曲線不再關於x=3對稱。判斷對稱必須連允許的點一起檢查，不能只檢查公式。
下面是一個自行構造的數位圖形設計情境。要畫一個左右對稱的拱形外框，中心線x=3，拱頂高4，左右端落在x=1與x=5。採用二次模型 y=4−(x−3)²，限定1≤x≤5。
先核要求：x=3時y=4；x=1與5時y=0。當左邊某個控制點是 (2,3)，反射公式直接給右邊 (4,3)。不必再拖曳右點、用肉眼猜是否同高。更進一步，每個允許的x，2h−x=6−x仍在[1,5]；兩邊高度又因平方而相等，所以整段外框都保持對稱。
現在把中心線右移到x=7。若逐個修改左右點，可能漏改；改用 y=4−(x−7)²，範圍5≤x≤9，左右端、頂點與每一對位置就由同一個參數一起更新。譬如原來(2,3)、(4,3)變成(6,3)、(8,3)，到新中心線的距離仍各一單位。這就是今天在座標圖形中用關係控制形狀的能力：設計要求一旦寫成規則，局部資料便受到整體約束。
若改成真實拱門的量測，左右高度不等可能來自測量誤差，也可能是物件本來不對稱。數學規則能檢查「資料是否符合模型」，不能替現實宣布模型必真。對稱最有用的地方，正是讓我們清楚分開三件事：看見幾組配對、證明整體配對，以及要求設計必須遵守配對。