回課文。共 18 題,分 6 個題組,每組 3 題。每題先自己做,需要時再依序展開提示。看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;之後隔一段時間,不看提示,用原題重做一次。第 5 層提示會揭示完整答案。
記號:負數放在加號後面時要加括號,例如 8+(−3);負數在最前面時括號可以省略。「−3」是一個數,負號是它的一部分。分數用 3/4 的寫法。題目中的情境與數字是為練習設計的,不是真實資料;題目中別人的錯誤寫法也是為練習設計的。
把 8+(−3) 依「交換兩個加數」改寫,寫成「原式=改寫後的式子」,並算出兩邊的值。
先圈出兩個加數。第二個加數的符號要不要一起圈?
交換的是「兩個加數」整個,不是只換兩個數字。
方法:圈出兩個加數(連符號),把它們的位置對調,每個加數原樣照抄;負數若跑到加號後面要加括號,在最前面就不用。
自己寫出改寫後的式子,檢查兩個加數(含符號)是不是仍是原來那兩個。再把原式和你寫的式子各算一次,兩個值應該相同。
兩個加數是 8 與 (−3)。對調得 (−3)+8。算值:8+(−3):3 與 8 方向相反,絕對值差 8−3=5,絕對值大的是 8(正),所以是 5。(−3)+8:同樣絕對值差 5、絕對值大的是 8,所以也是 5。兩邊相同,檢查通過。答案:8+(−3)=(−3)+8=5。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):
補救:回到原式,先把「(−3)」連括號整個圈起來,搬家時整個搬。寫完後比較:新式子的兩個加數是不是仍是 8 與 −3?再把兩邊各算一次,11 或 −5 都不等於原式的 5,可以立刻發現不對。
〔回課文:改寫的四個步驟、反例、邊界與範圍外的情況〕
(−6)+2 的兩個加數交換位置後,得到下列哪一個式子?(A) 2+6 (B) 2+(−6) (C) 6+(−2) (D) (−2)+6。選出答案並算出它的值。
交換後的兩個加數,仍然是原來那兩個數,而且各自帶著原來的符號。
把每個選項的兩個加數寫出來,看它們是不是 −6 與 2。
方法:列出原式的加數 −6 與 2。逐一檢查四個選項的加數是不是正好是這兩個(含符號)。也可以把每個選項算出來,和 (−6)+2 的值比較。
選項的兩個加數要正好是原式的那兩個數(各自帶著原來的符號)。把四個選項各自的兩個加數寫出來,逐一和原式比對;再把你選的那一項和原式各算一次,兩個值應該相同。
原式 (−6)+2=−4。A:2+6=8;B:2+(−6)=−4;C:6+(−2)=4;D:(−2)+6=4。只有 B 的兩個加數是 2 與 (−6),而且值與原式相同(−4)。答案:B,值是 −4。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):
補救:每個選項都做「加數核對」:寫出它的兩個加數,逐個比對有沒有「−6」和「2」。看到不同的值(8 或 4)就代表加數不同,不可能是交換。
〔回課文:改寫的四個步驟、反例、邊界與範圍外的情況〕
兩個加數都是負數:(−2)+(−5)。把它改寫成交換次序的式子,寫成等式,並算出和。
兩個加數都帶著負號。交換的時候,兩個負號各自會怎麼樣?
每個負號都屬於它後面的那個數,跟著那個數走。
方法:圈出兩個加數(連符號),對調位置、原樣照抄,負數放在加號後面要加括號(放在最前面的可以省略)。算值:同號相加,絕對值相加,符號保留。
自己寫出改寫後的式子,檢查兩個負號是否都還在。算值時兩個加數是同號相加:想一想絕對值要相加還是相減、符號看誰,再算出和並與原式比較。
加數是 (−2) 與 (−5),對調得 (−5)+(−2)。算值:(−2)+(−5):同為負號,絕對值相加 2+5=7,和是 −7;(−5)+(−2):5+2=7,和是 −7。兩邊相同。答案:(−2)+(−5)=(−5)+(−2)=−7。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):
補救:回到原式,兩個加數各自圈起來(括號本身就是圈)。對調時一個一個搬,數一數:原式有幾個負號,新式子也要有幾個。
〔回課文:改寫的四個步驟、反例、邊界與範圍外的情況〕
把 15+(−6) 改寫成交換次序的式子,寫成等式,並算出兩邊的值。
先圈出兩個加數,別忘了第二個加數的符號。
把兩個加數的位置對調,別改任何數字或符號。
方法:圈出兩個加數(連符號),把兩個加數換位置,各自帶著自己的正負號。算值:異號相加,絕對值大的決定符號,數值是絕對值的差。
換位置後,檢查負號是否仍跟著原來的那個數。兩個加數一正一負:比較兩個絕對值,哪一個比較大?它是正還是負?它決定和的符號,數值是兩個絕對值的差。
加數是 15 與 (−6),對調得 (−6)+15。15+(−6):絕對值差 15−6=9,絕對值大的 15 是正,所以是 9。(−6)+15:同理 9。答案:15+(−6)=(−6)+15=9。
把 (−13)+8 改寫成交換次序的式子,寫成等式,並算出兩邊的值。
這個式子的第一個加數是帶負號的數,要連符號一起處理。
第一個加數搬到後面時,需要用括號框起來嗎?
方法:圈出兩個加數(連符號),把兩個加數換位置,負數跑到加號後面要加括號。異號相加:看絕對值大的是哪一個。
換位置後,檢查負號是否仍跟著原來的那個數。兩個加數一正一負:比較兩個絕對值,哪一個比較大?它是正還是負?它決定和的符號,數值是兩個絕對值的差。
加數是 (−13) 與 8,對調得 8+(−13)。(−13)+8:絕對值差 13−8=5,絕對值大的 −13 是負,所以是 −5。8+(−13):同理 −5。答案:(−13)+8=8+(−13)=−5。
把 −25+60 改寫成交換次序的式子,寫成等式,並算出兩邊的值。(注意:第一個加數的括號被省略了。)
式子最前面的負號,屬於哪一個數?
先把兩個加數各自連符號圈出來,再想要搬的是哪兩個整體。
方法:圈出兩個加數(連符號),把兩個加數換位置,負數跑到加號後面要加括號。再算值:判斷是同號還是異號相加。
換位置後,檢查負號是否仍跟著原來的那個數。兩個加數一正一負:比較兩個絕對值,哪一個比較大?它是正還是負?它決定和的符號,數值是兩個絕對值的差。
加數是 −25 與 60,對調得 60+(−25)。−25+60:絕對值差 60−25=35,絕對值大的 60 是正,所以是 35。60+(−25):同理 35。答案:−25+60=60+(−25)=35。
把 1/2+(−3/4) 改寫成交換次序的式子,寫成等式,並算出兩邊的值。
兩個加數是分數,第二個帶負號。交換後,負的那個要放到哪裡?
先處理交換,再處理分母不同的問題。
方法:圈出兩個加數(連符號),把兩個加數換位置,各自帶著自己的正負號。算值前先通分:兩個分母不同,先找出共同的分母。
兩個分母不同,先找共同的分母,再把分數改寫。異號相加:比較兩個分數的絕對值,哪一個比較大?它是正還是負?它決定和的符號,數值是兩個絕對值的差。
加數是 1/2 與 (−3/4),對調得 (−3/4)+1/2。算值:1/2=2/4。1/2+(−3/4)=2/4+(−3/4):絕對值差 1/4,絕對值大的 −3/4 是負,所以是 −1/4。(−3/4)+1/2 同理 −1/4。答案:1/2+(−3/4)=(−3/4)+1/2=−1/4。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):
補救:交換時只搬位置:1/2 搬到後面、(−3/4) 搬到前面。搬完核對:新式子裡是否還有 (−3/4) 這個整體?值是否與原式相同?
〔回課文:改寫的四個步驟、反例、邊界與範圍外的情況〕
把 (−2/3)+(−1/6) 改寫成交換次序的式子,寫成等式,並算出兩邊的值。
兩個加數都是負的分數,分母不同。先交換,再通分。
兩個負號各自跟著自己的分數走。
方法:圈出兩個加數(連符號),把兩個加數換位置,兩個負號各跟著自己的分數。算值:通分,同號相加,絕對值相加、符號保留。
兩個分母 3 和 6 不同,先找共同的分母,再把分數改寫。兩個加數都是負的,屬於同號相加:絕對值要相加還是相減?符號保留還是改變?
加數是 (−2/3) 與 (−1/6),對調得 (−1/6)+(−2/3)。算值:2/3=4/6,(−2/3)+(−1/6)=(−4/6)+(−1/6)=−5/6。(−1/6)+(−2/3)=(−1/6)+(−4/6)=−5/6。答案:(−2/3)+(−1/6)=(−1/6)+(−2/3)=−5/6。
把 (−3.6)+1.5 改寫成交換次序的式子,寫成等式,並算出兩邊的值。
這是小數的加法。交換的規則和整數一樣嗎?
小數點對齊是算值時才需要的事,交換只需要搬加數。
方法:圈出兩個加數(連符號),把兩個加數換位置,負數跑到加號後面要加括號。算值:異號相加,絕對值相減。
比較 3.6 與 1.5 的絕對值,哪一個比較大?它是正還是負?它決定和的符號,數值是兩個絕對值的差。
加數是 (−3.6) 與 1.5,對調得 1.5+(−3.6)。(−3.6)+1.5:絕對值差 3.6−1.5=2.1,絕對值大的 −3.6 是負,所以是 −2.1。1.5+(−3.6) 同理 −2.1。答案:(−3.6)+1.5=1.5+(−3.6)=−2.1。
某同學把 (−7)+10 交換加數,寫成:(−7)+10=10+7=17。請指出他錯在哪裡,並寫出正確的交換等式與和。(題目中的錯誤寫法是為練習設計的。)
先檢查他寫的等式:左邊的值和右邊的值相同嗎?
比較左右兩邊的加數:是不是同樣兩個數?
方法:原來的加數是 −7 與 10。他交換後寫的加數是 10 與 7。看哪一個變了。
比較原來的加數 −7、10 和他右邊寫的兩個加數:哪一個數的符號和原來不一樣?正確的右邊式子,兩個加數(含符號)應該是什麼?
錯在:交換時負號弄丟了。原來的加數是 −7 與 10,他寫的是 10 與 7。檢查:(−7)+10=3,10+7=17,3≠17,所以他的等式不成立。正確寫法:(−7)+10=10+(−7)=3。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):
補救:看到「兩邊值不同」就要回頭檢查加數有沒有被改。每次交換之後,逐個核對兩邊的加數是不是同樣兩個(含符號)。
〔回課文:反例、邊界與範圍外的情況、常見錯誤與自我檢查〕
某同學把 3/5+(−1/2) 交換加數,寫成:3/5+(−1/2)=(−3/5)+1/2。請指出他錯在哪裡,並寫出正確的交換等式與和。(題目中的錯誤寫法是為練習設計的。)
先看看他的兩邊:負號在哪個分數上?
原式的負號屬於哪個分數?新式子裡負號屬於哪個分數?
方法:原式的加數是 3/5 與 (−1/2)。他寫的新式子,加數是 (−3/5) 與 1/2。比較兩組加數。
原式的負號屬於哪一個分數?他新式子裡的負號屬於哪一個分數?正確式子的兩個加數(含符號)是什麼?寫出來之後,把兩邊各算一次比較。
錯在:負號沒有跟著 1/2 走,跑到 3/5 上面,變成加數 (−3/5) 與 1/2。檢查:3/5+(−1/2)=6/10+(−5/10)=1/10;(−3/5)+1/2=(−6/10)+5/10=−1/10。兩邊不同,等式不成立。正確寫法:3/5+(−1/2)=(−1/2)+3/5=1/10。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):
補救:每個符號都問一句「它屬於哪個數?」。(−1/2) 的負號屬於 1/2,所以搬家時 (−1/2) 整體在前面;3/5 沒有符號,就是正的 3/5。
〔回課文:條件與定義、反例、邊界與範圍外的情況〕
某同學想用交換來核對 18+(−5) 的結果。他寫出 (−5)+18,並算成 (−5)+18=−13,於是說:「兩邊不一樣,所以交換律在這裡不成立。」請指出他錯在哪裡,並算出 (−5)+18 的正確值。(題目中的錯誤是為練習設計的。)
他的交換寫得對嗎?問題出在哪個步驟?
交換律成立時,兩邊的值一定相同。如果算出來不同,要先懷疑哪一邊?
方法:重新算 (−5)+18:異號相加,看絕對值大的是哪一個,它決定符號;數值是絕對值的差。
比較 18 與 5 的絕對值,哪一個比較大?它是正還是負?它決定和的符號,數值是兩個絕對值的差。
錯在算和時符號取錯:他把前面的負號當作整個結果的符號。正確算法:(−5)+18,絕對值差 18−5=13,絕對值大的 18 是正,所以是 13。交換寫對了,算和算錯了,所以 18+(−5)=(−5)+18=13,等式成立。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):
補救:算值與交換是兩件事。先確認交換對不對(加數有沒有被改),再單獨檢查和:異號相加「大絕對值定符號」。可以在數線上從 0 向左走 5 再向右走 18,看停在哪裡。
〔回課文:為什麼值不會變(用數線看)、常見錯誤與自我檢查〕
在數線上,從原點出發,先向右走 5 格,再向左走 8 格。(1) 把這個過程寫成加法算式,終點是哪個數?(2) 把兩段的順序對調(先向左走 8 格,再向右走 5 格),寫出算式,終點是哪個數?(3) 把 (1)(2) 寫成一條交換等式。
向右走和向左走,各對應正數還是負數?
「先 A 再 B」對應「A+B」。對調順序就是對調兩個加數。
方法:先決定向右走、向左走各用正數還是負數來記,再依走的先後把兩段寫成加法;(2) 把兩個加數對調。算終點時,可以在數線上實際走。
(1) 從 0 向右走 5 格,再向左走 8 格:停在 0 的右邊還是左邊,離 0 幾格?(2) 先向左走 8 格,再向右走 5 格,停在哪裡?兩次的終點比一比。
(1) 5+(−8):0 → 5 → −3。終點 −3。(2) (−8)+5:0 → −8 → −3。終點 −3。(3) 5+(−8)=(−8)+5=−3。兩種順序經過的點不同(5 與 −8),終點相同。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):
補救:向右是正,向左是負,每一段寫成「帶符號的數」再相加。數線上的終點可以用在 0 的左邊或右邊確認符號。
〔回課文:為什麼值不會變(用數線看)、條件與定義〕
下面三組,各判斷第二個式子是不是由第一個式子「交換兩個加數」得到的(答:是/不是),並各算出兩個式子的值來支持你的判斷。(1) 7+(−2) 與 (−2)+7。(2) 7+(−2) 與 2+(−7)。(3) (−7)+2 與 2+(−7)。
判斷的標準是什麼?是看兩邊有沒有同樣兩個加數(含符號)。
值是否相同也可以幫你檢查,但要先看加數。
方法:每一組先寫出兩邊的加數:例如 (1) 第一式的加數是 7 與 −2,第二式的加數是什麼?再算兩邊值是否相等。
每一組都先寫出兩邊的加數(含符號),並排比一比:是不是同樣的兩個數?再各算一次值確認。
(1) 是:加數都是 7 與 −2;7+(−2)=5,(−2)+7=5,相同。(2) 不是:加數 2、−7 與原來的 7、−2 不同;7+(−2)=5,2+(−7)=−5,值不同。(3) 是:加數都是 −7 與 2;(−7)+2=−5,2+(−7)=−5,相同。答案:是、不是、是。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):
補救:每一組都做兩步:先把兩邊的加數列出來(含符號)比對,再算值確認。只看「有沒有出現同樣的數字」是不夠的。
〔回課文:條件與定義、反例、邊界與範圍外的情況〕
把 6+(−6) 改寫成交換次序的式子,寫成等式,並算出兩邊的值。有人說:「兩個加數互為相反數時,交換之後和會變成另一個數。」這個說法對嗎?用你算出的值說明。
兩個加數互為相反數,代表什麼?它們的和是多少?
先算出原來的和。交換兩個加數之後,這個和會改變嗎?
方法:把兩個加數換位置,各自帶著自己的正負號。算兩邊的值,各是多少?再看「和會變成另一個數」的說法有沒有可能成立。
原式:數線上向右 6 格再向左 6 格,停在哪裡?換位置後:向左 6 格再向右 6 格,停在哪裡?
交換得 (−6)+6。6+(−6)=0(向右 6 再向左 6 回到原點);(−6)+6=0(向左 6 再向右 6 回到原點)。兩邊都是 0,交換前後的和沒有變。交換加數不會改變和,所以「交換之後和會變成另一個數」的說法不對。答案:6+(−6)=(−6)+6=0。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):
補救:先看清楚兩個加數是 6 與 −6(一正一負),不是兩個 6 或兩個 −6。再用數線:走回原點,和為 0。
〔回課文:為什麼值不會變(用數線看)、反例、邊界與範圍外的情況〕
(教學情境,數字是設計的。)小傑玩遊戲,第一回合得 40 分,第二回合被扣 65 分(記為 −65)。兩回合合計寫成 40+(−65)。(1) 把它改成「先寫扣分、再寫得分」的加法式子,寫成交換等式。(2) 算出總分。(3) 說明這個總分代表比開始時多還是少多少分。
(分數以「分」為單位,作答只寫數字;(3) 請寫「多」或「少」,再寫相差的分數。)
得分和扣分,各用什麼符號的數來記?
「先寫扣分」就是把兩個加數對調,不是把分數改成別的數。
方法:加數是 40 與 (−65)。把兩個加數連符號對調。算值:異號相加,絕對值差。結果的符號看哪個加數的絕對值大。
65 與 40 哪個比較大?它是正的還是負的?總分的符號跟它一樣,數值是兩者的差。再想:總分是正的、負的,各代表比開始時多還是少?
(1) 40+(−65)=(−65)+40。(2) 絕對值差 65−40=25,絕對值大的 −65 是負,所以總分 −25。(3) −25 表示比開始時少 25 分。兩種順序中途的分數不同,最後的總分一樣。答案:40+(−65)=(−65)+40=−25。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):
補救:先寫清楚每一回合對應的帶符號數:得 40 分是 +40,扣 65 分是 −65。然後才相加,最後用「正負」解釋結果:負表示少。
〔回課文:條件與定義、為什麼值不會變(用數線看)〕
設 a=−7/2,b=9/4。(1) 把 a+b 的兩個加數交換次序,寫成等式。(2) 分別把 a、b 的值代入 a+b 與 b+a,算出兩個式子的值,看看是否相同。
a、b 是兩個數,現在用字母表示。要改寫 a+b,是對調字母,還是改變數字?
代入時,要連同符號一起代入(a 代入時要寫成 (−7/2))。
方法:(1) 對調兩個字母。(2) 代入時,a 要連同符號放進括號,a+b 與 b+a 各代入一次。算值前,兩個分母不同,先通分。
先把兩個數通分成相同的分母。異號相加:比較兩個分數的絕對值哪個大,它是正還是負?它決定和的符號,數值是兩個絕對值的差。
(1) a+b=b+a。(2) a+b=(−7/2)+9/4=(−14/4)+9/4:絕對值差 5/4,絕對值大的 −14/4 是負,所以 −5/4。b+a=9/4+(−7/2)=9/4+(−14/4)=−5/4。兩個值相同,都是 −5/4。答案:a+b=b+a=−5/4。
小美算 (−28)+45,得到 −17。她想用交換次序來檢查:把算式交換位置再算一次。(1) 寫出交換後的式子。(2) 算出交換後式子的值。(3) 判斷她原來的答案對不對,並寫出正確的和。
交換之後再算一次,目的是什麼?
如果兩邊的值不同,要先檢查「交換有沒有寫對」,再檢查「哪一邊算錯」。
方法:(−28)+45 把兩個加數連符號對調。算值:異號相加,絕對值大的決定符號,數值是絕對值差。
比較 45 與 28 的絕對值,哪一個比較大?它是正還是負?它決定和的符號,數值是兩個絕對值的差。
(1) 45+(−28)。(2) 絕對值差 45−28=17,絕對值大的 45 是正,所以是 17。(3) 交換前後的值必須相同,所以 (−28)+45 也是 17。小美寫 −17,錯了(符號取成負的);正確的和是 17。答案:(−28)+45=45+(−28)=17。