題目給你一個兩數相加的式子 a+b,其中 a、b 是有理數:整數、分數、小數都可以,也可以是負數。你要做的是把它改寫成 b+a,也就是只交換兩個加數的位置,並且確認改寫前後的和一樣。
你要交出的是一條「交換等式」:原來的和 = 交換後的和,最好再寫出兩邊共同的值。例如 8+(−3)=(−3)+8=5。
這一課只談加法。減法、乘法不在這一課(原因見「反例、邊界與範圍外的情況」)。
先看一個教學情境(數字是為了練習而設計的):小傑玩遊戲,第一回合得 40 分,第二回合被扣 65 分。把「被扣 65 分」記成 −65,兩回合合計是 40+(−65)。可是你也可能先想「扣掉 65 分,再加回 40 分」,寫成 (−65)+40。
如果這兩種寫法會得到不同的總分,記分就會亂掉:同一場遊戲,你怎麼排順序,總分都不同,就沒有人能對帳。反過來,如果兩種順序一定得到同一個總分,你就可以挑順手的順序來算,也可以把兩種順序各算一次,互相檢查。
這就是加法交換次序的用處:
以前你用自然數學過:3+9 與 9+3 一樣,因為都是把兩堆東西合起來。但是一旦加數裡有負數,「合起來」的想法不太好用,你會懷疑 (−3)+9 和 9+(−3) 是不是也一樣。這一課就是把有理數的加法也放進來,講清楚「什麼可以換、換的時候要保留什麼」。
對任意兩個有理數 a、b,都有 a+b=b+a。
使用這條規則有三個條件,缺一不可:
括號的寫法:負數放在加號後面時,要用括號把它框成一個數,寫成 5+(−3),不要寫 5+−3。負數在最前面時,括號可以省略,寫成 −3+5 就是 (−3)+5,它的兩個加數是 −3 與 5。
所以 5+(−3) 與 (−3)+5 之間,「−3」這個整體只是從後面搬到前面;符號沒有被丟掉,也沒有跑到另一個數上。
| 步驟 | 做什麼 | 為什麼必要 |
|---|---|---|
| 1. 圈出兩個加數 | 把式子看成「第一個加數」「第二個加數」,把各自的符號一起圈起來。例如 −25+60 的加數是 −25 與 60。 | 符號屬於數字。如果沒有圈清楚,你就不知道哪個符號該跟著哪個數搬。 |
| 2. 交換位置 | 把第二個加數寫在前面,第一個加數寫在後面,每個加數原樣照抄。 | 交換律只允許換位置;任何多寫、少寫、改寫都不是交換。 |
| 3. 補括號、寫等號 | 負數若跑到加號後面,就加括號;寫成「原式=改寫後的式子」。 | 括號避免「+−」連在一起讀錯;等號把改寫前後連成一條可以檢查的等式。 |
| 4. 檢查 | 先看兩邊的加數是不是同樣兩個數(各自帶著同樣的符號);再把兩邊各算一次,看值是不是一樣。 | 改寫的目的是不改值。兩邊值不同,就表示步驟 1 到 3 其中一步出錯了。 |
把加法想成在數線上移動:從 0 出發,加正數就向右走,加負數就向左走。a+b 就是「先走 a,再走 b」,最後停在哪個數,和就是那個數。
這張圖要看的關係是:每一段走了多遠、往哪個方向,是由那個加數自己決定的,不會因為先走或後走而改變。兩段走完的總移動量(向右 3 格、向左 5 格,合起來向左 2 格)都一樣,所以終點相同。
回到小傑的例子:先得 40 分再扣 65 分,和先扣 65 分再得 40 分,過程中的分數不一樣(一個先到 40,另一個先到 −65),但最後都是 40+(−65)=(−65)+40=−25,也就是總共少了 25 分。這一課只問最後的和,不問中途的位置。
說明:加法交換次序是國中數學承認的運算律。幾個例子算出相同的值,只能幫你抓錯,不能證明對所有有理數都成立;你在這一課要學的是正確使用它,並用數值自查。
題目:把 3+(−5) 改寫成交換次序的式子,並算出兩邊的值。
(1) 圈出加數:第一個加數是 3,第二個加數是 (−5)。(2) 交換:把 (−5) 寫在前面,3 寫在後面,得 (−5)+3。(3) 寫成等式:3+(−5)=(−5)+3。(4) 檢查:左邊 3+(−5):3 與 5 方向相反,絕對值差 5−3=2,絕對值大的是 −5,所以和是 −2。右邊 (−5)+3:同樣絕對值差 2,絕對值大的是 −5,和是 −2。兩邊都是 −2,與數線圖的終點一致。
答案:3+(−5)=(−5)+3=−2。
題目:把 (−5/6)+1/3 改寫成交換次序的式子,並算出兩邊的值。
(1) 圈出加數:第一個加數是 (−5/6),第二個加數是 1/3。(2) 交換:1/3 寫在前面,(−5/6) 寫在後面,後面是負數,加括號,得 1/3+(−5/6)。(3) 等式:(−5/6)+1/3=1/3+(−5/6)。(4) 檢查:先通分,1/3=2/6。左邊 (−5/6)+2/6:絕對值差 5/6−2/6=3/6=1/2,絕對值大的是 −5/6,所以和是 −1/2。右邊 2/6+(−5/6) 同樣得 −1/2。
答案:(−5/6)+1/3=1/3+(−5/6)=−1/2。
題目:把 −4.5+2.8 改寫成交換次序的式子,並算出兩邊的值。
(1) 圈出加數:式子最前面的 −4.5 是第一個加數(負號屬於 4.5),第二個加數是 2.8。(2) 交換:2.8 寫在前面,−4.5 寫在後面,加括號,得 2.8+(−4.5)。(3) 等式:−4.5+2.8=2.8+(−4.5)。(4) 檢查:4.5 與 2.8 方向相反,絕對值差 4.5−2.8=1.7,絕對值大的是 −4.5,所以兩邊的和都是 −1.7。
答案:−4.5+2.8=2.8+(−4.5)=−1.7。
看到兩個數就想換位置,是危險的習慣。例如 7−2=5,但把兩個數對調成 2−7 得到 −5,值不同。這一課只處理「兩個數相加」的式子,不處理減法怎麼改寫;題目若是減法,不要套用本課的交換。
| 常見的錯 | 怎麼發現 | 怎麼補救 |
|---|---|---|
| (1) 負號弄丟:(−4)+9 寫成 9+4。 | 比較兩邊的加數:原來有 −4,新式子只有 4。再算值:5 與 13 不同。 | 第一步先把 −4 整個圈起來,搬家時整個搬。 |
| (2) 負號跟錯了數字:9+(−4) 寫成 (−9)+4。 | 原來的加數是 9 與 −4;新式子的加數是 −9 與 4。兩組數不同。 | 寫成「後面的整個 (−4) 搬到前面」,不要只搬數字。 |
| (3) 交換是對的,但算和時符號算錯,例如把 (−5)+18 算成 −13。 | 兩邊的值不同,而且你確定改寫是對的:那就是計算有問題。 | 異號相加:絕對值大的數決定符號,數值是絕對值的差。18 比 5 大,所以是 +13。 |
| (4) 把「交換加數」誤認為「可以隨便改答案」,或以為減法也能換。 | 先問自己:題目是兩個數「相加」嗎? | 只有加法可以套用;減法不在本課。 |
自我檢查的三個問題:(a) 新式子的兩個加數,和原來的兩個加數是不是一模一樣(含符號)?(b) 兩邊各算一次,值相同嗎?(c) 負數放在加號後面,有沒有加括號?
先備:認識整數、分數、小數與負數;會做有理數的加法(同號相加、異號相加);會在數線上表示正數與負數。
接下來:交換次序是處理運算式的基本運算律之一;後面你會把它與其他運算律一起用,也會在文字符號(例如 a+b)裡看到它。這一課只要求你對兩個有理數相加的式子做出正確的交換改寫。
這一課不處理:減法的改寫、乘法的交換、三個以上的數相加時怎麼分組、分配律。
請合上課文,用自己的話回答。符號與式子要寫準確,其餘不必背原句。