練習

要用比例算長度，得先確定什麼？兩個三角形「形狀一樣」要怎麼確定？題目有沒有給你可以拿來用的假設？

把竿和它的影子、竿頂到影尖的光線圍成的三角形，與樹那一個三角形，各自畫出來。這兩個三角形有哪些角已經知道相等？每一組相等的理由是題目的哪一句話？

方法：陽光是平行光線、地面水平，所以光線與地面的夾角相同（∠ACB=∠DFE）；竿與樹都垂直地面，所以 ∠ABC=∠DEF=90°。兩組角相等，用 AA 判定 △ABC~△DEF。對應邊是「高對高、影對影」：AB 對 DE，BC 對 EF。

設 DE=x，依對應邊列式 AB/DE = BC/EF，也就是 5/x = 8/40。先把 8/40 化簡成 1/5。最後一步：由這個式子求出 x，並附上單位。

①假設：陽光平行、地面水平、竿與樹垂直地面。
②兩個三角形：△ABC（竿、竿影、光線）與 △DEF（樹、樹影、光線）。
③相似的理由：∠ACB=∠DFE（平行光線與同一水平地面的夾角相同）、∠ABC=∠DEF=90°，AA，所以 △ABC~△DEF（A 對 D、B 對 E、C 對 F）。
④對應邊：AB 對 DE、BC 對 EF。
⑤列式：AB/DE = BC/EF，即 5/DE = 8/40。
⑥解：8×DE = 5×40 = 200，DE = 200÷8 = 25。
回核：AB/BC = 5/8，DE/EF = 25/40 = 5/8，兩個比相同；樹比竿高，影也比竿影長，大小合理。
答：樹高 25 公尺。

• 錯法：寫成 AB/EF = DE/BC，即 5/40 = x/8，得 x=1。
  錯在：左邊是「竿高對樹影」，右邊是「樹高對竿影」，高和影交叉了；而且算出樹只有 1 公尺，比竿還矮，不合理。
  補救：對應邊是高對高（AB 對 DE）、影對影（BC 對 EF），可寫 AB/DE = BC/EF，或 AB/BC = DE/EF。
• 錯法：以為樹影比竿影多 32 公尺，樹高也比竿高多 32 公尺，得 5+32=37。
  錯在：相似三角形對應邊成「比」，不是「差」相同。
  補救：用 5/x = 8/40 這種比例，不要用加減。

已經有 ∠C=∠F=90° 這一組角相等。要判定相似，AA、SAS、SSS 各要幾組什麼條件？

逐項問自己：除了直角，手上有沒有第二組「對應」的角相等？或者夾著直角的兩條邊（兩條直角邊）是不是成比？注意：不一定是 A 對 D。

甲、乙：直角已經是一組了，看看第二組已知角能不能湊成 AA；先弄清楚相等的那個角，是 A 與哪一個頂點的角。丙、戊：夾著直角的兩邊分別是 AC、BC 與 DF、EF，比一比兩組的比值（SAS）。丁：想想只知道斜邊的比，夠不夠。

直角三角形的兩個銳角和是 90°，所以乙裡 ∠B=55°、∠D=55°。丙：AC/DF = 6/9 = 2/3，BC/EF = 8/12 = 2/3。戊：AC/DF = 6/18 = 1/3，BC/EF = 8/20 = 2/5。丁：只有 AB/DE = 34/51 = 2/3 這一個比。最後一步：每一項下判斷，並寫出字母對應正確的相似式。

甲：∠A=∠D、∠C=∠F=90°，AA，△ABC~△DEF。
乙：∠A=35°=∠E（不是 ∠D；∠D=90°-35°=55°），∠C=∠F=90°，AA，A 對 E、C 對 F，剩下 B 對 D，△ABC~△EDF。
丙：AC/DF = 6/9 = 2/3，BC/EF = 8/12 = 2/3，兩邊成比，而且夾角 ∠C=∠F=90°，SAS，△ABC~△DEF。
丁：只有斜邊成比（34/51=2/3），不足以判定（還缺一組角，或直角邊的比），條件不足。
戊：AC/DF = 6/18 = 1/3，BC/EF = 8/20 = 2/5，兩個比不同；改成 AC 對 EF、BC 對 DF 也不同（6/20=3/10，8/18=4/9），而兩個直角必須互相對應，所以確定不相似。
答：甲、乙、丙可以判定；丁條件不足；戊不相似。

• 錯法：乙也寫成 △ABC~△DEF。
  錯在：乙給的是 ∠A=∠E=35°，但 ∠D=90°-35°=55°，所以 ∠A≠∠D，A 不是對 D。照字母順序排，並不代表對應。
  補救：相等的角在哪個頂點，字母就排在同一位置：∠A=∠E，所以寫 △ABC~△EDF。
• 錯法：說「兩個都是直角三角形，所以丁、戊也相似」。
  錯在：直角只是一組對應角相等，AA 還缺第二組；戊的兩條直角邊比是 6:8=3:4，另一個是 18:20=9:10，形狀並不一樣。
  補救：直角三角形要再多一組銳角相等，或夾直角的兩邊成比，才能判定相似。

要說明相似，先找已經相等的角。除了題目給的那一組，還有沒有一組「不用量就一定相等」的角？

直線 AC 與直線 BD 在 O 相交，哪兩個角是對頂角？它們分別屬於哪一個三角形？

方法：∠OAB=∠OCD（題目給的）、∠AOB=∠COD（對頂角），用 AA。相似式的字母要依「相等的角」對齊：A 對哪個頂點？O 對哪個？剩下的 B 呢？再用同一位置的字母當對應邊，逐一檢查四個式子。

∠OAB=∠OCD，所以 A 對 C；∠AOB=∠COD，所以 O 對 O；剩下 B 對 D。依這個對應，對應邊有：OA 對 OC、OB 對 OD、AB 對 CD。最後一步：寫出相似式，並檢查甲、乙、丙、丁各式的分子與分母是不是對應邊。

(1) ∠OAB=∠OCD（已知）；∠AOB=∠COD（對頂角，因為 A、O、C 共線且 B、O、D 共線）。AA，所以 △OAB~△OCD（O 對 O、A 對 C、B 對 D）。
(2) 對應邊：OA 對 OC、OB 對 OD、AB 對 CD。
甲：OA/OC = AB/CD，成立。
乙：OA 的對應邊是 OC，不是 OD，不成立。
丙：OB/OD = AB/CD，成立。
丁：OA/AB = OC/CD 才對，丁寫成 OD/CD，不成立。
答：(1) △OAB~△OCD；(2) 甲、丙成立。

• 錯法：只說「對頂角相等，所以相似」。
  錯在：對頂角只有一組角相等，AA 需要兩組。
  補救：再加上題目給的 ∠OAB=∠OCD，兩組角相等才能判定。
• 錯法：因為圖上 A、D 都在上面，所以認為 OA 對 OD，選了乙。
  錯在：對應要看「相等的角在哪個頂點」，不是看圖面上的位置。∠OAB=∠OCD，A 對的是 C，所以 OA 對 OC。
  補救：先依相等的角寫出相似式（△OAB~△OCD），再從字母位置找對應邊。

這題要先做哪一件事，才能列比例？題目有哪些假設可以拿來證相似？

標出兩個直角三角形：△ABC 與 △DEF。找出兩組對應角，並寫下每一組相等的理由。AB 的對應邊是誰？

方法：平行光線讓 ∠C=∠F，垂直地面讓 ∠B=∠E=90°，AA，△ABC~△DEF。對應邊是高對高、影對影，列 AB/DE = BC/EF。

設 DE=x：4/x = 6/45，先把 6/45 化簡成 2/15。最後一步：由 4/x = 2/15 求出 x，並附上單位。

①假設：陽光平行、地面水平、竿與大樓垂直地面。
②三角形：△ABC 與 △DEF。
③相似：∠ACB=∠DFE（平行光線）、∠ABC=∠DEF=90°，AA，△ABC~△DEF。
④對應邊：AB 對 DE，BC 對 EF。
⑤列式：4/DE = 6/45。
⑥解：6×DE = 4×45 = 180，DE = 180÷6 = 30。
回核：AB/BC = 4/6 = 2/3，DE/EF = 30/45 = 2/3，相同。
答：教學大樓高 30 公尺。

• 錯法：寫成 AB/EF = DE/BC，即 4/45 = x/6，得 x=8/15。
  錯在：分子分母把高和影交叉了（竿高對大樓影、大樓高對竿影），算出的大樓比竿還矮。
  補救：高對高：AB 對 DE；影對影：BC 對 EF。
• 錯法：以為大樓影子比竿影多 39 公尺，高度也多 39 公尺，得 43。
  錯在：對應邊成比例，不是差相同。
  補救：用 4/x = 6/45 的比例。

這題要求的是影長，不是高度。兩個三角形相似的理由，和求高度時一樣嗎？

先把 △ABC 與 △DEF 畫出來，標上已知的長度和要求的 EF。找出兩組對應角，並寫下理由。

方法：平行光線與垂直地面，AA，△ABC~△DEF。對應邊：AB 對 DE（高對高），BC 對 EF（影對影）。列 AB/DE = BC/EF，把要求的 EF 設成 x。

設 EF=x：16/48 = 9/x，先把 16/48 化簡成 1/3。最後一步：由 1/3 = 9/x 求出 x，並附上單位。

①假設：陽光平行、地面水平、樹與電塔垂直地面。
②三角形：△ABC 與 △DEF。
③相似：∠ACB=∠DFE（平行光線）、∠ABC=∠DEF=90°，AA，△ABC~△DEF。
④對應邊：AB 對 DE，BC 對 EF。
⑤列式：AB/DE = BC/EF，即 16/48 = 9/EF。
⑥解：16×EF = 48×9 = 432，EF = 432÷16 = 27。
回核：AB/BC = 16/9，DE/EF = 48/27 = 16/9，與 16/9 相同；電塔比樹高，影子也該比樹影長，27 比 9 長。
答：電塔的影長 27 公尺。

• 錯法：寫成 AB/BC = EF/DE，即 16/9 = x/48，得 x=256/3（約 85.3）。
  錯在：左邊是樹的「高對影」，右邊卻是電塔的「影對高」，方向相反；而且算出的影子（約 85.3 公尺）比電塔還高，不合理。
  補救：兩邊都用「高對影」：AB/BC = DE/EF；或兩邊都用「樹對電塔」：AB/DE = BC/EF。
• 錯法：以為電塔比樹高 32 公尺，影子也多 32 公尺，得 9+32=41。
  錯在：影子與高度是成比例，不是差相同。
  補救：用 16/48 = 9/x 的比例。

題目沒有直接給樹影的長度，只給了它和竿影的關係。先把 EF 算出來。

EF = BC 再加多出來的長度。算出 EF 之後，兩個三角形相似的理由，和前面的影子題一樣嗎？

方法：EF=BC+30。平行光線與垂直地面，AA，△ABC~△DEF，高對高、影對影，列 AB/DE = BC/EF。

EF = 5+30 = 35。設 DE=x：7/x = 5/35。先把 5/35 化簡成 1/7。最後一步：由此求出 x，並附上單位。

①假設：陽光平行、地面水平、竿與樹垂直地面。
②三角形：△ABC 與 △DEF。
③相似：∠ACB=∠DFE（平行光線）、∠ABC=∠DEF=90°，AA，△ABC~△DEF。
④對應邊：AB 對 DE，BC 對 EF，其中 EF=5+30=35。
⑤列式：7/DE = 5/35。
⑥解：5×DE = 7×35 = 245，DE = 245÷5 = 49。
回核：AB/BC = 7/5，DE/EF = 49/35 = 7/5，相同；樹影比竿影長，樹也比竿高。
答：樹高 49 公尺。

• 錯法：直接用 30 當影子比：7/x = 5/30，得 x=42。
  錯在：樹影 EF 是 5+30=35 公尺，不是 30。30 只是比竿影多出來的部分，不是整段影子。
  補救：先算 EF=BC+30=35，再列 7/x = 5/35。
• 錯法：寫成 7/x = 35/5（把影對影倒過來）得 x=1。
  錯在：右邊是「樹影對竿影」，左邊是「竿高對樹高」，兩邊方向不同；算出的樹比竿還矮，不合理。
  補救：竿高對樹高，就配竿影對樹影：7/x = 5/35。

這題沒有影子，也沒有平行光線。兩個三角形相似的理由要從哪裡來？

圖中有兩個直角三角形 △TAB 與 △DCB。它們有一組直角；另一組相等的角，在 B 點那裡（T、B、D 共線，A、B、C 共線）。

方法：∠TAB=∠DCB=90°；∠TBA=∠DBC（對頂角）；AA，△TAB~△DCB（T 對 D、A 對 C、B 對 B）。對應邊：TA 對 DC，AB 對 CB。列 TA/DC = AB/CB。

設 TA=x：x/8 = 21/6，先把 21/6 化簡成 7/2。最後一步：由 x/8 = 7/2 求出 x，並附上單位。

①假設：A、B、C 共線，T、B、D 共線，TA 與 CD 都垂直於河岸；單位都是公尺。
②三角形：△TAB 與 △DCB。
③相似：∠TAB=∠DCB=90°；∠TBA=∠DBC（對頂角）；AA，△TAB~△DCB（T 對 D、A 對 C、B 對 B）。
④對應邊：TA 對 DC，AB 對 CB。
⑤列式：TA/DC = AB/CB，即 TA/8 = 21/6。
⑥解：6×TA = 8×21 = 168，TA = 168÷6 = 28。
回核：TA/AB = 28/21 = 4/3，DC/CB = 8/6 = 4/3，相同。
答：河寬 TA=28 公尺。

• 錯法：寫成 TA/8 = 6/21，得 TA=16/7（約 2.3）。
  錯在：TA 對 DC，AB 對 CB，右邊的比卻把 CB 放在分子，方向反了；算出的河寬只有約 2.3 公尺，比 CD 還短。
  補救：兩邊都是「TA 那一個三角形的邊在分子」：TA/DC = AB/CB。
• 錯法：把 AB 換成 AC（=21+6=27），寫成 TA/8 = 27/6，得 TA=36。
  錯在：AC 不是 △TAB 的邊。TA 的鄰邊是 AB，對應的是 CB；AC 是兩個三角形的底邊加起來，不能拿來配 BC。
  補救：只用兩個三角形各自的邊：AB 對 CB。

兩個直角三角形 △ECD 與 △EBA 疊在一起。它們共用哪一個角？

除了共用的角，還有哪一組角相等？理由是題目的哪一句話？

方法：∠CED=∠BEA（同一個角）；∠ECD=∠EBA=90°；AA，△ECD~△EBA（E 對 E、C 對 B、D 對 A）。對應邊：CD 對 BA，EC 對 EB。列 AB/CD = EB/EC。

設 AB=x：x/4 = 70/5。先算 70/5。最後一步：由 x/4 = 14 求出 x，並附上單位。

①假設：標竿與大樓垂直地面；E、D、A 共線；E、C、B 共線；單位都是公尺。
②三角形：△ECD 與 △EBA。
③相似：∠CED=∠BEA（同一個角）；∠ECD=∠EBA=90°；AA，△ECD~△EBA（E 對 E、C 對 B、D 對 A）。
④對應邊：CD 對 BA，EC 對 EB。
⑤列式：AB/CD = EB/EC，即 AB/4 = 70/5。
⑥解：AB = 4×70÷5 = 56。
回核：EC/EB = 5/70 = 1/14，CD/AB = 4/56 = 1/14，相同。
答：大樓高 56 公尺。

• 錯法：以 CB（=70-5=65）代替 EB，寫成 AB/4 = 65/5，得 AB=52。
  錯在：CB 不是 △EBA 的邊；EB 才是和 EC 對應的邊。CB 只是 EB 的一部分。
  補救：EC 在小三角形 △ECD 裡，對應的是大三角形 △EBA 的 EB：AB/CD = EB/EC。
• 錯法：寫成 AB/4 = 5/70，得 AB=2/7（約 0.3）。
  錯在：右邊把小三角形的邊 EC 放在分子，方向反了；算出的大樓比標竿還矮。
  補救：大樓對標竿，就配 EB 對 EC：兩邊分子都用大三角形的邊。

這題沒有給任何角度。你手上有哪些「邊的比」可以檢查？

比一比 PM 與 PA、PN 與 PB。兩個三角形 △PMN 與 △PAB 有沒有共用的角？這個角夾在哪兩邊之間？

方法：兩組對應邊成比例，而且夾角（共用的 ∠P）相等，用 SAS，△PMN~△PAB（P 對 P、M 對 A、N 對 B）。MN 的對應邊是 AB，列 MN/AB = PM/PA。

PM/PA = 18/45 = 2/5，PN/PB = 22/55 = 2/5，夾角 ∠P 是共用角。設 AB=x：26/x = 2/5。最後一步：由此求出 x，並附上單位。

①假設：M 在線段 PA 上、N 在線段 PB 上；單位都是公尺。
②三角形：△PMN 與 △PAB。
③相似：PM/PA = 18/45 = 2/5，PN/PB = 22/55 = 2/5，兩組對應邊成比例；夾角 ∠MPN 與 ∠APB 是同一個角。SAS，△PMN~△PAB（P 對 P、M 對 A、N 對 B）。
④對應邊：MN 對 AB。
⑤列式：MN/AB = PM/PA，即 26/AB = 2/5。
⑥解：AB = 26÷(2/5) = 65。
回核：MN/AB = 26/65 = 2/5，PN/PB = 2/5，相同。
答：AB=65 公尺。

• 錯法：以 MA（=45-18=27）代替 PA，寫成 26/x = 18/27，得 x=39。
  錯在：MA 不是 △PAB 的邊；MN 的對應邊是 AB，PM 的對應邊是 PA（整段）。
  補救：小三角形的邊 PM 對大三角形的邊 PA：MN/AB = PM/PA。
• 錯法：以為 MN 比 PM 多 8，所以 AB 也比 PA 多 8，得 53。
  錯在：相似的對應邊成「比」，不是「差」相同。
  補救：用 PM/PA = MN/AB 的比。

先檢查小志的結果合不合理：他算出的樹高和竿高比起來如何？再回頭看他的式子。

分別檢查兩件事：他寫的 △ABC~△DEF 對不對？他由相似式寫出的比例式對不對？AB/EF 的分子與分母，各是哪個三角形的哪一條邊？

方法：先依相似式 △ABC~△DEF 列出對應邊（A 對 D、B 對 E、C 對 F，所以 AB 對 DE、BC 對 EF），再用對應邊逐一檢查他寫的每個分數。

對應邊：AB 對 DE，BC 對 EF。用對應邊重列：6/DE = 9/54。最後一步：求出 DE，並附上單位，再和小志的式子比一比，說出差別在哪裡。

小志的相似式 △ABC~△DEF 是對的，錯在比例式：AB/EF 是「竿高對樹影」，DE/BC 是「樹高對竿影」，高和影交叉，不是對應邊。結果樹高只有 1 公尺，比竿還矮，也不合理。
正確：A 對 D、B 對 E、C 對 F，所以 AB 對 DE（高對高）、BC 對 EF（影對影）。列式 6/DE = 9/54，9×DE = 6×54 = 324，DE = 324÷9 = 36。
回核：AB/BC = 6/9 = 2/3，DE/EF = 36/54 = 2/3，相同。
答：錯在高、影交叉；正確樹高 36 公尺。

• 錯法：改正後仍寫成 6/DE = 54/9（把影倒過來），得 DE=1。
  錯在：這就是小志的錯：右邊是樹影對竿影，左邊是竿高對樹高，一邊「竿比樹」，一邊「樹比竿」，方向相反。
  補救：兩邊都「竿比樹」：6/DE = 9/54。
• 錯法：以為樹影比竿影長 45 公尺，樹高也比竿高多 45 公尺，得 51。
  錯在：對應邊成比，不是差相同。
  補救：用比例 6/DE = 9/54。

小安的相似式是對的嗎？先不看他的算式，自己依 △CBA~△CQP 把對應的邊一組一組寫出來。

相似式 △CBA~△CQP 裡，C 對 C、B 對 Q、A 對 P。BC 的對應邊是哪一條？

方法：依字母位置找對應邊：CB 對 CQ、BA 對 QP、CA 對 CP。再檢查小安的分母 QB 是不是上面那些對應邊之一。

對應邊：BC 對 CQ，其中 CQ 是從影尖 C 到燈柱腳 Q 的整段。Q、B、C 共線，CQ=CB+BQ=4+16。用對應邊重列：AB/PQ = BC/CQ。最後一步：算出 CQ，代入並求 PQ。

小安的相似式是對的，錯在比例式：BC 的對應邊是 CQ（影尖到燈柱腳的整段），不是 QB（竿到燈柱腳）。QB 不是 △CQP 的邊，是不對應的邊。
正確：CQ=CB+BQ=4+16=20。AB/PQ = BC/CQ，即 3/PQ = 4/20，4×PQ = 3×20 = 60，PQ = 60÷4 = 15。
回核：PQ/AB = 15/3 = 5，CQ/CB = 20/4 = 5，相同。
答：錯在用 QB 取代 CQ；正確燈高 15 公尺。

• 錯法：改正後把比寫反：AB/PQ = CQ/BC，得 PQ=3/5。
  錯在：左邊是「竿比燈」，右邊是「CQ 比 CB」，一邊小比大，一邊大比小，方向相反；算出的燈柱比竿還矮。
  補救：兩邊都是小比大：AB/PQ = BC/CQ。
• 錯法：用加法：PQ=3+16+4=23。
  錯在：燈高與竿高的關係是比例，不是把各段長度加起來。
  補救：用對應邊的比：AB/PQ = BC/CQ。

這題沒有任何角度。你要靠什麼來證相似？先檢查 OA 和 OC、OB 和 OD 這兩組邊的比。

兩組邊成比之後，還要有一組夾角相等。O 點的 ∠AOB 與 ∠COD 是什麼關係？

方法：OA/OC 與 OB/OD 比值相同，夾角 ∠AOB=∠COD（對頂角），SAS，△OAB~△OCD（A 對 C、B 對 D）。再從相似式的字母位置找 AB 與 OA 的對應邊，和小傑的配法比一比。

OA/OC = 42/35 = 6/5，OB/OD = 54/45 = 6/5，夾角相等（對頂角），所以 △OAB~△OCD。AB 的對應邊是 CD，OA 的對應邊是 OC。設 AB=x：x/50 = 6/5。最後一步：由此求出 x，並附上單位。

相似：OA/OC = 42/35 = 6/5，OB/OD = 54/45 = 6/5，兩組對應邊成比；∠AOB=∠COD（對頂角）。SAS，△OAB~△OCD（O 對 O、A 對 C、B 對 D）。
小傑的錯：他依圖面位置（上方對上方）把 OA 配 OD，但依相似式，A 對 C，OA 的對應邊是 OC；D 對的是 B。
正確：AB/CD = OA/OC，即 AB/50 = 6/5，AB = 50×6/5 = 60。
回核：AB/CD = 60/50 = 6/5，OB/OD = 6/5，相同。
答：錯在依圖面位置配對；正確 AB=60 公尺。

• 錯法：改正時寫成 AB/CD = OC/OA，得 AB=125/3（約 41.7）。
  錯在：△OAB 的兩邊 OA、OB 都比 △OCD 的 OC、OD 長，所以 AB 也該比 CD 長；他算出的 AB 比 CD 還短，方向反了。
  補救：AB 對 CD，OA 對 OC，兩邊都是 △OAB 的邊在分子：AB/CD = OA/OC。
• 錯法：以為 OA 比 OC 多 7，所以 AB 也比 CD 多 7，得 57。
  錯在：對應邊成比，不是差相同。
  補救：用 AB/CD = OA/OC 的比。

要列比例，前提是兩個三角形相似。想想：小蓮用的兩個三角形，各是在什麼時候量的？

陽光與地面的夾角，會隨一天的時間改變嗎？如果夾角不同，兩個直角三角形有幾組角已知相等？

方法：AA 需要兩組對應角相等。直角是一組；另一組要靠「光線與地面的夾角相同」。想想：什麼條件下，兩處的光線才能看成平行、夾角相同？(2) 改成同一時刻量之後，就有 △ABC~△DEF，高對高、影對影。

(2) 同一時刻時，AA 成立：△ABC~△DEF，列 AB/DE = BC/EF，即 5/DE = 10/46。最後一步：求出 DE，並附上單位。(1) 請你判斷：上午與下午的夾角是不是相同？再決定 AA 能不能用。

(1) 沒有根據。上午 9 時與下午 2 時，太陽的高度不同，光線與地面的夾角也不同。兩個直角三角形只確定了直角這一組角，另一組角不一定相等，AA 不成立，不能說 △ABC~△DEF，所以不能列 5/DE = 10/26。
(2) 要在同一時刻量竿影與樹影。這時光線平行，夾角相同，∠ACB=∠DFE；∠ABC=∠DEF=90°；AA，△ABC~△DEF（A 對 D、B 對 E、C 對 F）。列 AB/DE = BC/EF，即 5/DE = 10/46，10×DE = 5×46 = 230，DE = 230÷10 = 23。
回核：AB/BC = 5/10 = 1/2，DE/EF = 23/46 = 1/2，與 1/2 相同。
答：(1) 沒有根據（時刻不同，夾角不同）；(2) 同一時刻量，樹高 23 公尺。

• 錯法：說「兩個都是直角三角形，所以相似」。
  錯在：直角只是一組相等的角，AA 還缺第二組。
  補救：要另外證明光線與地面夾角相同；同一時刻量，才能這樣用。
• 錯法：認為「影子是同一個太陽照出來的，所以上午下午都一樣」。
  錯在：太陽的位置隨時間改變，影子的長度也隨之改變。同一根竿，上午與下午量得的影長通常不同。
  補救：把兩次量測放在同一個時刻（或在同一時刻一起量）。

要用 AA 判定相似，需要幾組對應角相等？目前確定相等的有哪幾組？

列出 △ECD 與 △EBA 的三組角：E 處、C 處、B 處。哪些「確定」相等，哪些沒有確定？

方法：E 處是共同角；B 處是 90°；C 處的角呢？題目對標竿只說「沒有檢查」。想想看這樣算不算有兩組確定的角。(2) 補上 CD 垂直之後，再數一數有幾組相等的角。

(2) 補量後 ∠ECD=∠EBA=90°，加上共同角 ∠E，AA，△ECD~△EBA（E 對 E、C 對 B、D 對 A）。對應邊：CD 對 BA，EC 對 EB，列 AB/CD = EB/EC，即 AB/5 = 88/8。最後一步：求出 AB，並附上單位。(1) 請你自己判斷：C 處的角能不能當作 90°？

(1) 不能。目前確定相等的只有共同角 ∠E；∠EBA=90°，但 ∠ECD 不知道是不是 90°（竿可能是歪的）。只有一組角相等，AA 還缺一組，所以不能判定相似。
(2) 補上 ∠ECD=90° 之後：∠CED=∠BEA（同一個角）、∠ECD=∠EBA=90°，AA，△ECD~△EBA（E 對 E、C 對 B、D 對 A）。對應邊：CD 對 BA，EC 對 EB。列式 AB/CD = EB/EC，即 AB/5 = 88/8，AB = 5×88÷8 = 55。
回核：EC/EB = 8/88 = 1/11，CD/AB = 5/55 = 1/11，相同。
答：(1) 不能判定（C 處的角沒有確定）；(2) AB=55 公尺。

• 錯法：認為「有共同角，又看起來都是直角，所以相似」。
  錯在：「看起來是直角」不是證明；圖是示意，標竿有沒有垂直地面，題目說沒有檢查。
  補救：共同角只是一組；另一組要靠已確認的條件（例如 ∠ECD=90°）。
• 錯法：(2) 寫成 AB/5 = 8/88，得 AB=5/11（約 0.5）。
  錯在：右邊把小三角形的邊 EC 放在分子，方向反了；算出的大樓比標竿還矮，不合理。
  補救：AB 對 CD，EB 對 EC：AB/CD = EB/EC。

SAS 要的是「兩組對應邊成比例，而且這兩邊所夾的角相等」。小美用的那組相等的角，是哪兩邊所夾的角？

在 △ABC 裡，AB 與 AC 夾在哪個頂點？小美的相等角 ∠B 在不在這兩邊之間？

方法：AB、AC 所夾的角是 ∠A，對應的是 DE、DF 所夾的 ∠D。先看小美用的相等角是不是這一組，再決定 SAS 能不能用。(2) 補上 ∠A=∠D 之後，再檢查 SAS 的兩個要件。

(2) 補上 ∠A=∠D：AB/DE = AC/DF = 2，夾角 ∠A=∠D，SAS，△ABC~△DEF。對應邊：BC 對 EF。設 BC=x：x/5 = 2。最後一步：求出 x，並附上單位。(1) 請想想：只靠「兩邊成比、非夾角相等」，三角形的形狀有沒有被唯一決定。

(1) 不能。AB、AC 所夾的角是 ∠A，小美給的 ∠B 不是夾角，SAS 不成立。沒有夾角的條件時，形狀可能不只一種：過 A 作 BC 的垂線，垂足 H。∠B=60° 時，直角三角形 ABH 的 BH 是斜邊 AB 的一半，BH=8，AH 的平方是 16×16-8×8=192，HC 的平方是 14×14-192=4，HC=2，所以成品的 BC 可以是 8+2=10，也可以是 8-2=6。設計圖一邊同樣處理：作 D 到 EF 的垂線，垂足 H'，EH'=4，DH' 的平方是 8×8-4×4=48，H'F 的平方是 7×7-48=1，所以 EF 可以是 4+1=5，也可以是 4-1=3。若成品 BC=6、設計圖 EF=5，就有 16/8=2、14/7=2，但 6/5 不等於 2，兩個三角形並不相似。所以只憑這些條件，不能判定相似。
(2) 補上 ∠A=∠D 後，兩組對應邊成比（AB/DE=AC/DF=2），夾角 ∠A=∠D，SAS，△ABC~△DEF（A 對 D、B 對 E、C 對 F）。BC 對 EF：BC/EF = 2，BC = 2×5 = 10。
回核：成品三邊 16、14、10 恰好是設計圖三邊 8、7、5 的 2 倍；BC=10 正是 (1) 裡 8+2 的那一種情形。
答：(1) 不能判定（相等的角不是夾角）；(2) BC=10 公分。

• 錯法：說「兩邊成比，又有一組角相等，所以 SAS」。
  錯在：SAS 的角必須是這兩邊「所夾」的角。小美的 ∠B 是 AB 與 BC 所夾的角，不是 AB、AC 所夾的角。
  補救：先找出兩邊的夾角（這題是 ∠A 與 ∠D），再看這組角是不是相等。
• 錯法：(2) 寫成 BC/5 = 1/2，得 BC=5/2（即 2.5）。
  錯在：成品比設計圖大（AB=16 大於 DE=8），BC 也該比 EF 大，不是比 EF 小。
  補救：相似比是成品對設計圖：BC/EF = AB/DE = 2。

這題的相似理由，來自鏡子的反射。題目給了哪一組角相等？還有哪一組角相等？

圖中有兩個直角三角形 △EFM 與 △PTM。它們各有一個直角，另一組相等的角在 M 點。

方法：∠EFM=∠PTM=90°；∠EMF=∠PMT（反射定律）；AA，△EFM~△PTM（E 對 P、F 對 T、M 對 M）。對應邊：EF 對 PT，FM 對 TM。列 EF/PT = FM/TM。

設 PT=x：1.5/x = 3/34。最後一步：由此求出 x，並附上單位。

①假設：地面水平；人與樹垂直地面；F、M、T 共線；∠EMF=∠PMT（入射角等於反射角）；單位為公尺。
②三角形：△EFM 與 △PTM。
③相似：∠EFM=∠PTM=90°；∠EMF=∠PMT；AA，△EFM~△PTM（E 對 P、F 對 T、M 對 M）。
④對應邊：EF 對 PT，FM 對 TM。
⑤列式：EF/PT = FM/TM，即 1.5/PT = 3/34。
⑥解：3×PT = 1.5×34 = 51，PT = 51÷3 = 17。
回核：EF/FM = 1.5/3 = 0.5，PT/TM = 17/34 = 0.5，相同。
答：樹高 17 公尺。

• 錯法：寫成 1.5/x = 34/3，得 x=9/68（約 0.1）。
  錯在：EF 對 PT，FM 對 TM，右邊把 TM 放在分子，方向反了；算出的樹高比人的眼睛還矮。
  補救：兩邊分子都用小三角形 △EFM 的邊：EF/PT = FM/TM。
• 錯法：以 FT（=3+34=37）代替 TM，寫成 1.5/x = 3/37，得 x=18.5。
  錯在：FT 不是 △PTM 的邊；和 FM 對應的是 TM。
  補救：FM 對 TM，用兩個三角形各自的邊。

大三角形 TAB 與空地上的小三角形，有哪些角相等？為什麼要讓 ∠B'=∠B？

兩個三角形各有一個直角，再加上 ∠B=∠B'，已經有幾組對應角相等？

方法：∠A=∠A'=90°、∠B=∠B'，AA，△TAB~△T'A'B'（T 對 T'、A 對 A'、B 對 B'）。可以比同一個三角形裡的兩邊：TA/AB = A'T'/A'B'。

設 TA=x：x/70 = 6/5。最後一步：由此求出 x，並附上單位。

①假設：TA 垂直近岸；小三角形的角照大三角形做出；單位都是公尺。
②三角形：大三角形 △TAB 與小三角形 △T'A'B'。
③相似：∠A=∠A'=90°；∠B=∠B'；AA，△TAB~△T'A'B'（T 對 T'、A 對 A'、B 對 B'）。
④對應邊：TA 對 T'A'，AB 對 A'B'。
⑤列式：TA/AB = A'T'/A'B'，即 TA/70 = 6/5。（比同一個三角形裡的兩邊。）
⑥解：TA = 70×6÷5 = 84。
回核：TA/A'T' = 84/6，AB/A'B' = 70/5，同樣是 14，相同。
答：河寬 TA=84 公尺。

• 錯法：寫成 x/70 = 5/6，得 x=175/3（約 58.3）。
  錯在：TA 對 T'A'，AB 對 A'B'，右邊把 A'B' 放在分子，方向反了；算出的河寬比 AB 還短，而小三角形的 A'T' 卻比 A'B' 長，不合理。
  補救：兩邊都是「TA 那一邊在分子」：TA/AB = A'T'/A'B'。
• 錯法：用差：TA=70+(6-5)=71。
  錯在：小三角形與大三角形之間是比例關係，不是差相同。
  補救：用比：TA/AB = A'T'/A'B'。

這題的未知量 x 會出現在比例式的兩個地方。先想：相似的理由是什麼？哪一段長度要用 x 表示？

△CBA 與 △CQP 共用哪個角？另一組相等的角是哪裡來的？CQ 要怎麼用 x 表示？

方法：∠C 是共同角；∠CBA=∠CQP=90°；AA，△CBA~△CQP（C 對 C、B 對 Q、A 對 P）。對應邊：AB 對 PQ，BC 對 CQ，其中 CQ=CB+BQ。列 AB/PQ = BC/CQ。

CQ=x+9。列式：2/8 = x/(x+9)。先把 2/8 化簡成 1/4。最後一步：交叉相乘（括號要整個乘開），移項解出 x。

①假設：燈柱與標竿垂直地面；Q、B、C 共線；C、A、P 共線；單位為公尺。
②三角形：△CBA 與 △CQP。
③相似：∠C 是共同角；∠CBA=∠CQP=90°；AA，△CBA~△CQP（C 對 C、B 對 Q、A 對 P）。
④對應邊：AB 對 PQ，BC 對 CQ，其中 CQ=CB+BQ=x+9。
⑤列式：AB/PQ = BC/CQ，即 2/8 = x/(x+9)。
⑥解：交叉相乘 2×(x+9) = 8×x，2x+18 = 8x，18 = 6x，x = 3。
回核：CQ=3+9=12，BC/CQ = 3/12 = 1/4，AB/PQ = 2/8 = 1/4，相同。
答：影長 BC=3 公尺。

• 錯法：寫成 2/8 = x/9（把 CQ 直接寫成 QB），得 x=9/4（即 2.25）。
  錯在：BC 的對應邊是 CQ（影尖到燈柱腳），不是 QB；CQ=x+9，不是 9。
  補救：CQ=BC+BQ=x+9，式子才是 2/8 = x/(x+9)。
• 錯法：交叉相乘時漏乘：2x+9 = 8x，得 x=3/2（約 1.5）。
  錯在：括號 (x+9) 前面的 2 要乘到括號裡每一項：2×(x+9) = 2x+18，不是 2x+9。
  補救：用括號保住整體，交叉相乘後把括號乘開，再移項。