練習：用十字交乘分解二次式

先分清楚三個數：首項係數 1、一次項係數 7、常數項 12。目標是 (px+q)(rx+s)，先想：首項係數與常數項各能拆成哪些整數相乘？

常數項 12 是正數，q、s 同號；一次項係數 7 是正數，所以 q、s 都是正數。試的時候，交叉相乘再相加必須等於一次項係數 7；只有首末兩項對是不夠的。

首項係數是 1，左欄兩個數都是 1，只要找兩個數 q、s，使 q×s=12、q+s=7。常數項 12 的因數配對（只看大小，正負另外決定）有：1×12、2×6、3×4。

把 12 的三組配對的和算出來：1+12、2+6、3+4，哪一組等於 7？找到之後寫成兩個因式，並展開回查。

①首項係數 1，所以 p=r=1，要 q×s=12、q+s=7；②常數項 12 是正數，q、s 同號；一次項係數 7 是正數，所以 q、s 都是正數；③找到 q=3、s=4（3×4=12，3+4=7）；④因式是 (x+3)(x+4)；⑤回查：(x+3)(x+4) = x²+7x+12，與原式相同。

• 錯法：只看積是 12，隨便挑一組，寫成 (x+2)(x+6)。展開得 x²+8x+12，與題目不符。補救：兩數乘積是 12 還不夠，兩數的和還要等於 7。把 12 的配對 1×12、2×6、3×4 都算出和，只有 3+4=7。
• 錯法：取 1 和 12，寫成 (x+1)(x+12)。展開得 x²+13x+12，與題目不符。補救：1+12=13，不是 7，這組不行。

先想一下：展開時 x 的一次項來自哪兩種相乘？

每個因式有 x 項和常數項。一次項是「x 項乘常數項」的結果，一共有兩種搭配，再加起來。

兩種搭配：第一個因式的 x 項乘第二個因式的常數項，加上第一個因式的常數項乘第二個因式的 x 項。

2x×1=2x，5×3x=15x；把兩項加起來就是一次項。請再把三項寫完整，確認首項與常數項。

(2x+5)(3x+1) = 6x²+2x+15x+5 = 6x²+17x+5。x 項的係數是 2+15=17。這就是十字交乘裡「交叉相乘再相加」：2×1+5×3=17。

• 錯法：把左欄兩數相乘再加右欄兩數相乘：2×3+5×1。補救：這樣會算出 11，但這是首末的算法，不是一次項。一次項要用交叉：2×1+5×3，結果 17，不是 11。
• 錯法：配錯對角：2×5+3×1。補救：這樣會算出 13，但 2 與 5 在同一個因式裡，不能相乘。要用 2×1（左欄 2 配右欄的 1）與 5×3，結果 17，不是 13。

四個選項的首項與常數項看起來都對，那麼要靠哪一項來區分？

只比較首項與常數項，四個選項看不出差別。要比較的是展開後的一次項係數，也就是交叉相乘再相加。

對每個選項，用「交叉和」：左欄兩個 x 的係數，分別乘右欄另一列的常數，再相加，看是否等於 9。

甲：2×5+1×2=12；乙：2×2+1×5=9；丙：2×1+1×10=12；丁：2×10+1×1=21。哪一個等於 9？

乙：(2x+5)(x+2) = 2x²+4x+5x+10 = 2x²+9x+10，答案是乙。其他三個展開分別是：甲 2x²+12x+10、丙 2x²+12x+10、丁 2x²+21x+10，一次項都不是 9。

• 錯法：只核首項與常數項，所以隨便挑一個。補救：四個選項首末都對，所以這樣無法判斷。必須算一次項：甲 12、丙 12、丁 21 都不是 9。
• 錯法：以為首末對的就是對的。補救：甲的首末也對，但甲展開是 2x²+12x+10，一次項是 12。

先分清楚三個數：首項係數 1、一次項係數 8、常數項 15。目標是 (px+q)(rx+s)，先想：首項係數與常數項各能拆成哪些整數相乘？

常數項 15 是正數，q、s 同號；一次項係數 8 是正數，所以 q、s 都是正數。試的時候，交叉相乘再相加必須等於一次項係數 8；只有首末兩項對是不夠的。

首項係數是 1，左欄兩個數都是 1，只要找兩個數 q、s，使 q×s=15、q+s=8。常數項 15 的因數配對（只看大小，正負另外決定）有：1×15、3×5。

把 15 的兩組配對的和算出來：1+15、3+5，哪一組等於 8？找到之後寫成兩個因式，並展開回查。

①首項係數 1，所以 p=r=1，要 q×s=15、q+s=8；②常數項 15 是正數，q、s 同號；一次項係數 8 是正數，所以 q、s 都是正數；③找到 q=3、s=5（3×5=15，3+5=8）；④因式是 (x+3)(x+5)；⑤回查：(x+3)(x+5) = x²+8x+15，與原式相同。

• 錯法：取 1 和 15（只看積），寫成 (x+1)(x+15)。展開得 x²+16x+15，與題目不符。補救：1×15=15，但 1+15=16，不是 8。
• 錯法：符號全反（把 b 的符號看錯），寫成 (x−3)(x−5)。展開得 x²−8x+15，與題目不符。補救：(x−3)(x−5) 展開後一次項是 −8，不是 +8。b 為正時，q、s 要同為正。

先分清楚三個數：首項係數 1、一次項係數 −7、常數項 10。目標是 (px+q)(rx+s)，先想：首項係數與常數項各能拆成哪些整數相乘？

常數項 10 是正數，q、s 同號；一次項係數 −7 是負數，所以 q、s 都是負數。試的時候，交叉相乘再相加必須等於一次項係數 −7；只有首末兩項對是不夠的。

首項係數是 1，左欄兩個數都是 1，只要找兩個數 q、s，使 q×s=10、q+s=−7。常數項 10 的因數配對（只看大小，正負另外決定）有：1×10、2×5。

q、s 都是負數。把 10 的兩組配對加上負號，算出它們的和：(−1)+(−10)、(−2)+(−5)，哪一組等於 −7？找到之後寫成兩個因式，並展開回查。

①首項係數 1，所以 p=r=1，要 q×s=10、q+s=−7；②常數項 10 是正數，q、s 同號；一次項係數 −7 是負數，所以 q、s 都是負數；③找到 q=−2、s=−5（(−2)×(−5)=10，(−2)+(−5)=−7）；④因式是 (x−2)(x−5)；⑤回查：(x−2)(x−5) = x²−7x+10，與原式相同。

• 錯法：沒注意到 b 是負的，寫成 (x+2)(x+5)。展開得 x²+7x+10，與題目不符。補救：展開一次項是 +7，不是 −7。b 是負、c 是正時，q、s 都是負數。
• 錯法：取 −1 和 −10，寫成 (x−1)(x−10)。展開得 x²−11x+10，與題目不符。補救：(−1)+(−10)=−11，不是 −7。

先分清楚三個數：首項係數 1、一次項係數 1、常數項 −20。目標是 (px+q)(rx+s)，先想：首項係數與常數項各能拆成哪些整數相乘？

常數項 −20 是負數，q、s 一正一負，兩種放法都要試。試的時候，交叉相乘再相加必須等於一次項係數 1；只有首末兩項對是不夠的。

首項係數是 1，左欄兩個數都是 1，只要找兩個數 q、s，使 q×s=−20、q+s=1。常數項 −20 的因數配對（只看大小，正負另外決定）有：1×20、2×10、4×5。

兩數一正一負，乘積是 −20，和是 1，所以兩數的絕對值只差 1。1×20、2×10、4×5 哪一組的兩個數只差 1？再決定哪一個帶負號，使和是 +1。找到之後寫成兩個因式，並展開回查。

①首項係數 1，所以 p=r=1，要 q×s=−20、q+s=1；②常數項 −20 是負數，q、s 一正一負，兩種放法都要試；③找到 q=5、s=−4（5×(−4)=−20，5+(−4)=1）；④因式是 (x+5)(x−4)；⑤回查：(x+5)(x−4) = x²+x−20，與原式相同。

• 錯法：兩個數對了，正負放反，寫成 (x+4)(x−5)。展開得 x²−x−20，與題目不符。補救：(x+4)(x−5) 展開一次項是 −1，不是 +1。b=+1，所以絕對值大的 5 要配正號。
• 錯法：取 2 和 −10，寫成 (x+2)(x−10)。展開得 x²−8x−20，與題目不符。補救：2+(−10)=−8，不是 1。

先分清楚三個數：首項係數 2、一次項係數 11、常數項 5。目標是 (px+q)(rx+s)，先想：首項係數與常數項各能拆成哪些整數相乘？

常數項 5 是正數，q、s 同號；一次項係數 11 是正數，所以 q、s 都是正數。試的時候，交叉相乘再相加必須等於一次項係數 11；只有首末兩項對是不夠的。

首項係數 2 的正因數配對有：1×2，左欄就從這些配對選。常數項 5 的因數配對（只看大小，正負另外決定）：1×5。左欄固定後，右欄 q、s 的上下順序要換著試，逐組算 p×s+r×q，找出等於 11 的那一組。

左欄放 2 與 1，右欄放 1 與 5，上下順序有 (1, 5)、(5, 1) 兩種。各算交叉和 p×s+r×q，哪一種是 11？找到之後寫成兩個因式，並展開回查。

①左欄是 2 與 1（2×1=2）；②常數項 5 是正數，q、s 同號；一次項係數 11 是正數，所以 q、s 都是正數。右欄是 1 與 5（1×5=5）；③交叉和 2×5+1×1=10+1=11，等於 11；④因式是 (2x+1)(x+5)；⑤回查：(2x+1)(x+5) = 2x²+11x+5，與原式相同。

• 錯法：把 5 放在 2x 那一列，寫成 (2x+5)(x+1)。展開得 2x²+7x+5，與題目不符。補救：首末都對，但展開一次項是 7，不是 11。右欄上下順序要換著試。
• 錯法：把符號看錯，寫成 (2x−1)(x−5)。展開得 2x²−11x+5，與題目不符。補救：展開後一次項是 −11，符號相反。b 為正，q、s 要同為正。

先分清楚三個數：首項係數 3、一次項係數 −7、常數項 2。目標是 (px+q)(rx+s)，先想：首項係數與常數項各能拆成哪些整數相乘？

常數項 2 是正數，q、s 同號；一次項係數 −7 是負數，所以 q、s 都是負數。試的時候，交叉相乘再相加必須等於一次項係數 −7；只有首末兩項對是不夠的。

首項係數 3 的正因數配對有：1×3，左欄就從這些配對選。常數項 2 的因數配對（只看大小，正負另外決定）：1×2。左欄固定後，右欄 q、s 的上下順序要換著試，逐組算 p×s+r×q，找出等於 −7 的那一組。

左欄放 3 與 1，右欄放 −1 與 −2，上下順序有 (−1, −2)、(−2, −1) 兩種。各算交叉和 p×s+r×q，哪一種是 −7？找到之後寫成兩個因式，並展開回查。

①左欄是 3 與 1（3×1=3）；②常數項 2 是正數，q、s 同號；一次項係數 −7 是負數，所以 q、s 都是負數。右欄是 −1 與 −2（(−1)×(−2)=2）；③交叉和 3×(−2)+1×(−1)=(−6)+(−1)=−7，等於 −7；④因式是 (3x−1)(x−2)；⑤回查：(3x−1)(x−2) = 3x²−7x+2，與原式相同。

• 錯法：忽略 b 的負號，寫成 (3x+1)(x+2)。展開得 3x²+7x+2，與題目不符。補救：展開一次項是 +7，不是 −7。b 是負、c 是正時，q、s 都是負數。
• 錯法：數字放反，寫成 (3x−2)(x−1)。展開得 3x²−5x+2，與題目不符。補救：展開一次項是 −5，不是 −7。右欄 −1、−2 的上下順序要換著試。

先分清楚三個數：首項係數 2、一次項係數 1、常數項 −6。目標是 (px+q)(rx+s)，先想：首項係數與常數項各能拆成哪些整數相乘？

常數項 −6 是負數，q、s 一正一負，兩種放法都要試。試的時候，交叉相乘再相加必須等於一次項係數 1；只有首末兩項對是不夠的。

首項係數 2 的正因數配對有：1×2，左欄就從這些配對選。常數項 −6 的因數配對（只看大小，正負另外決定）：1×6、2×3。左欄固定後，右欄 q、s 的上下順序要換著試，逐組算 p×s+r×q，找出等於 1 的那一組。

左欄放 2 與 1。右欄用 2 與 3 當數字（乘積 6），一正一負各放一個，共四種：(−2, 3)、(2, −3)、(−3, 2)、(3, −2)。各算交叉和 p×s+r×q，哪一種是 1？找到之後寫成兩個因式，並展開回查。

①左欄是 2 與 1（2×1=2）；②常數項 −6 是負數，q、s 一正一負，兩種放法都要試。右欄是 −3 與 2（(−3)×2=−6）；③交叉和 2×2+1×(−3)=4+(−3)=1，等於 1；④因式是 (2x−3)(x+2)；⑤回查：(2x−3)(x+2) = 2x²+x−6，與原式相同。

• 錯法：符號放反，寫成 (2x+3)(x−2)。展開得 2x²−x−6，與題目不符。補救：展開一次項是 −1，不是 +1。要把 3 與 2 的正負換過來。
• 錯法：取 1 和 −6，寫成 (2x+1)(x−6)。展開得 2x²−11x−6，與題目不符。補救：展開一次項是 −11，不是 1。

小明的說法只提到兩項。這個二次式有幾項？他核了幾項？

展開他的答案，看看一次項是多少，和題目的一次項比一比。

一次項不符，代表常數項 6 的拆法選錯了。把 6 的所有因數配對（1×6、2×3）列出來，每個都算交叉和。

左欄 (2, 1) 不動，把 6 拆成 2×3，右欄試 (2, 3) 與 (3, 2) 兩種，各算交叉和 p×s+r×q，哪一種是 7？再把因式寫出來並展開回查。

小明寫的 (2x+1)(x+6) 展開是 2x²+13x+6，一次項是 13，不是 7。 小明只核了首項（2x×x=2x²）與末項（1×6=6），沒有核一次項。要得到 7，要試別的配對：6 還可以拆成 2×3，取右欄 (3, 2) 得交叉和 2×2+1×3=7。 正確分解：(2x+3)(x+2)。回查：(2x+3)(x+2) = 2x²+7x+6。

• 錯法：換成 6=6×1 的另一種放法，寫成 (2x+6)(x+1)。展開得 2x²+8x+6，與題目不符。補救：首末仍是對的，但展開一次項是 8，不是 7。每一次換配對都要重算交叉和。

先把小華的答案展開，看看一次項是不是 5。

如果一次項不是 5，想想看：數字 1、2 有沒有可能是對的，只是放的位置不對？

右欄的兩個數上下對調，會讓交叉和改變。把兩種放法的交叉和都算出來。

左欄 3 與 1 不動，把右欄的 (1, 2) 上下對調成 (2, 1)，算新的交叉和 p×s+r×q，看是不是 5。再寫出兩個因式並展開回查。

小華寫的 (3x+1)(x+2) 展開是 3x²+7x+2，一次項是 7，不是 5。 他用對了數字 1 與 2，但放錯了位置：左欄 3 與 1，右欄 (1, 2) 的交叉和是 3×2+1×1=7；把右欄上下交換成 (2, 1)，交叉和是 3×1+1×2=5，才符合。 正確分解：(3x+2)(x+1)。回查：(3x+2)(x+1) = 3x²+5x+2。

• 錯法：不換位置，只改符號，寫成 (3x−1)(x−2)。展開得 3x²−7x+2，與題目不符。補救：展開一次項是 −7，變成負的了；b 是正的，q、s 要同為正。

阿芳試了幾種首項係數 4 的拆法？4 只能拆成 4×1 嗎？

先把阿芳的答案展開，看一次項是多少。再回頭想：首項係數的因數配對，她有沒有全部試過？

把 4 的正因數配對全部列出來，每一組都要配上常數項 3 的各種放法，逐組算交叉和。

4 還有 2×2 的拆法：左欄放 2 與 2，右欄放 1 與 3，算交叉和 p×s+r×q，看是不是 8。再寫成兩個因式並展開回查。

阿芳試的 (4x+3)(x+1) 展開是 4x²+7x+3，一次項是 7，不是 8；但她漏了 4 還能拆成 2×2。左欄 (2, 2)、右欄 (1, 3)：2×3+2×1=8，符合；因式是 (2x+1)(2x+3)。回查：(2x+1)(2x+3) = 4x²+8x+3。所以這個二次式分解得了，她的說法不對。

• 錯法：只用 4=4×1 的另一種排法，寫成 (4x+1)(x+3)。展開得 4x²+13x+3，與題目不符。補救：展開一次項是 13，不是 8；4×1 這種拆法的兩個右欄排法，一次項是 7 或 13，都不是 8，要改用 2×2。

先展開小美的答案，比較一次項。

常數項是負數，所以兩個數一正一負。她選對了 4 和 6，想一想：正負號應該分給誰，才會讓兩數的和是 −2？

兩數的和是 −2，絕對值較大的那個要是負的。4 與 6 之中，絕對值較大的是哪個？

4 與 6 之中要有一個帶負號，試 4+(−6) 與 (−4)+6，哪一個是 −2？再把正負號放好，寫成兩個因式並展開回查。

(x−4)(x+6) 展開是 x²+2x−24，一次項是 2，不是 −2。4 與 6 這兩個數是對的，問題在符號：b=−2 是負的，絕對值大的 6 要配負號，4 配正號，4+(−6)=−2。 正確分解：(x+4)(x−6)。回查：(x+4)(x−6) = x²−2x−24。

• 錯法：取 3 和 8，寫成 (x−3)(x+8)。展開得 x²+5x−24，與題目不符。補救：3×8=24 沒錯，但 3 與 8 的差是 5，不是 2，一次項是 +5。

先展開小傑的答案，看一次項的符號和大小。

常數項 9 是正的，所以兩個常數同號；一次項是負的，所以這兩個常數是正還是負？

兩個常數都是負數，乘積是 9。把 9 的所有負因數配對列出來，左欄 (2, 1)，右欄上下順序也要換著試，各算交叉和 p×s+r×q。

左欄 (2, 1)，右欄可能是 (−1, −9)、(−9, −1)、(−3, −3)，哪一組的交叉和是 −9？找到之後寫成兩個因式並回查。

(2x+3)(x+3) 展開是 2x²+9x+9，一次項是 9，不是 −9。3 與 3 的選擇沒錯，但 b=−9 是負的、c=9 是正的，所以 q、s 都要是負數。正確的右欄是 (−3, −3)：2×(−3)+1×(−3)=−9。 正確分解：(2x−3)(x−3)。回查：(2x−3)(x−3) = 2x²−9x+9。

• 錯法：符號對了但數字不對，寫成 (2x−9)(x−1)。展開得 2x²−11x+9，與題目不符。補救：符號對了，但 2×(−1)+1×(−9)=−11，不是 −9。符號正確之後，還是要核交叉和。

先展開小玲的答案，比較一次項的符號。

她的兩個常數 −5 與 2 乘起來是 −10，沒錯，所以問題出在哪裡？試試把兩個符號對調。

把小玲的右欄 (−5, 2) 的正負號對調，左欄 (3, 1) 不動，再算交叉和 p×s+r×q。

對調後右欄是 (5, −2)：p=3、r=1、q=5、s=−2，算 p×s+r×q，看是不是 −1。再寫成兩個因式並回查。

(3x−5)(x+2) 展開是 3x²+x−10，一次項是 1，不是 −1。5 與 2 的數字是對的，只是 5、2 的正負放反了：右欄 (5, −2) 的交叉和是 3×(−2)+1×5=−1，符合；而 (−5, 2) 的交叉和是 3×2+1×(−5)=1。 正確分解：(3x+5)(x−2)。回查：(3x+5)(x−2) = 3x²−x−10。

• 錯法：取 10 和 −1，寫成 (3x+10)(x−1)。展開得 3x²+7x−10，與題目不符。補救：10×(−1)=−10 沒錯，但交叉和 3×(−1)+1×10=7，不是 −1。

長方形面積 = 長 × 寬。這題要把面積的二次式拆成兩個一次式相乘。

用十字交乘：首項係數 3 只能拆成 3×1，常數項 6 有幾種拆法？

6 的正因數配對有 1×6、2×3；因為一次項係數 11 是正的，右欄都是正數，右欄還要換上下順序來試。

左欄 (3, 1)，右欄試 (1, 6)、(6, 1)、(2, 3)、(3, 2) 四種，各算交叉和 p×s+r×q，哪一種是 11？找到之後寫出兩個因式，然後把 x=2 代入長、寬與面積。

3x²+11x+6 是 (3x+2)(x+3)。x=2 時：長 3×2+2=8，寬 2+3=5，面積 8×5=40；用面積式代入：3×4+11×2+6=12+22+6=40，兩邊一致。（長與寬哪個寫在前面都可以。）

• 錯法：只湊首末，寫成 (3x+6)(x+1)。展開得 3x²+9x+6，與題目不符。補救：展開一次項是 9，不是 11；x=2 時面積是 36，不是 40。
• 錯法：換另一組配對，寫成 (3x+1)(x+6)。展開得 3x²+19x+6，與題目不符。補救：展開一次項是 19，不是 11；x=2 時面積是 56，不是 40。

這題反過來：先拆常數項，再看 k 是什麼。

q×s=12，而且 k 是 q 與 s 的和。k 是正的，q、s 的符號有什麼限制？

12 的正因數配對有幾組？每一組的和是多少？別忘了 q、s 要同為正（因為 k>0）。

12 的正因數配對有 1×12、2×6、3×4 三組。算出每一組的和，就是 k 的可能值，再把每一個對應的分解寫出。

三組：(x+1)(x+12) = x²+13x+12，k=13；(x+2)(x+6) = x²+8x+12，k=8；(x+3)(x+4) = x²+7x+12，k=7。所以 k 可能是 7、8、13。k=7 的分解就是 (x+3)(x+4)。

• 錯法：只寫出 k=7，漏掉其他組。補救：12 的配對有三組，不是只有 3×4。2×6 對應 k=8，1×12 對應 k=13，都要算。
• 錯法：答 k=1、2、3、4、6、12（12 的因數）。補救：k 是 q 與 s 的和，不是 12 的因數。例如 k=2 時 x²+2x+12 找不到整數 q、s 使 q×s=12 且 q+s=2。

先看三個係數 3、3、−18 有沒有共同的因數。

先把共同因數提出來，剩下的二次式係數會變小，再做十字交乘。

三個係數都是 3 的倍數，提出 3 之後，剩下的二次式是 x²+x−6，首項係數是 1。

x²+x−6：找兩個數，乘積 −6、和 1。再把提出的 3 放回答案的最前面。

3x²+3x−18 = 3(x²+x−6)；x²+x−6 中，3×(−2)=−6，3+(−2)=1，所以 = (x+3)(x−2)。答案：3(x+3)(x−2)。回查：3(x+3)(x−2) = 3(x²+x−6) = 3x²+3x−18。

• 錯法：提出 3 以後忘了把 3 放回去：(x+3)(x−2)。補救：(x+3)(x−2) 展開是 x²+x−6，只有原式的三分之一，必須寫成 3(x+3)(x−2)。
• 錯法：把 3 放進錯的因式：3(x+6)(x−3)。補救：3(x+6)(x−3) 展開是 3x²+9x−54，不是原式；x+6、x−3 的乘積是 −18，要的是 −6。