運算律：為什麼算式能換寫而不換值

先看一筆假想的採購：買二十四本筆記本，每本一百九十八元，總價是多少？

照著單價乘數量，可以算出：

另一個人沒有直接算一百九十八，而是先把每本當成兩百元，再扣掉每本多算的兩元：

兩種算法走的路不同，卻都在計算同一筆採購。可是，若有人寫成 $24\times 200-2$，事情就變了：前面二十四本都多算了錢，後面卻只扣回一本多算的兩元。

因此，算式能不能改寫，不能只看改完是否比較短、比較好算。我們真正需要判斷的是：改寫之後，還是不是原來那個數量關係？

運算律就是對這件事作出說明。它讓我們不必每次都把兩邊重新算完，才知道兩種寫法是否相等；但它也劃出界線，告訴我們哪些地方不能隨意移動。

人類早已有算法，需要釐清的是算法憑什麼有效

運算律不是某一天突然出現，人類才開始會算數。在古埃及留下的數學材料中，已經可以看到利用倍增與加總完成乘法的方法：先算出一份、兩份、四份、八份的數量，再挑出需要的部分合起來。這是一套有效的計算技術，不是沒有現代名稱就沒有數學知識。〔史料一〕

以下用本文自編的數字示意。要算十三個十七，可以先得到：

一個十七是十七，兩個是三十四，四個是六十八，八個是一百三十六。十三可以分成一加四加八，所以十三個十七就是：

若把一次兩數相加算作一步，而且暫不計拆分十三與選取各列的工作，這裡倍增三次、合併兩次，共用了五次加法；把十三個十七逐次相加，則要十二次加法。這種組織方式，已經能減少重算。

這個方法本身可以換數字重用，並不是只能解這一題。不過，掌握一套有效算法，與能夠判斷各種改寫是否合法，仍是兩種不同的能力。用幾個算對的例子，可以核對這幾題；要說明一整類改寫為什麼成立，還得找出不依賴特定數字的理由。這是說明範圍的差別，不是說古人算不出答案。

古代也不只有計算程序。《幾何原本》第七卷第十六命題，已經論證兩個數交換相乘次序，所得相等。這裡的「數」是由單位組成的正整數，並不是今天包含負數的有理數範圍。〔史料二〕

這類論證增加的，不是另一張列滿答案的乘法表，而是一個能反覆引用的關係：只要問題符合條件，就不必把每一對數重新相乘，才能確認交換後仍然相等。

因此，運算律的意義不只是「算得快」。它把一個更重要的問題放到眼前：當我們選擇另一條計算路徑，憑什麼確定自己仍在處理同一個數量關係？

交換與結合：改變安排，不改變參與運算的數

先從加法看起。

假想桌上有十八張白紙和七張色紙，若只問紙張總數，先記十八再記七，或先記七再記十八，都沒有增加或拿走任何紙張：

這是加法交換律。交換的是兩個加數的位置。

加入負數後，移動的仍然必須是完整的加數。例如：

這裡的第二個加數是「負七」，不是一個可以把負號丟在原地的七。若把式子換成 $7+(-18)$，就已經換掉參與運算的數。

減法不能照搬這種交換。$8-3=5$，但 $3-8=-5$。前者是八減三，後者是三減八，兩者本來就在問不同的差。

若要把 $8-3$ 改寫成可以交換的加法，必須先保留減法的意思：

不是「減法也能交換」，而是先把減去三寫成加上負三，再使用加法交換律。

乘法也有交換律。想像十二個圓點排成三排，每排四個。按橫排數，是四加四加四；按直列數，是三加三加三加三。兩種方式都把每個圓點恰好算了一次，所以：

這是正整數情境的直觀解釋，不是《幾何原本》的原證明。該書第七卷第十八命題確實使用了前述的乘法交換結果，再論證乘積之間的比。已經證明的關係，成為下一步推理的根據。〔史料三〕

交換時，同樣要保留完整因子。譬如：

這裡是「三」與「整個八減二」相乘，交換後，括號內的內容必須一起移動。它不是讓你從括號中挑一個數出來交換。

再看結合律。它處理的不是誰排前面，而是誰先和誰合起來。

左邊先算六十二加七，得到六十九，再加三十八；右邊先讓三十八與六十二湊成一百，再加七。三個加數一直依照三十八、六十二、七的順序排列，改變的只有先加的分組。

所以，交換律改位置，結合律改分組。 兩者不能混成一句「數字可以隨便搬」。

乘法的結合律也可以從分組理解。以下是另一個假想情境：有六箱鉛筆，每箱四盒，每盒二十五枝。

先算每箱的枝數，是：

先算總共有幾盒，再算枝數，則是：

六、四、二十五的次序沒有改變。兩種分組都在計算同一批鉛筆，只是先把哪一層合起來不同。

在本篇所用的有理數精確運算中，這些交換與結合規律也適用於負數、零、簡單分數與有限小數；但上面的實物圖解，只直接解釋了其中的正整數情形。例如，分數也可以這樣重新分組：

但結合律不是「括號都可以不管」。減法就有反例：

第一個式子從十二中先減五，再減二；第二個式子先求出五與二的差，再從十二中減去那個差。括號一改，後面要減去的數就改了。

運算律讓人能選擇計算路徑，前提是先認出自己正在做哪一種運算。

分配律：整體算與分開算，為什麼可以相等

交換與結合，主要是在同一種運算中調整安排。分配律則連接乘法與加法，說明「先合起來再乘」和「分別乘完再合起來」之間的關係。

這種關係也有很早的論證。《幾何原本》第二卷第一命題討論：把長方形的一條邊任意分成若干段，整個長方形的面積等於分割後各長方形的面積之和。原文用的是線段與長方形，不是今天的代數公式；但我們可以用現代數學語言辨認其中的分配關係。〔史料四〕

用本文自編的尺寸來看：一個長方形高四公分，寬九公分，把寬分成六公分與三公分。

整個面積是：

分開算，左邊面積是二十四平方公分，右邊是十二平方公分：

為什麼相等？不是因為三十六碰巧出現兩次，而是因為分割沒有留下空隙，也沒有把某一塊重複計算。兩塊都保有原來四公分的高度，所以四必須同時乘到六與三。

更重要的是，這個理由不依賴六與三這兩個特定數字。只要仍是把同一個長方形完整分割，整體與部分的關係就保留著。論證因此能涵蓋一類情形，而不只是核對一張圖的答案。

回到開頭的採購，一百九十八可以看成兩百減二，因此：

每一本都少兩元，二十四本就要少二十四個兩元。這是乘法對差的分配。若只減一次兩元，便沒有把每一份的差額完整計入。

分配律也可以反方向使用。假想兩班購買同樣單價的筆記本，一班十二本，另一班八本，每本一百九十八元：

左邊把兩班分開算，右邊先合併本數。共同的一百九十八沒有消失，而是保留在括號外，表示合併後每一本仍按同一單價計算。

這就是逆向提取共同因子的意思：辨認原來分開寫的幾筆運算，其實共享同一個完整因子。

可是，除法不能因為外表相似，就對除數中的和作同樣分配：

而

把十二除以四，與把十二分別除以三、除以一再相加，並不是同一件事。分配律說的是特定運算之間的關係，不是所有括號外的符號都能「分進去」。

數字包含負數時，理由也必須跟著釐清

長方形很能幫助我們理解分配，但它也提醒我們注意解釋的界線：普通長方形沒有負三公分的邊長。因此，一張正長度的分割圖，不能單獨代替所有負數運算的說明。

十九世紀，皮考克在一八三〇年的《代數論》中，區分算術代數與符號代數，嘗試在放寬符號原有解釋限制時保留等值形式；這些做法的根據與範圍，也受到同時代數學家的討論。他要整理的，不是某一題的答案，而是符號的解釋改變後，哪些規則仍應保留，以及如何說明。〔史料五〕

我們不必學習那些更高階的理論，也能在負號上看見同一個要求：不能只因為式子看起來熟悉，就略過它的意思。

先抓住相反數的定義：與原數相加得到零的那個數，就是原數的相反數。

三的相反數是負三，負三的相反數則是三。所以，式子前面的負號，首先表示「取相反數」，不是保證結果一定小於零。

下面的 $a$、$b$ 代表有理數，可以是正數、負數或零。那麼，$-(a+b)$ 表示什麼？

它表示取「整個和」的相反數。把 $a$ 與 $b$ 各自換成相反數，便能與原來的和抵消：

因此：

這裡用到的，正是前面學過的加法交換與結合：讓每個數與自己的相反數配在一起。去括號不是一條孤立的「變號口訣」，而是由相反數的意義推得的結果。

以具體數字回查：

依規則去括號，也得到：

若只改第一項，卻保留第二項的正七，就會得到 $4+7=11$。十一與原來的三相加不會等於零，自然不是整個和的相反數。

差式也是同一道理。減去 $b$，就是加上 $b$ 的相反數：

因此，取整個差的相反數時，$a$ 要換成 $-a$，而原來參與加總的 $-b$，取相反數後會回到 $b$：

譬如，八減三是五，整體取相反數應該得到負五：

若寫成 $-8-3$，結果是負十一，就沒有保住原來的意思。

這個規則也不要求 $a$、$b$ 本身都是正數。假設 $a=-4$、$b=-7$，原來的差是：

它的相反數是負三。而按照 $-a+b$ 改寫，得到：

字母代表負數時，仍然先看它在算式中的角色，不是看見幾個負號就憑印象決定答案。

同樣的完整性，也適用於負數乘上括號：

負三必須分別乘到負四與正二。第一個乘積是正數，不代表第二個乘積也跟著變正。從相反數的角度看，乘以負三，等於先乘以三，再取整體的相反數；因此，分開計算後，兩個部分都必須取相反數，不能只改其中一個。

回到原式檢查，括號內是負二，負三乘負二也是六。兩條計算路徑互相核對，便能看出把後半段誤寫成加六的問題。

今天的用途：不只算得快，也能辨認是不是改了問題

前面的假想團購，可以把整個過程連起來：

先用分配律的反方向，把相同單價的兩筆數量合併；再用正方向，把較難乘的一百九十八改成兩百減二。

若分開計算，則是：

這裡，運算律同時提供兩種能力：一種是設計較省力的算法，另一種是讓不同算法互相檢查。

把這個關係放進一份假想的現代團購試算表，就能用兩條計算路徑核對總價。這種直接合併本數的改寫，以兩批單價相同為前提。

若第二班每本只付一百八十八元，總價就應該是：

此時若仍寫成 $(12+8)\times 198$，就會多算八十元。商品名稱相同，不保證單價相同；不能保留原本的兩批本數，卻擅自把不同單價改成同一個數。

還有一個更容易忽略的條件：計算途中有沒有加入別的操作？

再設想兩種不同的計費程序：每件商品五元，打九折，金額要四捨五入到整元。本例明定，遇到四點五元就進為五元。

第一種程序先把兩件合計、打折，最後才四捨五入：

九元已經是整數，所以最後仍收九元。第二種程序則讓每件先打折，再各自四捨五入：每件的四點五元成為五元，兩件合計便是十元。

這不是分配律忽然失效。在精確計算中，四點五加四點五仍然等於九。差別來自其中一條程序多了「每件先四捨五入」；運算律並沒有准許我們把這一步移走。

所以，看懂運算律的人，不只是會把數字搬到好算的位置，也會追問：單價是否一致？每一項是否都被乘到？負號作用於哪個整體？中途是否改變了數值？

這些問題，往往比最後按一次計算機更重要。

回看前面的計算、幾何論證與符號討論，我們可以看見一條共同的問題線索：不只留下答案，也把能重用、能檢查的理由說清楚。今天我們學交換、結合、分配與相反數，不是在背幾條彼此無關的口訣，而是在學習辨認算式中的哪些關係可以保留。

等號兩邊可以長得很不一樣，卻仍然表示同一個數；兩個式子也可能只差一個括號，就已經在問不同的問題。

真正的熟練，是在改寫之前知道自己改了什麼，也知道自己必須保住什麼。