矩陣：把多個量與作用規則一起組織

ALG09｜矩陣：把多個量與作用規則一起組織

適用入口／必要先備／範圍邊界

適用入口：11 年級數學 A。本篇以「列欄語意、線性組合、有序乘法」為共同骨架，再討論二階矩陣可以反向還原的條件。本文只處理實數元素的矩陣。

必要先備：能進行實數四則運算，理解分配律與代數式代入；能用代入或消去處理簡單的二元一次聯立方程式；能閱讀資料表的分類、順序與單位。閱讀電腦示範時，需要會在已備妥的環境中貼上、執行及保存程式，但不要求先學過程式設計。矩陣、單位矩陣及二階反矩陣的必要觀念，都在本文內建立。

範圍邊界：資料表示與線性組合不限定為方陣；核心乘法示例是一個 $2 \times 3$ 矩陣與一個 $3 \times 2$ 矩陣的指定有序乘積，完整求出四個分量。反矩陣的計算只處理 $2 \times 2$ 可逆情形。本文不另算核心示例的反序乘積，不練矩陣高次冪，不另設高階方陣的乘積計算，也不展開高階反矩陣、轉置運算、平面線性變換或轉移矩陣。課綱將反方陣的確切計算限制在二階，並把平面線性變換與二階轉移方陣另列於 F-11A-3；不能把這項限制誤讀成所有矩陣運算都只能使用二階方陣。國家教育研究院：數學領域課綱（107年6月）

閱讀後，你應能把資料表寫成矩陣並解釋指定元素，計算同型矩陣的線性組合，按照指定順序求出相容尺寸矩陣的乘積，求可逆二階矩陣的反矩陣並回查，以及保存電腦運算紀錄、人工說明至少一個輸出元素的來源。

一、把數字排進方括號，究竟增加了什麼？

看到矩陣，最容易產生的疑問是：這不就是一張沒有表格線的數字表嗎？既然每一格最後仍然要做加減乘除，為什麼值得另學一套運算？

這個疑問抓住了一半的事實。矩陣沒有取消原來的算術，也不是在它出現以前，人們就不會處理多個未知數。矩陣代數形成以前，線性方程與行列式已經是數學研究的一部分；不能把「後來形成新的整體表示」說成「以前沒有有效方法」。MIMS EPrints

以十九世紀的一個代表節點來看：Arthur Cayley 在 1858 年的〈矩陣理論論文〉開頭，從一組線性方程式的簡寫引入矩陣，把分散在各條式子中的係數組織成一個整體，再研究這個整體如何相加、相乘與組合。他並不是先宣稱方程式無法計算，而是提出：一整組係數，也可以成為值得單獨運算與研究的數學對象。Archive.org

原有方法能做到什麼？我們可以逐條寫出關係，把前一組式子代入後一組式子，再利用分配律整理。這些方法依然正確。

不過，從表示方式來比較，當輸入、輸出和處理階段一起增加時，除了算術，還有一項工作必須一直做：追蹤「哪個係數屬於哪個量」「哪一組結果要交給下一組規則」。

矩陣增加的，不只是比較短的寫法，而是把這些位置關係固定下來，讓我們可以區分：

資料如何排列、同類資料如何合併，以及一組規則如何接到另一組資料或規則上。

下面用一個學校活動的教學情境說明。所有包裝內容與訂購數量都是為了講解而設定，不是歷史事件，也不是實際調查資料。我們會用它比較兩種表示方式，不把這個情境倒寫成矩陣的歷史發明原因。

二、一個元素不只是一個數，還有兩個位置

假設學校活動使用甲、乙、丙三種材料包，兩個班級的原始訂購表如下。

包別	一班訂購數，單位：包	二班訂購數，單位：包
甲包	3	2
乙包	4	1
丙包	2	5

如果保留分類順序，把數字部分寫在方括號內，就得到

B = [\begin{matrix} 3 & 2 \\ 4 & 1 \\ 2 & 5 \end{matrix}] .

本文採用臺灣數學課程手冊的名稱約定：

列是橫向的一排，對應英文 row；行是直向的一排，對應英文 column，也就是資料表常說的「欄」。〔來源：國家教育研究院數學領域課程手冊（114年1月），印刷第 576 頁〕

所以 $B$ 有三列、兩行，是一個 $3 \times 2$ 矩陣，讀作「三乘二矩陣」。第一個數說明橫列有多少，第二個數說明直行有多少；它不是在要求先算 $3 \times 2 = 6$ ，再把尺寸叫作「六階」。

在本文處理的實數範圍內，一個由實數按固定位置排成、具有 $m$ 列與 $n$ 行的長方形數表，稱為 $m \times n$ 矩陣，其中 $m, n$ 是正整數。當 $m = n$ 時，才是方陣； $n \times n$ 方陣又稱為 $n$ 階方陣。

若把矩陣記為

A = [a_{i j}],

那麼 $a_{i j}$ 表示第 $i$ 列、第 $j$ 行的元素，其中

1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n .

這兩個下標的先後不能交換。

回到訂購表， $b_{32} = 5$ 的意思不是「第三十二個數」，而是：

先找第三列，也就是丙包；再找第二行，也就是二班。因此，它表示二班訂購五包丙包。

同樣地，

b_{12} = 2

表示二班訂購兩包甲包；它不是一班訂購兩包丙包，儘管表內確實也有那個數字。

這裡有一項重要限制：方括號會保留數字的位置，卻不會自動保留位置的現實意義。

如果有人把直行順序改成「二班、一班」，卻沒有一起更改標籤與使用規則，數字可能一個都沒抄錯，解讀卻已經錯了。因此，保存矩陣資料時，還要保存橫列名稱、直行名稱、排列順序及單位。

數學上，兩個矩陣相等，必須尺寸相同，而且每個相同位置的元素都相等。但作為現實資料，即使兩個矩陣在數學上相等，若它們使用不同的分類或單位，也未必是在記錄同一件事。

三、線性組合：相同位置，必須還在說同一件事

假設活動改辦兩次，每次都採用原來的訂購方案 $B$ ，那麼各項訂購數都變成原來的兩倍：

2 B = [\begin{matrix} 6 & 4 \\ 8 & 2 \\ 4 & 10 \end{matrix}] .

這叫作矩陣的係數積：用一個數乘矩陣時，每個元素都乘上那個數。係數 $2$ 不是只乘第一列，也不是只改矩陣的尺寸。

接著，兩次活動合計取消的包數記為

D = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}] .

這張表的橫列仍依序是甲包、乙包、丙包，直行仍依序是一班、二班，單位仍然是包。新的訂購方案因而是

L = 2 B - D .

逐格計算：

\begin{aligned} L & = [\begin{matrix} 2 \cdot 3 - 1 & 2 \cdot 2 - 0 \\ 2 \cdot 4 - 0 & 2 \cdot 1 - 1 \\ 2 \cdot 2 - 1 & 2 \cdot 5 - 2 \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} 5 & 4 \\ 8 & 1 \\ 3 & 8 \end{matrix}] . \end{aligned}

例如右下角的 $8$ ，表示二班原本兩次共訂購 $2 \cdot 5 = 10$ 包丙包，取消兩包後，剩下八包。

這種由矩陣的係數積、加法與減法組成的式子，稱為矩陣的線性組合。若 $B, D$ 都是 $m \times n$ 矩陣， $α, β$ 是實數，則

{(α B + β D)}_{i j} = α b_{i j} + β d_{i j} .

這個公式說的是：結果在第 $i$ 列、第 $j$ 行的數，由原來兩張表在相同位置的數來組成。

為什麼要求同型，也就是尺寸相同？因為不同尺寸的表，未必有完整的一一對應位置。即使尺寸相同，現實解釋仍須再過一關：那些位置是否代表相同的對象與相容的單位？

例如，若 $D$ 的第一行其實是一張「二班取消數」表，直接計算 $2 B - D$ ，就可能拿一班的需求去減二班的取消數。數學上的逐格相減做得出來，不代表它回答了正確的現實問題。

我們也可以把結果加回取消數，檢查是否回到原先的兩倍方案：

\begin{aligned} L + D & = [\begin{matrix} 5 & 4 \\ 8 & 1 \\ 3 & 8 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} 6 & 4 \\ 8 & 2 \\ 4 & 10 \end{matrix}] = 2 B . \end{aligned}

這個回查確認了本例的加減計算。但倘若一開始就把班級標籤弄反，純粹的加減回查未必會發現它。因此，算式回查與資料語意回查，是兩件都要做的事。

係數也可以是零或負數。例如，所有元素都是零的 $3 \times 2$ 矩陣記為 $O_{3 \times 2}$ ，則

0 B = O_{3 \times 2}, B - B = O_{3 \times 2} .

零係數不會把矩陣的尺寸消掉。另一方面，線性組合在數學上允許得到負數或非整數；但在這個訂購情境中，若算出負的包數或不能拆分的零碎包數，就不能直接把它當成可執行的訂購方案。

四、矩陣乘法：不是同位置相乘，而是沿共同分類配對

接著回到原始訂購表 $B$ ，問另一個問題：每班需要多少支鉛筆、多少張卡紙？

假設三種材料包的內容如下，而且每包配方固定、不另外加贈材料。

材料	每甲包含量	每乙包含量	每丙包含量
鉛筆，單位：支	2	1	0
卡紙，單位：張	1	0	3

把配方寫成矩陣：

A = [\begin{matrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{matrix}] .

這次，橫列代表材料，直行代表包別。 $a_{12} = 1$ 表示每乙包有一支鉛筆； $a_{13} = 0$ 則表示丙包不含鉛筆。這裡的零是確定的「沒有」，不是尚未調查的空缺值。

現在注意兩張表的接合處： $A$ 的三個直行，依序是甲包、乙包、丙包； $B$ 的三個橫列，也依序是甲包、乙包、丙包。

共同分類都是包別，而且順序一致。因此，我們可以把「每包需要多少材料」與「一共訂購多少包」配對。

先看一班的鉛筆需求。一班訂購三包甲包、四包乙包、兩包丙包，所以需要

2 \cdot 3 + 1 \cdot 4 + 0 \cdot 2 = 10

支鉛筆。

每一項都有具體意義。例如

2 支／甲包 \times 3 甲包 = 6 支 .

三項相加時，相加的都已經是鉛筆支數，而不是把支數和包數混加。

這正是矩陣乘法在此處的規則：拿左側矩陣的一個橫列，與右側矩陣的一個直行，按相同的中間分類逐項相乘，再把結果加起來。

令

P = A B .

四個元素分別是

\begin{aligned} p_{11} & = 2 \cdot 3 + 1 \cdot 4 + 0 \cdot 2 = 10, \\ p_{12} & = 2 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 5 = 5, \\ p_{21} & = 1 \cdot 3 + 0 \cdot 4 + 3 \cdot 2 = 9, \\ p_{22} & = 1 \cdot 2 + 0 \cdot 1 + 3 \cdot 5 = 17 . \end{aligned}

因此

A B = [\begin{matrix} 10 & 5 \\ 9 & 17 \end{matrix}] .

結果的橫列沿用 $A$ 的材料分類，直行沿用 $B$ 的班級分類。因此，一班需要十支鉛筆、九張卡紙；二班需要五支鉛筆、十七張卡紙。

結果矩陣的不同橫列可以記錄不同單位：第一列是鉛筆支數，第二列是卡紙張數。這不妨礙本例成立，因為每一格內部加總的各項，都已換成同一種材料的同一單位；我們沒有把兩列相加成一個含義不明的「材料總數」。

尺寸為什麼必須接得上？

$A$ 是 $2 \times 3$ ， $B$ 是 $3 \times 2$ ，所以

(2 \times 3) (3 \times 2) ⟶ 2 \times 2 .

內側的兩個 $3$ 必須相同，因為一個橫列取出的三個配方係數，要和一個直行取出的三個訂購數逐項配對。外側的 $2$ 與 $2$ ，則分別留下兩種材料與兩個班級。

一般而言，若 $A$ 是 $m \times n$ ， $B$ 是 $n \times r$ ，則 $A B$ 是 $m \times r$ ，而

{(A B)}_{i j} = a_{i 1} b_{1 j} + a_{i 2} b_{2 j} + \dots + a_{i n} b_{n j} .

其中， $i$ 指定左側矩陣的橫列， $j$ 指定右側矩陣的直行；中間的位置 $1, 2, \dots, n$ 逐一配對。NumPy 的二維矩陣乘法也採用這個內側尺寸必須相等的規則。NumPy

但仍要記住：尺寸相容，只保證數字可以依規則配對；在應用中，中間分類的名稱、順序與單位也必須相容。

同一個乘積，也是在組合幾種基本配方

我們還可以從另一個方向理解一班的需求。

三種材料包各自的內容，是 $A$ 的三個直行：

[\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}], [\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}], [\begin{matrix} 0 \\ 3 \end{matrix}] .

每個直行的上方都記鉛筆支數，下方都記卡紙張數。一班訂購三、四、兩包，便是把三種配方分別取三倍、四倍、兩倍，再逐位置相加：

3 [\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}] + 4 [\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}] + 2 [\begin{matrix} 0 \\ 3 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 10 \\ 9 \end{matrix}] .

所以，矩陣乘法並不是和線性組合毫無關係的新口訣。 $A B$ 的每一個直行，都是按照 $B$ 對應直行提供的係數，對 $A$ 的各個直行作線性組合。

「橫列乘直行」告訴我們一格怎麼算；「配方的線性組合」則告訴我們，整個輸出為什麼應該這樣形成。

五、有序乘法：把規則接起來，不能任意調換前後

普通數的乘法可以交換，例如 $2 \cdot 3 = 3 \cdot 2$ 。但不要因此直接認定矩陣也可以任意交換。

本例的 $A B$ ，是在把 $B$ 中各班的包數，交給 $A$ 的材料配方處理。若把兩張表視為連接的作用規則，就是右側提供中間量，左側再處理那些量。

反過來寫，所接合的分類已經不同。本例即使只看數學尺寸，也能知道反序乘積會是 $3 \times 3$ ，不會是我們需要的「兩種材料對兩個班級」的 $2 \times 2$ 結果。沒有必要另算它的各格，就已經能判斷它不是本題指定的輸出。

因此，正確說法不是「任何兩個矩陣換序後一定不同」，而是：

矩陣乘法沒有可以任意交換的保證；順序本身就是運算內容的一部分。

Cayley 在 1858 年的論文中，從連續兩組線性關係的代入說明矩陣乘法，並指出這種組合一般不具交換性。這不是為了讓運算變麻煩而增加的禁令，而是要忠實保留原來關係的先後。Archive.org

算出乘積後，我們得到的不只是一張答案表

假設完整照辦一班方案 $s$ 次、二班方案 $t$ 次，其中 $s, t$ 是非負整數。從原始訂購表可知，三種包的總數依序是

3 s + 2 t, 4 s + t, 2 s + 5 t .

若逐條代入配方，鉛筆需求是

2 (3 s + 2 t) + (4 s + t) = 10 s + 5 t,

卡紙需求是

(3 s + 2 t) + 3 (2 s + 5 t) = 9 s + 17 t .

這裡的四個係數 $10, 5, 9, 17$ ，恰好就是 $A B$ 的四個元素。

原來， $A B$ 不只保存這兩個班的一次答案，也把「先決定包數，再計算材料」合成了可以重複使用的規則。只要配方與方案內容不變，就可以利用這四個係數，處理不同的 $s, t$ 。當 $s = t = 0$ 時，兩項材料需求也都是零，符合沒有採用任何方案的情況。

逐條代入當然也能得到相同結果。把算式寫成矩陣，不會憑空取消首次求出四個元素所需的乘加工作。它改善的是另一個層次：

把反覆出現的配對方式變成統一規則，讓整組資料與整組作用可以一起表示、組合、檢查和重用。

這也說明矩陣代數形成時的一項改變：研究者不只問「這組未知數是多少」，也能把一整組係數當成對象，研究其加法、組合、單位作用與逆向作用。Cayley 的原論文確實逐項建立了這些運算關係。Archive.org

不過，理論提出不等於立即普及。Nicholas Higham 在討論早期矩陣理論的書評中，引述 Tony Crilly 的研究指出，Cayley 的這篇論文起初並未獲得相稱的後續發展。不能把今天的使用規模倒寫成當時已經發生的影響。MIMS EPrints

六、反矩陣：不是每一組作用都能倒回去

前面一直在做正向工作：知道各種包數，求材料總量。

現在反過來：只知道材料總量，能不能還原原先的包數？

先把問題限制清楚。另一次活動只使用甲包與乙包，不使用丙包，配方仍然是甲包兩支鉛筆、一張卡紙，乙包一支鉛筆、不含卡紙。配方矩陣因此是

M = [\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] .

若甲包有 $x$ 包、乙包有 $y$ 包，鉛筆總數為 $u$ ，卡紙總數為 $v$ ，則

u = 2 x + y, v = x .

利用原有的代入方法，立刻得到

x = v, y = u - 2 v .

這已經是一套反向規則：從材料總量回到包數，而且不必每換一組總量，就重新設計解法。

寫成矩陣形式，就是

[\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & - 2 \end{matrix}] [\begin{matrix} u \\ v \end{matrix}] .

這張反向規則表，便是 $M$ 的反矩陣，記為 $M^{- 1}$ ，也稱為反方陣。

什麼才算真的「還原」？

二階單位矩陣定義為

I_{2} = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}] .

它的作用是不改變原來的兩個量：

I_{2} [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] .

所以，反矩陣不能只是針對某一組數字碰巧算回去。它必須與原矩陣互相組合後，得到不改變輸入的規則：

M M^{- 1} = M^{- 1} M = I_{2} .

這是反矩陣的定義；存在反矩陣的方陣，稱為可逆方陣。這裡的還原，是對任意實數輸入成立的完整代數規則，不只是某一筆資料的猜測。Cayley 的原文也以兩種組合順序都得到單位矩陣來說明反矩陣。Archive.org

單位矩陣也提供了一個重要的相等情形：對任何二階矩陣 $M$ ，都有

I_{2} M = M I_{2} = M .

因此，「不能任意交換」確實不等於「換序後永遠不同」。

二階公式為什麼是那個樣子？

對一般二階矩陣

M = [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}],

正向關係是

u = a x + b y, v = c x + d y .

把第一式乘 $d$ ，第二式乘 $b$ ，再相減：

d u - b v = (a d - b c) x .

同理，把第二式乘 $a$ ，第一式乘 $c$ ，再相減：

a v - c u = (a d - b c) y .

令

Δ = a d - b c .

這個數稱為 $M$ 的二階行列式，也寫成 $det M$ 。當 $Δ \neq 0$ 時，就可以除以它，得到

x = \frac{d u - b v}{Δ}, y = \frac{- c u + a v}{Δ} .

因此，反向規則的係數矩陣是

M^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} [\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix}] (a d - b c \neq 0) .

「交換對角線元素、另外兩格變號，再除以行列式」可以作為記法；但它不是沒有理由的排列口訣。上面的消去過程，解釋了每一個係數為什麼會出現在那個位置。

還可以直接確認這個公式確實形成雙向還原。令

J = [\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix}],

則

M J = [\begin{matrix} a d - b c & - a b + b a \\ c d - d c & - b c + a d \end{matrix}] = Δ I_{2},

而

J M = [\begin{matrix} d a - b c & d b - b d \\ - c a + a c & - c b + a d \end{matrix}] = Δ I_{2} .

所以，當 $Δ \neq 0$ 時，兩式除以 $Δ$ ，就得到

M (\frac{J}{Δ}) = (\frac{J}{Δ}) M = I_{2} .

這個推導沒有要求 $a$ 或 $d$ 各自非零；真正不能為零的是整個 $a d - b c$ 。

也因此，反矩陣不是把原矩陣每一格分別取倒數。我們的配方矩陣含有零，卻仍然有反矩陣；逐格取倒數在這裡根本無法完成。

完整計算與雙向回查

本例

M = [\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}]

的行列式為

det M = 2 \cdot 0 - 1 \cdot 1 = - 1 \neq 0 .

行列式是負數並不妨礙可逆；條件是「不等於零」，不是「大於零」。

所以

M^{- 1} = \frac{1}{- 1} [\begin{matrix} 0 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & - 2 \end{matrix}] .

依照矩陣乘法檢查：

\begin{aligned} M M^{- 1} & = [\begin{matrix} 2 \cdot 0 + 1 \cdot 1 & 2 \cdot 1 + 1 \cdot (- 2) \\ 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 & 1 \cdot 1 + 0 \cdot (- 2) \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}] . \end{aligned}

另一個方向也成立：

\begin{aligned} M^{- 1} M & = [\begin{matrix} 0 \cdot 2 + 1 \cdot 1 & 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \\ 1 \cdot 2 + (- 2) \cdot 1 & 1 \cdot 1 + (- 2) \cdot 0 \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}] . \end{aligned}

若材料總量是十支鉛筆、三張卡紙，就有

[\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & - 2 \end{matrix}] [\begin{matrix} 10 \\ 3 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix}] .

因此是三包甲包、四包乙包。回到原配方檢查：

2 \cdot 3 + 1 \cdot 4 = 10, 1 \cdot 3 + 0 \cdot 4 = 3 .

可逆，不等於每組材料總量都是可行的包裝方案

數學上的逆運算成立後，應用問題仍要檢查包數是否為非負整數。

在這個固定配方中，

x = v, y = u - 2 v .

所以，要得到非負整數包數，材料總量必須滿足

u, v 都是非負整數，且 u \geq 2 v .

當 $u = 2 v$ 時， $y = 0$ ，表示只用甲包；當 $v = 0$ 時， $x = 0$ ，表示只用乙包。兩種材料總量都為零時，還原結果就是 $x = y = 0$ 。

相反地，若輸入 $u = 1, v = 1$ ，反矩陣仍會給出唯一實數解

x = 1, y = - 1,

而且代回兩條式子確實成立。但「負一包乙包」不是可執行的包裝方案。

反矩陣保證的是實數範圍內的代數還原；現實可行性還要另外檢查。

不能反推，有時不是算得慢，而是資訊不夠

考慮另一個二階矩陣

N = [\begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix}] .

它的輸出關係是

u = x + 2 y, v = 2 x + 4 y = 2 u .

表面上記了兩個輸出，第二個卻只是第一個的兩倍，沒有提供另一項可以區分輸入的資訊。

例如，兩組不同的輸入

(x, y) = (2, 0) 與 (x, y) = (0, 1)

都得到

(u, v) = (2, 4) .

只拿到 $(2, 4)$ ，不可能用一個確定的反向規則，同時還原成這兩個不同的原始輸入。這不是多按幾次計算機就能解決的問題。

而且，不是每一對輸出都有對應的輸入。例如 $(u, v) = (2, 5)$ 不符合 $v = 2 u$ ，就不可能由這個矩陣產生。沒有反矩陣，不等於每組輸出都對應很多輸入；有些輸出根本產生不了。

本例恰好有

det N = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 2 = 0 .

對二階實矩陣，可逆的條件恰好就是 $a d - b c \neq 0$ 。為什麼等於零時一定不行？可以把零值與退化情形一起看清楚。

若第一列 $(a, b)$ 不全為零，則 $(b, - a)$ 是非零輸入，而且在 $a d - b c = 0$ 時，

[\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] [\begin{matrix} b \\ - a \end{matrix}] = [\begin{matrix} a b - b a \\ b c - a d \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}] .

它與零輸入產生相同輸出，無法唯一還原。

若第一列全為零、第二列 $(c, d)$ 不全為零，則改用非零輸入 $(d, - c)$ ：

[\begin{matrix} 0 & 0 \\ c & d \end{matrix}] [\begin{matrix} d \\ - c \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \\ c d - d c \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}] .

若兩列全為零，所有輸入更都得到零輸出。

因此，在所有實數輸入的範圍內， $a d - b c = 0$ 時不存在能全面還原輸入的反矩陣。另加現實限制後，某一筆資料可能碰巧只剩一個可行方案，但這不會使原矩陣因此變成可逆。

反矩陣所分辨的，是一組規則有沒有保留足以全面、唯一還原輸入的資訊。矩陣可以把許多量組織起來，卻不保證每一種組織方式都可逆。

七、把運算交給電腦，把判斷責任留下來

只要輸入與規則確定，矩陣運算就適合交給電腦重複執行。但「電腦有輸出」與「答案值得相信」，中間還隔著尺寸、順序、資料解釋和數值檢查。

以下使用 Python 的 NumPy 套件示範。對這裡使用的二維陣列，A @ B 表示矩陣乘積；* 則用來作逐元素相乘或係數積，不能把 A * B 當成 A @ B。本例的 $A, B$ 尺寸也不適合直接逐元素相乘。NumPy

還有一個記號差別要先知道：本文的數學下標從 $1$ 開始，NumPy 的陣列索引從 $0$ 開始。因此，數學上的 $p_{22}$ ，在這份程式中要讀取 P[1, 1]；M[0, 0] 則是 $M$ 左上角的元素。這只是索引起點不同，不是把橫列與直行交換。NumPy

在已備妥 Python 與 NumPy 的教學環境中，將下列完整輸入保存為 ALG09_matrix_audit.py：

import platform

import numpy as np



# A：橫列依序是鉛筆、卡紙；直行依序是甲包、乙包、丙包。

A = np.array([[2, 1, 0],

              [1, 0, 3]], dtype=np.int64)



# B、D：橫列依序是甲包、乙包、丙包；直行依序是一班、二班。

B = np.array([[3, 2],

              [4, 1],

              [2, 5]], dtype=np.int64)

D = np.array([[1, 0],

              [0, 1],

              [1, 2]], dtype=np.int64)



# M：另一次只使用甲包、乙包；輸出仍依序是鉛筆、卡紙。

M = np.array([[2, 1],

              [1, 0]], dtype=np.float64)



if B.shape != D.shape:

    raise ValueError("線性組合的兩個矩陣必須同型。")

if A.shape[1] != B.shape[0]:

    raise ValueError("AB 的內側尺寸不相等；請回查資料標籤。")

if M.shape != (2, 2):

    raise ValueError("本示範只允許二階反矩陣。")



# 本例的 M 使用可精確表示的小整數；這不是一般近似資料的判定程序。

delta = M[0, 0] * M[1, 1] - M[0, 1] * M[1, 0]

if delta == 0:

    raise ValueError("本二階矩陣不可逆。")



L = 2 * B - D

P = A @ B

R = np.linalg.inv(M)



print("Python:", platform.python_version())

print("NumPy:", np.__version__)

print("A.shape, B.shape, P.shape =", A.shape, B.shape, P.shape)

print("2B-D =", L.tolist())

print("AB =", P.tolist())

print("det(M) =", float(delta))

print("M_inverse =", R.tolist())

print("M @ M_inverse =", (M @ R).tolist())

print("M_inverse @ M =", (R @ M).tolist())

在檔案所在資料夾執行：

python ALG09_matrix_audit.py

要把輸出另存為文字紀錄，可以執行：

python ALG09_matrix_audit.py > ALG09_matrix_audit_output.txt

第二個指令會把原本顯示在終端機的正常輸出寫入指定檔案。保存時應同時保留程式與輸出，不能只留下最後的答案矩陣。

這份程式本次實際執行得到：

Python: 3.13.5

NumPy: 2.3.5

A.shape, B.shape, P.shape = (2, 3) (3, 2) (2, 2)

2B-D = [[5, 4], [8, 1], [3, 8]]

AB = [[10, 5], [9, 17]]

det(M) = -1.0

M_inverse = [[0.0, 1.0], [1.0, -2.0]]

M @ M_inverse = [[1.0, 0.0], [0.0, 1.0]]

M_inverse @ M = [[1.0, 0.0], [0.0, 1.0]]

版本號是這次執行環境的紀錄，不表示每個環境都必須顯示相同版本。

人工稽核至少要能指定一格，說明它從哪裡來。例如，輸出矩陣的第 $2$ 列、第 $2$ 行是 $17$ ，我們不用任何矩陣函式，也能從原資料證明：

p_{22} = \underset{二班甲包的卡紙}{\underset{⏟}{1 \cdot 2}} + \underset{二班乙包的卡紙}{\underset{⏟}{0 \cdot 1}} + \underset{二班丙包的卡紙}{\underset{⏟}{3 \cdot 5}} = 17 .

這不只是核對「螢幕上也有 17」，而是核對它確實表示二班所需的卡紙張數。

若結果不一致，應回查保存的原始輸入、橫列與直行順序，以及是否仍在計算 A @ B，不要先把輸出手動改成預期答案。若尺寸不相容，也不要為了消除錯誤訊息就任意補零或改排列；應先查出哪個分類沒有接上。

這份程式針對的是本文固定的小整數資料；其中行列式的計算得到可精確表示的 $- 1$ 。不能直接把 delta == 0 搬去當成所有近似小數資料的可靠判定方法。

其他問題若使用近似小數，電腦求出的反矩陣可能受到浮點誤差影響。NumPy 官方文件提醒：某些數值上不穩定的情形，即使沒有報錯，求逆結果仍可能不準確。因此，不能把「程式執行成功」或「顯示的乘積接近單位矩陣」當成一般性的精確數學證明。NumPy

八、今天仍然重要的，是整批資料背後的共同規則

矩陣對今天的影響，可以從一個具體的運算元件看見，而不必只背誦產業名稱。

例如，PyTorch 的 Linear 元件，使用一組係數把多個輸入加權、加總，形成多個輸出；預設還包含可學習的額外加項，設定 bias=False 才不使用這個加項。這些係數與加項在一次固定的計算中有確定值，但在訓練過程中可以更新。PyTorch Documentation

先只看不含額外加項的乘法部分。用本文的排列方式理解，可以把一筆資料的多個數放成一個直行，把不同資料並排成一張矩陣，再由同一張係數表處理它們。其共同機制，正如 $A$ 對 $B$ 的每個班級使用相同的材料配方。

這是運算結構的連結，不表示材料包與人工智慧模型是同一種現實問題。它也不表示一個實際模型只需要一張矩陣，或算出數字就能保證判斷正確。

它指出的是一個確切連結：

同一套「多個輸入如何組成多個輸出」的規則，可以對一整批資料一致地執行。

軟體的資料排列方向仍須另外核對。PyTorch 文件把每筆資料的特徵放在最後一個維度，不能直接把本文「一筆資料放成一個直行」的配置原封不動搬進介面。加入額外加項後，也不再只是本文所算的單一矩陣乘積。PyTorch Documentation

回頭看，矩陣帶來的能力有清楚的界線。

它讓我們把多個量放進有位置的結構，讓同類資料能按位置合併，讓共同分類能透過乘法接合，也讓可逆性成為可以檢查的條件。但是，它不會替我們決定標籤是否正確、假設是否合理，也不會把已經混失的資訊重新變出來。

學會矩陣之後，你應該不只會照規則求出幾格數字，而能先問：

這個位置代表誰？這兩張表在接合什麼？乘法方向有沒有保留原來的作用順序？算出的結果能不能回到資料中解釋？需要倒推時，原規則究竟有沒有保留足夠資訊？

從這些問題出發，矩陣就不再只是一種排列數字的方法，而是一種組織、連接並檢查多個量之間關係的方法。