自然常數 $e$：增加複利頻率會走向何處

本篇要理解：從離散累積走向連續成長。

適用讀者：12 年級加深加廣選修數學甲。

可觀察學習成果：能從複利條件建立數列，使用計算機列出若干項，寫出 $e$ 的極限定義，並說明「有限次複利的結果接近 $e$」與「結果等於 $e$」的差別。

適用入口、先備與邊界

必要先備。你需要理解百分率，例如 $100\%=1$；知道乘方表示重複相乘，能辨認固定倍率的等比變化；已認識數列的項與索引，以及「數列收斂到某個數」的基本意義；能使用計算機計算乘方，分辨精確值與近似值。本篇不以導數或自然對數為先備。

本篇範圍。固定考察時間為一年，固定名目年利率為 $100\%$，比較不同複利頻率，建立

再由它的極限認識 $e$，解讀連續複利。教育部數學領域課綱將這個入口列在 N-12甲-1；認識 $e$ 後可介紹的指數、自然對數內容，並不因此全部變成本篇任務。國家教育研究院：數學領域課綱（107年6月）

範圍邊界。不教授牛頓求根法，不重教一般數列極限運算與夾擠證明，不推導 $e$ 的無理性或其他進階性質，也不安排使用自然對數求成長時間的題目。文末的連續成長模型只用來辨認後續連結，不新增求解技能。11 年級數學 B 的自然對數求時問題不在本篇範圍。

一、原來的問題不是不會算利息，而是不知道不斷加密會走向哪裡

自然常數 $e$ 的形成，不是一段「以前的人不會計算，後來突然有人發明答案」的故事。十七世紀已有協助數值計算的對數工具；同世紀後期，雅各布・伯努利研究複利時，考察了計息間隔不斷縮短的問題。這是認識 $e$ 的重要歷史線索，但不是它全部的形成背景。Maths History

對已經指定期數的方案，方法並不神祕：算完這一期的利息，把它加入餘額，再算下一期。問題在於，這樣得到的是某一種期數安排的答案。

一年算一次，可以算。半年算一次，可以算。每月、每天算一次，也可以繼續算。

可是，列出再多個方案，都還留下另一個問題：

如果一年仍然只有一年，只是把計息間隔切得越來越短，一年後的本利和會不斷增大到沒有界限，還是會靠近某個有限的數？

這不是單純「計算太慢」的問題。即使計算機能迅速算出一百萬種方案，那仍是一張有限的表；它不能只憑已算出的部分，保證所有更大期數的行為。沒有進一步的推理，就還不能確定：提高頻率究竟只是增加一些餘額，還是能使餘額超過任何事先指定的數。

以下用現代記號與假想金額重建這個問題。這些數字是教學設定，不是在轉述某份歷史合約，也不是現行金融商品的條件；所用的極限語言也不是伯努利原文的逐字翻譯。

二、先固定比較條件：增加的是頻率，不是每期都多送一次年利息

假設本金為 $P>0$，只考察一年，並採用下列計息規則：

名目年利率固定為 $100\%=1$。若一年等分成 $n$ 期，每期利率就是 $1/n$，而且每期都按照當時的全部餘額計息。

這裡的「名目年利率」是用來分配每期利率的年率，不是已經算好的一年實際增加百分比。複利的關鍵，正是以前加入的利息，也成為下一期計息的基礎。OpenStax

我們另外假定：中途沒有存入或提領，沒有費用與稅，利率不變，而且中間各期不進行貨幣最小單位的捨入。這樣才能把注意力集中在頻率本身。

一年一次與半年一次，差在哪裡？

先用本金 $100$ 元看清楚機制。

一年只計息一次，期末得到

改成半年計息一次，不是每半年都給 $100\%$，而是每半年給 $50\%$。

上半年結束：

下半年是按照 $150$ 元計息，因此期末得到

多出的 $25$ 元從哪裡來？

它是上半年產生的 $50$ 元利息，在下半年又產生的

所以增加複利頻率的作用，不是偷偷增加每期利率，而是讓已產生的利息更早加入下一次計算。

回查這個例子：第一期利息為 $50$ 元，第二期利息為 $75$ 元，總利息 $125$ 元，加上本金 $100$ 元，正好是 $225$ 元。

把同一個機制寫成一般式

一年等分成 $n$ 期時，每一期都把原有餘額乘上

因此，從期初到各期期末的餘額依序是

一年共有 $n$ 期，所以一年後的本利和是

除以本金 $P$，就得到不受本金大小影響的成長倍率

公式中的三個部分各有意義：

$1$ 是保留下來的原有餘額；$1/n$ 是這一期增加的比例；外面的 $n$ 次方，表示一年內重複這個更新 $n$ 次。

這裡的 $n$ 必須是正整數。$n=0$ 會使 $1/n$ 沒有定義，也不代表「尚未經過時間」；我們一直比較的都是一年後的結果。

本金要求 $P>0$，則是為了能用「本利和除以本金」解讀倍率。若沒有本金、沒有後續存入，餘額會一直是零，但不能以 $0/0$ 定義成長倍率。

還要分清楚兩種數列。固定 $n$ 後，一期一期的餘額是等比變化；但是比較不同複利頻率所得到的

是另一個數列，不能因此說它也具有固定公比。

三、列值能讓我們看見趨勢，但不能代替對所有期數的判斷

將不同的正整數 $n$ 代入，得到下表。

表中把一年按 $365$ 天計算，每天 $24$ 小時；「每月」則是把一年等分成 $12$ 期，不處理各月日數差異。數值統一顯示至小數點後八位。

例如，每季一次的精確計算是

每月一次則是

操作計算機時，要讓整個括號取 $n$ 次方；不要先把 $1+1/n$ 捨入成少數幾位小數，再反覆乘方。中間值的誤差也會跟著累積。

計算機內部也只有有限精度。因此，即使沒有手動捨入，把 $n$ 輸入得極大，也不保證算出的近似更準確。若結果反而明顯偏離前面的趨勢，應先檢查輸入與計算精度，不能直接認定數列的性質改變了。

表中倍率越來越接近 $2.71828$ 附近。可是我們目前能說的是「這些列出的值呈現這個趨勢」，還不能只憑表格宣布極限已經獲得證明。

為什麼把每一期再切成兩期，倍率會增加？

原來的一期，倍率是

把同一段時間再等分成兩小期，每小期的利率就變成 $1/(2n)$。兩小期合起來的倍率是

多出的

正是小期之間再計息造成的差別。

一年中原有的 $n$ 段都這樣細分，便得到

這個推理嚴格證明了：把期數加倍，結果確實增加。

但它本身只比較 $n$ 與 $2n$，還沒有證明整個數列的所有相鄰項都增加，更沒有單獨證明它一定收斂。例如 $1,2,3,\dots$ 也一直增加，卻沒有有限極限。

增加與收斂，是兩件需要分開確認的事。

四、概念突破：用極限定義一個數，而不是尋找最後一期

對這個數列，可以進一步證明：它嚴格遞增，而且所有項都有共同的上界，例如 $3$。

遞增保證它不會來回振盪；共同上界保證它不會無限制增大。數學上的單調收斂定理，保證這樣的數列具有有限極限。這個存在性的根據，與「計算機顯示出一些相近數字」不同；本篇使用這個已知結果說明定義有根據，不要求在此重做完整的收斂證明。OpenStax

我們把這個極限定義為自然常數 $e$：

它的數值近似為

極限定義是精確的；這串有限位數的小數只是近似。由複利頻率增加而認識這個極限，也是標準教材介紹 $e$ 的方式。OpenStax

在計算機上，可使用 $e^x$ 功能計算 $e^1$，取得參考近似值。注意，有些計算機的 EXP 鍵是輸入科學記號用的，不是計算 $e$ 的次方；實際操作應依機型標示確認。OpenStax

「趨近 $e$」到底承諾了什麼？

它的意思不是「看起來差不多」。

它承諾的是：無論你要求多小的正誤差，只要期數充分大，之後所有更大期數得到的倍率，都會與 $e$ 相差小於這個誤差。

這裡沒有一個叫作「無限大」的整數可以代入，也不存在最後一個正整數期數。因此，不能把極限定義寫成一次普通代入：

我們談的是整個數列往後的行為，不是一個「第無限期」的計算。

為什麼不能說底數趨近 $1$，所以結果就是 $1$？

因為這個式子的底數與次方同時在變。

只說明單次更新的倍率越來越接近 $1$；它沒有說明「更新次數也同時增加」之後，整體乘積會怎樣。

本題正好呈現兩股同時發生的變化：每次增加的比例變小，但相乘的次數變多。不能只保留前者，忽略後者。

事實上，這個數列從 $a_1=2$ 開始，之後還會增加，已經足以排除「極限是 $1$」的猜想。

有限次複利可以非常接近 $e$，但不是 $e$

對這個特定數列，每一個有限正整數 $n$ 都有

它還會嚴格增加，因此任何有限項都不是它的極限值。

例如，每秒計息一次所得到的倍率，與 $e$ 若都只顯示到小數點後六位，都會顯示成

但顯示相同，不表示兩個精確數相等。這只是捨入後的差別被隱藏了。

也不要把這件事錯誤推廣成「任何數列都不能取到自己的極限」。例如常數數列 $c_n=1$，每一項就等於極限 $1$。有限項始終小於極限，是目前這個複利數列的性質，不是所有極限問題的共同規則。

五、連續複利的答案是什麼？先說清楚它回答的是哪一個問題

現在回到本金 $P$。

有限期數的一年後本利和是

在本金固定、名目年利率固定為 $100\%$、考察時間固定為一年的條件下，連續複利所對應的理想極限是

「連續」在這裡，是把計息間隔不斷縮短的極限模型，不是說某個實際帳務系統真的完成了一張無限長的入帳清單。

而且，被切得越來越細的是同一年。這個極限完全沒有把存放時間延長成無限多年。

完整示例：本金一萬元，從每日計息再加密，還會多多少？

沿用前面的教學條件，本金改成 $10,000$ 元。

每月一次：

每天一次：

連續複利的理想極限：

所以，從每天計息一次，再不斷提高頻率，與連續極限之間的差額是

這個差額先用未捨入的數值相減，再捨入到小數點後兩位。直接拿前面兩個已經各自捨入的金額相減，會得到

比正確處理後的差額多一分。差別來自捨入順序，不是複利公式互相矛盾。

這個例子呈現了重要的區別：

複利次數可以沒有上限，但在這組固定條件下，一年後的本利和有有限的極限。

回查：總額、利息與利率，不能混在一起

首先，若改回一年只計息一次，應得到

與最初的規則一致。

其次，連續複利的 $10,000e$ 是本利和，不是只有利息。利息應扣除本金：

因此，一年實際增加的比例是

也就是約 $171.828\%$，不是 $100\%$，更不是把本利和倍率 $e$ 直接當成利息百分比。

最後，這些比較都固定的是前述名目年利率。若另一個問題已經指定「一年實際增加 $100\%$」，那麼一年後總額本來就已定為 $2P$；不能把那個已指定的實際增幅，直接當成本題中可按期數均分的名目年利率。

數學公式沒有矛盾，改變的是條件的意思。

六、這個數當時改變了什麼，今天又讓我們看見什麼？

伯努利對複利問題的研究，已能利用二項式展開，把所追尋的值限制在 $2$ 與 $3$ 之間。這還不是一串高精度小數，卻已把「會不會一直變大」轉成能用共同界限控制的問題：不必逐一算完所有頻率，也能排除無限制增大的可能。Maths History

到歐拉於 1748 年出版《無窮分析引論》時，$e$ 與指數、對數已被放進更系統的論述中。第一卷第七章不只使用符號 $e$ 並給出數值，還把一般指數與「許多小倍率相乘」的表示相聯繫。它增加的是處理一整類關係的能力，不只是替一種計息方案多算幾位小數。學術共享平台

這項進展的意義，不是讓原有的有限次乘法失效，而是增加了另一種描述能力：

原來，一個指定期數給出一個答案；現在，所有越來越細的期數安排，還可以共同指向一個精確定義的數。

這是數學描述能力的改變，不能據此推論當時所有交易都已改成連續計息。有限期數的規則仍然有它回答的問題，極限模型則回答另一個問題。

今天的連結：凡是「依當前總量增加」，都值得檢查這種機制

後續的連續成長模型常寫成

這裡 $X_0>0$ 是初始量，$t\ge 0$ 是經過的時間，$r$ 是固定的連續成長率；討論成長時取 $r>0$。時間單位要一致，例如 $r$ 以「每年」表示，$t$ 就以年計，讓指數 $rt$ 沒有單位。這是後續模型的表示，本篇不推導一般公式，也不求解其中的時間。OpenStax

當成長率的數值為 $1$，且經過一個相配的時間單位時，這個模型給出 $X_{0}e$，恰好接回我們剛才的標準化情境。其他成長率或時間，並不都只乘上 $e$。

也可以檢查兩個端點：$t=0$ 時，模型給出初始量 $X_0$；$r=0$ 時，模型保持 $X_0$ 不變，不會因為使用了 $e$ 就自動產生成長。

一個具體的後續連結是族群成長。若在某段期間內，可忽略遷入、遷出，並把每個個體平均的淨增加貢獻近似視為固定，總增加量就會隨當前族群量而變。以 $N$ 表示當前族群量，在短時間 $\Delta t>0$ 內，可以把這種假設寫成

這段式子是本篇所作的數學連結：它與複利一樣，都是先看目前有多少，再依目前總量增加一個比例。生態學的指數成長模型確實使用這種按個體平均、再乘上總量的機制；但資源、空間及其他環境限制，會使固定比例的假設失效，因此不能把短期模型無限外推。OpenStax

這種連續族群模型描述的是平均或平滑近似的變化，不是宣稱每個短時間區間內的實際出生、死亡數，都會精確等於公式中的實數。

這不表示族群研究是伯努利當年的動機，也不表示每種成長都應套同一公式。它說明的是：一旦把累積機制辨認清楚，原來在不同問題裡出現的變化，就可能有共同的數學表示。

還要守住最後一個區別：本篇證明有有限極限的是固定一年、增加計息頻率的過程，不是說任由成長時間延長，總量也一定有上限。

認識 $e$ 之後，最重要的不是多記住一串小數，而是能問對問題：

看到「次數越來越多」，要先問固定的是什麼；看到「每次增加越來越少」，不能因此忽略次數也在增加；看到計算機顯示相同數字，要分清捨入結果與精確相等。

在本篇的條件下，這些判斷最後收束成：

固定一年，固定名目年利率為 $100\%$，令一年內的複利次數 $n$ 增加，則