練習

先不要急著套式子。直角三角形的三條邊裡，哪一條邊特別？它和直角的位置有什麼關係？

題目沒有標出直角，也沒有說哪個數是斜邊。想一想：怎麼用三個數，確認它們真的能構成直角三角形，同時分出誰是斜邊？

方法：先猜最長的邊是斜邊，檢查它的平方是不是等於另外兩邊的平方和；確認之後，用 r = (兩股和 − 斜邊) ÷ 2，最後回查。

兩條較短邊的平方和是 12² + 35² = 144 + 1225 = 1369。請接著算出另一邊的平方，比較兩個數，寫出斜邊是哪一邊；再用公式算 r（最後一步留給你）。

確認：最長的邊是 37，12² + 35² = 144 + 1225 = 1369 = 37²，所以這是直角三角形，斜邊是 37 cm，兩股是 12 cm 與 35 cm。r = (12 + 35 − 37) ÷ 2 = 10 ÷ 2 = 5 (cm)。回查：5 為正，比兩股都小；周長 84，84 × 5 ÷ 2 = 210，12 × 35 ÷ 2 = 210，相等。答：(1) 斜邊是 37 cm；(2) r = 5 cm。

• 可能的錯法：把最後寫的 35 當成斜邊，算 (12 + 37 − 35) ÷ 2 = 7。
  為什麼不對：35 不是最長邊，而且 12² + 37² = 1513，不等於 35² = 1225；真正滿足平方關係的是 12² + 35² = 37²。用 7 去做面積核對：84 × 7 ÷ 2 = 294，不等於 210。
  補救：先把三個數由大到小排好，最大的先猜是斜邊，用平方關係檢查，不要用「寫在哪裡」判斷。
• 可能的錯法：只算 12 + 35 − 37 = 10，就答 r = 10 cm。
  為什麼不對：10 是兩條半徑（直徑），不是半徑。面積核對：84 × 10 ÷ 2 = 420，不等於 210。
  補救：寫完 a + b − c 之後，問自己：我除以 2 了嗎？

先看直角在哪個頂點，再回想：斜邊和直角的位置有什麼關係？

斜邊是直角的「對邊」。直角在 A，A 的對邊是哪一條線段？剩下兩條線段又是什麼？

方法：先寫出角色（兩股、斜邊的線段名稱），再用 r = (兩股和 − 斜邊) ÷ 2，最後用面積核對。

請先寫出兩股與斜邊各是哪一條線段、長度各是多少，再把兩股的長相加、減去斜邊、除以 2，並檢查結果是否為正、是否比兩條股都小。

角色：直角在 A，所以斜邊是 A 的對邊 BC = 106 cm；兩股是 AB = 56 cm 與 CA = 90 cm（回查：56² + 90² = 3136 + 8100 = 11236 = 106²）。r = (56 + 90 − 106) ÷ 2 = 40 ÷ 2 = 20 (cm)。回查：20 為正，比兩股都小；周長 252，252 × 20 ÷ 2 = 2520，56 × 90 ÷ 2 = 2520，相等。答：(1) 斜邊 BC，兩股 AB、CA；(2) r = 20 cm。

• 可能的錯法：把 AB 當斜邊（因為 AB 在直角頂點 A 旁邊），算 (90 + 106 − 56) ÷ 2 = 70。
  為什麼不對：AB 與 CA 夾成直角 A，它們是股；斜邊是 A 的對邊 BC。用 70 做面積核對：252 × 70 ÷ 2 = 8820，不等於 2520。
  補救：先圈出直角，再找它的對邊；字母或位置不能代替「對邊」。
• 可能的錯法：算到 56 + 90 − 106 = 40 就答 r = 40 cm。
  為什麼不對：40 是直徑，不是半徑。面積核對：252 × 40 ÷ 2 = 5040，不等於 2520。
  補救：公式最後要除以 2。

公式有「使用條件」。回到課文，看看使用這個公式的第一個條件是什麼。

想一想：只憑「有一條最長的邊」，就能保證三角形裡有一個直角嗎？

方法：對每個三角形，用最長邊的平方，和另外兩邊的平方和比較；相等才是直角三角形，才有「兩股」與「斜邊」，才能用公式。

甲、乙的兩條較短邊都是 18 與 24，平方和都是 18² + 24² = 324 + 576 = 900。請分別算出 30² 與 29²，和 900 比較，分別寫出甲、乙能不能用公式，再回答阿宏的說法對不對。

甲：最長邊 30，18² + 24² = 900 = 30²，是直角三角形，斜邊 30，可以用公式。乙：最長邊 29，29² = 841，不等於 900；其他配法也不成立（18² + 29² ≠ 24²，24² + 29² ≠ 18²），所以乙不是直角三角形，沒有「斜邊」，不能用這個公式。答：阿宏只對了一半，只有甲能用。

• 可能的錯法：乙的最長邊是 29，算 (18 + 24 − 29) ÷ 2 = 6.5，答「乙的 r 是 6.5 cm」。
  為什麼不對：乙不是直角三角形，公式的前提不成立，6.5 沒有依據（另用其他方法算乙的內切圓半徑，結果也不是 6.5；一般三角形不在這一課）。
  補救：先檢查平方關係，再決定能不能用公式。
• 可能的錯法：因為 18、24、30 是直角三角形，而 18、24、29 「差不多」，所以乙也算直角三角形。
  為什麼不對：「差不多」不是條件。18² + 24² = 900，而 29² = 841，差了 59，平方關係不成立。
  補救：直角三角形要求平方關係「剛好相等」，不能用看起來像代替。

先指出：哪兩條邊是股？哪一條邊是斜邊？

半徑和三邊之間有一個只需要加減與除法的關係。回課文「半徑公式與使用條件」。

方法：r = (兩股和 − 斜邊) ÷ 2。把 30、72、78 放到正確的位置，最後寫單位並回查。

兩股和是 102 cm。請完成「減去斜邊」與「除以 2」，再用面積核對（周長是 180 cm，兩股乘積的一半是 1080 cm²）。

確認：最長邊 78，30² + 72² = 900 + 5184 = 6084 = 78²，斜邊 c = 78，兩股 30、72。r = (30 + 72 − 78) ÷ 2 = 24 ÷ 2 = 12 (cm)。回查：12 為正，比兩股都小；180 × 12 ÷ 2 = 1080，30 × 72 ÷ 2 = 1080，相等。答：r = 12 cm。

• 可能的錯法：算 30 + 72 − 78 = 24，就答 r = 24 cm。
  為什麼不對：24 是直徑。面積核對：180 × 24 ÷ 2 = 2160，不等於 1080。
  補救：公式最後要除以 2。
• 可能的錯法：把 72 當斜邊，算 (30 + 78 − 72) ÷ 2 = 18。
  為什麼不對：斜邊是最長邊 78，不是 72。面積核對：180 × 18 ÷ 2 = 1620，不等於 1080。
  補救：先找出最長邊並用平方關係確認。

題目已經把兩股和斜邊分開說了。先把 a、b、c 各是多少寫下來。

半徑公式只需要「兩股的和」與「斜邊」這兩個數。先想想：兩股的和是多少？

方法：r = (兩股和 − 斜邊) ÷ 2。算完之後，用課文「解題流程」裡的回查檢查答案。

兩股和是 93 cm。請算出 r，再檢查：r 是正數嗎？比兩股都小嗎？（要用面積核對的話：周長是 168 cm，兩股乘積的一半是 756 cm²。）

a = 21、b = 72、c = 75。r = (21 + 72 − 75) ÷ 2 = 18 ÷ 2 = 9 (cm)。回查：9 為正，比兩股都小；周長 168，168 × 9 ÷ 2 = 756，21 × 72 ÷ 2 = 756，相等。答：r = 9 cm。

• 可能的錯法：算 21 + 72 − 75 = 18，就答 r = 18 cm。
  為什麼不對：18 是直徑。面積核對：168 × 18 ÷ 2 = 1512，不等於 756。
  補救：先除以 2，再回查。
• 可能的錯法：把 72 當成斜邊，算 (21 + 75 − 72) ÷ 2 = 12。
  為什麼不對：斜邊是 75，不是 72。面積核對：168 × 12 ÷ 2 = 1008，不等於 756。
  補救：斜邊是最長邊（直角的對邊），不是任意一邊。

先把情境翻成數學：「與三條邊都相切的圓」是三角形的什麼圓？要求它的什麼量？

題目給的單位是公尺，問的卻是公分。想一想：哪一步要處理單位？

方法：先在「公尺」下用公式 r = (兩股和 − 斜邊) ÷ 2 算出半徑，再換算成公分（1 公尺 = 100 公分）；也可以先把三個長度都換成公分再算。

兩股和是 0.7 + 2.4 = 3.1（公尺）。請接著減去斜邊、除以 2，得到半徑的公尺數，最後換成公分。

圓與三邊相切，就是內切圓。斜邊 2.5 公尺（0.7² + 2.4² = 0.49 + 5.76 = 6.25 = 2.5²）。r = (0.7 + 2.4 − 2.5) ÷ 2 = 0.6 ÷ 2 = 0.3（公尺）= 30（公分）。回查：30 公分比兩股（70 公分、240 公分）都小。答：半徑是 30 公分。

• 可能的錯法：答「0.3 公分」。
  為什麼不對：0.3 是公尺數，沒有換算單位；換成公分是 30，差了 100 倍。
  補救：算完先看單位：題目問公分，公尺要乘 100。
• 可能的錯法：答「3 公分」。
  為什麼不對：0.3 公尺換成公分要乘 100，不是乘 10；乘 10 只得到 3。
  補救：用 1 公尺 = 100 公分逐位檢查：0.3 公尺是 30 公分。
• 可能的錯法：算 0.7 + 2.4 − 2.5 = 0.6 公尺，就答「60 公分」。
  為什麼不對：0.6 公尺是直徑（兩條半徑），沒有除以 2。
  補救：先除以 2，再換單位。

公式需要三個長度。題目只給了幾個？還缺哪一個？

直角三角形的三條邊之間，有一個以前學過的關係，可以由兩股得到第三邊。

方法：先用畢氏定理 c² = a² + b² 求斜邊 c（取正數），再用 r = (a + b − c) ÷ 2，最後回查。

c² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169。請先開平方得到 c，再代入公式；兩股和是 17 cm。

斜邊：c² = 5² + 12² = 169，c = 13 (cm)。r = (5 + 12 − 13) ÷ 2 = 4 ÷ 2 = 2 (cm)。回查：2 為正，比兩股都小；周長 30，30 × 2 ÷ 2 = 30，5 × 12 ÷ 2 = 30，相等。答：r = 2 cm。

• 可能的錯法：直接把兩股相加當斜邊：c = 5 + 12 = 17，算 (5 + 12 − 17) ÷ 2 = 0。
  為什麼不對：斜邊要用畢氏定理，不是兩股相加；而且 r = 0 表示沒有圓，不可能。
  補救：算出 r 以後檢查是不是正數；缺斜邊時用 c² = a² + b²。
• 可能的錯法：c² = 169 之後忘記開平方，把 169 當成斜邊：(5 + 12 − 169) ÷ 2 = −76。
  為什麼不對：169 是 c 的平方，不是 c；而且半徑不可能是負數。
  補救：c² = 169 之後要開平方得 c = 13。

題目有沒有給斜邊？沒有的話，你要先得到哪一個量？

兩股已知，斜邊可以用直角三角形三邊的平方關係求出。

方法：c² = a² + b²，開平方得 c；再用 r = (a + b − c) ÷ 2，最後用面積核對。

c² = 35² + 84² = 1225 + 7056 = 8281。請開平方得 c，再計算 (35 + 84 − c) ÷ 2；兩股和是 119 cm。

c² = 35² + 84² = 8281，c = 91 (cm)。r = (35 + 84 − 91) ÷ 2 = 28 ÷ 2 = 14 (cm)。回查：14 為正，比兩股都小；周長 210，210 × 14 ÷ 2 = 1470，35 × 84 ÷ 2 = 1470，相等。答：r = 14 cm。

• 可能的錯法：把兩股相加當斜邊：c = 35 + 84 = 119，算出 r = 0。
  為什麼不對：斜邊不是兩股相加，三角形兩邊和永遠大於第三邊，c 不可能等於 a + b；r = 0 也不可能。
  補救：缺斜邊時用 c² = a² + b²，再開平方。
• 可能的錯法：把 8281 當斜邊：(35 + 84 − 8281) ÷ 2 = −4081。
  為什麼不對：8281 是 c²，不是 c；而且半徑不可能是負的。
  補救：算出 c² 之後要開平方。

已知哪兩個量？要用公式，還缺哪一個量？

已知斜邊與一股時，另一股可以用直角三角形三邊的平方關係求出；想想：要用加還是用減？

方法：先由 b² = c² − a² 求另一股 b（取正數），再用 r = (a + b − c) ÷ 2，最後回查。

b² = 53² − 28² = 2809 − 784 = 2025。請開平方得 b，再代公式；注意斜邊是 53，不是新求出的那一股。

另一股：b² = 53² − 28² = 2025，b = 45 (cm)。r = (28 + 45 − 53) ÷ 2 = 20 ÷ 2 = 10 (cm)。回查：10 為正，比兩股都小；周長 126，126 × 10 ÷ 2 = 630，28 × 45 ÷ 2 = 630，相等。答：r = 10 cm。

• 可能的錯法：把另一股算成 53 − 28 = 25，再算 (28 + 25 − 53) ÷ 2 = 0。
  為什麼不對：另一股要由平方關係得到，不是用斜邊減一股；r = 0 也不可能。
  補救：三邊的關係是 a² + b² = c²，不是 a + b = c。
• 可能的錯法：求出另一股 45 之後，把 53 當成股、28 當成斜邊，算 (45 + 53 − 28) ÷ 2 = 35。
  為什麼不對：斜邊是 53。35 比股 28 還大，但半徑一定比兩股都小，所以 35 通不過回查。
  補救：回查時看 r 是否比兩股都小。

先不要看小華的第 (2)、(3) 行，自己把這一題做一遍，再回頭比對。

逐行比對時，不只看算術，也要看每一行用的角色（誰是 a、b、c）有沒有依據。

方法：先確認直角三角形與斜邊（最長邊、平方關係），再代入公式；也可以用面積核對檢查小華的答案。

檢查 13² + 84² = 169 + 7056 = 7225，請與 85² 比較，說明斜邊是哪一條；再用正確的 a、b、c 重算 r。面積核對用：周長 182 cm，兩股乘積的一半是 546 cm²。

錯處：從 (2) 開始。小華把 84 當成斜邊 c，但 13² + 84² = 7225 = 85²，斜邊是 85，兩股是 13 與 84。正確：r = (13 + 84 − 85) ÷ 2 = 12 ÷ 2 = 6 (cm)；面積核對：182 × 6 ÷ 2 = 546，13 × 84 ÷ 2 = 546，相等。小華的 7 通不過：182 × 7 ÷ 2 = 637，不等於 546。答：r = 6 cm。

• 可能的錯法：只說「答案不對」，沒有指出是哪一行。
  為什麼不對：光知道答案錯，不知道錯在選錯斜邊，下次還會再犯。
  補救：逐行比對，找出第一個和正確做法不同的行。
• 可能的錯法：把 (2) 改成 a = 84、b = 85、c = 13，算 (84 + 85 − 13) ÷ 2 = 78。
  為什麼不對：13 是最短的邊，不可能是斜邊。面積核對：182 × 78 ÷ 2 = 7098，不等於 546。
  補救：斜邊是最長邊，用平方關係確認。

先自己用課文的公式做一次，再和小明比較。特別比較他的式子和公式有什麼不同。

逐行檢查每一行的式子與算術，再把整個式子和課文公式一個符號一個符號對照。

方法：公式是 r = (a + b − c) ÷ 2。小明算出的 a + b − c 代表什麼？面積核對也能幫你判斷。

用面積核對小明的答案：周長 286 cm，兩股乘積的一半 44 × 117 ÷ 2 = 2574 cm²。請算 286 × 36 ÷ 2，和 2574 比較；再回到 (2)，把小明的式子和課文的公式一個符號一個符號對照。

錯處：(2)。小明漏了「÷ 2」。a + b − c = 36 是兩條半徑（直徑），半徑是 36 ÷ 2 = 18。正確：r = (44 + 117 − 125) ÷ 2 = 36 ÷ 2 = 18 (cm)。核對：286 × 18 ÷ 2 = 2574，44 × 117 ÷ 2 = 2574，相等；小明的 36 通不過（286 × 36 ÷ 2 = 5148）。答：r = 18 cm。

• 可能的錯法：改成 (44 + 117 + 125) ÷ 2 = 143。
  為什麼不對：多加了斜邊：公式要減斜邊，不是加。143 也比兩股都大，半徑不可能這麼大。
  補救：式子裡的 c 是被減的數。
• 可能的錯法：覺得 36 是直徑，所以再乘 2，得 36 × 2 = 72。
  為什麼不對：直徑是半徑的 2 倍；已知直徑要求半徑，應該除以 2，不是乘 2。
  補救：半徑 = 直徑 ÷ 2。

先不要看小美的後兩行。自己用公式算出 r，再回頭比較。

檢查她算出的 49.5：半徑可能比兩條股都長嗎？再逐行檢查，找出從哪一行開始和公式不同。

方法：公式是「兩股和減斜邊，再整個除以 2」。算式裡要用括號，讓 a + b − c 先算完才除以 2。

請先算 33 + 44 − 55，再把整個結果除以 2，並和小美的 49.5 比較，說明差在哪裡。

錯處：(2)。小美寫 33 + 44 − 55 ÷ 2，依運算順序只有 55 被除以 2，變成 77 − 27.5。公式要求把 a + b − c 整個除以 2，所以要加括號：r = (33 + 44 − 55) ÷ 2 = 22 ÷ 2 = 11 (cm)。回查：11 比兩股都小；周長 132，132 × 11 ÷ 2 = 726，33 × 44 ÷ 2 = 726，相等。答：r = 11 cm。

• 可能的錯法：改成 (33 + 44 − 55) × 2 = 44。
  為什麼不對：要除以 2，不是乘以 2；44 比股 33 還大，不可能是半徑。
  補救：半徑是直徑的一半，括號外是 ÷ 2。
• 可能的錯法：改成 33 + (44 − 55) ÷ 2 = 27.5。
  為什麼不對：括號放錯位置：(44 − 55) ÷ 2 只處理了其中兩個數，33 沒有一起減、一起除。27.5 比兩股都小，看起來合理，但面積核對仍不過：132 × 27.5 ÷ 2 = 1815，不等於 726。
  補救：括號要包住 a + b − c 全部，再除以 2。

這一題要「倒過來」：已知半徑，要找邊。公式 r = (a + b − c) ÷ 2 裡，哪個量是未知的？

把公式倒過來用：先處理「÷ 2」，再移動其他項，讓未知的那一股單獨留在等號的一邊。

方法：由 r = (a + b − c) ÷ 2 得 a + b − c = 2r，所以未知的股 b = 2r + c − a；算完用畢氏定理回查三邊。

2r = 2 × 5 = 10。請把 a = 11、c = 61 代入 b = 2r + c − a，列出式子並計算；最後檢查 b² + 11² 是不是等於 61²。

設另一股為 b。由 (11 + b − 61) ÷ 2 = 5，得 11 + b − 61 = 10，b = 10 + 61 − 11 = 60 (cm)。回查：11² + 60² = 121 + 3600 = 3721 = 61²，是直角三角形，斜邊確實是 61；再驗算 r = (11 + 60 − 61) ÷ 2 = 5，與題目相符。答：另一股是 60 cm。

• 可能的錯法：漏乘 2：b = r + c − a = 5 + 61 − 11 = 55。
  為什麼不對：(a + b − c) ÷ 2 = r，倒過來要乘 2，不是直接用 r。回查：11² + 55² = 3146，不等於 61² = 3721。
  補救：倒推時，「÷ 2」要變成「× 2」，並用畢氏定理回查。
• 可能的錯法：符號弄反：b = c − a − 2r = 61 − 11 − 10 = 40。
  為什麼不對：a + b − c = 2r 移項後 b = 2r + c − a，c 要留在加的那一邊。回查：11² + 40² = 1721，不等於 3721。
  補救：移項時，每一項移過等號都要改變正負號。

檢查資料是否一致，可以從不同方向計算同一個量，看結果是否相同。

兩股已知時，斜邊可以由畢氏定理得到；兩股與半徑已知時，斜邊也可以由半徑公式得到。

方法一：c² = a² + b²。方法二：由 a + b − c = 2r 得 c = a + b − 2r。把兩個結果和題目寫的 90 比較。

方法一：39² + 80² = 1521 + 6400 = 7921，請開平方。方法二：a + b = 119，2r = 30，請算 119 − 30。比較兩個結果與 90，寫出判定，再說明資料哪一個數字有問題。

方法一：c² = 39² + 80² = 7921，c = 89。方法二：c = a + b − 2r = 119 − 30 = 89。兩種方法都得到 89，與題目寫的 90 不同，所以資料不一致。兩股 39、80 與半徑 15 彼此吻合，都對應斜邊 89，最合理的判斷是「斜邊 90」寫錯了：若 c = 90，則 90² = 8100 ≠ 7921，而且 (39 + 80 − 90) ÷ 2 = 14.5 ≠ 15。符合兩股（以及半徑 15）的斜邊是 89 cm。

• 可能的錯法：只算 (39 + 80 − 90) ÷ 2 = 14.5，與 15 不同，就說「半徑 15 錯了，應該是 14.5」。
  為什麼不對：只用一種方法，看不出是哪個數據錯。兩股 39、80 的直角三角形，斜邊必須是 89，此時半徑剛好是 15；兩股與半徑互相吻合，最合理的判斷是 90 寫錯了，不是 15。
  補救：用兩種方法檢查同一個量，兩股與平方關係可以決定斜邊。
• 可能的錯法：由 r 倒推時漏乘 2：c = a + b − r = 39 + 80 − 15 = 104。
  為什麼不對：a + b − c = 2r，所以 c = a + b − 2r，不是 a + b − r。104² = 10816，不等於 39² + 80² = 7921。
  補救：倒推時，半徑要乘 2；再用畢氏定理回查。

這次有兩個未知量：另一股和斜邊。想想有哪兩個關係可以用。

一個關係來自內切圓半徑公式；另一個是直角三角形三邊的平方關係。

設另一股為 b、斜邊為 c。由半徑公式 14 + b − c = 2r，把 c 用 b 表示；再代入 14² + b² = c²，解出 b。

14 + b − c = 12，所以 c = b + 2。代入 14² + b² = (b + 2)²，右邊展開成 b² + 4b + 4，兩邊的 b² 可以消去。請接著解出 b，再求 c，最後回查 r。

設另一股為 b，斜邊為 c。由 (14 + b − c) ÷ 2 = 6 得 14 + b − c = 12，c = b + 2。代入 14² + b² = (b + 2)²：196 + b² = b² + 4b + 4，196 = 4b + 4，b = 48，c = 50。回查：14² + 48² = 196 + 2304 = 2500 = 50²；r = (14 + 48 − 50) ÷ 2 = 12 ÷ 2 = 6，與題目相符。答：另一股 48 cm，斜邊 50 cm。

• 可能的錯法：漏乘 2：把 14 + b − c = 6（直接用 r），得 c = b + 8，解出 b = 8.25、c = 16.25。
  為什麼不對：(a + b − c) ÷ 2 = r，所以 a + b − c = 2r = 12，不是 6。照錯的算法，回查半徑：(14 + 8.25 − 16.25) ÷ 2 = 3，不等於 6。
  補救：倒推時，「÷ 2」要變成「× 2」；用公式回查半徑。
• 可能的錯法：展開 (b + 2)² 時寫成 b² + 4（漏掉中間項 4b），得 196 + b² = b² + 4，196 = 4。
  為什麼不對：(b + 2)² = b² + 4b + 4，不是 b² + 4。照錯的寫法會得到不可能的等式 196 = 4。
  補救：展開 (x + y)² 時，中間項 2xy 不能漏。

回到半徑公式 r = (a + b − c) ÷ 2。題目給了哪些量？

題目沒有告訴你 a 與 b 各是多少。看看公式：它是分別用到 a 和 b，還是用到 a 和 b 的和？

方法：公式裡的 a + b 是一個整體，只要知道兩股的和就夠了，不必先求兩股各是多少。r = (兩股和 − 斜邊) ÷ 2。

兩股和是 133 cm，斜邊是 95 cm。請先算 133 − 95，再決定怎麼得到半徑，最後寫單位並回查。

兩股和 a + b = 133，斜邊 c = 95。r = (a + b − c) ÷ 2 = (133 − 95) ÷ 2 = 38 ÷ 2 = 19 (cm)。回查：19 為正；這樣的三角形存在，例如兩股 57 與 76（57 + 76 = 133，57² + 76² = 3249 + 5776 = 9025 = 95²），代入公式 (57 + 76 − 95) ÷ 2 = 19，而且比兩股都小。答：r = 19 cm。

• 可能的錯法：算 133 − 95 = 38，就答 r = 38 cm。
  為什麼不對：38 是 a + b − c，是兩條半徑（也就是直徑），不是半徑。
  補救：公式最後要除以 2。
• 可能的錯法：把兩個數的角色弄反，算 (95 − 133) ÷ 2 = −19。
  為什麼不對：公式是「兩股和減斜邊」，不是「斜邊減兩股和」；而且半徑不可能是負數，兩股和一定比斜邊長。
  補救：先寫「兩股和」，再減斜邊；算完檢查 r 是不是正數。

圓盤的邊緣和三條邊都相切，它是三角形的什麼圓？題目最後問的是半徑還是直徑？

先求你熟悉的那個量，再回到題目最後一句，決定要不要再算一步。

方法：r = (兩股和 − 斜邊) ÷ 2；直徑 = 2r。最後檢查直徑沒有超過任何一股。

兩股和是 60 + 91 = 151 cm。請先算出半徑，再決定最後要回答 r 還是 2r。

確認：60² + 91² = 3600 + 8281 = 11881 = 109²，斜邊是 109。r = (60 + 91 − 109) ÷ 2 = 42 ÷ 2 = 21 (cm)，直徑 = 2 × 21 = 42 (cm)。回查：42 比兩股 60、91 都小，面積核對：周長 260，260 × 21 ÷ 2 = 2730，60 × 91 ÷ 2 = 2730。答：直徑是 42 cm。

• 可能的錯法：只算到半徑，答「21 公分」。
  為什麼不對：題目問的是直徑，21 是半徑；直徑是 2 倍，也就是 42。
  補救：寫答案前再讀一次題目最後一句：問 r 還是 2r？
• 可能的錯法：把三邊全加起來：(60 + 91 + 109) ÷ 2 = 130。
  為什麼不對：半徑公式要「減斜邊」，不是加。130 比兩股都長，半徑不可能這麼大。
  補救：公式中的 c 要被減；回查 r 是否比兩股都小。

周長是三邊的和；半徑公式裡有「兩股和」與「斜邊」。想想怎麼讓兩者用同樣的量來表示。

設兩股和為 m。周長與半徑公式各給你一個含 m 與 c 的式子，想一想怎麼把 m 消掉。

方法：a + b + c = 176；由半徑公式 a + b − c = 2r = 30。把兩式相減，a + b 就消去，只剩 c。

兩式相減：(a + b + c) − (a + b − c) = 176 − 30，左邊化簡成 2c。請由此求出 c；回查時算 a + b = 176 − c，並檢查 a + b 比 c 大。

設兩股 a、b，斜邊 c。(1) a + b + c = 176；(2) (a + b − c) ÷ 2 = 15，所以 a + b − c = 30。(1) − (2)：2c = 176 − 30 = 146，c = 73 (cm)。回查：a + b = 176 − 73 = 103，比 c = 73 大（合理）；例如兩股 48、55，48² + 55² = 2304 + 3025 = 5329 = 73²，周長 48 + 55 + 73 = 176，r = (48 + 55 − 73) ÷ 2 = 15，與題目相符。答：斜邊 73 cm。

• 可能的錯法：把周長減 2r 就當斜邊：c = 176 − 30 = 146。
  為什麼不對：176 − 30 = 2c，還要再除以 2。若 c = 146，則 a + b = 176 − 146 = 30，比 c 小，兩邊和小於第三邊，三角形不可能存在。
  補救：兩式相減得到的是 2c，不是 c。
• 可能的錯法：把兩式相加：c = (176 + 30) ÷ 2 = 103。
  為什麼不對：相加得到的是 2(a + b)，不是 2c；若 c = 103，則 a + b = 73，a + b − c = −30，半徑會變成負數。
  補救：要消去 a + b，兩式必須相減。