練習:用連鎖律求 (ax+b)ⁿ 的導函數

先看題目:括號裡面的式子是什麼?括號外面的次數是多少?

把括號裡面的式子當成一個整體 u,原式就是 u 的三次方。

用 (ax+b)ⁿ 的導函數公式 n·a·(ax+b)ⁿ⁻¹。先認出 a、b、n 各是多少。 〔回課文:公式與成立的條件〕

a=1,b=4,n=3。係數是 n 與 a 的乘積;新的冪次 n−1 要自己算出來,括號內的式子 x+4 保持不變。

f′(x)=3·1·(x+4)²=3(x+4)²。回查:把 (x+4)³ 展開成 x³+12x²+48x+64,逐項求導得 3x²+24x+48=3(x²+8x+16)=3(x+4)²,與上面相同。

括號裡面的式子 2x+5 本身也會隨 x 改變。求導時別只看括號外面的冪次。

令 u=2x+5,則 y=u²。要求的 dy/dx 可以拆成兩段:y 對 u 的變化,乘上 u 對 x 的變化。

用公式 n·a·(ax+b)ⁿ⁻¹。這一題的 n 是 2,a 是 x 前面的係數。 〔回課文:公式與成立的條件〕

dy/du=2u,du/dx=2。把兩段相乘,再把 u 換回 2x+5。

dy/dx=2(2x+5)·2=4(2x+5)=8x+20。回查:(2x+5)²=4x²+20x+25,逐項求導得 8x+20,與上面相同。

第一小題只把 u 當成變數,對 y=u⁵ 求導;第二小題才對 u=6x−1 求導。

(1) 與 (2) 是兩個各自獨立的簡單導數。(3) 要把兩者合起來。

連鎖律:dy/dx=(dy/du)·(du/dx)。最後要把 u 換回 6x−1。 〔回課文:公式與成立的條件〕

(1) dy/du 是 u⁵ 的導數,次數 5 下來、冪次減 1;(2) du/dx 是 6x−1 的導數。兩個結果都求出來後,再相乘。

(1) dy/du=5u⁴;(2) du/dx=6;(3) dy/dx=5u⁴·6=30u⁴=30(6x−1)⁴。與公式 n·a·(ax+b)ⁿ⁻¹ 對照:5·6=30,冪次 4,吻合。

先認出這是「括號的冪次」,括號裡面是一次式。

兩件事缺一不可:次數下來、冪次減 1;還有括號內一次式的 x 係數。

用 n·a·(ax+b)ⁿ⁻¹,先寫下 n、a 的值。 〔回課文:公式與成立的條件〕

n=4,a=3。係數是 n 與 a 的乘積;新的冪次 n−1 要自己算出來,括號內的式子 3x−1 保持不變。

f′(x)=4·3·(3x−1)³=12(3x−1)³。回查(看首項):f 的首項是 81x⁴,導函數首項應是 324x³;12(3x−1)³ 的首項是 12·27x³=324x³,吻合。

注意括號裡面 x 的係數是正還是負。

括號內 1−4x 對 x 的導數是多少?它的符號會一路帶到答案。

這一題要把 1−4x 寫成 (−4)x+1,認出 a=−4。 〔回課文:公式與成立的條件〕

n=3,a=−4。n·a 是負數;新的冪次是 2,括號內的 1−4x 保持原樣。

f′(x)=3·(−4)·(1−4x)²=−12(1−4x)²。回查:展開 (1−4x)³=1−12x+48x²−64x³,求導得 −12+96x−192x²=−12(1−8x+16x²)=−12(1−4x)²,吻合。

括號內是 2−x,x 的係數不是 0,也不是 1。

2−x 可以改寫成 (−1)·x+2。

認出 a=−1,再用 n·a·(ax+b)ⁿ⁻¹。 〔回課文:公式與成立的條件〕

n=5,a=−1。n·a 的值是負數,冪次減 1 得 4。

f′(x)=5·(−1)·(2−x)⁴=−5(2−x)⁴。回查:令 x=1,括號內 2−x=1,f′(1)=−5;x 增加時 2−x 變小,(2−x)⁵ 在這附近跟著變小,斜率為負,符合。

要的是一個數值 f′(1),不是導函數的式子。可以先求 f′(x) 再代入。

代入的時機:先求出 f′(x),最後才代 x=1。

先用公式 n·a·(ax+b)ⁿ⁻¹ 寫出 f′(x)。 〔回課文:公式與成立的條件〕

f′(x)=4·2·(2x−3)³=8(2x−3)³。接著把 x=1 代入括號內,注意算出的數是正還是負。

2·1−3=−1,所以 f′(1)=8·(−1)³=−8。回查:f(x)=(2x−3)⁴ 在 x=1 附近,x 變大時 2x−3 由 −1 往 0 靠近,四次方變小,斜率應為負,吻合。

切線需要兩樣東西:切點,和切線斜率。

切點的 y 坐標用 f(0) 求,斜率用 f′(0) 求。

先用 n·a·(ax+b)ⁿ⁻¹ 求 f′(x),再代 x=0。切線用點斜式。 〔回課文:公式與成立的條件〕

f(0)=1。f′(x)=9(3x+1)²,所以 f′(0) 是 9 乘上 (3·0+1)² 的值。把點 (0,1) 與這個斜率放進點斜式。

f′(0)=9·1=9,切點 (0,1)。切線:y−1=9(x−0),即 y=9x+1。回查:切線通過切點 (0,1) 且斜率 9。

先把「切線斜率」換成導函數的語言:f′(x) 等於多少?

要解的是一個方程式:f′(x)=18。

先用 n·a·(ax+b)ⁿ⁻¹ 求出 f′(x)。 〔回課文:公式與成立的條件〕

f′(x)=2·3·(3x−4)=6(3x−4)。令它等於 18,先解 3x−4 的值,再解 x。

6(3x−4)=18,3x−4=3,3x=7,x=7/3。回查:x=7/3 時 3x−4=3,f′=6·3=18,吻合;切點為 (7/3, 9)。

小明有沒有把括號內的 5x+2 對 x 的導數算進去?

看他的答案裡,哪個數字應該出現卻沒有出現。

正確公式是 n·a·(ax+b)ⁿ⁻¹。把小明的結果與公式一項一項對照。 〔回課文:常見的錯與自我檢查〕

(3) 先把 (5x+2)³ 展開成 125x³+150x²+60x+8,求導後代 x=0,看得到的數。再看小明的式子在 x=0 的值。

(1) 小明漏乘了括號內一次式的導數 5。(2) f′(x)=3·5·(5x+2)²=15(5x+2)²。(3) 展開式求導得 375x²+300x+60,f′(0)=60;正確式 15·2²=60,吻合;小明的 3·2²=12≠60,所以他的答案不可能對。

兩種方法應該得到同樣的導函數。先檢查哪一個方法的每一步都站得住。

方法甲的展開與逐項求導可以用一個數值快速驗算。方法乙的式子裡,有沒有漏掉一個因子?

連鎖律的第二個因子是括號內一次式的導數。 〔回課文:公式與成立的條件〕

(4x−3)² 展開確實是 16x²−24x+9。方法乙若要和甲一致,2(4x−3) 還要再乘一個數;這個數就是 4x−3 對 x 的導數。

(1) 方法乙錯了:漏乘括號內 4x−3 的導數 4。(2) f′(x)=2·4·(4x−3)=8(4x−3)=32x−24,與方法甲相同。

小美乘的內層導數 2,是不是 3−2x 對 x 的導數?

3−2x 的 x 係數是正還是負?

把 3−2x 看成 (−2)x+3,再用公式。 〔回課文:公式與成立的條件〕

(3) x=1 時 3−2x=1。x 稍微變大,3−2x 會變小(但仍然是正數),它的四次方也跟著變小,所以函數值在增加還是減少?

(1) 小美把內層導數寫成 +2,但 3−2x 的導數是 −2。(2) g′(x)=4·(−2)·(3−2x)³=−8(3−2x)³。(3) x=1 附近函數值隨 x 增加而減小,g′(1)=−8·1³=−8,是負數;小美的 +8 與此矛盾。

小張乘的係數 12 對不對?看看括號外面的次數。

求導公式有兩處要動手:乘上一個數,以及改變冪次。

公式是 n·a·(ax+b)ⁿ⁻¹,最後一個「n−1」代表冪次要少一。 〔回課文:公式與成立的條件〕

(3) h(x)=(4x+1)³ 是三次多項式,它的導函數應該是幾次?小張的式子 12(4x+1)³ 展開後是幾次?

(1) 小張忘了把冪次減 1。(2) h′(x)=3·4·(4x+1)²=12(4x+1)²。(3) h 是三次式,導函數應為二次式;12(4x+1)² 展開為 192x²+96x+12,是二次式,吻合;小張的 12(4x+1)³ 是三次式,不可能。

兩種方法算同一個函數,答案本來就該一致。先找最容易出錯的步驟。

(3x−2)² 是 (3x−2)(3x−2),展開時有幾項?

用 (A−B)²=A²−2AB+B²,A=3x,B=2。 〔回課文:常見的錯與自我檢查〕

展開後中間項是 −2·3x·2。把它補進來,再逐項求導。

(1) 小李漏了中間項 −12x:(3x−2)²=9x²−12x+4。(2) 逐項求導得 f′(x)=18x−12=6(3x−2),與連鎖律一致。

內層的導數 2,是用「相乘」還是「相加」放進答案裡?

整個導函數是「兩個因子相乘」,不是兩個項相加。

連鎖律:dy/dx=(dy/du)·(du/dx),中間是乘號。 〔回課文:公式與成立的條件〕

(3) g(x)=(2x+3)⁴ 在 x=−3/2 時取到最小值 0。圖形在最低點的切線斜率是多少?再把 x=−3/2 代入小王的式子。

(1) 小王把內層導數 2 加上去,應該是乘。(2) g′(x)=4·2·(2x+3)³=8(2x+3)³。(3) x=−3/2 是最低點,切線水平,g′(−3/2)=0;正確式 8·0³=0 吻合,小王的式子得 4·0+2=2≠0。

瞬時速度是位置對時間的什麼?

速度就是 s(t) 的導函數 s′(t) 在 t=2 的值。

先用公式 n·a·(at+b)ⁿ⁻¹ 求 s′(t)(自變數是 t,但公式一樣)。 〔回課文:公式與成立的條件〕

s′(t)=3·3·(3t−2)²=9(3t−2)²。把 t=2 代入括號內,先算 3·2−2。

3·2−2=4,s′(2)=9·4²=144(公分/秒)。注意:s(2)=4³=64 是位置,不是速度。

k 在括號裡面,它也是內層一次式 x 的係數。

先用 k 當作 a,寫出 f′(x),再代 x=1,得到只含 k 的方程式。

公式 n·a·(ax+b)ⁿ⁻¹ 中,a 就是這一題的 k。 〔回課文:公式與成立的條件〕

f′(x)=3k(kx−1)²,所以 f′(1)=3k(k−1)²=36。兩邊除以 3 得 k(k−1)²=12,再把整數 k 一個一個試。

k(k−1)²=12。k=3 時 3·2²=12,成立。再看有沒有別的整數:k≤0 時 k(k−1)² 不大於 0,不可能是 12;k=1 得 0,k=2 得 2;k≥4 時 k(k−1)²≥4·3²=36,比 12 大。所以 k=3 是唯一解。

切線斜率為 24 就是 f′(x)=24。這種方程式的解可能不只一個。

先求 f′(x),它含有 (2x−1)²,注意平方會產生兩個可能。

用 n·a·(ax+b)ⁿ⁻¹ 求 f′(x),令它等於 24,再開平方。 〔回課文:公式與成立的條件〕

f′(x)=3·2·(2x−1)²=6(2x−1)²。令 6(2x−1)²=24,得 (2x−1)²=4,所以 2x−1 可以是哪兩個數?

2x−1=2 或 2x−1=−2,得 x=3/2 或 x=−1/2。f(3/2)=2³=8,f(−1/2)=(−2)³=−8。兩點:(3/2, 8) 與 (−1/2, −8)。回查:兩點的 2x−1 分別是 2 與 −2,平方後都是 4,斜率都是 24。