回課文。每題先自己做,需要時再依序展開提示。看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成,之後要隔一段時間,不看提示,用原題重做一次。L5 會揭示完整解答。
記號:所有函數都是實數函數,(f∘g)(x)=f(g(x))。題目沒有特別指定定義域時,取使式子在實數內有意義的所有實數。情境題的數字是為了練習設計的,不是真實資料。答案請用精確值與不等式(或「x≠…」)表示;所有題目都不需要查表或使用計算機。
設 f(x)=3x−1,g(x)=x²+2,定義域皆為全體實數。求 (f∘g)(2) 與 (g∘f)(2)。
(f∘g)(2) 讀作 f(g(2))。想一想:2 先進哪一個函數?
兩個值各要算兩步。先把「內層的值」算出來,再把它交給外層。兩個順序的內層不一樣。
(f∘g)(2):內層是 g,先算 g(2),再把結果代入 f。(g∘f)(2):內層是 f,先算 f(2),再把結果代入 g。
g(2)=2²+2=6;f(2)=3×2−1=5。接下來各做一次代入。
(f∘g)(2)=f(g(2))=f(6)=3×6−1=17。(g∘f)(2)=g(f(2))=g(5)=5²+2=27。兩個順序的結果不同:(f∘g)(2)=17,(g∘f)(2)=27。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):(1)把 (f∘g)(2) 算成 f(2)+g(2)=5+6=11(正確為 17)。 (2)順序顛倒,把 (f∘g)(2) 算成 g(f(2))=27(正確為 17)。
補救1:f∘g 的「g」在右邊,表示 g 先做。重做時先在草稿上寫出 g(2)=? 這一行,再寫 f(?)。 補救2:寫出每個函數的輸入與輸出:「2 進 g 得 6,6 進 f 得 17」。 回到原題時須完整重寫整個過程,不可只改最後一個數。
設 f(x)=√(x−3),g(x)=2x+1。對 x=0、x=1、x=4,各判斷 (f∘g)(x) 是否有定義;有定義者請求出值(根號請用精確值)。
對每個 x,先算 g(x)。再問:這個 g(x) 能不能送進 f?f 的輸入有什麼限制?
f(x)=√(x−3) 的輸入必須使根號內不是負數。先把 f 的定義域寫出來,再逐一檢查三個 g(x)。
先求 f 的定義域:x−3≥0,x≥3。對每個 x 算出 g(x) 後,看它是否 ≥3。
g(0)=1,g(1)=3,g(4)=9。把這三個數分別與 f 的定義域比較;能送進 f 的,再算 f 的值。
f 的定義域是 x≥3。x=0:g(0)=1,小於 3,送不進 f,(f∘g)(0) 無定義。x=1:g(1)=3,f(3)=√0=0,所以 (f∘g)(1)=0。x=4:g(4)=9,f(9)=√6,所以 (f∘g)(4)=√6。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):(1)認為 x=1 無定義,因為直接算 f(1)=√(−2):這是把 x 直接放進 f;f∘g 放進 f 的是 g(1)=3,(f∘g)(1)=0。 (2)把 (f∘g)(4) 算成 √(4−3)=1(正確為 √6):又是把 x 直接放進 f。
補救1:f∘g 的外層 f 吃的是 g(x),不是 x。重做時先列表:x、g(x)、能否送進 f、f(g(x))。 補救2:用表格:x=4 時 g(4)=9,所以進 f 的是 9 不是 4。 回到原題時須完整重寫整個過程,不可只改最後一個數。
設 f(x)=x+4,g(x)=2x−3,定義域皆為全體實數。寫出 (f∘g)(x) 與 (g∘f)(x) 的式子並化簡,再說明兩者是否相等。
先分清誰是內層。f∘g 的內層是 g;g∘f 的內層是 f。
把外層式子裡的 x 換成「內層的式子」,並且整個內層式子要加括號。
(f∘g)(x):把 f(x)=x+4 的 x 換成 2x−3。(g∘f)(x):把 g(x)=2x−3 的 x 換成 x+4。化簡後比較兩個一次式。
f 的式子換好是 (2x−3)+4;g 的式子換好是 2(x+4)−3。接下來各自合併同類項,再比較。
(f∘g)(x)=(2x−3)+4=2x+1。(g∘f)(x)=2(x+4)−3=2x+8−3=2x+5。兩式的常數項不同(1 與 5),所以不相等。例如 x=0 時,(f∘g)(0)=1,(g∘f)(0)=5。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):(1)把 (g∘f)(x) 寫成 (2x−3)+4=2x+1(這其實是 f∘g,順序弄反;正確的 (g∘f)(x) 為 2x+5)。 (2)把兩式直接相加:(2x−3)+(x+4)=3x+1(正確的 (g∘f)(x) 為 2x+5)。
補救1:(g∘f)(x) 是 g(f(x)),要把 f(x)=x+4 整個放進 g,x 位置的每一份都要乘上 2。 補救2:合成不是兩個式子相加。重做時寫出「外層(內層)」的形狀,再代入。 回到原題時須完整重寫整個過程,不可只改最後一個數。
設 f(x)=x²+3x,g(x)=x−2,定義域皆為全體實數。寫出並化簡 (f∘g)(x) 與 (g∘f)(x)。
兩個合成,內層不一樣。先分別寫出「外層(內層)」的形狀。
代入時把內層整個加括號,尤其 f 裡有 x²,代入後是括號的平方。
(f∘g)(x)=f(x−2),把 f 的每個 x 換成 (x−2)。(g∘f)(x)=g(x²+3x),把 g 的 x 換成 x²+3x。
f(x−2)=(x−2)²+3(x−2)。g(x²+3x)=(x²+3x)−2。接下來展開 (x−2)² 並合併同類項。
(f∘g)(x)=(x−2)²+3(x−2)=x²−4x+4+3x−6=x²−x−2。(g∘f)(x)=(x²+3x)−2=x²+3x−2。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):(1)把 (x−2)² 展成 x²−4,得 x²−4+3x−6=x²+3x−10(正確為 x²−x−2)。 (2)把兩個合成的結果寫成同一式(正確的兩式不同:x²−x−2 與 x²+3x−2)。
補救1:(x−2)² 要用乘法公式:x²−4x+4,中間項不能漏。 補救2:兩個順序要分開算,內層不同。重做時分兩行寫。 回到原題時須完整重寫整個過程,不可只改最後一個數。
設 f(x)=2x²−x,g(x)=3−x,定義域皆為全體實數。寫出並化簡 (f∘g)(x)。
f∘g 的內層是 g。想一想要把什麼放進 f 的哪個位置。
f(x)=2x²−x 中有兩個 x,兩個都要換成內層的式子,而且要加括號。
(f∘g)(x)=f(3−x)=2(3−x)²−(3−x)。接著展開並合併。
(3−x)²=9−6x+x²。注意減去的是整個 (3−x),括號打開後正負號要變。
(f∘g)(x)=2(3−x)²−(3−x)=2(9−6x+x²)−3+x=18−12x+2x²−3+x=2x²−11x+15。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):(1)把平方只套在 3 上,寫成 2(9−x²)−(3−x)=15−2x²+x(正確為 2x²−11x+15)。
補救1:(3−x)² 是整個括號平方,不是分開平方 3 和 x。用乘法公式 (a−b)²=a²−2ab+b²。 回到原題時須完整重寫整個過程,不可只改最後一個數。
設 f(x)=√(x+1),g(x)=x²−2x,定義域皆為全體實數(f 取使根號有意義的 x)。寫出並化簡 (f∘g)(x),並求 (f∘g)(−3) 的值。
先把 g(x) 放進根號裡,看看根號內的式子能不能整理成漂亮的形狀。
根號內是 g(x)+1。試著把它配成完全平方。
(f∘g)(x)=√(x²−2x+1)。根號內是 (x−1)² 的樣子。想一想:√(a²) 等於什麼?要小心符號。
根號內等於 (x−1)²。再用 √(a²)=|a| 化簡;最後把 x=−3 代入你的結果,並與分步算 g(−3)、再算 f 的值對照。
(f∘g)(x)=√(x²−2x+1)=√((x−1)²)=|x−1|。(f∘g)(−3)=|−3−1|=|−4|=4。檢查:g(−3)=9+6=15,f(15)=√16=4,吻合。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):(1)把 √((x−1)²) 直接寫成 x−1,於是 (f∘g)(−3)=−4(正確為 4);根號的結果不會是負數,可以自查。
補救1:√(a²)=|a|,不一定等於 a。重做時先用 x=−3 這樣的負數檢查你的式子:根號值不能為負。 回到原題時須完整重寫整個過程,不可只改最後一個數。
設 f(x)=√(5−x),g(x)=2x+1(g 的定義域為全體實數)。分別求 (f∘g)(x) 與 (g∘f)(x) 的定義域。
兩個合成各有自己的「兩關」。先分清誰是內層。
f∘g:g(x) 必須落進 f 的定義域。g∘f:x 要在 f 的定義域,且 f(x) 要在 g 的定義域。
先寫 f 的定義域:5−x≥0。f∘g 的第二關是「把 g(x) 代進這個條件」。g∘f 的第二關要看 g 對輸入有沒有限制。
f∘g:5−(2x+1)≥0,整理成 4−2x≥0 再解。g∘f:先確認 g 對輸入有沒有限制,再決定還剩哪些條件要寫進定義域。
f∘g:5−(2x+1)=4−2x≥0,得 x≤2。定義域 x≤2。g∘f:x 需在 f 的定義域 x≤5,g 接受任何實數,沒有新限制,定義域 x≤5。兩者不同。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):(1)把兩個定義域都寫成 x≤5(只看 f 的定義域,正確的 f∘g 為 x≤2)。 (2)解 4−2x≥0 得 x≥2(兩邊除以負數,不等號沒有改向;正確為 x≤2)。
補救1:f 的條件是對「進 f 的值」說的。f∘g 進 f 的是 2x+1,不是 x。 補救2:不等式兩邊除以負數要改變不等號方向。重做時把解寫成 −2x≥−4,再兩邊除以 −2。 回到原題時須完整重寫整個過程,不可只改最後一個數。
設 f(x)=1/(x−4),g(x)=x²(g 的定義域為全體實數)。寫出 (f∘g)(x) 的式子並求它的定義域。
f 的輸入有什麼不能取的值?g(x) 要避開它。
f 不能接收 4。令 g(x)=4,看哪些 x 會造成這個情形,把這些 x 排除。
f∘g 是把 f 的 x 換成 x²。g 本身沒有限制,所以只剩 f 的條件要套在 x² 上。
換好的式子是 1/(x²−4),分母不能為 0,即 x²≠4。解 x²=4 時不要漏掉負根,最後寫成「x 不等於哪幾個數」。
(f∘g)(x)=f(x²)=1/(x²−4)。g 沒有限制;f 要求輸入不是 4,即 x²≠4,x≠2 且 x≠−2。定義域:x≠2 且 x≠−2。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):(1)只排除 x≠4(照搬 f 的條件,正確為 x≠2 且 x≠−2)。 (2)只排除 x≠2,漏掉負根(正確要同時排除 −2)。
補救1:f 的條件針對進 f 的值 x²,不是 x。重做時寫:「x²≠4」。 補救2:平方方程有兩個根。檢查:x=−2 時分母 4−4=0,確實不可代。 回到原題時須完整重寫整個過程,不可只改最後一個數。
設 f(x)=√x,g(x)=x²−4x+3,g 的定義域為全體實數。求 (f∘g)(x) 的定義域。
f 的輸入有什麼限制?g(x) 要滿足什麼?
f 要求輸入不是負數。令 g(x)≥0,得到一個關於 x 的二次不等式。
解 x²−4x+3≥0。先因式分解,再判斷兩根的哪一側使式子為正。
x²−4x+3=(x−1)(x−3)。兩根是 1 與 3;開口向上的拋物線在哪些區間在 x 軸上方或在 x 軸上?
(f∘g)(x)=√(x²−4x+3),需 (x−1)(x−3)≥0。拋物線開口向上,在兩根之外與兩根上函數值 ≥0。定義域:x≤1 或 x≥3。檢查:x=2 時 g(2)=−1,送不進 f,確實要排除;x=0 時 g(0)=3,√3 有意義。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):(1)寫成 1≤x≤3(取了兩根中間,正確為 x≤1 或 x≥3;x=2 代入根號內為 −1)。 (2)寫成 x≥0(只用 f 的條件直接限制 x;正確為 x≤1 或 x≥3)。
補救1:二次不等式要看圖形或取檢查點。重做時取 x=2 試試,根號內是正是負。 補救2:f 的條件是對 g(x) 說的,不是對 x。重做時寫 g(x)≥0。 回到原題時須完整重寫整個過程,不可只改最後一個數。
同學解題如下。設 f(x)=2x+1,g(x)=x−3,要求 (f∘g)(x)。
同學的寫法:(f∘g)(x)=f(x)·g(x)=(2x+1)(x−3)=2x²−5x−3。
請指出錯在哪裡,並寫出正確的 (f∘g)(x)。
f∘g 的符號表示什麼動作?同學做的動作和它一致嗎?
同學把兩個函數相乘了。f∘g 是「先做 g,再把 g 的結果交給 f」。
正確的寫法:(f∘g)(x)=f(g(x)),把 f(x)=2x+1 裡的 x 換成 g(x)=x−3,記得加括號。
換好是 f(x−3)=2(x−3)+1,再展開並化簡。化簡後可以用 x=4 驗證:先 g(4)=1,再 f(1)。
錯在:把「合成」當成「相乘」。正確:(f∘g)(x)=f(g(x))=f(x−3)=2(x−3)+1=2x−6+1=2x−5。檢查:x=4,g(4)=1,f(1)=3,2×4−5=3 吻合;同學的式子 2·16−20−3=9,不吻合。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):(1)沿用相乘的想法,結果 2x²−5x−3(正確為 2x−5)。 (2)把 f∘g 當成 g(f(x)),得 (2x+1)−3=2x−2(正確為 2x−5)。
補救1:合成的外層是「機器」,不是乘數。重做時畫:x → g → g(x) → f → f(g(x))。 補救2:先做的是 g。重做時在紙上寫出「內層:g(x)=x−3」,再代入 f。 回到原題時須完整重寫整個過程,不可只改最後一個數。
同學解題如下。設 f(x)=x²,g(x)=x+6,要求 (f∘g)(2)。
同學的寫法:「f∘g 就是先 f 再 g。f(2)=4,g(4)=10,所以 (f∘g)(2)=10。」
請指出錯在哪裡,求出正確的 (f∘g)(2),並順便求 (g∘f)(2)。
同學說「先 f 再 g」。f∘g 的順序真的是這樣嗎?
看符號 (f∘g)(x)=f(g(x)):括號裡面的 g 先做。同學的算法其實是另一個合成。
正確的順序:先 g(2),再把結果放進 f。(g∘f)(2) 則是先 f(2),再放進 g。
先算 g(2)=8;f(2)=4。接著各代入一次。同學算出的 10,是哪一個合成的值?
錯在:把 f∘g 讀成「先 f 再 g」,其實先做的是 g。正確:(f∘g)(2)=f(g(2))=f(8)=64。(g∘f)(2)=g(f(2))=g(4)=10,正是同學算出的 10。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):(1)把 (f∘g)(2) 算成 g(f(2))=10(正確為 64)。 (2)先算 g(2)=8 後忘記平方,寫成 (f∘g)(2)=8(正確為 64)。
補救1:由右往左讀:f∘g 的「g」在右,先做。重做時把「先做哪個」寫在算式旁。 補救2:f 是 x²,送進去的 8 要平方。重做時寫:f(8)=8²。 回到原題時須完整重寫整個過程,不可只改最後一個數。
同學解題如下。設 f(x)=4−x²,g(x)=x+1,要求 (f∘g)(x)。
同學的寫法:(f∘g)(x)=4−x²+1=5−x²。
請指出錯在哪裡,並寫出正確的 (f∘g)(x)。
同學的式子和 f(x)=4−x² 比,x² 這一項有沒有真的變成「g(x) 的平方」?
代入時,f 裡的 x 要被整個 g(x) 取代,x² 就變成 (g(x))²。
正確形狀:(f∘g)(x)=4−(x+1)²。接著用乘法公式展開並合併。
(x+1)²=x²+2x+1。注意前面有負號,括號展開後每一項都要變號。用 x=1 檢查:g(1)=2,f(2)=0。
錯在:只把 4 與 +1 湊在一起,沒有把 x² 換成 (x+1)²。正確:(f∘g)(x)=4−(x+1)²=4−x²−2x−1=3−2x−x²。檢查:x=1,3−2−1=0,吻合;同學的 5−1=4,不吻合。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):(1)寫成 4−(x²+1)=3−x²(把 +1 放進平方外;正確為 3−2x−x²)。 (2)展開時沒有變號:4+(x²+2x+1)=x²+2x+5(正確為 3−2x−x²)。
補救1:平方要套在整個 (x+1) 上。重做時先寫 4−(x+1)²,再展開。 補救2:減去整個括號,展開後每一項都要變號:4−(x²+2x+1)。 回到原題時須完整重寫整個過程,不可只改最後一個數。
同學解題如下。設 f(x)=2/(x+1),g(x)=3/x。
同學的寫法:(f∘g)(x)=2/(3/x+1)=2x/(3+x),因為分母 3+x 不能是 0,所以定義域是 x≠−3。
請指出錯在哪裡,並寫出正確的定義域。
同學只看了化簡後的式子。化簡前的式子,x 有沒有其他限制?
合成有兩關:x 要在內層 g 的定義域,g(x) 要在外層 f 的定義域。同學的 x≠−3 屬於哪一關?
寫出 g 的定義域,以及 f 不能接收的值。同學漏掉其中一個條件。
g(x)=3/x 要求 x≠0;f 不能接收 −1,所以 3/x≠−1。分別解出兩個條件,再把兩個一起寫。
錯在:漏掉第一關。g(x)=3/x 要求 x≠0;而化簡後的 2x/(3+x) 在 x=0 時看起來能算,但 x=0 一開始就過不了第一關。第二關:3/x≠−1,x≠−3。正確定義域:x≠0 且 x≠−3。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):(1)只寫 x≠0(漏第二關,正確要再排除 −3)。 (2)寫成 x≠−1(照搬 f 的條件,正確為 x≠0 且 x≠−3)。
補救1:化簡不能增加定義域。重做時先寫出「第一關:x≠0」,再寫第二關。 補救2:f 的條件針對 g(x),不是 x。重做時寫:3/x≠−1。 回到原題時須完整重寫整個過程,不可只改最後一個數。
同學解題如下。設 f(x)=√(x−1),g(x)=x²(g 的定義域為全體實數)。
同學的寫法:(f∘g)(x)=√(x²−1);因為 f 要求 x−1≥0,所以定義域是 x≥1。
請指出錯在哪裡,並寫出正確的定義域。
f 的條件 x−1≥0 是對誰說的?在 f∘g 裡,進 f 的是誰?
f∘g 中進 f 的是 g(x),不是 x。條件要寫在 g(x) 上。
正確的條件:g(x)−1≥0,即 x²−1≥0。這是一個二次不等式。
x²−1=(x−1)(x+1),兩個根是 −1 與 1。取檢查點:x=−2 時,g(−2)=4,f(4) 有意義嗎?
錯在:把 f 的條件直接套在 x 上。f∘g 中進 f 的是 g(x)=x²,條件是 x²−1≥0,即 x≤−1 或 x≥1。檢查:x=−2,g(−2)=4,f(4)=√3,有定義,但同學的答案把它排除了。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):(1)寫成 −1≤x≤1(取兩根中間;正確為 x≤−1 或 x≥1,x=0 時根號內為 −1)。 (2)寫成 x≥0(只考慮 g 的值域;正確為 x≤−1 或 x≥1)。
補救1:二次不等式用檢查點確認。重做時取 x=0 與 x=−2 各試一次。 補救2:f 的條件針對 g(x),不是 x。重做時先寫 g(x)−1≥0。 回到原題時須完整重寫整個過程,不可只改最後一個數。
同學解題如下。設 f(x)=x²+1,g(x)=√(x−3)。
同學的寫法:(f∘g)(x)=(√(x−3))²+1=x−3+1=x−2,這是一次式,所以定義域是全體實數。
請指出錯在哪裡,並寫出正確的定義域。
化簡後的式子 x−2 什麼數都能代。但這個函數一開始是怎麼定義的?
合成的定義域是在化簡之前決定的:先看內層 g 的定義域。
g(x)=√(x−3) 要求根號內不是負數。想一想:x=1 時,(f∘g)(1) 能算嗎?
第一關:x−3≥0。第二關:g(x) 要進 f,而 f 對輸入沒有限制。所以定義域只由第一關決定。
錯在:化簡後的式子 x−2 沒有限制,但合成函數的定義域在化簡前決定。第一關:x−3≥0,x≥3。第二關:f 是多項式,接受任何實數。定義域:x≥3。檢查:x=1 時 √(1−3) 無定義,(f∘g)(1) 無定義,不是所有 x 都能代。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):(1)寫成 x≥2(把化簡後 x−2≥0 當條件;正確為 x≥3)。 (2)寫成 x≠3(以為只排除一個點;正確為 x≥3,x=1、2 也不能代)。
補救1:定義域要在化簡之前由兩關決定。重做時先寫「第一關:x−3≥0」。 補救2:x−3 在根號內,要求的是 ≥0,不是 ≠0。 回到原題時須完整重寫整個過程,不可只改最後一個數。
情境(數字為練習設計,非真實資料):某店促銷分兩步。第一步「打八折」:原價 x 元(0≤x≤1500)的商品,折後金額為 g(x)=(4/5)x 元。第二步「用折價券」:折後金額 y 元的商品,可用一張券折抵 50 元,得 f(y)=y−50;但規定折後金額 y 至少 200 元才能使用,所以 f 的定義域是 y≥200。
(1)寫出先打折再用券的 (f∘g)(x) 的式子。(2)求 (f∘g)(x) 的定義域(原價 x 的範圍)。(3)原價 500 元時,先打折再用券要付多少元?若改成先用券再打折((g∘f)(500))要付多少元?
這個過程先做哪一步?那一步的函數是內層還是外層?
(f∘g)(x)=f(g(x)):先打折 g,折後金額再交給 f。定義域要注意折後金額的最低限制,還要注意原價自己的範圍。
(1)把 f(y)=y−50 的 y 換成 g(x)。(2)第一關:0≤x≤1500。第二關:g(x) 要 ≥200。(3)g∘f 的順序是先 f(500) 再 g。
g(x)≥200 即 (4/5)x≥200,解出 x 的下界。與 0≤x≤1500 合併。(3)分別算 g(500)=400 再 f(400);f(500)=450 再 g(450)。
(1)(f∘g)(x)=(4/5)x−50。(2)(4/5)x≥200,得 x≥250;再與 0≤x≤1500 合併,定義域為 250≤x≤1500。(3)(f∘g)(500)=(4/5)×500−50=350(元)。(g∘f)(500):f(500)=500−50=450,450 滿足 f 的定義域 y≥200,g(450)=(4/5)×450=360(元),需另確認 450 在 0 到 1500 之間,成立。先打折再用券 350 元,先用券再打折 360 元,前者較便宜。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):(1)把定義域寫成 x≥200(照搬 f 的條件;正確為 250≤x≤1500)。 (2)只寫 x≥250,漏掉 x≤1500 的上限。 (3)把 (f∘g)(500) 算成先用券再打折,得 360 元(正確為 350 元)。
補救1:f 的條件 y≥200 是針對折後金額 y,不是原價 x。重做時寫:(4/5)x≥200。 補救2:還要用上第一關:原價的範圍 0≤x≤1500。 補救3:先打折再用券:先 g 再 f。重做時寫:500 → 400 → 350。 回到原題時須完整重寫整個過程,不可只改最後一個數。
函數 g 與 f 用下表給定(沒有列出的數不在定義域內)。
| g 的輸入 x | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| g(x) | 3 | 5 | 6 | 2 |
| f 的輸入 y | 2 | 3 | 5 | 7 |
|---|---|---|---|---|
| f(y) | 10 | 9 | 1 | 4 |
定義域內的每個數都要「兩關」都過。先看 f∘g:g 的輸出要在 f 的定義域內。
f∘g 的定義域:x 在 g 的定義域,且 g(x) 在 f 的定義域 {2,3,5,7}。g∘f 的定義域:y 在 f 的定義域,且 f(y) 在 g 的定義域 {1,2,3,4}。
對 g 的每一個輸入 x,看 g(x) 是否在 {2,3,5,7}。對 f 的每一個輸入 y,看 f(y) 是否在 {1,2,3,4}。
逐一檢查:g(1)=3,g(2)=5,g(3)=6,g(4)=2;f(2)=10,f(3)=9,f(5)=1,f(7)=4。哪些輸出能進下一個函數?能進的再算最終值。
f∘g:x=1,g(1)=3 在 f 的定義域,f(3)=9;x=2,g(2)=5,f(5)=1;x=3,g(3)=6 不在 {2,3,5,7},排除;x=4,g(4)=2,f(2)=10。定義域 {1,2,4},值依序 9、1、10。g∘f:y=2,f(2)=10 不在 {1,2,3,4},排除;y=3,f(3)=9 不在,排除;y=5,f(5)=1 在,g(1)=3;y=7,f(7)=4 在,g(4)=2。定義域 {5,7},值依序 3、2。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):(1)把 f∘g 的定義域寫成 {1,2,3,4}(只看 g 的定義域,漏掉 g(3)=6 送不進 f)。 (2)把 g∘f 的定義域寫成 {2,3,5,7}(只看 f 的定義域)。
補救1:每個 x 都要檢查 g(x) 是否在 f 的定義域內。重做時畫箭頭圖:x → g(x) → f(g(x)),斷掉的就排除。 補救2:g∘f 要反過來,f 的輸出要進 g 的定義域。 回到原題時須完整重寫整個過程,不可只改最後一個數。
設 g(x)=6−x²,且題目指定 g 的定義域為 −3≤x≤1;設 f(y)=√(y−2)。寫出 (f∘g)(x) 的式子並化簡,並求它的定義域。再判斷 x=−3 與 x=2 是否在定義域內。
先分清兩關:x 要在 g 的指定定義域內;g(x) 要在 f 的定義域內。
f 的條件是 y−2≥0。把 y 換成 g(x),得到關於 x 的不等式。再與 g 的指定範圍合併。
第二關:(6−x²)−2≥0,即 4−x²≥0。第一關:−3≤x≤1。兩個條件要同時成立,取兩段範圍的共同部分。
4−x²≥0 的解是兩根之間。畫數線,把這個區間與 −3≤x≤1 重疊的部分標出來。再回頭檢查 x=−3 與 x=2。
(f∘g)(x)=√((6−x²)−2)=√(4−x²)。第二關:4−x²≥0,得 −2≤x≤2。第一關:−3≤x≤1。兩個條件同時成立:−2≤x≤1。x=−3 在 g 的定義域內,但 g(−3)=−3,送不進 f,不在定義域內。x=2 滿足 4−x²≥0,但不在 g 的指定定義域 −3≤x≤1 內,所以也不在定義域內。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):(1)寫成 −2≤x≤2(只解 4−x²≥0,忘了 g 自己的定義域 x≤1)。 (2)寫成 −3≤x≤1(只用 g 的指定範圍,忘了 g(x)≥2 的條件)。
補救1:兩關都要用。重做時把兩個條件各畫一條數線,看交集。 補救2:第二關是 g(x)≥2。重做時檢查 x=−3:g(−3)=−3 小於 2。 回到原題時須完整重寫整個過程,不可只改最後一個數。