回課文。每題先自己做,需要時再依序展開提示。看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成,之後要隔一段時間,不看提示,用原題重做一次。L5 會揭示完整答案。題目中的人物、情境與數字都是為了練習設計的,不是真實資料。
先不看提示,盡量自己做完。答錯的樣子,會告訴你下一步該補課文的哪一節。
記號:題目裡的標準式,質因數由小到大排列,指數 1 省略不寫。結果請寫成標準式並算出數值(除非題目另有要求)。
已知 A=23×32×5(=360);B=22×34×52(=8100)。求 A、B 的最大公因數。請畫出指數表(缺的質因數填 0),取最小指數,寫出最大公因數的標準式與數值,最後回查。
題目已給標準式,不必再分解。想想看:要同時整除每一個數,每一種質因數最多能用幾個?〔回課文:為什麼取最小指數〕
兩個數用到的質因數是哪幾個?兩個數裡每一個都有嗎?
每一種質因數,取各數指數中「最小」的一個;最小指數是 0 的質因數不放進答案。〔回課文:做法與每一步為什麼必要〕
指數表先幫你填好第一列,其餘請自己補齊(缺的質因數填 0);再對每一列取最小值、乘起來並回查:
| 質因數 | A | B |
|---|---|---|
| 2 | 3 | 2 |
| 3 | ? | ? |
| 5 | ? | ? |
指數表:
| 質因數 | A | B | 最小指數 |
|---|---|---|---|
| 2 | 3 | 2 | 2 |
| 3 | 2 | 4 | 2 |
| 5 | 1 | 2 | 1 |
最小指數:2 取 2;3 取 2;5 取 1。最大公因數=22×32×5=180。
回查:360÷180=2、8100÷180=45;商的標準式是 2、32×5,沒有哪個質因數是所有商共同的,所以夠大;商都是整數,所以是公因數。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):
錯法1:每個質因數取了最大指數,寫成 23×34×52=16200(正確為 22×32×5=180)。補救:16200 的質因數 3 的指數是 4,但 A 只有 2,所以 16200 不是 A 的因數(360÷16200 除不盡)。公因數的指數不能超過任何一個數,所以要取最小,不是最大。另外,16200 比 360 還大,這已經不可能是公因數了。重做時在指數表每一列圈「最小」的那個。〔回課文:為什麼取最小指數〕
錯法2:只寫共同的質因數、忘了寫指數,得 2×3×5=30(正確為 22×32×5=180)。補救:30 是公因數,但不是最大的:各數除以 30 的商是 12、270,它們還共同有質因數 2、3,代表還能再乘大一點。重做時每個質因數都要寫上最小指數,不是只寫出現與否。〔回課文:常見的錯與自我檢查〕
回到原題時,請完整重寫「標準式、指數表、最小指數、結果、回查」,不要只改最後一個數。
記號:題目裡的標準式,質因數由小到大排列,指數 1 省略不寫。結果請寫成標準式並算出數值(除非題目另有要求)。
已知 A=24×3×7(=336);B=32×5×72(=2205)。求 A、B 的最大公因數。請畫出指數表(缺的質因數填 0),取最小指數,寫出最大公因數的標準式與數值,最後回查。
兩個數用到的質因數不完全一樣。想想看:要同時整除每一個數,每一種質因數最多能用幾個?〔回課文:為什麼取最小指數〕
有些質因數只出現在其中一個數裡,另一個數裡它的指數該怎麼寫?
每一種質因數,取各數指數中「最小」的一個;最小指數是 0 的質因數不放進答案。〔回課文:做法與每一步為什麼必要〕
指數表先幫你填好第一列,其餘請自己補齊(缺的質因數填 0);再對每一列取最小值、乘起來並回查:
| 質因數 | A | B |
|---|---|---|
| 2 | 4 | 0 |
| 3 | ? | ? |
| 5 | ? | ? |
| 7 | ? | ? |
指數表:
| 質因數 | A | B | 最小指數 |
|---|---|---|---|
| 2 | 4 | 0 | 0 |
| 3 | 1 | 2 | 1 |
| 5 | 0 | 1 | 0 |
| 7 | 1 | 2 | 1 |
最小指數:2 取 0;3 取 1;5 取 0;7 取 1。其中 2、5 的最小指數是 0,不放進答案。最大公因數=3×7=21。
回查:336÷21=16、2205÷21=105;商的標準式是 24、3×5×7,沒有哪個質因數是所有商共同的,所以夠大;商都是整數,所以是公因數。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):
錯法1:每個質因數取了最大指數,寫成 24×32×5×72=35280(正確為 3×7=21)。補救:35280 的質因數 3 的指數是 2,但 A 只有 1,所以 35280 不是 A 的因數(336÷35280 除不盡)。公因數的指數不能超過任何一個數,所以要取最小,不是最大。另外,35280 比 336 還大,這已經不可能是公因數了。重做時在指數表每一列圈「最小」的那個。〔回課文:為什麼取最小指數〕
錯法2:把只在部分數出現的質因數也收進來,寫成 24×3×5×7=1680(正確為 3×7=21)。補救:質因數 2 在 B 裡的指數是 0,取最小指數得 0,不能放進答案。1680 的質因數 5 的指數是 1,但 A 根本沒有這個質因數(指數 0),所以 1680 不是 A 的因數(336÷1680 除不盡)。重做時先把缺的格子填 0,再取最小。〔回課文:標準式、因數、缺的質因數〕
回到原題時,請完整重寫「標準式、指數表、最小指數、結果、回查」,不要只改最後一個數。
記號:題目裡的標準式,質因數由小到大排列,指數 1 省略不寫。結果請寫成標準式並算出數值(除非題目另有要求)。
已知 A=23×32×5(=360);B=22×3×7(=84);C=2×33×52(=1350)。求 A、B、C 的最大公因數。請畫出指數表(缺的質因數填 0),取最小指數,寫出最大公因數的標準式與數值,最後回查。
這次有三個數。想想看:要同時整除每一個數,每一種質因數最多能用幾個?〔回課文:為什麼取最小指數〕
指數表要有三行(三個數),每一列取最小值時,要看全部三個數。
每一種質因數,取各數指數中「最小」的一個;最小指數是 0 的質因數不放進答案。〔回課文:做法與每一步為什麼必要〕
指數表先幫你填好第一列,其餘請自己補齊(缺的質因數填 0);再對每一列取最小值、乘起來並回查:
| 質因數 | A | B | C |
|---|---|---|---|
| 2 | 3 | 2 | 1 |
| 3 | ? | ? | ? |
| 5 | ? | ? | ? |
| 7 | ? | ? | ? |
指數表:
| 質因數 | A | B | C | 最小指數 |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 3 | 2 | 1 | 1 |
| 3 | 2 | 1 | 3 | 1 |
| 5 | 1 | 0 | 2 | 0 |
| 7 | 0 | 1 | 0 | 0 |
最小指數:2 取 1;3 取 1;5 取 0;7 取 0。其中 5、7 的最小指數是 0,不放進答案。最大公因數=2×3=6。
回查:360÷6=60、84÷6=14、1350÷6=225;商的標準式是 22×3×5、2×7、32×52,沒有哪個質因數是所有商共同的,所以夠大;商都是整數,所以是公因數。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):
錯法1:每個質因數取了最大指數,寫成 23×33×52×7=37800(正確為 2×3=6)。補救:37800 的質因數 3 的指數是 3,但 A 只有 2,所以 37800 不是 A 的因數(360÷37800 除不盡)。公因數的指數不能超過任何一個數,所以要取最小,不是最大。另外,37800 比 84 還大,這已經不可能是公因數了。重做時在指數表每一列圈「最小」的那個。〔回課文:為什麼取最小指數〕
錯法2:只比較了前兩個數,漏掉第三個數,得 22×3=12(正確為 2×3=6)。補救:12 的質因數 2 的指數是 2,但 C 只有 1,所以 12 不是 C 的因數(1350÷12 除不盡)。三個數的最大公因數,最小指數要在三行裡取,第三個數也有限制。〔回課文:做法與每一步為什麼必要〕
回到原題時,請完整重寫「標準式、指數表、最小指數、結果、回查」,不要只改最後一個數。
題目已給標準式,練習畫指數表、取最小指數、回查。
記號:題目裡的標準式,質因數由小到大排列,指數 1 省略不寫。結果請寫成標準式並算出數值(除非題目另有要求)。
已知 A=23×33×7(=1512);B=25×3×72(=4704)。求 A、B 的最大公因數。請畫出指數表(缺的質因數填 0),取最小指數,寫出最大公因數的標準式與數值,最後回查。
先看清楚每個標準式:指數 1 是省略不寫的。想想看:要同時整除每一個數,每一種質因數最多能用幾個?〔回課文:為什麼取最小指數〕
三種質因數 2、3、7 兩個數都有,逐一比較兩個指數。
每一種質因數,取各數指數中「最小」的一個;最小指數是 0 的質因數不放進答案。〔回課文:做法與每一步為什麼必要〕
指數表先幫你填好第一列,其餘請自己補齊(缺的質因數填 0);再對每一列取最小值、乘起來並回查:
| 質因數 | A | B |
|---|---|---|
| 2 | 3 | 5 |
| 3 | ? | ? |
| 7 | ? | ? |
指數表:
| 質因數 | A | B | 最小指數 |
|---|---|---|---|
| 2 | 3 | 5 | 3 |
| 3 | 3 | 1 | 1 |
| 7 | 1 | 2 | 1 |
最小指數:2 取 3;3 取 1;7 取 1。最大公因數=23×3×7=168。
回查:1512÷168=9、4704÷168=28;商的標準式是 32、22×7,沒有哪個質因數是所有商共同的,所以夠大;商都是整數,所以是公因數。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):
錯法1:每個質因數取了最大指數,寫成 25×33×72=42336(正確為 23×3×7=168)。補救:42336 的質因數 2 的指數是 5,但 A 只有 3,所以 42336 不是 A 的因數(1512÷42336 除不盡)。公因數的指數不能超過任何一個數,所以要取最小,不是最大。另外,42336 比 1512 還大,這已經不可能是公因數了。重做時在指數表每一列圈「最小」的那個。〔回課文:為什麼取最小指數〕
錯法2:只寫共同的質因數、忘了寫指數,得 2×3×7=42(正確為 23×3×7=168)。補救:42 是公因數,但不是最大的:各數除以 42 的商是 36、112,它們還共同有質因數 2,代表還能再乘大一點。重做時每個質因數都要寫上最小指數,不是只寫出現與否。〔回課文:常見的錯與自我檢查〕
回到原題時,請完整重寫「標準式、指數表、最小指數、結果、回查」,不要只改最後一個數。
記號:題目裡的標準式,質因數由小到大排列,指數 1 省略不寫。結果請寫成標準式並算出數值(除非題目另有要求)。
已知 A=32×54(=5625);B=23×52×11(=2200)。求 A、B 的最大公因數。請畫出指數表(缺的質因數填 0),取最小指數,寫出最大公因數的標準式與數值,最後回查。
注意:有些質因數只出現在其中一個數裡。想想看:要同時整除每一個數,每一種質因數最多能用幾個?〔回課文:為什麼取最小指數〕
把 A、B 用到的質因數全部列出來。只出現在其中一個數裡的質因數,在另一個數裡的指數要填什麼?
每一種質因數,取各數指數中「最小」的一個;最小指數是 0 的質因數不放進答案。〔回課文:做法與每一步為什麼必要〕
指數表先幫你填好第一列,其餘請自己補齊(缺的質因數填 0);再對每一列取最小值、乘起來並回查:
| 質因數 | A | B |
|---|---|---|
| 2 | 0 | 3 |
| 3 | ? | ? |
| 5 | ? | ? |
| 11 | ? | ? |
指數表:
| 質因數 | A | B | 最小指數 |
|---|---|---|---|
| 2 | 0 | 3 | 0 |
| 3 | 2 | 0 | 0 |
| 5 | 4 | 2 | 2 |
| 11 | 0 | 1 | 0 |
最小指數:2 取 0;3 取 0;5 取 2;11 取 0。其中 2、3、11 的最小指數是 0,不放進答案。最大公因數=52=25。
回查:5625÷25=225、2200÷25=88;商的標準式是 32×52、23×11,沒有哪個質因數是所有商共同的,所以夠大;商都是整數,所以是公因數。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):
錯法1:每個質因數取了最大指數,寫成 23×32×54×11=495000(正確為 52=25)。補救:495000 的質因數 2 的指數是 3,但 A 根本沒有這個質因數(指數 0),所以 495000 不是 A 的因數(5625÷495000 除不盡)。公因數的指數不能超過任何一個數,所以要取最小,不是最大。另外,495000 比 2200 還大,這已經不可能是公因數了。重做時在指數表每一列圈「最小」的那個。〔回課文:為什麼取最小指數〕
錯法2:把只在部分數出現的質因數也收進來,寫成 23×32×52×11=19800(正確為 52=25)。補救:質因數 3 在 B 裡的指數是 0,取最小指數得 0,不能放進答案。19800 的質因數 2 的指數是 3,但 A 根本沒有這個質因數(指數 0),所以 19800 不是 A 的因數(5625÷19800 除不盡)。重做時先把缺的格子填 0,再取最小。〔回課文:標準式、因數、缺的質因數〕
錯法3:只寫共同的質因數、忘了寫指數,得 5(正確為 52=25)。補救:5 是公因數,但不是最大的:各數除以 5 的商是 1125、440,它們還共同有質因數 5,代表還能再乘大一點。重做時每個質因數都要寫上最小指數,不是只寫出現與否。〔回課文:常見的錯與自我檢查〕
回到原題時,請完整重寫「標準式、指數表、最小指數、結果、回查」,不要只改最後一個數。
記號:題目裡的標準式,質因數由小到大排列,指數 1 省略不寫。結果請寫成標準式並算出數值(除非題目另有要求)。
已知 A=22×32×52×7(=6300);B=23×3×5×72(=5880)。求 A、B 的最大公因數。請畫出指數表(缺的質因數填 0),取最小指數,寫出最大公因數的標準式與數值,最後回查。
四種質因數兩個數都有,但指數有大有小。想想看:要同時整除每一個數,每一種質因數最多能用幾個?〔回課文:為什麼取最小指數〕
一列一列處理:每一列只比兩個指數,取小的。
每一種質因數,取各數指數中「最小」的一個;最小指數是 0 的質因數不放進答案。〔回課文:做法與每一步為什麼必要〕
指數表先幫你填好第一列,其餘請自己補齊(缺的質因數填 0);再對每一列取最小值、乘起來並回查:
| 質因數 | A | B |
|---|---|---|
| 2 | 2 | 3 |
| 3 | ? | ? |
| 5 | ? | ? |
| 7 | ? | ? |
指數表:
| 質因數 | A | B | 最小指數 |
|---|---|---|---|
| 2 | 2 | 3 | 2 |
| 3 | 2 | 1 | 1 |
| 5 | 2 | 1 | 1 |
| 7 | 1 | 2 | 1 |
最小指數:2 取 2;3 取 1;5 取 1;7 取 1。最大公因數=22×3×5×7=420。
回查:6300÷420=15、5880÷420=14;商的標準式是 3×5、2×7,沒有哪個質因數是所有商共同的,所以夠大;商都是整數,所以是公因數。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):
錯法1:每個質因數取了最大指數,寫成 23×32×52×72=88200(正確為 22×3×5×7=420)。補救:88200 的質因數 2 的指數是 3,但 A 只有 2,所以 88200 不是 A 的因數(6300÷88200 除不盡)。公因數的指數不能超過任何一個數,所以要取最小,不是最大。另外,88200 比 5880 還大,這已經不可能是公因數了。重做時在指數表每一列圈「最小」的那個。〔回課文:為什麼取最小指數〕
錯法2:只寫共同的質因數、忘了寫指數,得 2×3×5×7=210(正確為 22×3×5×7=420)。補救:210 是公因數,但不是最大的:各數除以 210 的商是 30、28,它們還共同有質因數 2,代表還能再乘大一點。重做時每個質因數都要寫上最小指數,不是只寫出現與否。〔回課文:常見的錯與自我檢查〕
回到原題時,請完整重寫「標準式、指數表、最小指數、結果、回查」,不要只改最後一個數。
練習需要自己分解、或有三個數、或有質因數缺席的情況。
記號:題目裡的標準式,質因數由小到大排列,指數 1 省略不寫。結果請寫成標準式並算出數值(除非題目另有要求)。
求 48、72 的最大公因數。請先把每個數寫成標準分解式,畫出指數表(缺的質因數填 0),再取最小指數,寫出最大公因數的標準式與數值,最後回查。
題目給的是普通的數,不是標準式。要比較質因數的指數,第一步該做什麼?〔回課文:做法與每一步為什麼必要〕
把每個數用質數由小到大試除,分解成質因數,寫成標準式。再列出出現過的質因數,缺的填 0。
每一種質因數,取各數指數中「最小」的一個;最小指數是 0 的質因數不放進答案。〔回課文:做法與每一步為什麼必要〕
先分解 48:用質數由小到大試除,能整除就除,除到商為 1,數一數每個質數各被除了幾次,寫成標準式;72 也用同樣的方式分解。接著畫指數表(缺的質因數填 0),對每一列取最小值、乘起來並回查。
分解:48=24×3;72=23×32。指數表:
| 質因數 | 48 | 72 | 最小指數 |
|---|---|---|---|
| 2 | 4 | 3 | 3 |
| 3 | 1 | 2 | 1 |
最小指數:2 取 3;3 取 1。最大公因數=23×3=24。
回查:48÷24=2、72÷24=3;商的標準式是 2、3,沒有哪個質因數是所有商共同的,所以夠大;商都是整數,所以是公因數。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):
錯法1:每個質因數取了最大指數,寫成 24×32=144(正確為 23×3=24)。補救:144 的質因數 3 的指數是 2,但 48 只有 1,所以 144 不是 48 的因數(48÷144 除不盡)。公因數的指數不能超過任何一個數,所以要取最小,不是最大。另外,144 比 48 還大,這已經不可能是公因數了。重做時在指數表每一列圈「最小」的那個。〔回課文:為什麼取最小指數〕
錯法2:只寫共同的質因數、忘了寫指數,得 2×3=6(正確為 23×3=24)。補救:6 是公因數,但不是最大的:各數除以 6 的商是 8、12,它們還共同有質因數 2,代表還能再乘大一點。重做時每個質因數都要寫上最小指數,不是只寫出現與否。〔回課文:常見的錯與自我檢查〕
回到原題時,請完整重寫「標準式、指數表、最小指數、結果、回查」,不要只改最後一個數。
記號:題目裡的標準式,質因數由小到大排列,指數 1 省略不寫。結果請寫成標準式並算出數值(除非題目另有要求)。
已知 A=23×33×5(=1080);B=24×32(=144);C=22×34×52×7(=56700)。求 A、B、C 的最大公因數。請畫出指數表(缺的質因數填 0),取最小指數,寫出最大公因數的標準式與數值,最後回查。
這次有三個數,而且有的質因數在某個數裡完全沒有。想想看:要同時整除每一個數,每一種質因數最多能用幾個?〔回課文:為什麼取最小指數〕
5 和 7 在哪幾個數裡有?沒有的那些數,指數要填什麼?
每一種質因數,取各數指數中「最小」的一個;最小指數是 0 的質因數不放進答案。〔回課文:做法與每一步為什麼必要〕
指數表先幫你填好第一列,其餘請自己補齊(缺的質因數填 0);再對每一列取最小值、乘起來並回查:
| 質因數 | A | B | C |
|---|---|---|---|
| 2 | 3 | 4 | 2 |
| 3 | ? | ? | ? |
| 5 | ? | ? | ? |
| 7 | ? | ? | ? |
指數表:
| 質因數 | A | B | C | 最小指數 |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 3 | 4 | 2 | 2 |
| 3 | 3 | 2 | 4 | 2 |
| 5 | 1 | 0 | 2 | 0 |
| 7 | 0 | 0 | 1 | 0 |
最小指數:2 取 2;3 取 2;5 取 0;7 取 0。其中 5、7 的最小指數是 0,不放進答案。最大公因數=22×32=36。
回查:1080÷36=30、144÷36=4、56700÷36=1575;商的標準式是 2×3×5、22、32×52×7,沒有哪個質因數是所有商共同的,所以夠大;商都是整數,所以是公因數。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):
錯法1:每個質因數取了最大指數,寫成 24×34×52×7=226800(正確為 22×32=36)。補救:226800 的質因數 2 的指數是 4,但 A 只有 3,所以 226800 不是 A 的因數(1080÷226800 除不盡)。公因數的指數不能超過任何一個數,所以要取最小,不是最大。另外,226800 比 144 還大,這已經不可能是公因數了。重做時在指數表每一列圈「最小」的那個。〔回課文:為什麼取最小指數〕
錯法2:把只在部分數出現的質因數也收進來,寫成 22×32×5×7=1260(正確為 22×32=36)。補救:質因數 5 在 B 裡的指數是 0,取最小指數得 0,不能放進答案。1260 的質因數 7 的指數是 1,但 A 根本沒有這個質因數(指數 0),所以 1260 不是 A 的因數(1080÷1260 除不盡)。重做時先把缺的格子填 0,再取最小。〔回課文:標準式、因數、缺的質因數〕
錯法3:只比較了前兩個數,漏掉第三個數,得 23×32=72(正確為 22×32=36)。補救:72 的質因數 2 的指數是 3,但 C 只有 2,所以 72 不是 C 的因數(56700÷72 除不盡)。三個數的最大公因數,最小指數要在三行裡取,第三個數也有限制。〔回課文:做法與每一步為什麼必要〕
回到原題時,請完整重寫「標準式、指數表、最小指數、結果、回查」,不要只改最後一個數。
記號:題目裡的標準式,質因數由小到大排列,指數 1 省略不寫。結果請寫成標準式並算出數值(除非題目另有要求)。
求 120、180、150 的最大公因數。請先把每個數寫成標準分解式,畫出指數表(缺的質因數填 0),再取最小指數,寫出最大公因數的標準式與數值,最後回查。
題目給的是普通的數,不是標準式。要比較質因數的指數,第一步該做什麼?〔回課文:做法與每一步為什麼必要〕
把每個數用質數由小到大試除,分解成質因數,寫成標準式。再列出出現過的質因數,缺的填 0。
每一種質因數,取各數指數中「最小」的一個;最小指數是 0 的質因數不放進答案。〔回課文:做法與每一步為什麼必要〕
先分解 120:用質數由小到大試除,能整除就除,除到商為 1,數一數每個質數各被除了幾次,寫成標準式;180、150 也用同樣的方式分解。接著畫指數表(缺的質因數填 0),對每一列取最小值、乘起來並回查。
分解:120=23×3×5;180=22×32×5;150=2×3×52。指數表:
| 質因數 | 120 | 180 | 150 | 最小指數 |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 3 | 2 | 1 | 1 |
| 3 | 1 | 2 | 1 | 1 |
| 5 | 1 | 1 | 2 | 1 |
最小指數:2 取 1;3 取 1;5 取 1。最大公因數=2×3×5=30。
回查:120÷30=4、180÷30=6、150÷30=5;商的標準式是 22、2×3、5,沒有哪個質因數是所有商共同的,所以夠大;商都是整數,所以是公因數。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):
錯法1:每個質因數取了最大指數,寫成 23×32×52=1800(正確為 2×3×5=30)。補救:1800 的質因數 3 的指數是 2,但 120 只有 1,所以 1800 不是 120 的因數(120÷1800 除不盡)。公因數的指數不能超過任何一個數,所以要取最小,不是最大。另外,1800 比 120 還大,這已經不可能是公因數了。重做時在指數表每一列圈「最小」的那個。〔回課文:為什麼取最小指數〕
錯法2:只比較了前兩個數,漏掉第三個數,得 22×3×5=60(正確為 2×3×5=30)。補救:60 的質因數 2 的指數是 2,但 150 只有 1,所以 60 不是 150 的因數(150÷60 除不盡)。三個數的最大公因數,最小指數要在三行裡取,第三個數也有限制。〔回課文:做法與每一步為什麼必要〕
回到原題時,請完整重寫「標準式、指數表、最小指數、結果、回查」,不要只改最後一個數。
這幾題幫你把「為什麼取最小」與「缺的指數是 0」弄清楚。
記號:題目裡的標準式,質因數由小到大排列,指數 1 省略不寫。結果請寫成標準式並算出數值(除非題目另有要求)。
已知 A=23×52×7,B=22×3×53。下面有四個數:d1=22×52、d2=23×5、d3=2×3×5、d4=2×52。
(1)哪些是 A 與 B 的公因數?請只用質因數的指數來判斷,不要把 A、B 乘出來再去除。(2)這些公因數裡最大的是哪一個?它和 A、B 的最大公因數有什麼關係?
要判斷一個數 d 是不是 A 的因數,要拿 d 的質因數指數去和 A 的什麼比較?〔回課文:標準式、因數、缺的質因數〕
對四個數 d 逐一檢查,每個 d 一個質因數一個質因數看:它的指數有沒有超過 A 的,有沒有超過 B 的?A 或 B 裡沒有的質因數,指數當 0。
只要有一個質因數的指數超過 A 或 B,這個數就不是公因數。剩下的公因數再比較大小。〔回課文:為什麼取最小指數〕
請對 d1、d2、d3、d4 四個數逐一檢查：把每個 d 的每一個質因數，都同時和 A 的指數、B 的指數比一比（A 或 B 裡沒有的質因數，指數當 0）。把每個 d 的判斷結果記下來，只留下公因數，再比較它們的大小，最後和「取最小指數」的結果對照。
d1=22×52:2 的指數 2 不超過 A 的 3,也不超過 B 的 2;5 的指數 2 不超過 A 的 2,也不超過 B 的 3,所以是公因數。
d2=23×5:2 的指數 3 超過 B 的 2(B 只有兩個 2),不是公因數(d2=40,1500÷40=37.5)。
d3=2×3×5:3 的指數 1 超過 A 的 0(A 沒有質因數 3),不是公因數(1400÷30 除不盡)。
d4=2×52:各指數都沒超過,是公因數。
公因數是 d1、d4。比大小:d1=100,d4=50,最大的是 d1。取最小指數求 A、B 的最大公因數:2 取 2,3 取 0,5 取 2,7 取 0,得 22×52=100,正好就是 d1。
回查:1400÷100=14,1500÷100=15,14=2×7 與 15=3×5 沒有共同質因數。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):
錯法1:認為 d2=40 也是公因數(只拿 d2 和 A 比,沒有和 B 比)。補救:1500÷40=37.5,除不盡。d2 的 2 的指數是 3,B 的 2 只有 2 個。要對每一個數都檢查。〔回課文:標準式、因數、缺的質因數〕
錯法2:認為 d3=30 是公因數(因為 B 裡有 3、5、2)。補救:1400÷30 除不盡。A 沒有質因數 3(指數 0),所以含有 3 的數不可能是 A 的因數。〔回課文:標準式、因數、缺的質因數〕
錯法3:答最大的公因數是 d4=50(看到它是公因數就停了)。補救:d1=100 也是公因數而且更大,所以 50 不是最大。要把所有公因數比完,或直接取最小指數,2 取 2、5 取 2,得 100。〔回課文:為什麼取最小指數〕
回到原題時,請完整重寫「標準式、指數表、最小指數、結果、回查」,不要只改最後一個數。
記號:題目裡的標準式,質因數由小到大排列,指數 1 省略不寫。結果請寫成標準式並算出數值(除非題目另有要求)。
(1)分別列出 20 與 50 的所有因數,找出它們的公因數與最大公因數。(2)把 20、50 寫成標準式,用最小指數再求一次最大公因數,看兩個結果是否一致。(3)4 是 20 的因數、25 是 50 的因數,請用質因數的指數說明:為什麼 4 與 25 都不是 20 與 50 的公因數。
找因數可以成對找:從 1 開始,1×(這個數本身),再依序試 2、3、4……,能整除的就和商配成一對。先對 20 這樣做,再對 50 做同樣的事,小心不要漏掉。
兩組因數都列完之後,找兩邊都有的數。標準式方面,先分別把 20、50 分解成質因數,缺的質因數指數填 0。〔回課文:做法與每一步為什麼必要〕
把 20、50 各寫成標準式,對每個質因數的兩個指數取最小,再乘起來。第(3)小題:把 4 與 25 也各自寫成質因數的形式,拿它們每個質因數的指數,去和 20、50 對應質因數的指數比一比,看有沒有超過。〔回課文:為什麼取最小指數〕
先把(1)的兩份因數表各自列完整,在兩份都出現的數底下畫線;其中最大的那一個,請與(2)用最小指數算出的結果比一比。
(1)公因數有 1、2、5、10,最大公因數是 10。
(2)20=22×5,50=2×52;2 的指數 (2,1) 取 1,5 的指數 (1,2) 取 1,結果 2×5=10,與(1)一致。
(3)4=22,2 的指數 2 超過 50 的 2 的指數 1,所以 4 不整除 50(50÷4=12.5);25=52,5 的指數 2 超過 20 的 5 的指數 1,所以 25 不整除 20。
回查:20÷10=2,50÷10=5,2 與 5 沒有共同質因數。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):
錯法1:答最大公因數是 20(以為較小的那個數就是答案)。補救:50÷20=2.5,除不盡。20 的 2 的指數是 2,50 的 2 的指數只有 1,超過了。較小的數只有在它整除另一個數時,才會是最大公因數。〔回課文:邊界、反例與非例〕
錯法2:答最大公因數是 5(列 20 的因數時漏掉了 10)。補救:20=2×10,所以 10 也是 20 的因數,也是 50 的因數(50=5×10),比 5 大。列因數要成對找,最後用標準式的最小指數(2 取 1、5 取 1,得 10)對照。〔回課文:做法與每一步為什麼必要〕
錯法3:取了最大指數,寫 22×52=100。補救:100 比 20 還大,不可能整除 20。公因數的指數不能超過任何一個數的指數,要取最小。〔回課文:為什麼取最小指數〕
回到原題時,請完整重寫「標準式、指數表、最小指數、結果、回查」,不要只改最後一個數。
記號:題目裡的標準式,質因數由小到大排列,指數 1 省略不寫。結果請寫成標準式並算出數值(除非題目另有要求)。
已知 A=23×7,B=32×72,C=2×3×7。(1)把三個數都寫成「同時含有 2、3、7 三種質因數」的形式,缺的質因數指數寫 0。(2)求 A、B、C 的最大公因數。
三個數用到的質因數一共有哪幾種?每個數有沒有缺哪一種?
缺的質因數指數寫 0,例如把 12=22×3 寫成含 2、3、5 三種質因數的形式,12 沒有 5,就補上 50,寫成 22×31×50。寫完之後,三個數的每一個都應該有同樣的三種質因數。〔回課文:標準式、因數、缺的質因數〕
每一種質因數,取三個指數中最小的;最小指數是 0 的不放進答案。〔回課文:做法與每一步為什麼必要〕
寫成三種質因數的形式時，缺的質因數指數寫 0。例如把 18=2×32 寫成含 2、3、5 三種質因數的形式，18 沒有 5，所以寫成 21×32×50。請用同樣的方式把 A、B、C 都寫成含 2、3、7 三種質因數的形式，再對每一列取最小、乘起來並回查。
A=23×30×71,B=20×32×72,C=21×31×71。
| 質因數 | A | B | C | 最小指數 |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 3 | 0 | 1 | 0 |
| 3 | 0 | 2 | 1 | 0 |
| 7 | 1 | 2 | 1 | 1 |
最小指數:2 取 0,3 取 0,7 取 1,所以最大公因數=7。
回查:56÷7=8=23,441÷7=63=32×7,42÷7=6=2×3;8 沒有質因數 3 與 7,所以三個商沒有共同的質因數,7 夠大。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):
錯法1:把缺的質因數「略過不管」,三個數都有的才取最小,其餘照收,寫成 2×3×7=42。補救:56÷42 除不盡。2 在 B 裡的指數是 0,3 在 A 裡的指數是 0,取最小都是 0,不能放進答案。重做時把缺的格子明確填 0。〔回課文:標準式、因數、缺的質因數〕
錯法2:取最大指數,寫 23×32×72=3528。補救:3528 比三個數都大,不可能是它們的因數。要取最小。〔回課文:為什麼取最小指數〕
回到原題時,請完整重寫「標準式、指數表、最小指數、結果、回查」,不要只改最後一個數。
每題題幹裡是別人的錯誤做法,請找出錯在哪裡並改正。
記號:題目裡的標準式,質因數由小到大排列,指數 1 省略不寫。結果請寫成標準式並算出數值(除非題目另有要求)。
下面是一位同學(這是為練習設計的例子,不是真實同學的作答)的做法:
求 A=2×33×5 與 B=22×32×52 的最大公因數。「每個質因數取指數大的:2 取 2,3 取 3,5 取 2,所以最大公因數=22×33×52=2700。」
請指出這個做法錯在哪裡,並寫出正確的做法、答案與回查。
先用大小檢查:A=270,B=900,那個答案 2700 和 A、B 比,有什麼不合理?
想想:公因數的某個質因數的指數,可不可以比 A 或 B 裡的指數還大?這位同學每一列取的是什麼?〔回課文:為什麼取最小指數〕
對照課文的做法：最大公因數的每一個質因數，指數要怎麼取？把這位同學每一列取的方式和它比一比，再請重做：2、3、5 的最小指數各是多少？
指數表(依 A、B 的順序):2:(1,2);3、5 這兩列請自己補齊,再對每一列取最小、乘起來並回查。
錯在哪:最大公因數的每個質因數,指數不能超過任何一個數裡的指數,所以要取最小,不是最大。2700 比 A=270 還大,大的數不可能整除小的數,所以 2700 不可能是 A 的因數。
| 質因數 | A | B | 最小指數 |
|---|---|---|---|
| 2 | 1 | 2 | 1 |
| 3 | 3 | 2 | 2 |
| 5 | 1 | 2 | 1 |
正確:2 取 1,3 取 2,5 取 1,最大公因數=2×32×5=90。
回查:270÷90=3,900÷90=10;3 與 10=2×5 沒有共同質因數,90 夠大。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):
錯法1:改成取最小指數,但只寫共同的質因數而不寫指數,得 2×3×5=30。補救:30 是公因數,但 270÷30=9、900÷30=30,這兩個商還共同有質因數 3(9=32,30=2×3×5),所以不是最大。要把最小指數也寫進去:2×32×5=90。〔回課文:常見的錯與自我檢查〕
錯法2:只取 A 的指數(因為 A 比較小),得 270。補救:900÷270 除不盡。只有「較小的數整除另一個數」時才可以這樣,要一個質因數一個質因數比較。〔回課文:邊界、反例與非例〕
回到原題時,請完整重寫「標準式、指數表、最小指數、結果、回查」,不要只改最後一個數。
記號:題目裡的標準式,質因數由小到大排列,指數 1 省略不寫。結果請寫成標準式並算出數值(除非題目另有要求)。
下面是一位同學(這是為練習設計的例子,不是真實同學的作答)的做法:
求 A=24×52×11 與 B=23×32×112 的最大公因數。「2 的指數是 4 和 3,取小的 3;11 的指數是 1 和 2,取小的 1;5 只在 A 出現,照寫 52;3 只在 B 出現,照寫 32。所以最大公因數=23×32×52×11=19800。」
請指出這個做法錯在哪裡,並寫出正確的做法、答案與回查。
先用大小檢查:A=4400,B=8712,答案 19800 和它們比,有什麼不合理?
請把兩個數用到的質因數逐一列出，每一種質因數在 A、B 裡的指數各是多少（沒有的當 0）？再逐一對照這位同學對每一種質因數的處理。〔回課文:標準式、因數、缺的質因數〕
對照課文:某個質因數不在某一個數裡時,它在那個數的指數要怎麼看?用這個規則,逐一重新檢查這位同學對每一種質因數的處理。再請重做:2、3、5、11 的最小指數各是多少?
指數表(依 A、B 的順序):2:(4,3);3、5、11 這三列請自己補齊(缺的當 0),再對每一列取最小、乘起來並回查。
錯在哪:5 只在 A 出現,B 沒有 5,B 的 5 指數是 0,最小指數是 0,不能放進答案;3 同理。把它們放進去,得到的 19800 比 A=4400 和 B=8712 都大,不可能是公因數。2 與 11 的處理是對的。
| 質因數 | A | B | 最小指數 |
|---|---|---|---|
| 2 | 4 | 3 | 3 |
| 3 | 0 | 2 | 0 |
| 5 | 2 | 0 | 0 |
| 11 | 1 | 2 | 1 |
正確:2 取 3,3 取 0,5 取 0,11 取 1,最大公因數=23×11=88。
回查:4400÷88=50=2×52,8712÷88=99=32×11;50 與 99 沒有共同質因數,88 夠大。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):
錯法1:只改掉了 3,卻還留著 5,得 23×52×11=2200。補救:8712÷2200 除不盡。5 在 B 裡的指數是 0,和 3 一樣不能放進答案。每個「只在一個數出現」的質因數都要處理。〔回課文:標準式、因數、缺的質因數〕
錯法2:只動了 2 的指數,取了大的 4,得 24×11=176。補救:8712÷176=49.5,除不盡。B 的 2 只有 3 個,取 4 超過了。2 的最小指數是 3。〔回課文:為什麼取最小指數〕
回到原題時,請完整重寫「標準式、指數表、最小指數、結果、回查」,不要只改最後一個數。
記號:題目裡的標準式,質因數由小到大排列,指數 1 省略不寫。結果請寫成標準式並算出數值(除非題目另有要求)。
下面是一位同學(這是為練習設計的例子,不是真實同學的作答)的做法:
求 A=23×32×11 與 B=22×33×11 的最大公因數。「兩個數都有質因數 2、3、11,所以最大公因數=2×3×11=66。」
請指出這個做法錯在哪裡,並寫出正確的做法、答案與回查。
先檢查：66 是不是 A 與 B 的因數？再想想：要說一個公因數就是「最大」的，還需要確認什麼？
用 66 去除 A 與 B（792÷66、1188÷66），看看這兩個商，它們還有沒有共同的質因數？〔回課文:常見的錯與自我檢查〕
回到課文的步驟，對 2、3、11 各畫指數表並取最小指數，再和同學的寫法比較。請重做：2、3、11 的最小指數各是多少？〔回課文:做法與每一步為什麼必要〕
指數表(依 A、B 的順序):2:(3,2);3、11 這兩列請自己補齊,再對每一列取最小、乘起來並回查。
錯在哪:同學只寫了共同的質因數,每個都當成只用一個,但 2 與 3 的最小指數都是 2。66 是公因數,但不是最大的:792÷66=12=22×3,1188÷66=18=2×32,商還共同有 2 與 3,可以再乘大。
| 質因數 | A | B | 最小指數 |
|---|---|---|---|
| 2 | 3 | 2 | 2 |
| 3 | 2 | 3 | 2 |
| 11 | 1 | 1 | 1 |
正確:2 取 2,3 取 2,11 取 1,最大公因數=22×32×11=396。
回查:792÷396=2,1188÷396=3;2 與 3 沒有共同質因數,396 夠大。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):
錯法1:改成取最大指數,得 23×33×11=2376。補救:2376 比 A=792 還大,不可能整除 A。要取最小。〔回課文:為什麼取最小指數〕
錯法2:只取 A 的指數,得 792。補救:1188÷792=1.5,除不盡。B 的 2 指數只有 2,而 792 的 2 指數是 3,超過了,不能全拿 A 的。〔回課文:邊界、反例與非例〕
回到原題時,請完整重寫「標準式、指數表、最小指數、結果、回查」,不要只改最後一個數。
把最大公因數用在情境與反推問題上。
記號:題目裡的標準式,質因數由小到大排列,指數 1 省略不寫。結果請寫成標準式並算出數值(除非題目另有要求)。
情境(為練習設計):有兩條彩帶,長 168 公分與 252 公分。要把它們都剪成長度相同的小段,不能有剩餘,而且每一小段要盡可能長。
(1)每一小段最長是幾公分?(2)這時兩條彩帶各剪成幾段?請寫出你用了什麼數學方法與每一步的理由。 (1)以公分為單位，(2)以段為單位，答案的數值都只寫數字。
小段的長度要同時整除 168 與 252,又要最長。這是在求哪一種數?
先把 168 與 252 各自分解成標準式,再用質因數的指數來比。〔回課文:做法與每一步為什麼必要〕
取每個質因數的最小指數,得到最大公因數,就是小段的最長長度。小段數目用總長度除以小段長度。〔回課文:為什麼取最小指數〕
請先把 168 與 252 各自用質數由小到大試除,能整除就除,除到商為 1,數一數每個質數各被除了幾次,寫成標準式。再列指數表(缺的質因數填 0),取最小、乘起來,最後用 168、252 分別除以它。
168=23×3×7,252=22×32×7。
| 質因數 | 168 | 252 | 最小指數 |
|---|---|---|---|
| 2 | 3 | 2 | 2 |
| 3 | 1 | 2 | 1 |
| 7 | 1 | 1 | 1 |
最小指數:2 取 2,3 取 1,7 取 1,最大公因數=22×3×7=84,所以每小段最長 84 公分。
段數:168÷84=2 段,252÷84=3 段;2 與 3 沒有共同質因數,84 夠大。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):
錯法1:取最大指數,得 23×32×7=504 公分。補救:504 公分比兩條彩帶都長,根本剪不出來。要取最小指數。〔回課文:為什麼取最小指數〕
錯法2:只寫共同質因數,得 2×3×7=42 公分。補救:42 公分可以剪(168÷42=4,252÷42=6),但不是最長:84 公分也可以剪,所以 42 不是最大公因數。要把最小指數寫進去。〔回課文:常見的錯與自我檢查〕
回到原題時,請完整重寫「標準式、指數表、最小指數、結果、回查」,不要只改最後一個數。
記號:題目裡的標準式,質因數由小到大排列,指數 1 省略不寫。結果請寫成標準式並算出數值(除非題目另有要求)。
已知 A=2a×32×5,B=23×3b×52,其中 a、b 都是正整數。A 與 B 的最大公因數是 22×3×5(=60)。求 a 與 b,並驗算。 請寫出數對 (a, b)，並驗算。
最大公因數的每個質因數,指數是各數指數中最小的。記號 min(a, 3) 的意思是「a 與 3 之中比較小的那個數」。先看質因數 2:min(a, 3) 要等於幾?
當 a 比 3 大(或等於 3),min(a, 3) 是多少?當 a 小於 3 時又是多少?想想 min(a, 3)=2 時,a 只能是什麼。〔回課文:為什麼取最小指數〕
用同樣的方法處理質因數 3:先看最大公因數裡 3 的指數是多少,再寫出 min(2, b) 要等於它。最後別忘了驗算 5 的指數也符合。
質因數 2：min(a,3)=2。想想：a 大於或等於 3 時，min(a,3) 是多少？a 小於或等於 1 時呢？什麼情況才能得到 2？質因數 3 也用同樣的方式想：先寫出 min(2,b) 要等於幾，再想 b 可以是多少。最後驗算 5 的指數 (1,2) 取最小是否是 1，並把求出的 a、b 代回去算最大公因數。
質因數 2:min(a,3)=2。如果 a 大於或等於 3,最小值是 3,不是 2;如果 a 小於或等於 1,最小值小於 2;所以 a=2。
質因數 3:min(2,b)=1。如果 b 大於或等於 2,最小值是 2;所以 b=1。
質因數 5:min(1,2)=1,與已知相符。
答案:a=2,b=1。驗算:A=22×32×5=180,B=23×3×52=600,取最小指數:2 取 2,3 取 1,5 取 1,得 22×3×5=60,與已知相符。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):
錯法1:寫 a=3,b=1(以為最小的指數就是 B 的 3)。補救:代回去:A=23×32×5=360,B=600,最大公因數是 120(2 的最小指數是 3),不是 60。min(a,3)=2 要 a=2。〔回課文:為什麼取最小指數〕
錯法2:寫 a=2,b=2(以為 3 的指數照抄 A 的 2)。補救:代回去:A=180,B=23×32×52=1800,最大公因數是 180,不是 60。min(2,b)=1 要 b=1。〔回課文:為什麼取最小指數〕
回到原題時,請完整重寫「標準式、指數表、最小指數、結果、回查」,不要只改最後一個數。
記號:題目裡的標準式,質因數由小到大排列,指數 1 省略不寫。結果請寫成標準式並算出數值(除非題目另有要求)。
情境(為練習設計):有 36 顆糖、60 片餅乾、84 塊巧克力。要把它們分裝成相同的幾份,每份裡糖的數量相同、餅乾的數量相同、巧克力的數量也相同,而且三種點心都要全部分完。
最多可以分成幾份?這時每一份裡糖、餅乾、巧克力各有幾個?請寫出你的方法與理由。 (1)份數以份為單位；(2)糖以顆、餅乾以片、巧克力以塊為單位，每一份各有幾個；答案的數值都只寫數字。
份數要整除 36、60、84 三個數,又要盡量多。這是在求哪一種數?
先把三個數都分解成標準式,畫指數表(三行),缺的質因數填 0。〔回課文:做法與每一步為什麼必要〕
每一列取最小指數,乘起來就是最多的份數;每份各種點心的數量,是各數量除以份數。
請先把 36、60、84 各自用質數由小到大試除,除到商為 1,數一數每個質數各被除了幾次,寫成標準式。再列指數表(三行,缺的質因數填 0),取最小、乘起來,最後用 36、60、84 分別除以它。
36=22×32,60=22×3×5,84=22×3×7。
| 質因數 | 36 | 60 | 84 | 最小指數 |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 2 | 2 | 2 | 2 |
| 3 | 2 | 1 | 1 | 1 |
| 5 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 7 | 0 | 0 | 1 | 0 |
最小指數:2 取 2,3 取 1,5 取 0,7 取 0,所以份數最多=22×3=12。
每份:糖 36÷12=3 顆,餅乾 60÷12=5 片,巧克力 84÷12=7 塊。回查:3、5、7 沒有共同質因數,12 夠大。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):
錯法1:取最大指數,得 22×32×5×7=1260 份。補救:1260 份比糖的 36 顆還多,每份分不到整數顆。份數要整除每個數量,必須取最小指數。〔回課文:為什麼取最小指數〕
錯法2:把只在部分數量出現的質因數也放進去,得 22×3×5×7=420 份。補救:420 份仍然比 36 顆糖多,36÷420 除不盡。5 只在 60 出現、7 只在 84 出現,36 的 5、7 指數是 0,最小指數是 0。〔回課文:標準式、因數、缺的質因數〕
回到原題時,請完整重寫「標準式、指數表、最小指數、結果、回查」,不要只改最後一個數。