中心位置：一個代表值能告訴我們多少

圖書館的服務櫃臺貼出一張告示：

「本時段平均等候時間：6分鐘。」

你能因此認定，大多數人都等了六分鐘左右嗎？

先看五位使用者的紀錄。他們分別等了：

這些數字的平均確實是6分鐘，卻沒有任何人正好等了6分鐘。五人之中，四人的等候時間不超過4分鐘，另一人則等了18分鐘。

告示沒有算錯，但我們可能從一個正確的數字，讀出它從來沒有保證的事情。

以下櫃臺情境與數據都是為了說明概念而設計的假想例子，不是真實調查紀錄。

這個問題值得理解，因為當一群人的經驗被縮成一個數字時，數字往往比原始紀錄更容易傳播。我們容易記住「平均6分鐘」，卻不容易同時記住每個人等了多久。簡化讓資料便於使用，也讓某些差異不再出現在眼前。

因此，學習平均數、中位數與眾數，真正要弄清楚的是：一個數字怎樣代表一群資料？它留下了什麼關係，又沒有留下什麼？

一個「大約」，可能藏著不同的問題

在這些代表值逐漸成為統計工具的過程中，人們並不是從毫無辦法開始。有些困難不是沒有資料，也不是不會算術，而是不同的問題，都被說成了同一種「大約」。

1669年10月30日，洛德韋克・惠更斯寫信給哥哥克里斯蒂安・惠更斯，說明自己如何利用既有的英國人口表估計壽命。他依表中不同年齡組的人數與估計年數，計算合計的生活年數，再除以人數。他已經能把一張分組表轉換成人均數量，也在信中承認，自己的估算與所依據的表都不是完全精確的。DBNL

可是，「平均還能生活多久」和「有一半的人能生活到多久」，是不是同一件事？

同年11月28日，克里斯蒂安在信中指出，這是兩種不同的問題。他區分了未來生活年數的平均意義，以及能達到、不能達到的可能性各占一半的年限，並將前一種計算聯繫到終身年金的估算。用今天的語言回看，這裡可以看見平均意義與中位位置的區別。dbnl.org

這段通信不是平均數、中位數與眾數的共同「出生證明」，也不證明誰最早發現了均分或排序。它呈現的是一個可以查證的觀念澄清過程：兩人並非都算不出結果，而是在釐清，各自算出的結果究竟回答什麼。

這個區分增加的能力，不只是多得到一個數字，而是避免拿一種問題的答案，去支持另一種問題的判斷。

從處理資料的工作來看，完整保留一張表，當然仍然有效。它能讓人查某一組有多少人，也能重新組合資料。然而，當我們要反覆比較許多群體時，每次都逐項讀完整張表，就需要付出更多查閱與比較的成本。

代表值提供了另一條路：先確定要保留哪一種關係，再把整批資料轉換成容易比較的數字。

但這條路有一個前提。不能把不同問題算出的答案，都當成同一種「大約」。

平均數留下的是總量關係

回到櫃臺的五筆紀錄：

五個人的等候時間加起來是：

這裡的30分鐘，是每個人各自等候時間的加總，不表示櫃臺的時鐘恰好走過30分鐘；不同人的等候可能彼此重疊。

如果把這個合計數量平均分成五份，每份就是：

這就是算術平均數的基本定義：把資料的數值加總，再除以資料筆數。本篇說的「平均數」，都指算術平均數。加拿大統計局

這個計算也有基本條件：我們加總的是同一種量，單位必須一致；分母則要對應實際納入加總的有效紀錄。等候0分鐘，表示確實沒有等待，仍然是一筆資料；空白或未記錄，則不能不加查明就當成0。如果根本沒有任何有效數值，也不能把平均數記成0，因為這時沒有可供均分的資料筆數。

比公式更值得記住的，是它保留的關係：

原來五個人的經驗各不相同。現在，把每個人的紀錄暫時都改寫成6分鐘，五份合計仍然是30分鐘。

因此，平均數不是在尋找「原來就存在的那個普通人」，而是在建立一個總量不變的均分結果。

等候時間不能真的從一個人身上移交給另一個人；這裡的均分是一種數學表示。不過，我們仍然可以用「補足與取出」檢查它是否平衡。

相對於6分鐘，前四筆分別少了4、3、3、2分鐘，共少：

最後一筆18分鐘則多了：

兩邊恰好相等。這是另一種看見平均數的方法：不足的總量，正好能由超出的總量補足。

所以，沒有人真的等了6分鐘，不會使平均數失效。它原本就不是在報告「誰等了多久」，而是在報告五個人的等候總量，換算成人均是多少。

資料多時，可以讓計算機協助累加。例如使用具有「M+」累加功能的計算機，先清除累加記憶，再依序加入2、3、3、4、18，讀出總和30，最後除以5。計算機替我們減少了加總的工作，卻不會替我們判斷有沒有漏掉一筆，或分母應該用多少。留下原始數值、筆數與「30÷5＝6分鐘」的紀錄，才能讓結果被回查；不同機型的清除與讀取記憶方式，仍須依其按鍵說明操作。國家教育研究院

平均數保留總量，也就解釋了為什麼一個極端值能影響它。

假設其他四筆不變，最後一人的等候從18分鐘增加為48分鐘：

新的平均數是：

只有一個人的經驗改變，平均數卻從6變成12。原因很直接：總量增加了30分鐘，分成同樣五份，每份便增加：

平均數會被極端值拉動，不是它沒有忠實反映資料，而是它忠實保留了那筆資料對總量的貢獻。平均數對極端數值較敏感，也正是它與中位數的重要差異。NIST

對櫃臺管理者來說，這30分鐘未必是不該理會的「雜訊」。那可能是一個人真實增加的等待負擔。不能只因為一筆數值特別大，就把它當成錯誤而刪除；應先查明紀錄與情況。

但另一方面，若有人想知道「按照等候時間排列，排在這群人中央的使用者等了多久」，平均數就未必是他真正需要的答案。

中位數把目光移到隊伍中央

現在不把五筆數據倒進同一個總量，而是把它們從小到大排好：

最中央是第3筆，其數值為3分鐘。這就是中位數。

這裡的「中央」，是排序後的中央，不是登記順序的中央。即使原始登記順序是18、3、2、4、3，也不能直接拿第3筆的2當中位數；必須先重新排序。

排序時也不能因為3重複出現，就只留下一個3。兩個3代表兩位不同使用者的紀錄；刪掉其中一筆，等於把一個人從資料中移除了。

中位數使用的是排序後的位置。有奇數筆資料，就取中央那一筆的數值；有偶數筆數值資料，就取中央兩筆數值的平均。OpenStax

例如，另一組六筆等候紀錄是：

中央是第3筆與第4筆，但答案不是把「3」與「4」這兩個位置平均。必須讀出那兩筆的數值——4與8——再計算：

為什麼這裡還要取兩個數的平均？

因為有六筆資料時，沒有哪一筆可以單獨站在正中央。只要求把人數分成兩半，還不能在4與8之間選出唯一的分界。本篇依通常的數值資料約定，取中央兩值的平均，讓中位數成為一個確定的答案。

這裡同樣沒有人恰好等6分鐘。平均數不一定是原有資料；中位數在資料筆數為偶數時，也不一定是原有資料。

中央兩筆一個是4、一個是8，取6作為它們數值上的正中央，並不表示我們認為兩者之間另有一位等了6分鐘的人。

中位數也不是把最小值與最大值平均。剛才六筆資料的兩端是2與24，它們的平均是13；但排序後的中央兩筆仍是4與8。

數值範圍的正中央，與人數排列的正中央，並不是同一個位置。

回到最初五筆紀錄。即使最大的18變成48，中位數仍然是3，因為資料筆數不變，最中央那一筆也沒有改變。

這種穩定很有價值：最長等候究竟是18還是48，不會把「排在中央的人等多久」改寫成另一個答案。

但穩定不等於掌握更多資訊。那個人多等了30分鐘，中位數沒有變，不能據此說服務狀況完全沒變。它只是沒有負責保留這一種變化。

而且，中位數也不是永遠不受資料變動影響。若在原來的五筆紀錄中，另外加入一位等了24分鐘的人，排序後便是：

資料有六筆，中央兩筆變成3與4，中位數會改為：

這次改變的不只是多了一筆較長的等候，也包括資料筆數與中央位置的選法。

還有一個容易被「一半」遮住的細節。中位數是3，並不要求恰好一半的人嚴格小於3、另一半嚴格大於3，因為有人可能正好等於3。

更準確地說，中位數具有這個性質：至少一半的資料不大於它，也至少一半的資料不小於它。但這個性質本身，不取代前面約定的選值方法；偶數筆資料仍取中央兩值的平均。

於是，前面兩種壽命問題的區別就不再只是歷史名詞。均分全部生活年數，與找出人數上的中央分界，本來就使用不同的資料關係。一個回答總量如何分配，另一個回答排序位置在哪裡，沒有理由必須得到相同答案。

同樣地，櫃臺的平均數6分鐘與中位數3分鐘，都可以正確。錯誤發生在我們拿其中一個，去回答另一個的問題。

眾數不問中央，只問最常出現

仍然看最初五筆紀錄：

3分鐘出現兩次，其他數值各出現一次。因此，眾數是3分鐘。

這一次，我們保留的是出現次數最多的數值，而不是總量或中央順位。資料也可能有多個眾數。加拿大統計局

眾數是3，不是2。2是它出現的次數，3才是那個最常出現的等候時間。眾數也不是18，因為「數值最大」與「出現最多次」是兩回事。

另外，「最多」不等於「超過一半」。等了3分鐘的只有五人中的兩人，仍然可以比任何其他單一等候時間更常見。

如果紀錄改成：

2與4都出現兩次，並列最多，因此兩者都是眾數。不能把它們平均成3，再宣稱眾數是3；那樣反而把一個只出現一次的值，說成最常出現的值。

如果資料是：

每個數值都只出現一次，沒有哪個比其他數值更常見。對這種情況，本文採用「沒有眾數」的教學約定，而不是把答案記成0。加拿大統計局的基礎教材也採用沒有突出頻次時可無眾數的說明。加拿大統計局

眾數還有一項與另外兩者不同的能力。假設櫃臺記錄的不是等候時間，而是服務種類：借書、還書、辦證。這些名稱沒有可以相加的數量意義，也沒有天然的大小順序，但仍然能問哪一類出現最多次。加拿大統計局

所以，把三者都稱為中心位置，不代表它們都在找同一種「中間」。平均數關注可以均分的量，中位數關注排序中的位置，眾數關注最常出現的值或類別。

先決定自己在問什麼，才知道哪一個答案有用。

選讀探索：合併兩群人時，不能只看見兩個平均數

假設圖書館想把兩個時段的紀錄合併。

甲時段就是最初那五人，平均等候6分鐘。乙時段另外記錄了15人，平均等候2分鐘。兩批紀錄沒有重複，都測量同一種等候時間。

全部20人的平均是多少？

直接算：

看起來很自然，但這個算式把兩個時段各算成一份，沒有把每位使用者各算成一份。

要找全部人的平均，應該先回到平均數保存的關係：

甲時段五人的等候總量是：

乙時段十五人的等候總量是：

所以，全部20人的平均是：

我們還能倒過來回查：

恰好等於兩組總量的合計。

若答案是4分鐘，反推的總量就會變成：

這與已知的60分鐘不符，因此不是這20人的平均。

這裡的關鍵，不是另背一套公式，而是記得：一個平均數背後壓縮了多少筆資料，合併時就必須把那個數量帶回來。

乙時段的平均數2，背後有15筆紀錄；甲時段的平均數6，背後只有5筆。把2與6直接平均，等於讓五人的那一組，與十五人的那一組，在計算中占相同份量。

如果兩組人數相同，直接平均兩個平均數，便能得到合併結果。兩組平均數本來就相同時，也會得到相同結果。但一般遇到不同人數的群體，不能不加檢查地直接把兩個平均數再平均；回到總量與總人數，才能確定自己算的是哪一種平均。

那麼4這個數字完全沒有意義嗎？

也不是。它是「把兩個時段的平均數各當作一筆資料」所得的平均。它與全部使用者的平均，是兩種不同統計單位下的結果。

真正要先決定的是：我們在平均兩個時段，還是平均二十個人？

本例把6與2視為精確的平均數。如果公布數字已經四捨五入，乘回人數所得的總量也可能只是近似值。另外，這個還原方法不能直接套到中位數或眾數，因為它們本來就沒有保存總量。

延伸閱讀：人數要看，也要看這些人從哪裡來

資料筆數除了影響合併方式，也影響單筆變動對平均數的作用。

在筆數不變、其他資料不變的條件下，如果其中一筆增加30分鐘，五筆資料的平均會增加：

如果共有50筆，平均則增加：

這不是說資料多了，長時間等候就消失了。那筆增加的30分鐘仍然存在，只是同一個增量被分攤到更多筆資料上。

但不能再跨一步，說「只要人數多，這個代表值就一定適合描述所有人」。

假設圖書館完整記錄某個時段的五位使用者。在紀錄沒有錯誤的前提下，6分鐘就是這五人的確切平均，不會因為只有五人而算得不正確。

可是，若我們拿這五人去描述整天的使用者，問題就改變了。這五人變成整天使用者中的一個樣本；我們要問，他們是否都集中在同一種情況。

即使增加到50筆，如果全部來自人少的離峰時段，也沒有因此補進尖峰時段的經驗。多記錄一些同一類情況，不能自動讓沒有被記錄的那一類人出現。

因此，讀到一個平均數時，資料有幾筆是一個問題；這些資料包含誰、沒有包含誰，是另一個問題。

這也區分了兩種不同用途：描述手上這批資料，與用這批資料推想更大的群體。平均數的計算可以完全正確，但後一種推想仍然可能缺少根據。

三種中心都相同，經驗仍然可能不同

現在，假設圖書館不只公布平均數，也公布中位數與眾數。資訊已經完整了嗎？

比較兩組各七人的假想紀錄，單位都是分鐘：

兩組的總和都是21，所以平均數都是：

兩組排序後的第4筆都是3，因此中位數也都是3分鐘。

甲組的3出現五次，乙組的3出現三次；在各自組內，3都是出現次數最多的數值，所以眾數同樣是3分鐘。

不只三種中心相同，連資料筆數也相同。可是，甲組每個人都等了2到4分鐘；乙組卻有兩人完全不用等，另有兩人等了6分鐘。

這裡的0分鐘是真正的零等候，不是沒有紀錄。

如果只留下三個代表值，我們就無法從中重建這些差異。

這不是再找到第四個「最好的中心」就能完全解決的問題。中心位置本來就只描述資料的一部分。要知道有人等得特別久、經驗是否接近，還得看原始紀錄、各數值的人數，或能呈現整批資料樣貌的圖。

代表值的力量，來自清楚知道它代表什麼

代表值的能力，在於讓比較變得可操作。

加爾頓在《Inquiries into Human Faculty and Its Development》的〈Statistical Methods〉中，把濃縮大量群體資料、使其便於討論列為統計方法的目的，並提出以各群的中位數互相比較。這提供了一個後來運用代表位置進行群體比較的實例；這裡只採用該書的方法敘述，不採用它的其他群體理論。加爾頓網站

從本篇的計算也可以理解這種方法為什麼有力量。只要把測量對象、單位、資料範圍與計算規則說清楚，別人就能重新計算；比較不同群體時，也比較容易知道兩個數字是否真的在回答同一個問題。

這種區分在今天的官方統計中仍然看得見。

例如，行政院主計總處的薪情平臺說明，平均薪資的編製會使用受僱員工人數與薪資總額；合併行業時，則必須把各行業的員工人數納入計算。對總薪資中位數，平臺另外以薪資排序後的中央位置說明。這裡仍然保留著本篇的基本區別：總量意義與位置意義不能混用。行政院主計總處：薪情平臺

不過，實際公布的平均薪資與薪資分布統計，有各自的資料蒐集與編製程序。比較它們的具體數字，仍須核對統計對象、期間與範圍，不能只看到「平均數」和「中位數」兩個名稱，就假定背後是一模一樣的資料。行政院主計總處：薪情平臺

這是今天實際採用的方法連結，不表示十七世紀的一封信就直接造成了現代薪資統計，也不表示三種中心足以回答所有公共問題。

回到那張「平均等候6分鐘」的告示。現在，你能讀出一個以前容易忽略的條件：若它描述的確實是這五人，而且6分鐘是未經四捨五入的精確平均，這個數字保證的是五人的等候時間合計為30分鐘。

它沒有保證最多人等6分鐘，也沒有保證你下一次會等6分鐘。如果告示上的6只是取整數後的結果，連「總和恰好是30分鐘」也不能直接斷定。

想知道中央位置，可以看中位數；想知道哪個紀錄最常見，可以看眾數；想知道最長等候是否惡化，就不能要求一個穩定的中位數替你回答。

真正需要警覺的，不是數字太簡短，而是我們讓它回答了沒有保留下來的問題。

一個代表值仍然有力量。只是它的力量來自清楚的定義、合適的資料，以及與問題相符的解讀，而不是來自「代表」兩個字本身。