練習:用頂點符號記錄三角形

要在文字裡指出這個三角形,你需要用到它的什麼?想想 △ 後面該放什麼。

圖上標了幾個字母?它們各標在三角形的什麼位置?

方法:先數出三角形的頂點(三個),再把這三個名稱接在 △ 後面,每個各寫一次。

△ 後面接 P、Q、R 這三個字母,每個一次,順序自己選。

三個頂點是 P、Q、R,所以可以寫成 △PQR。另外五種 △PRQ、△QPR、△QRP、△RPQ、△RQP 也都對,都是同一個三角形。檢查:字母共 3 個、各出現 1 次、都是圖上的頂點、P、Q、R 不在同一直線上。

每個選項先數一數 △ 後面有幾個字母,再看有沒有字母重複。

合格的寫法要滿足哪幾個條件?把條件列出來,逐一檢查每個選項,不要只憑「像不像」判斷。

方法:合格寫法要有 △、後面恰好三個字母、各出現一次、都是圖上的頂點。字母的排列順序不在條件裡。

(c) 只有兩個字母;(d) 有三個字母,但 Y 出現了兩次,只用到 X、Y 兩個點;(e) 有四個字母,而且 W 不是圖上的頂點。(a)、(b)、(f) 請你自己檢查。

(a)、(b)、(f) 都是 X、Y、Z 各一次,合格;(c) 少一個頂點,不合格;(d) Y 重複、少了 Z,不合格;(e) 四個字母且 W 不在圖上,不合格。答案:(a)(b)(f)。

△ 是專門用來記哪一種圖形的符號?圖中的圖形有幾個頂點?

比較「△ 後面可以接幾個頂點名稱」和「圖形有幾個頂點」。

方法:△ 後面只接三個頂點。數一數圖中的圖形有幾個頂點,再和這個個數比較。

圖形是四邊形,有 C、D、E、F 四個頂點,而 △CDEF 後面有四個字母。如果只取其中三個點,例如 C、D、E,寫成 △CDE,表示的是以這三點為頂點的三角形,不是這個四邊形。

不對。△ 只接三個頂點,四個頂點的圖形不能記成 △CDEF。這個圖形有四個頂點,而且圖中沒有畫對角線,也看不到由三條邊圍成的三角形。

同一個三角形的三個頂點是固定的。不一樣的寫法,改變的是什麼?

先把三個頂點名稱列出來,再想想可以怎麼排成一列。

方法:△ 後面三個字母各寫一次,順序自由。可以先決定第一個字母,再從剩下的兩個中選第二個。

先寫 M 的有 △MNT、△MTN 兩種;先寫 N 的、先寫 T 的,也各有 2 種,請自己寫出來。任選三種即可。

一共有 6 種寫法:△MNT、△MTN、△NMT、△NTM、△TMN、△TNM。任選三種都對,例如 △MNT、△NTM、△TMN。檢查:每個都是 3 個字母、各一次、都是圖上的頂點、M、N、T 不共線。

線段 US 把大三角形切成幾塊?每一塊的三個角落各是哪些點?

先看左邊那一塊,它的三個角落都要在圖上有標名字。

方法:左塊的三個角落是 U、V 和 S;右塊的三個角落請自己找。注意 V、S、W 在同一直線上,不能三個一起當頂點。

左塊的頂點是 U、V、S;右塊的頂點是 U、S、W。各自接在 △ 後面。

這兩個小三角形是 △UVS 與 △USW(別的排列也可以,例如 △USV 與 △UWS)。檢查:U、V、S 不共線,U、S、W 不共線;兩塊的三條邊都已畫出(UV、VS、SU 與 US、SW、WU)。

先找最大的那個三角形;再找藏在上方的那個小三角形。

一個三角形要三個頂點「兩兩之間」都有線段連著。從上面的 G 往下看,有哪些線段?

方法:大三角形的頂點是最外圈的三個角落;上方小三角形的頂點是 G,和 G 的兩條邊上標出來的兩個點。

小三角形的頂點是 G、J、K;它的三邊是 GJ(在 GH 上)、GK(在 GI 上)和 JK。

兩個三角形是 △GHI 與 △GJK。檢查:H 與 K 之間、J 與 I 之間都沒有畫線段,所以 △GHK、△JHI 的三條邊沒有全部畫出,不算。

△BDE 的三個頂點是哪三個點?另外兩個點 A、C 用得到嗎?

三角形的三條邊,各連在哪兩個頂點之間?

方法:把三個頂點兩兩相連,每一對連一次。

三個頂點是 B、D、E;每個頂點都要連到另外兩個頂點。先從 B 出發,再想剩下的那一對是哪兩個點。

連 BD、DE、BE(BE 也可寫成 EB)。A、C 不是頂點,不用連。檢查:每個頂點恰好連到另外兩個頂點,三條線段圍成封閉圖形。

三個位置(第一個、第二個、第三個字母)各可以放哪些字母?

第一個字母選好之後,第二個位置還剩幾種選擇?

方法:第一個字母有 3 種選法,第二個字母剩 2 種,第三個字母只剩 1 種,三個數相乘。

從 D 開始的有 △DEF、△DFE 兩種。從 E 開始與從 F 開始的,也各有 2 種。

3×2×1=6,共 6 種:△DEF、△DFE、△EDF、△EFD、△FDE、△FED。它們指的都是同一個三角形。

一個三角形的三條邊都要在圖中畫出來才算。先看看已畫的五條線段連接了哪些點。

一組一組檢查可能的三個點,看它們兩兩之間是不是都有線段。N 要不要考慮?

方法:先檢查 J、K、L:JK、KL、LJ 都有,成立。再看含 M 的:M 只和 K、L 相連。

含 M 的三角形,另外兩個頂點都要和 M 之間有線段。J 與 M 之間沒有線段,所以 J 不行。N 沒有任何線段,不能當頂點。

三角形有 △JKL 與 △KLM(寫法可以換順序)。檢查:△JKL 的三邊 JK、KL、LJ 都在已畫的線段裡;△KLM 的三邊 KL、LM、MK 也都在。

數一數:△ 後面寫了幾個字母?圖上三角形有幾個頂點?

阿凱漏了哪一個點?圖中三個頂點分別是哪些?

方法:△ 後面要接三個頂點,各寫一次。阿凱只寫了兩個。

圖上三個頂點是 H、I、J。阿凱寫了 H、I,漏掉 J。

△HI 只有兩個點,連起來只是一條線段 HI,指不出三角形。補上 J,改成 △HIJ(換成 △JHI 等其他排列也可以)。

△LMM 後面有幾個字母?其中有幾個是不同的點?

三角形有三個頂點。小綠的寫法有沒有把三個頂點都寫到?

方法:每個頂點只寫一次;缺的頂點要補上。

圖上頂點是 L、M、N。△LMM 沒有 N,而且 M 寫了兩次。

M 重複、N 沒寫,不同的點只有 L、M 兩個。改成 △LMN(別的排列也可以)。

最大的三角形,它的三個角落是哪三個點?R 在這個三角形的什麼位置?

想想 R 是在最大三角形的角落,還是在它的某一條邊上。

方法:△ 後面只接頂點。不是頂點的字母要拿掉,剩下三個頂點各一次。

最大三角形的頂點是 O、P、Q;R 只是邊 PQ 上的一個點。

R 不是最大三角形的頂點,所以不能寫進去。改成 △OPQ(別的排列也可以)。如果想表示 OR 左邊的小三角形,那就是另一個三角形,可以寫成 △OPR。

三角形的三個頂點兩兩相連,會圍出一塊有內部的區域。F、G、H 兩兩相連會是什麼樣子?

仔細看圖上三個點的位置,有沒有什麼特別的?

方法:如果三個點在同一直線上,把它們兩兩連起來,線段都落在同一條直線上。

連 FG、GH,再連 FH:FH 剛好蓋在 FG 與 GH 的上面,沒有圍出任何內部。

小明錯在以為「有三個點就有三角形」。三角形的三個頂點必須不在同一直線上;F、G、H 共線,所以沒有 △FGH。檢查:用直尺靠著 F、H,G 剛好落在尺邊上。

兩個寫法用到的字母一樣嗎?

三角形是由什麼決定的:是頂點的位置,還是字母寫的順序?

方法:三個頂點相同的寫法,指的是同一個三角形。

△DEF 與 △FDE 的三頂點都是 D、E、F。

兩個寫法指同一個三角形,圖中只有一個三角形,它有 6 種寫法(△DEF、△DFE、△EDF、△EFD、△FDE、△FED)。小玲把「寫法」當成「三角形」。(之後學全等或相似時,字母順序才會用來表示兩個三角形的對應,那是另一回事。)

小傑寫的符號是 △ 嗎?

圖上的小圓弧畫在哪個頂點?它表示的是哪個東西?

方法:∠ 是角的符號,△ 是三角形的符號,兩個不一樣。

∠ABC 記的是以中間字母 B 為頂點的那個角(圖中圓弧處),不是整個三角形。

小傑把 ∠ 和 △ 當成同一件事。三角形要寫成 △ABC(或 △BCA 等其他排列);∠ABC 指的是 B 處的那個角。角的記法之後還會學,這裡只要分清楚兩個符號。

草地是由哪三處圍出來的?H 在這個三角形的什麼位置?

要分清楚「角落」與「只是在邊上的點」。(2) 先看 G、H、L 三點的位置關係。

方法:(1) 草地的頂點是三條步道的三個轉角,只是在步道上經過的點不算。(2) 判斷 G、H、L 是不是在同一直線上。

H 在步道 GL 上,所以 G、H、L 在同一條直線上。

(1) △GLF(別的排列也可以)。(2) 不對。G、H、L 在同一直線上,沒有 △GHL。H 只是邊 GL 上的一個點,不是草地的頂點。

先想想從四個點中選三個,有幾種選法;再想想哪些選法不行。

把所有「三點一組」列出來,一組一組檢查三點是否在同一直線上。

方法:四個點選三個共有 4 組:PQR、PQS、PRS、QRS。逐組檢查這三個點是不是在同一直線上。

P、Q、R 在同一直線上,這一組不能構成三角形。含 S 的三組 PQS、PRS、QRS,S 不在那條直線上,每組的三個點都不共線。

共 3 個三角形:△PQS、△PRS、△QRS。檢查:4 組裡只有 PQR 共線,4−1=3。每個三角形各有 6 種寫法,但仍然是同一個三角形,不要重複算。

先把兩個三角形各自的三個頂點列出來。

哪些字母同時出現在兩個三角形裡?合起來總共有幾個不同的字母?

方法:把兩組頂點合併,重複出現的字母只算一次。(3) 再把個數和「△ 能接幾個頂點」比較。

△KLM 的頂點是 K、L、M;△KMN 的頂點是 K、M、N。同時出現的有 K 和 M。

(1) 共有 K 與 M(它們的連線 KM 就是共用的邊)。(2) 共 K、L、M、N 四個不同的點。(3) 不可以。△ 後面只接三個頂點;四個點合起來是四邊形 KLMN,不是三角形。