練習:畫累積相對次數折線圖
回課文。每題先自己做,需要時再依序展開提示。看過 L3 以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成,之後要隔一段時間,不看提示,用原題重做一次。L5 會揭示完整答案。
約定:組別「a~b」代表「a 以上、未滿 b」;每題的資料都是為練習設計的假想資料,不是真實調查。折線圖的點是:(第一組下界, 0),以及 (各組上界, 累積次數 ÷ 總數)。
診斷:先判斷哪些點才對
練習 1
20 位同學各拍籃球一分鐘,拍球次數整理成下表(組別「a~b」代表 a 以上、未滿 b)。
| 拍球次數(下) | 人數 |
|---|
| 60~80 | 1 |
| 80~100 | 7 |
| 100~120 | 8 |
| 120~140 | 4 |
| 合計 | 20 |
四位同學各自列出「要畫累積相對次數折線圖」的點:
- 甲:(60, 0)、(80, 0.05)、(100, 0.4)、(120, 0.8)、(140, 1)
- 乙:(70, 0.05)、(90, 0.4)、(110, 0.8)、(130, 1)
- 丙:(80, 0.05)、(100, 0.35)、(120, 0.4)、(140, 0.2)
- 丁:(80, 0.05)、(100, 0.4)、(120, 0.8)、(140, 1)
哪一位的點是正確的?其他三位各錯在哪裡?
提示階梯(L1→L5)
L1(方向)
先想清楚:累積相對次數折線圖上的一個點,橫坐標說的是「資料到哪裡為止」,縱坐標說的是「到那裡為止的資料占全部的多少」。用這個意思去檢查四位的點。
L2(方向)
逐位檢查三件事:(a)橫坐標取的是組的哪個位置(下界、上界、還是中間)?(b)縱坐標只算那一組,還是把前面的組也加進來?(c)折線最左邊的點在哪裡?
L3(方法)
方法:先自己做出正確的點列。累積次數逐組相加,再除以總數 20;橫坐標取各組的上界;最左邊另加一個「第一組下界、縱坐標 0」的點。然後和四位的點列逐一比對。
L4(近乎完整)
累積次數是 1、8、16、20,除以 20 得 0.05、0.4、0.8、1,正確的點列有 5 個點,第一個是 (60, 0)。乙的橫坐標 70、90、110、130 是各組的____;丙的縱坐標 0.35 是第二組自己的 7÷20,沒有把____加進來;丁的點列少了一個點 (____, ____)。
L5(完整解答)
甲正確:累積次數 1、1+7=8、8+8=16、16+4=20,除以 20 得 0.05、0.4、0.8、1;橫坐標用各組上界 80、100、120、140,最左邊再加起點 (60, 0),共 5 個點。
乙錯:橫坐標用了各組的中點(70、90、110、130)。累積值 0.4 的意思是「未滿 100 的占 0.4」,對應的位置是上界 100,不是中點 90。
丙錯:縱坐標 0.05、0.35、0.4、0.2 是每一組自己的次數除以 20(單組相對次數),不是累積的;折線會從 0.4 掉到 0.2,而累積比例只會往上或持平。
丁錯:縱坐標都對,但少了起點 (60, 0)。4 組要有 5 個點;缺了起點,第一組(1 人)那一段上升就畫不出來。
可能的錯法與補救(做完或卡住再看)
下面是為練習設計的例子,不是真實同學的作答:
- 選丁,理由是「縱坐標都和甲一樣」。
補救:縱坐標一樣還不夠,點的個數也要對。4 組有 5 個點(組數加 1),丁只有 4 個,少了 (60, 0)。
- 選乙,以為「中點最能代表整組」。
補救:累積相對次數說的是「未滿某個界限」的比例,界限就是組的上界;中點 90 只走到組的一半,第二組的 7 人不一定都已經在 90 以下。
- 選丙,因為 0.35、0.4、0.2 看起來也是比例。
補救:那是單組相對次數。累積相對次數要把前面各組一路加起來,所以 0.05 後面應該是 0.05+0.35=0.4,而且絕不會變小。
針對本題:把甲、乙、丙、丁的橫坐標、縱坐標各自換成文字說明(「未滿多少、占多少」),看看哪一個說得通。
回課文:〔定義與各部分〕。回原題時請整題重做(點數、起點、終點、每個縱坐標),不要只改一個數。
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練習 2
50 株水稻的株高(公分)整理成下表(組別「a~b」代表 a 以上、未滿 b)。要畫累積相對次數折線圖(縱軸用小數)。
| 株高(公分) | 株數 |
|---|
| 60~70 | 3 |
| 70~80 | 9 |
| 80~90 | 20 |
| 90~100 | 13 |
| 100~110 | 5 |
| 合計 | 50 |
(1)圖上第一個點的坐標是什麼?(2)最後一個點的坐標是什麼?(3)橫坐標 90 處的點,縱坐標是多少?(4)圖上總共有幾個點?
提示階梯(L1→L5)
L1(方向)
想想看:最左邊的點代表「還沒有任何資料被數進來」;最右邊的點代表「全部的資料都被數進來了」。
L2(方向)
橫坐標 90 是哪一組的上界?縱坐標要把哪些組的次數加起來,再除以多少?
L3(方法)
方法:第一個點是 (第一組下界, 0);最後一個點是 (最後一組上界, 1);其他的點是 (各組上界, 累積次數÷50)。點的個數等於組數加 1。
L4(近乎完整)
第一組下界是 60,所以第一個點是 (60, __);最後一組上界是 110,縱坐標是 __。橫坐標 90 是第三組 80~90 的上界,累積次數 = 3+9+20,再除以 50。組數是 5,點有 __ 個。
L5(完整解答)
(1)(60, 0)。(2)(110, 1)。(3)3+9+20=32,32÷50=0.64,所以是 (90, 0.64)。(4)5 組,所以有 5+1=6 個點:(60, 0)、(70, 0.06)、(80, 0.24)、(90, 0.64)、(100, 0.9)、(110, 1)。
可能的錯法與補救(做完或卡住再看)
下面是為練習設計的例子,不是真實同學的作答:
- 第一個點寫成 (65, 0.06)(第一組的中點配第一組的比例)。
補救:最左邊的點橫坐標是第一組的下界 60、縱坐標是 0。65 是中點,0.06 是第一組自己的比例,兩個都不是起點要的。
- 最後一個點寫成 (110, 0.1)(0.1 是最後一組 5÷50)。
補救:累積到最後一組,全部 50 株都已經數進來,所以是 50÷50=1。最後一點的縱坐標一定是 1。
- 橫坐標 90 處寫成 0.4(20÷50,只算第三組)。
補救:要把前面的組也加進來:3+9+20=32,32÷50=0.64。
- 說有 5 個點(只數各組上界,漏了起點)。
補救:組數 5 再加上起點,共 6 個點。
針對本題:先寫下累積次數 3、12、32、45、50,再一個一個除以 50;最後檢查 50÷50 是不是 1。
回課文:〔作圖步驟〕。回原題時請整題重做(點數、起點、終點、每個縱坐標),不要只改一個數。
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練習 3
40 位同學各投籃 40 球,命中次數分成 0~10、10~20、20~30、30~40(a~b 代表 a 以上、未滿 b)。下面四張圖,各自畫了一條從 0 開始的累積比例折線,每個轉折處都是一個點(橫坐標是組界)。
(1)哪幾張圖有可能是「40 位同學命中次數」的累積相對次數折線圖?其餘各不可能的原因是什麼?(2)對有可能的圖,各求一個答案:圖甲中「20~30」這一組有幾位同學?圖丁中「10~20」這一組有幾位同學?
提示階梯(L1→L5)
L1(方向)
累積相對次數是「一路加上去的比例」。想想:一路加上去,數值可以變小嗎?資料全部數進來時,比例是多少?
L2(方向)
對每一張圖檢查:折線從左到右有沒有下降?最右邊的點縱坐標是多少?
L3(方法)
方法:可能的圖必須同時(a)從 0 開始、(b)由左到右不下降(可以水平,不可以下降)、(c)最右邊的點是 1。某一組的比例 = 它的上界縱坐標 − 前一個界的縱坐標,人數 = 比例 × 40。
L4(近乎完整)
圖乙在 30 處縱坐標由 0.7 變成 0.5(下降了);圖丙最右邊的點是 0.9,不到 1。圖甲 20~30 這組的比例是 0.9−0.5=____,人數 = ____×40。圖丁 10~20 這一段水平,比例是 ____。
L5(完整解答)
(1)可能的是甲和丁。乙不可能:折線在 30 處由 0.7 掉到 0.5,累積比例不可能下降。丙不可能:最右邊的點是 0.9,表示還有 10% 的同學沒被算進來,累積到最後一組必須是 1。丁中間有一段水平,表示那一組沒有人,是允許的。
(2)圖甲:0.9−0.5=0.4,0.4×40=16 位。圖丁:0.2−0.2=0,所以 10~20 這一組有 0 位。
可能的錯法與補救(做完或卡住再看)
下面是為練習設計的例子,不是真實同學的作答:
- 認為丁不可能,因為「中間有一段水平,圖不夠完整」。
補救:水平只表示那一組的次數是 0(沒有人落在 10~20),累積比例沒有增加,這是合理的。要排除的是會下降,或末點不是 1 的圖。
- 認為丙可能,因為「每段都往上」。
補救:還要看終點。資料全部數完之後累積比例必須是 1;終點只有 0.9 表示 40 位中有 4 位不見了(0.1×40=4)。
- 圖甲 20~30 這一組寫成 0.9×40=36 位(直接用上界的縱坐標)。
補救:0.9 是「未滿 30」的累積比例,包含前面所有組;這一組只有 0.9−0.5=0.4,即 16 位。
針對本題:用尺沿著每張圖由左向右走一遍,遇到下降就停下來,再看最右邊的縱坐標。
回課文:〔非例與邊界〕。回原題時請整題重做(四張圖都要重新檢查),不要只改一個答案。
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初練一:由次數分配表求出所有的點
練習 4
某班 20 位同學的作文字數(字)整理成下表(組別「a~b」代表 a 以上、未滿 b)。
| 字數(字) | 人數 |
|---|
| 300~400 | 1 |
| 400~500 | 5 |
| 500~600 | 9 |
| 600~700 | 4 |
| 700~800 | 1 |
| 合計 | 20 |
(1)求各組的累積次數與累積相對次數(用小數)。(2)寫出畫累積相對次數折線圖要描的全部點。(3)字數未滿 600 字的同學占全班的多少?有幾位?
提示階梯(L1→L5)
L1(方向)
「累積」是從第一組開始一路加到目前這一組。累積相對次數再把這個累積次數換成「占全部的多少」。
L2(方向)
把表多加兩欄:累積次數、累積相對次數。點的橫坐標用哪個位置?折線最左邊要不要再補一個點?
L3(方法)
方法:累積次數 = 前一組的累積次數 + 這一組的次數;累積相對次數 = 累積次數 ÷ 20。點是 (各組上界, 累積相對次數),再加起點 (300, 0)。
L4(近乎完整)
累積次數:1、1+5=6、6+9=__、__+4=__、__+1=__。除以 20:0.05、0.3、__、__、__。(3)「未滿 600」就是橫坐標 600 的縱坐標。
L5(完整解答)
(1)累積次數 1、6、15、19、20;累積相對次數 0.05、0.3、0.75、0.95、1。(2)點:(300, 0)、(400, 0.05)、(500, 0.3)、(600, 0.75)、(700, 0.95)、(800, 1)(共 6 個點)。(3)橫坐標 600 的縱坐標是 0.75,所以未滿 600 字的占 0.75,即 0.75×20=15 位(另一個檢查:1+5+9=15)。
可能的錯法與補救(做完或卡住再看)
下面是為練習設計的例子,不是真實同學的作答:
- 累積次數寫成 1、5、9、4、1(抄原來的次數)。
補救:這是沒有累加。累積次數一定是愈來愈大的:每一格都要加上前面所有組。
- 起點漏掉,只描 5 個點。
補救:組數 5 再加起點 (300, 0),共 6 個點。
- (3)答 0.95(把橫坐標 700 的值錯當成 600)。
補救:未滿 600 就是上界 600 那個點,要看 (600, 0.75)。數出來的 15 位,可以用 1+5+9 再驗算。
針對本題:完成累積次數那一欄後,最後一格一定要等於 20,這是最快的自我檢查。
回課文:〔作圖步驟〕。回原題時請整題重做(點數、起點、終點、每個縱坐標),不要只改一個數。
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練習 5
40 顆同型號電池,連續使用的時間(小時)整理成下表(組別「a~b」代表 a 以上、未滿 b)。
| 使用時間(小時) | 顆數 |
|---|
| 10~12 | 2 |
| 12~14 | 6 |
| 14~16 | 14 |
| 16~18 | 12 |
| 18~20 | 6 |
| 合計 | 40 |
這次縱軸要用百分率(0% 到 100%)。(1)求累積次數與累積相對次數(用百分率寫)。(2)寫出要描的全部點(縱坐標用百分率)。(3)使用時間未滿 16 小時的占百分之幾?16 小時以上的占百分之幾?
提示階梯(L1→L5)
L1(方向)
做法和用小數時一樣,只是最後把比例換成百分率。要注意:同一張圖,縱軸只能用同一種寫法。
L2(方向)
先求累積次數,再除以總數 40,最後換成百分率(乘以 100)。「16 小時以上」,要想「全部」少掉哪一部分。
L3(方法)
方法:累積次數 2、8、……;累積相對次數 = 累積次數÷40,例如 2÷40=0.05=5%。點是 (各組上界, 百分率),起點 (10, 0%)。「以上」的比例 = 100% −「未滿」的比例。
L4(近乎完整)
累積次數:2、2+6=8、8+14=__、__+12=__、__+6=__。百分率:5%、20%、__%、__%、__%。16 是第 3 組 14~16 的上界,對應第 3 組的累積值。
L5(完整解答)
(1)累積次數 2、8、22、34、40;累積相對次數 5%、20%、55%、85%、100%。(2)點:(10, 0%)、(12, 5%)、(14, 20%)、(16, 55%)、(18, 85%)、(20, 100%)(共 6 個點)。(3)未滿 16 小時:橫坐標 16 的縱坐標是 55%;16 小時以上:100%−55%=45%(檢查:12+6=18 顆,18÷40=45%)。
可能的錯法與補救(做完或卡住再看)
下面是為練習設計的例子,不是真實同學的作答:
- 第三格寫成 35%(第三組自己的 14÷40)。
補救:第三格要用累積次數:22÷40=55%。每一格都要由「累積次數」來除。
- 「16 小時以上」答 55%(把未滿與以上弄反)。
補救:55% 是未滿 16 小時;以上是剩下的,100%−55%=45%。
- 縱坐標有的寫 5%、有的寫 0.55。
補救:選定百分率就全部寫百分率;0.55 要換成 55%。
針對本題:做完後檢查:最後一格是不是 100%?相鄰兩格是不是只增不減?
回課文:〔作圖步驟〕。回原題時請整題重做(點數、起點、終點、每個縱坐標),不要只改一個數。
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練習 6
花圃裡挖到 25 條蚯蚓,量出身長(公分),整理成下表(組別「a~b」代表 a 以上、未滿 b)。
| 身長(公分) | 條數 |
|---|
| 4~6 | 3 |
| 6~8 | 7 |
| 8~10 | 8 |
| 10~12 | 5 |
| 12~14 | 2 |
| 合計 | 25 |
(1)寫出要描的全部點(縱坐標用小數)。(2)身長未滿 10 公分的有幾條?占全部的多少?(3)為什麼最後一個點的縱坐標一定是 1?
提示階梯(L1→L5)
L1(方向)
總數是 25。每一個縱坐標,都是「到這一組為止共有幾條」除以 25。
L2(方向)
累積次數逐組往下加,最後一個一定是全部。想想最後一個累積次數除以 25 會得到什麼。
L3(方法)
方法:累積次數 3、10、……,除以 25 得到小數。25 的分母可以轉成 100:例如 3÷25=12÷100=0.12。(2)「未滿 10」在圖上看橫坐標 10 的點。
L4(近乎完整)
累積次數:3、3+7=10、10+8=__、__+5=__、__+2=__。除以 25:0.12、0.4、__、__、__。橫坐標 10 是第 3 組 8~10 的上界。
L5(完整解答)
(1)累積次數 3、10、18、23、25,累積相對次數 0.12、0.4、0.72、0.92、1。點:(4, 0)、(6, 0.12)、(8, 0.4)、(10, 0.72)、(12, 0.92)、(14, 1)。(2)橫坐標 10 的縱坐標是 0.72,0.72×25=18 條(3+7+8=18)。(3)最後一個累積次數是全部 25 條,25÷25=1;所有資料都落在最後一個上界以下,所以一定是 1。
可能的錯法與補救(做完或卡住再看)
下面是為練習設計的例子,不是真實同學的作答:
- 把 18÷25 寫成 0.18(誤把 25 當成 100)。
補救:總數是 25 不是 100。把分母換成 100:18÷25=72÷100=0.72;檢查:0.18×25=4.5 條,不是 18 條。
- (2)答 0.4 或 10 條(取橫坐標 8 的點)。
補救:未滿 10,要看橫坐標 10。8~10 這一組的 8 條,也被算進未滿 10 了。
- (3)說「因為最後一組人數最多」。
補救:跟最後一組人多人少無關。是因為累積到最後,所有資料都數進來了,全部除以全部必然是 1。
針對本題:用加法驗算累積次數:每一格都等於前一格加上這一組的條數,最後一格必須是 25。
回課文:〔作圖步驟〕。回原題時請整題重做(點數、起點、終點、每個縱坐標),不要只改一個數。
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初練二:不同的給法、不同的刻度
練習 7
50 位使用者下載同一個檔案,所花的時間(秒)整理成下表(組別「a~b」代表 a 以上、未滿 b)。請把累積相對次數折線圖完整地畫在方格紙上。
| 下載時間(秒) | 人數 |
|---|
| 10~20 | 4 |
| 20~30 | 10 |
| 30~40 | 22 |
| 40~50 | 10 |
| 50~60 | 4 |
| 合計 | 50 |
(1)縱軸從 0 畫到 1,每格取 0.1 還是 0.5?哪個比較合適?(2)寫出要描的全部點。(3)哪一組的人數最多?在圖上,這一組那一段折線有什麼特徵?這一段升高了多少?
提示階梯(L1→L5)
L1(方向)
縱軸刻度太粗,點的位置就很難畫準;太細,方格紙又不夠大。想想像 0.05 這種不是剛好整格的小數,會落在哪裡。
L2(方向)
點的畫法和之前一樣。至於「人數最多的一組」,想想一組的人數愈多,折線在那一段會有什麼變化。
L3(方法)
方法:縱軸取每格 0.1(共 10 格)較合適,各點能落在格線附近。每一段折線升高的量 = 這一組的相對次數。人數最多的一組,升高最多,線最陡。
L4(近乎完整)
累積次數:4、4+10=14、14+22=__、__+10=__、__+4=__;除以 50 得 0.08、0.28、__、__、1。人數最多的是 22 人那一組,升高 22÷50=__。
L5(完整解答)
(1)取每格 0.1:0 到 1 共 10 格,畫得出 0.08、0.28 這類數;每格 0.5 只有兩格,點幾乎無法定位。(2)累積次數 4、14、36、46、50,累積相對次數 0.08、0.28、0.72、0.92、1。點:(10, 0)、(20, 0.08)、(30, 0.28)、(40, 0.72)、(50, 0.92)、(60, 1)。(3)人數最多的是 30~40 這一組(22 人);這一段折線最陡,從 0.28 升到 0.72,升高 0.72−0.28=0.44(=22÷50)。
可能的錯法與補救(做完或卡住再看)
下面是為練習設計的例子,不是真實同學的作答:
- 縱軸每格取 0.5,把 0.08 描在 0 上。
補救:刻度太粗會讓所有的點擠在一起。每格取 0.1,0.08 就在 0 與 0.1 之間靠近 0.1 的位置。
- 說「最高的點最重要」,所以答最後一組 50~60。
補救:最高的點(縱坐標 1)每份累積都會有,不代表那一組人數多。看的是「升高最多」的一段,是 30~40。
- 算升高量時寫 0.72(直接用 30~40 的上界縱坐標)。
補救:升高量是兩個縱坐標相減:0.72−0.28=0.44,也就是 22÷50。
針對本題:畫完圖後,用尺看最陡的一段是不是剛好對上次數最多的那組。
回課文:〔作圖步驟〕。回原題時請整題重做(點數、起點、終點、每個縱坐標),不要只改一個數。
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練習 8
80 位乘客在站牌候車的時間(分鐘)統計,這次表上直接給累積次數(總人數 80 人;組別「a~b」代表 a 以上、未滿 b):
| 組別 | 累積到哪裡 | 累積次數(人) |
|---|
| 2~4 | 未滿 4 分鐘 | 8 |
| 4~6 | 未滿 6 分鐘 | 28 |
| 6~8 | 未滿 8 分鐘 | 52 |
| 8~10 | 未滿 10 分鐘 | 72 |
| 10~12 | 未滿 12 分鐘 | 80 |
(1)求各個上界對應的累積相對次數(小數)。(2)寫出要描的全部點。(3)候車未滿 8 分鐘的有幾位?6~8 分鐘這一組有幾位?
提示階梯(L1→L5)
L1(方向)
這張表已經幫你累積好了,不需要再加。接下來要做的是哪一步?
L2(方向)
累積次數除以總人數 80,就是累積相對次數。想想:每一組「自己」的人數,要不要先求出來?
L3(方法)
方法:直接用累積次數 ÷ 80。起點是 (2, 0)。「某一組自己的人數」= 這一組的累積次數 − 前一組的累積次數。
L4(近乎完整)
8÷80=0.1,28÷80=__(提示:28÷80=7÷20),52÷80=__,72÷80=__,80÷80=1。6~8 這一組的人數 = 52 − 28。
L5(完整解答)
(1)8÷80=0.1;28÷80=0.35;52÷80=0.65;72÷80=0.9;80÷80=1。(2)點:(2, 0)、(4, 0.1)、(6, 0.35)、(8, 0.65)、(10, 0.9)、(12, 1)。(3)未滿 8 分鐘:橫坐標 8 的累積次數是 52,有 52 位(占 0.65);6~8 分鐘這組:52−28=24 位。
可能的錯法與補救(做完或卡住再看)
下面是為練習設計的例子,不是真實同學的作答:
- 又把累積次數逐組相加(8、8+28=36……)。
補救:表上的數已經是累積過的,再加會重複算。最後一格 80 就是全部了,不能再變大。
- 分母用組數 5,例如把 28 算成 28÷5=5.6。
補救:除的是總人數 80,不是組數。累積相對次數不會超過 1,最後一格 80÷80=1 可以檢查。
- (3)把 6~8 分鐘的人數答 52。
補救:52 是「未滿 8 分鐘」的所有人,6~8 這一組只有 52−28=24 位。
針對本題:做完後驗算:各組人數 8、20、24、20、8 加起來要等於 80。
回課文:〔作圖步驟〕。回原題時請整題重做(點數、起點、終點、每個縱坐標),不要只改一個數。
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練習 9
調查某校學生一個月的手機行動網路用量(GB),只留下各組的相對次數(百分率),沒有留下人數。組別「a~b」代表 a 以上、未滿 b。
| 網路用量(GB) | 相對次數 |
|---|
| 0~10 | 6% |
| 10~20 | 22% |
| 20~30 | 34% |
| 30~40 | 26% |
| 40~50 | 12% |
| 合計 | 100% |
(1)求各組上界對應的累積相對次數(用百分率)。(2)寫出要描的全部點。(3)用量 30 GB 以上的占百分之幾?(4)沒有總人數,這張圖還能畫嗎?為什麼?
提示階梯(L1→L5)
L1(方向)
題目沒有人數,只有「占多少」。想想累積相對次數需要的,是次數還是比例?
L2(方向)
累積相對次數 = 前面各組的相對次數一路加起來。這裡不需要再除以什麼。
L3(方法)
方法:6%、6%+22%、……逐組相加,最後一定要是 100%。點是 (各組上界, 累積百分率),起點 (0, 0%)。「30 GB 以上」是全部少掉「未滿 30 GB」。
L4(近乎完整)
累積:6%、6%+22%=__%、__%+34%=__%、__%+26%=__%、__%+12%=100%。30 是第 3 組 20~30 的上界,所以「未滿 30 GB」是第 3 個累積值。
L5(完整解答)
(1)6%、28%、62%、88%、100%。(2)點:(0, 0%)、(10, 6%)、(20, 28%)、(30, 62%)、(40, 88%)、(50, 100%)。(3)未滿 30 GB 是 62%,所以 30 GB 以上是 100%−62%=38%(檢查:26%+12%=38%)。(4)可以。累積相對次數只需要各組占多少,相對次數相加就得到;人數只在要換算成「幾位」時才需要。
可能的錯法與補救(做完或卡住再看)
下面是為練習設計的例子,不是真實同學的作答:
- 第三格寫成 34%(沒有累加)。
補救:第三格要 6%+22%+34%=62%。可用最後一格檢查:累積到最後必須是 100%,沒有累加的話最後一格只會是 12%,對不上。
- (3)答 62%(把「未滿」當成「以上」)。
補救:62% 是未滿 30 GB 的,以上的是 100%−62%=38%。
- (4)說「沒有人數就不能畫」。
補救:縱軸是比例,不是人數。只要各組相對次數加起來是 100%,就能累積。
針對本題:先檢查題目給的相對次數加起來是不是 100%,再開始累積。
回課文:〔定義與各部分〕。回原題時請整題重做(點數、起點、終點、每個縱坐標),不要只改一個數。
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補救一:點的位置與起點放對了嗎
練習 10
20 株豆芽的長度(公分)整理成下表(組別「a~b」代表 a 以上、未滿 b)。
| 長度(公分) | 株數 |
|---|
| 2~4 | 2 |
| 4~6 | 4 |
| 6~8 | 10 |
| 8~10 | 4 |
| 合計 | 20 |
小安算出累積相對次數 0.1、0.3、0.8、1,然後把這些值配上各組的中點,描出的點是:(2, 0)、(3, 0.1)、(5, 0.3)、(7, 0.8)、(9, 1)。
(1)小安的點錯在哪裡?(2)寫出正確的點列。(3)在小安的圖上,把 (5, 0.3) 與 (7, 0.8) 兩點連成的線段取橫坐標 6 處,縱坐標是多少?而「長度未滿 6 公分」實際占全部的多少?
提示階梯(L1→L5)
L1(方向)
小安算的縱坐標 0.1、0.3、0.8、1 有沒有算對?出問題的是哪個坐標?想想 0.3 這個數的意思是「未滿」什麼。
L2(方向)
0.3 是前兩組(2 株+4 株)加起來占全部的比例。這兩組的資料最大可以到哪個數值?
L3(方法)
方法:累積值要配這一組的「上界」,因為累積到這一組的最右邊,這一組的資料才全部算進來。把橫坐標中點 3、5、7、9 改成各組上界,起點 (2, 0) 不變。
L4(近乎完整)
縱坐標 0.1、0.3、0.8、1 不變,橫坐標應換成上界:4、6、__、__。(3)小安的圖在 6 處是 0.3 與 0.8 的中間(兩點橫坐標 5、7 的中間);真正的「未滿 6 公分」是上界 6 的累積值。
L5(完整解答)
(1)縱坐標都對(累積次數 2、6、16、20 除以 20),錯的是橫坐標:他用了各組中點。累積值 0.3 的意思是「長度未滿 6 公分的占 0.3」,位置必須是組的上界 6。(2)正確的點:(2, 0)、(4, 0.1)、(6, 0.3)、(8, 0.8)、(10, 1)。(3)小安的圖在橫坐標 6 處:(0.3+0.8)÷2=0.55;但實際未滿 6 公分的是 6÷20=0.3。差了 0.25,圖會讓人以為有 55% 的豆芽短於 6 公分。
可能的錯法與補救(做完或卡住再看)
下面是為練習設計的例子,不是真實同學的作答:
- 只把橫坐標改成「各組下界」。
補救:下界會讓每個累積值少算一組(未滿 4 公分的比例是 0.1,不是 0.3 在 4 的位置)。累積值對應的是這一組「走完」之後,所以是上界。
- (3)把 0.55 當成實際值。
補救:0.55 是小安錯誤的點連出來的線上的高度;資料裡「未滿 6 公分」的真正比例是 6÷20=0.3。
- 說「中點最能代表一組,所以配中點沒有問題」。
補救:中點適合代表一組的「位置」(例如平均);累積值描述的是「到界限為止」,所以只能配界限。
針對本題:把小安圖上每一個點說成一句話:「未滿 ___ 的占 ___」,看看哪一句和表格對不上。
回課文:〔非例與邊界〕。回原題時請整題重做(點數、起點、終點、每個縱坐標),不要只改一個數。
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練習 11
25 隻蝴蝶的翅展(毫米)整理成下表(組別「a~b」代表 a 以上、未滿 b)。
| 翅展(毫米) | 隻數 |
|---|
| 40~50 | 2 |
| 50~60 | 8 |
| 60~70 | 10 |
| 70~80 | 5 |
| 合計 | 25 |
小宇描的點是:(50, 0.08)、(60, 0.4)、(70, 0.8)、(80, 1)。他說:「第一個點就從第一組的上界開始,因為資料都是 40 以上,在 40 之前什麼都沒有,不用畫。」
(1)小宇少了什麼?(2)寫出正確的點列。(3)補上之後,第一段折線(從最左邊的點到橫坐標 50 的點)升高了多少?這個數對應表中的什麼?
提示階梯(L1→L5)
L1(方向)
小宇每個點的坐標都沒有算錯。想想:這份資料有幾組?折線上總共應該有幾個點?
L2(方向)
第一組的資料(2 隻)是怎麼「進入」累積比例的?要有一個起點,才看得到從 0 增加到 0.08 的過程。
L3(方法)
方法:在第一組的下界加起點 (40, 0),表示「小於 40 的什麼都沒有」。折線從這裡出發,點數為組數加 1。
L4(近乎完整)
正確的點有 4+1=__ 個,起點是 (__, 0)。第一段從 (40, 0) 到 (50, 0.08),升高 0.08−0=__,這個值是第一組的 2÷25。
L5(完整解答)
(1)少了起點 (40, 0)。4 組應有 5 個點。(2)正確的點:(40, 0)、(50, 0.08)、(60, 0.4)、(70, 0.8)、(80, 1)。(3)第一段從 0 升到 0.08,升高 0.08,等於第一組的相對次數 2÷25=0.08。小宇的圖少了這一段,圖上第一組的 2 隻就看不出來;也不能表示「小於 40 的什麼都沒有」。
可能的錯法與補救(做完或卡住再看)
下面是為練習設計的例子,不是真實同學的作答:
- 把起點補在 (50, 0)(橫坐標用第一個上界)。
補救:起點的橫坐標是第一組的「下界」40,縱坐標 0。50 已經有 (50, 0.08) 了,同一個橫坐標不能有兩個縱坐標。
- 把起點補成 (40, 0.08)。
補救:在下界 40,還沒有任何資料進來,縱坐標是 0。0.08 是走到 50 之後的值。
- 說「第一組的資料不需要畫」。
補救:每一組都要畫出來,第一組那一段就是第一個起點到 (50, 0.08) 的那一段。
針對本題:數一數:組數加 1 等於幾個點?你的點列有沒有這麼多?
回課文:〔作圖步驟〕。回原題時請整題重做(點數、起點、終點、每個縱坐標),不要只改一個數。
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練習 12
40 條地瓜的重量(公克)整理成下表(組別「a~b」代表 a 以上、未滿 b)。
| 重量(公克) | 條數 |
|---|
| 100~120 | 4 |
| 120~140 | 10 |
| 140~160 | 16 |
| 160~180 | 8 |
| 180~200 | 2 |
| 合計 | 40 |
小倩算出累積相對次數 0.1、0.35、0.75、0.95、1,她說:「每一組的累積值,就放在這一組的左邊(下界)」,描出的點是:(100, 0.1)、(120, 0.35)、(140, 0.75)、(160, 0.95)、(180, 1)。
(1)小倩的點錯在哪裡?(2)寫出正確的點列。(3)從她的圖讀到「重量未滿 120 公克的占 0.35」,對嗎?實際是多少?
提示階梯(L1→L5)
L1(方向)
小倩的縱坐標沒有問題。問題出在「放在哪個位置」。想想:累積值 0.1 包含了哪些地瓜?
L2(方向)
0.1 是第一組 4 條的比例。這 4 條地瓜,最重可能接近多少公克?要等到哪個重量,才可以說第一組全部被算進去了?
L3(方法)
方法:累積值配上界。起點另加 (100, 0)。小倩的點整體往左偏了一組;正確的圖上,第一個累積值 0.1 要放在 120。
L4(近乎完整)
正確的點:(100, 0)、(120, __)、(140, __)、(160, __)、(180, __)、(200, __)。(3)「未滿 120」就是橫坐標 120 的累積值,也就是第一組 4÷40。
L5(完整解答)
(1)縱坐標對,橫坐標錯:把累積值放在組的下界。累積值 0.1 的意思是「未滿 120 公克的占 0.1」,必須放在上界 120。她的圖最後在 180 就到 1,好像 180 公克以下的就是全部,但第五組(180~200)還有 2 條。(2)正確的點:(100, 0)、(120, 0.1)、(140, 0.35)、(160, 0.75)、(180, 0.95)、(200, 1)。(3)不對:小倩圖上橫坐標 120 的值是 0.35;實際未滿 120 公克的只有 4 條,4÷40=0.1。
可能的錯法與補救(做完或卡住再看)
下面是為練習設計的例子,不是真實同學的作答:
- 以為小倩只是「畫得歪一點」,不影響答案。
補救:位置錯一格,讀圖的結果就錯。她的圖讀出未滿 120 公克占 0.35,和真正的 0.1 差很多。
- 只補上起點 (100, 0),其他點不動。
補救:起點補了,但後面所有的點仍在下界,仍然少一組。每個累積值都要改配上界。
- (3)答 0.1 的理由寫成「第一組的比例」。
補救:答案對,但理由要是:未滿 120 就是上界 120 的累積值,這裡剛好只有第一組。到了第二個上界 140,累積值 0.35 包含兩組。
針對本題:寫出每個點的意思:「未滿 ___ 的占 ___」,對照表格裡真正「未滿 ___」的數量。
回課文:〔定義與各部分〕。回原題時請整題重做(點數、起點、終點、每個縱坐標),不要只改一個數。
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補救二:縱坐標是哪一種量、怎麼寫
練習 13
50 位學生的腳長(公分)整理成下表(組別「a~b」代表 a 以上、未滿 b)。
| 腳長(公分) | 人數 |
|---|
| 21~23 | 5 |
| 23~25 | 20 |
| 25~27 | 15 |
| 27~29 | 8 |
| 29~31 | 2 |
| 合計 | 50 |
小梅描出的點是:(21, 0)、(23, 0.1)、(25, 0.4)、(27, 0.3)、(29, 0.16)、(31, 0.04)。
(1)小梅的折線從左到右有什麼地方不合理?(2)她描的縱坐標是哪一種量?(3)寫出正確的點列。(4)腳長未滿 27 公分的實際占全部的多少?小梅的點 (27, 0.3) 怎麼說?
提示階梯(L1→L5)
L1(方向)
看小梅的縱坐標:0、0.1、0.4、0.3、0.16、0.04。累積的比例會一路往上或持平,她的有沒有?
L2(方向)
把小梅的縱坐標和表中的人數比一比:0.4 是幾個人?(×50)它是哪一組?
L3(方法)
方法:小梅的縱坐標都是「各組人數÷50」,是單組的相對次數。累積要把前面的相加:0.1、0.1+0.4、……,最後到 1。
L4(近乎完整)
各組相對次數:0.1、0.4、0.3、0.16、0.04。累積:0.1、0.1+0.4=__、__+0.3=__、__+0.16=__、__+0.04=__。(4)未滿 27 是橫坐標 27 的累積值。
L5(完整解答)
(1)從 0.4 掉到 0.3、0.16、0.04,折線下降;累積比例不可能下降,而且最後一點應該是 1,她的終點只有 0.04。(2)是每一組自己的相對次數(人數÷50),不是累積的。(3)正確的點:(21, 0)、(23, 0.1)、(25, 0.5)、(27, 0.8)、(29, 0.96)、(31, 1)。(4)未滿 27 公分:橫坐標 27 的累積值是 0.8,即 5+20+15=40 位,40÷50=0.8。小梅的點 (27, 0.3) 只是第三組 15÷50,沒有加上前面兩組。
可能的錯法與補救(做完或卡住再看)
下面是為練習設計的例子,不是真實同學的作答:
- 只修正最後一點,把 (31, 0.04) 改成 (31, 1)。
補救:只改最後一個點,折線仍然是 0.4→0.3→0.16 的下降,中間的點都沒有累積。每一個點都要重算。
- 累積到 0.96 就停筆,把 (29, 0.96) 當成最後一點。
補救:還有最後一組 29~31 的 2 位沒有算進去。最後一點是 (31, 1)(0.96+0.04=1)。
- (4)答 0.3(取小梅的點)。
補救:0.3 是第三組 15 位的比例,「未滿 27 公分」包含前面三組,共 40 位,是 0.8。
針對本題:把縱坐標一個一個換成「人數」(乘以 50)後看看:這是各組人數,還是到這裡為止的人數?
回課文:〔非例與邊界〕。回原題時請整題重做(點數、起點、終點、每個縱坐標),不要只改一個數。
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練習 14
20 位同學朗讀同一篇課文所用的時間(分鐘)整理成下表(組別「a~b」代表 a 以上、未滿 b)。
| 朗讀時間(分鐘) | 人數 |
|---|
| 1~2 | 3 |
| 2~3 | 5 |
| 3~4 | 8 |
| 4~5 | 4 |
| 合計 | 20 |
小民把累積相對次數算成小數 0.15、0.4、0.8、1。他的縱軸刻度寫成百分率 0%、10%、……、100%,卻把「0.15、0.4、0.8、1」直接當成百分率去描點,畫出下圖:
(1)圖有什麼問題?原因是什麼?(2)縱軸用百分率時,正確的點列是什麼?(3)如果縱軸改成 0 到 1 的小數刻度,正確的點列是什麼?
提示階梯(L1→L5)
L1(方向)
看圖:折線貼在最底下,最右邊的點縱坐標接近 0%。全部資料的累積比例應該是多少?
L2(方向)
小民的數沒有算錯,但「數的寫法」和「縱軸的刻度寫法」不一致。0.4 和 40% 是同一個比例嗎?
L3(方法)
方法:縱軸是百分率就用百分率寫(0.4→40%);縱軸是小數就用小數寫(40%→0.4)。同一張圖不能兩種混用。
L4(近乎完整)
百分率:0.15=__%、0.4=__%、0.8=__%、1=__%。最後一點應該在最上面(100%)。(3)改成小數,就是前面的 0.15、0.4、0.8、1。
L5(完整解答)
(1)點畫在 0.15%、0.4%、0.8%、1% 的位置(貼著橫軸),最後一點只有 1%,不是 100%。原因:縱軸是百分率,但小民描點時用了小數的數值;小數 0.4 等於 40%,不等於 0.4%。(2)用百分率:(1, 0%)、(2, 15%)、(3, 40%)、(4, 80%)、(5, 100%)。(3)用小數:(1, 0)、(2, 0.15)、(3, 0.4)、(4, 0.8)、(5, 1)。(檢查:最後一點都要在最上方,即 100% 或 1。)
可能的錯法與補救(做完或卡住再看)
下面是為練習設計的例子,不是真實同學的作答:
- 把 0.4 改成 4%。
補救:乘以 100:0.4×100=40,所以是 40%,不是 4%。可以用最後一格檢查:1 要變成 100%。
- 只把最後一點改成 100%,其他不動。
補救:每個點都要換成同一種寫法。0.15 要變成 15%,0.4 變成 40%,0.8 變成 80%。
- 以為「小數就是不對的,一定要用百分率」。
補救:兩種寫法都可以,但同一張圖只能一種。縱軸寫 0 到 1,就用小數。
針對本題:畫完圖後看最後一點:它在不在最上面?在,尺度大致沒錯;不在,先檢查縱軸寫法。
回課文:〔作圖步驟〕。回原題時請整題重做(點數、起點、終點、每個縱坐標),不要只改一個數。
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練習 15
40 盆多肉植物的葉片數(片)整理成下表(組別「a~b」代表 a 以上、未滿 b)。
| 葉片數(片) | 盆數 |
|---|
| 10~15 | 6 |
| 15~20 | 10 |
| 20~25 | 12 |
| 25~30 | 8 |
| 30~35 | 4 |
| 合計 | 40 |
要畫「累積相對次數折線圖」。小仁算出累積次數 6、16、28、36、40,直接把它們當成縱坐標,畫出下圖:
(1)這張圖作為「累積相對次數折線圖」,不符合題目要求的地方是什麼?(2)怎麼修正?寫出正確的點列。(3)圖上縱坐標 28 的那個點,修正後的縱坐標是多少?這個值的意思是什麼?
提示階梯(L1→L5)
L1(方向)
題目要的縱軸,是「比例」,而且全部資料的位置是 1(或 100%)。小仁的圖最上面是多少?
L2(方向)
「累積次數」和「累積相對次數」只差在最後一步。想想那一步是什麼。
L3(方法)
方法:每個縱坐標都除以總數 40,折線的形狀不變,但縱軸變成 0 到 1。檢查:最後一個點要變成 1。
L4(近乎完整)
6÷40=0.15、16÷40=__、28÷40=__、36÷40=__、40÷40=__。縱坐標 28 的那個點,橫坐標是 25。
L5(完整解答)
(1)縱軸是累積「次數」(0 到 40),不是比例;最後一點是 40,不是 1。(2)每個累積次數都除以總數 40:(10, 0)、(15, 0.15)、(20, 0.4)、(25, 0.7)、(30, 0.9)、(35, 1)。(3)28÷40=0.7,即 (25, 0.7):葉片數未滿 25 片的盆數占全部的 0.7(28 盆)。
可能的錯法與補救(做完或卡住再看)
下面是為練習設計的例子,不是真實同學的作答:
- 只把縱軸的名稱改成「累積相對次數」,每個點的縱坐標仍然是 28、36、40 這些次數。
補救:名稱改了,數字還是次數,圖就還是累積次數折線圖。縱坐標要換成新的數:28 → 0.7;刻度改了,點也要重算。
- 除以組數 5(6÷5=1.2……)。
補救:除以總數 40,不是組數。1.2 這種大於 1 的結果,就是警訊:累積相對次數絕不會超過 1。
- (1)答「小仁的折線形狀錯了」。
補救:形狀(折線的起伏)是對的,錯在縱軸是次數,不是比例。每一個縱坐標都除以 40,形狀不變。
針對本題:檢查最後一點:累積相對次數圖的最後一點一定在 1(或 100%)。
回課文:〔作圖步驟〕。回原題時請整題重做(點數、起點、終點、每個縱坐標),不要只改一個數。
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遷移:空組、讀圖、比較兩批資料
練習 16
某相簿裡 40 張照片的檔案大小(MB)整理成下表(組別「a~b」代表 a 以上、未滿 b)。
| 大小(MB) | 張數 |
|---|
| 0~2 | 8 |
| 2~4 | 12 |
| 4~6 | 0 |
| 6~8 | 16 |
| 8~10 | 4 |
| 合計 | 40 |
(1)寫出要描的全部點。(2)「4~6」這一組沒有照片,這一段折線是什麼樣子?(3)大小 6 MB 以上的有幾張?占全部的多少?
(4)小花說:「4~6 沒有照片,就跳過這一組,從 (4, 0.5) 直接連到 (8, 0.9)」,她描的點是:(0, 0)、(2, 0.2)、(4, 0.5)、(8, 0.9)、(10, 1)。她的圖在橫坐標 6 處的高度是多少?實際「未滿 6 MB」的占多少?
提示階梯(L1→L5)
L1(方向)
空的組也是一組。想想:這一組沒有照片,累積比例在這一段有沒有增加?
L2(方向)
先照一般方法算累積次數,空組的累積次數和前一組比,多了多少?
L3(方法)
方法:空組的累積次數 = 前一組的累積次數 + 0,所以縱坐標和前一個點一樣。這一段折線水平。「以上」的比例 = 1 −「未滿」。
L4(近乎完整)
累積次數:8、8+12=20、20+0=__、__+16=__、__+4=40。除以 40:0.2、0.5、__、__、1。(4)小花的線從 (4, 0.5) 連到 (8, 0.9),在橫坐標 6 處(兩點橫坐標的中間)高度是兩個縱坐標的中間。
L5(完整解答)
(1)累積次數 8、20、20、36、40,累積相對次數 0.2、0.5、0.5、0.9、1。點:(0, 0)、(2, 0.2)、(4, 0.5)、(6, 0.5)、(8, 0.9)、(10, 1)(共 6 個點)。(2)(4, 0.5) 到 (6, 0.5) 是水平線段:這一組沒有照片,累積比例沒有增加。(3)未滿 6 MB 是 (6, 0.5),所以 6 MB 以上占 1−0.5=0.5,即 40−20=20 張(6~8 的 16 張+8~10 的 4 張)。(4)小花的圖在 6 處是 (0.5+0.9)÷2=0.7,但實際未滿 6 MB 只有 0.5;因為少了 (6, 0.5) 這個點,線就斜了,讀出的值錯了。
可能的錯法與補救(做完或卡住再看)
下面是為練習設計的例子,不是真實同學的作答:
- 以為空組的縱坐標是 0。
補救:累積值不會因為這一組是 0 就回到 0,它等於前一個累積值 0.5(前面的 20 張都還在)。
- 省略 (6, 0.5) 這個點。
補救:少了一個組界,折線在這一段就由水平變成斜線,看起來像是 4~8 之間的資料很平均。每一個組界都要有點。
- (3)答「20 張,占 20%」(把張數 20 當成百分率)。
補救:20 是張數,占比要除以總數 40:20÷40=0.5,也就是 50%。
針對本題:在圖上空組那一段,尺要能貼著水平線走過去,而且兩端都有點。
回課文:〔非例與邊界〕。回原題時請整題重做(點數、起點、終點、每個縱坐標),不要只改一個數。
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練習 17
下圖是 80 通客服電話的通話時間(分鐘)累積相對次數折線圖,橫軸的組界是 0、5、10、15、20、25(組別「a~b」代表 a 以上、未滿 b),折線的轉折點都落在方格線的交點上。
(1)讀出每個組界處的縱坐標,並求出各組的人數。(2)通話時間未滿 15 分鐘的有幾通?(3)通話時間在 10 分鐘以上、未滿 20 分鐘的有幾通?(4)通話時間 20 分鐘以上的有幾通?
提示階梯(L1→L5)
L1(方向)
圖上每個轉折點的縱坐標,是「未滿這個組界」的累積比例。先把它們一個一個讀出來。
L2(方向)
比例要換成人數:乘以總數 80。某一組的人數,要用兩個相鄰組界的縱坐標做什麼運算?
L3(方法)
方法:先把六個組界的縱坐標都讀出來。各組比例 = 相鄰兩個縱坐標的差,人數 = 比例×80。「以上、未滿」的人數 = 兩個組界的縱坐標相減再乘 80;「以上」= (1 − 該組界縱坐標)×80。
L4(近乎完整)
縱坐標:0、0.1、0.3、__、__、1。各組比例:0.1、0.2、__、__、0.1;乘以 80:8、__、__、__、8。(2)看橫坐標 15 的點。(3)看 20 的縱坐標減 10 的縱坐標。
L5(完整解答)
(1)組界 0、5、10、15、20、25 的縱坐標是 0、0.1、0.3、0.6、0.9、1。各組比例是 0.1、0.2、0.3、0.3、0.1,人數 8、16、24、24、8(合計 80)。(2)橫坐標 15 的縱坐標是 0.6,0.6×80=48 通。(3)0.9−0.3=0.6,0.6×80=48 通(檢查:24+24=48)。(4)1−0.9=0.1,0.1×80=8 通。
可能的錯法與補救(做完或卡住再看)
下面是為練習設計的例子,不是真實同學的作答:
- 各組人數直接用縱坐標乘 80(0.1×80=8、0.3×80=24、0.6×80=48、……)當成各組人數。
補救:那是「累積到這裡」的人數,不是這一組。合計會變成 8+24+48+72+80=232,超過 80;各組人數要相鄰相減。
- (3)答 0.9×80=72 通。
補救:0.9 是未滿 20 分鐘的全部(含未滿 10 分鐘的),要減掉未滿 10 分鐘的 0.3。
- (4)答 0.9×80=72 通。
補救:0.9 是「未滿 20」。20 分鐘以上的是剩下的:1−0.9=0.1,即 8 通。
針對本題:把讀出的人數合計,必須是 80;如果超過,多半是把累積人數當成了各組人數。
回課文:〔完整示範〕。回原題時請整題重做(每個縱坐標、各組人數、每一小題),不要只改一個數。
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練習 18
同一份問卷,甲班 40 人、乙班 25 人,作答時間(分鐘)整理成下表(組別「a~b」代表 a 以上、未滿 b)。
| 作答時間(分鐘) | 甲班人數 | 乙班人數 |
|---|
| 5~10 | 4 | 10 |
| 10~15 | 12 | 5 |
| 15~20 | 16 | 5 |
| 20~25 | 8 | 5 |
| 合計 | 40 | 25 |
(1)分別寫出兩班要描的點列(畫在同一組坐標上)。(2)作答未滿 15 分鐘的人,甲班、乙班各有幾位?各占全班的多少?哪一班比例較高?(3)為什麼比較兩班時要看累積「相對」次數,而不是只看累積人數?(4)兩班的折線在哪些組界處縱坐標相同?
提示階梯(L1→L5)
L1(方向)
兩班人數不一樣,要比誰「比較快寫完」,公平的比法是什麼?想想「比例」。
L2(方向)
各班各自用自己的總人數(40、25)去除,再把兩條折線畫在同一組坐標上。
L3(方法)
方法:各班各自逐組累加得到累積次數,甲班除以 40,乙班除以 25。「未滿 15」是橫坐標 15 的點。比較比例時看縱坐標,比較人數時看累積次數。
L4(近乎完整)
甲班:4÷40=0.1、16÷40=__、32÷40=__、1。乙班:10÷25=0.4、15÷25=__、20÷25=__、1。橫坐標 15 的兩個縱坐標:甲班 __、乙班 __。(4)找出兩個縱坐標相等的組界。
L5(完整解答)
(1)甲班點:(5, 0)、(10, 0.1)、(15, 0.4)、(20, 0.8)、(25, 1);乙班點:(5, 0)、(10, 0.4)、(15, 0.6)、(20, 0.8)、(25, 1)。(2)橫坐標 15:甲班累積次數 4+12=16 位,占 0.4;乙班累積次數 10+5=15 位,占 0.6。乙班比例較高(但甲班人數 16 比乙班 15 多)。(3)班級人數不同,人數多不代表比例高。看累積人數,甲班(16)比乙班(15)多,會得到相反的結論;看累積相對次數,0.6 比 0.4 大,才是比較「各班自己的哪個比例比較高」。(4)起點(橫坐標 5)兩班都是 0;橫坐標 20 處兩班都是 0.8(甲班 32÷40、乙班 20÷25);橫坐標 25 處兩班都是 1(全部數完)。橫坐標 10、15 處兩班不同。
可能的錯法與補救(做完或卡住再看)
下面是為練習設計的例子,不是真實同學的作答:
- 兩班都用總人數 40 去除。
補救:每班用自己的總數:乙班要除以 25。檢查:乙班最後一個縱坐標要是 25÷25=1,若用 40 除會只有 0.625。
- (2)說「甲班 16 位、乙班 15 位,所以甲班比較好」。
補救:人數多不代表比例高,甲班全班有 40 人。比例:甲 0.4、乙 0.6。
- (4)只答 20,漏了起點與終點。
補救:每個組界都要檢查:起點 5 兩班都是 0,終點 25 兩班都是 1(都是「全部」或「還沒有」),20 處也相同;10 處甲 0.1、乙 0.4,15 處甲 0.4、乙 0.6,不相同。
針對本題:把兩條折線畫在同一組坐標上,用不同線型(實線、虛線)和點形(圓點、方點)區分,再一個組界一個組界地比。
回課文:〔為什麼需要累積相對次數〕。回原題時請整題重做(點數、起點、終點、每個縱坐標),不要只改一個數。
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