回課文。每題先自己做，需要時再依序展開提示。看過第 3 層（L3）以上提示才做出來的題目，算是練習，還不算獨立完成，之後要隔一段時間，不看提示，用原題重做一次。L5 會揭示完整答案。
記號：底數都是正數；≈ 表示近似；√n 是 n 的正平方根；(1/2)x 的底數是 1/2。題目裡的近似值都是計算機算好寫在題面的，不需要計算機。這一課的重點是認識符號、感受大小，所以有一半的題目（練習 3、5～9、15～17）只用整數或有理數（分數、有限小數）指數；含無理數指數的題目，做法都是用有理指數去夾住它。題目的情境是為了練習設計的，不是真實資料。
先不看課文，憑現在會的方法作答；做錯也沒關係，每題的「回課文」會指出該補哪裡。
√3=1.7320508…，是無理數。下面是四位同學對「2^(√3) 是什麼意思」的說法。以有理指數的近似來解讀，哪一位的說法最合適？
作答格式：只寫說法編號 1、2、3 或 4；另用一句話說明依據。 指數記號用 ^，√ 表示正平方根。
先比較「連乘次數」與「用有理數靠近」兩種解釋各需要什麼條件。
逐項檢查每個說法是否區分相等與近似。
想想非整數的連乘次數能否逐次數出來，以及有限小數是否等於目標指數。
用一串可計算的指數說明記號，與只算一個近似項，有何不同？也檢查它是否宣稱不存在。
答案：第 2 個說法。第 1 個：連乘的次數必須是能數出來的正整數，√3 不是整數，沒有「連乘 √3 次」。第 3 個：1.7<√3，所以 21.7<2√3，兩者不相等（21.7≈3.249，2√3≈3.322）；21.7 只是逼近過程中比 2√3 小的一項。第 4 個：無理數指數有意義，只是不能用連乘說明，要用逼近。第 2 個用一串有理指數的值，說明它們逼近同一個固定的數，那個數就是 2√3，正是課文第 ③ 節的做法；有限表只能展示近似，不能當作收斂證明。
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：
回到課文：〔回課文：用有理指數逼近〕
已知 2.64²=6.9696，2.65²=7.0225，所以 2.64<√7<2.65。下面四個不等式中，哪一個「對 2^(√7) 成立，而且是這四個中夾得最窄的」？
作答格式：只寫選項大寫字母 A、B、C 或 D；另說明如何判斷夾法及寬窄。 指數記號用 ^，√ 表示正平方根。
先檢查每個候選是否真的夾住目標。
每個端點在目標指數哪一側？可以用已給平方核對。
排除不包含目標者，再比較有效候選端點是否向內縮。
最窄夾法需要同時選擇最大的有效下端與最小的有效上端。
答案：B。已知 2.64<√7<2.65，底數 2>1，所以 22.64<2√7<22.65。B 的指數區間寬為 0.01，冪值區間寬是 2^(2.65)−2^(2.64)≈0.0433561458900070131。A、D 的夾法也成立，但 B 的下端較大、上端不大於它們的上端，所以 B 的冪值區間最窄；C 的左指數 2.65 比 √7 大（√7<2.65），整個範圍在 2√7 的右邊，夾法不成立。
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：
回到課文：〔回課文：夾出範圍的步驟〕
請把 (1/10)^(0.7)、(1/10)^(3/4)、(1/10)^(0.8) 由小到大排列（用符號 < 連接）。
作答格式：用 < 連接三個原冪式；指數用 ^，分數指數加小括號；保留精確的冪式，不算近似小數。 指數記號用 ^，√ 表示正平方根。
先把有限小數與分數指數用同一種方式比較。
查清底數在 1 的哪一側。
可以把底數寫成倒數，思考分母與整個數的大小方向。
先排指數，再按底數決定冪的順序，最後檢查不等號方向。
答案：(1/10)0.8<(1/10)3/4<(1/10)0.7。理由：0.7<3/4<0.8，底數 1/10 小於 1，指數越大值越小，所以指數最大的 0.8 對應最小的值，0.7 對應最大的值。（取 20 次方檢查：(1/10)14>(1/10)15>(1/10)16，順序一致。≈0.158489<≈0.177828<≈0.199526，與判斷一致。）
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：
回到課文：〔回課文：指數大小與值的大小〕
先找出指數在哪兩個容易算的數之間（或用次方把它還原成整數），再看底數的方向，最後換成數字。
√2=1.41421…。下表是用計算機算出的 3^(x) 的近似值（取到小數第 3 位）：
| x | 1.4 | 1.41 | 1.42 | 1.5 | 1.6 |
|---|---|---|---|---|---|
| 3^(x) ≈ | 4.656 | 4.707 | 4.759 | 5.196 | 5.800 |
（1）只用表中的資料，寫出夾住 3^(√2) 最窄的不等式（先寫成指數的形式，再寫出約略的數值範圍）。（2）為什麼不能寫 3^(√2)=4.707？
作答格式：（1）先用 < 連接原冪式，另依序寫數值下端、上端，用逗號隔開，沿用表列三位小數並註明約略範圍；（2）用一句話說明。 指數記號用 ^，√ 表示正平方根。
先看表列候選在目標指數的哪一側。
有效上下界需要同時從兩側選。
表列端點是近似值，與原冪式的精確端點應分開表述。
檢查所選端點是否還能向內縮；第（2）問檢查有限指數與目標是否相等。
（1）答案：31.41<3√2<31.42，約 4.707<3√2<4.759。理由：1.41<√2<1.42，底數 3>1，指數越大值越大。（2）1.41<√2，所以 31.41<3√2，也就是 3√2 比 31.41≈4.707 大，兩者不相等。精確下界是 31.41，4.707 是此下界四捨五入後的近似值，表列範圍要標明「約」。
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：
回到課文：〔回課文：夾出範圍的步驟〕
不用計算機。已知 31²=961，32²=1024。（1）10^(3/2) 的平方等於多少？（2）夾出 10^(3/2) 的範圍（寫成兩個整數之間）。（3）10^(3/2) 的整數部分是幾位數？
作答格式：（1）只寫平方結果的數字；（2）依序寫整數下界、上界，用逗號隔開；（3）只寫位數的數字。 指數記號用 ^，√ 表示正平方根。
看清題目分別問平方量、原量的範圍與位數。
分數指數的分母表示哪一次根？
使用冪再取次方的規則，與給定整數平方比較。
比較完成後回到原量，位數只看原量的整數部分。
（1）(103/2)2=10(3/2)×2=103=1000。（2）961<1000<1024，即 31²<(103/2)2<32²，正數的平方保持順序，所以 31<103/2<32。（3）整數部分是 31，是兩位數。（計算機參考值：103/2≈31.62。）
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：
回到課文：〔回課文：夾出範圍的步驟〕
不用計算機，回答下面三問。已知 6^(3)=216，7^(3)=343，6.2^(3)=238.328，6.3^(3)=250.047。
(1) 3^(5/3) 的 3 次方等於多少？
(2) 夾出 3^(5/3) 的範圍（寫成兩個整數之間）。
(3) 把範圍縮小到小數第一位（寫成相鄰的十分位數之間）。
作答格式：依列出的三問分別作答：（1）只寫三次方結果的數字；（2）依序寫整數下界、上界；（3）依序寫十分位下界、上界；每組兩端用逗號隔開。 指數記號用 ^，√ 表示正平方根。
把原量與它的三次方用不同符號記下。
題給兩組立方資料分別用於粗範圍和細範圍。
先用分數指數定義計算三次方量，再對每組資料比較。
最後兩組端點都要還原為原量，不要把立方值直接填入。
（1）(35/3)3=3(5/3)×3=35=243。（2）216<243<343，即 63<(35/3)3<73，所以 6<35/3<7。（3）238.328<243<250.047，即 6.23<(35/3)3<6.33，所以 6.2<35/3<6.3。（計算機參考值：35/3≈6.240，確實在範圍內。）
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：
回到課文：〔回課文：夾出範圍的步驟〕
底數相同（或可以化成同一個底數的整數次方）時，比較指數就能比較值。
請把 2^(2/3)、2^(4/5)、2^(3/4)、2^(7/10) 由小到大排列。
作答格式：用 < 連接四個原冪式；分數指數用 ^(m/n) 表示，保留精確的冪式。 指數記號用 ^，√ 表示正平方根。
先處理四個分數的大小，不急著排冪。
通分或精確交叉相乘都可以。
共同分母應同時適用四個指數。
對照底數位置決定冪的方向，再核對每項有沒有遺漏。
答案：22/3<27/10<23/4<24/5。理由：2/3=40/60，7/10=42/60，3/4=45/60，4/5=48/60，所以 2/3<7/10<3/4<4/5；底數 2>1，值的順序相同（取 60 次方也能檢查：240<242<245<248）。（參考值：1.587、1.625、1.682、1.741。）
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：
回到課文：〔回課文：指數大小與值的大小〕
請把 (1/2)^(1.2)、(1/2)^(4/3)、(1/2)^(1.3)、(1/2)^(5/4) 由小到大排列。
作答格式：用 < 連接四個原冪式；底數與分數指數用小括號，保留精確的冪式。 指數記號用 ^，√ 表示正平方根。
先比較有限小數與兩個分數指數。
不要用截斷的小數取代非有限小數作精確比較。
將底數看成倒數，檢查整個值的方向。
排完後核對最小值與最大值的指數是否符合底數的方向。
答案：(1/2)4/3<(1/2)1.3<(1/2)5/4<(1/2)1.2。理由：指數 1.2<5/4<1.3<4/3（72/60<75/60<78/60<80/60），再加上底數 1/2 小於 1，指數越大值越小，所以順序倒過來。（參考值：0.3969、0.4061、0.4204、0.4353。）
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：
回到課文：〔回課文：指數大小與值的大小〕
已知 2<5/2<3。下列哪些不等式成立？（可能不只一個）
作答格式：只寫成立的不等式編號，用頓號隔開；順序不計分。 指數記號用 ^，√ 表示正平方根。
每式右端能否改寫成左邊底數的冪？
每一式各自比較指數，不能一概和同一個整數比。
對每個底數分別檢查它在 1 的哪一側。
核對題給不等號與你得到的比較方向，只收真正成立的編號。
答案：第 1 式與第 2 式成立。2<5/2<3。①底數 2>1：5/2>2，所以 25/2>22=4，成立（平方檢查：(25/2)2=25=32>16）。②底數 3>1：5/2<3，所以 35/2<33=27，成立。③底數 1/2 小於 1，指數大值小：5/2<3，所以 (1/2)5/2>(1/2)3=1/8，「<1/8」不成立。④底數 10>1：5/2>2，所以 105/2>102=100，「<100」不成立。（參考值：5.66、15.59、0.1768、316.2。）
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：
回到課文：〔回課文：指數大小與值的大小〕
題目裡有別人的錯誤寫法；找出錯在哪一步，再寫出正確的版本。
小宇寫：「√14=3.7417…，約 3.7，所以 2^(√14)=2^(3.7)≈13.0。」已知 3.7²=13.69，3.8²=14.44，2^(3.7)≈12.996，2^(3.8)≈13.929。
（1）小宇錯在哪裡？（2）請用「<」改寫成正確的夾法，並寫出約略的數值範圍。
作答格式：（1）用一句話指出錯誤；（2）用 < 連接原冪式，另依序寫約略的數值下端、上端，用逗號隔開，沿用題給三位小數。 指數記號用 ^，√ 表示正平方根。
先檢查引用的近似數與原指數是否相同。
等號、近似號與範圍陳述各表示什麼？
平方資料能驗證哪個指數在下側、哪個在上側。
題目要夾法與約略端點；單獨一個估值是否足以回答？
（1）小宇把近似當成相等：3.7<√14（13.69<14），底數 2>1，所以 23.7<2√14，兩者不相等；而且 23.7≈12.996 只是下界，用等號寫成 2√14=23.7 並不對。（2）3.7<√14<3.8，所以 23.7<2√14<23.8，約 12.996<2√14<13.929。（參考：2√14≈13.377，確實在範圍內。）
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：
回到課文：〔回課文：反例、邊界與非例〕
小琪想夾住 (1/2)^(√5)。已知 2.2²=4.84，2.3²=5.29，(1/2)^(2.2)≈0.2176，(1/2)^(2.3)≈0.2031。她寫：「2.2<√5<2.3，底數是 1/2，指數越大值還是越大，所以 (1/2)^(2.2)<(1/2)^(√5)<(1/2)^(2.3)。」
（1）把她寫的不等式的左右兩端換成數字，說明這個結論自己就矛盾。（2）寫出正確的夾法。
作答格式：（1）依序寫她原不等式的左端、右端數字，用逗號隔開，保留題給四位小數，另說明矛盾；（2）用 < 連接正確的原冪式，再依序寫約略的數值下端、上端。 指數記號用 ^，√ 表示正平方根。
把她原式兩端數值依原順序寫下。
一條左 < 右的不等式對端點自身有什麼要求？
保持原本正確的指數位置，再檢查底數方向。
分清修正值的順序與改動指數的大小判定，兩者不是同一件事。
（1）她的結論左端 (1/2)2.2≈0.2176，右端 (1/2)2.3≈0.2031，要成立需 0.2176<0.2031，但 0.2176>0.2031，所以矛盾。（2）底數 0<1/2<1，指數越大值越小，由 2.2<√5<2.3 得 (1/2)2.3<(1/2)√5<(1/2)2.2，約 0.2031<(1/2)√5<0.2176。
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：
回到課文：〔回課文：指數大小與值的大小〕
小哲想夾住 3^(√3)。他選了指數 1.8 與 1.9，寫：「3^(1.8)≈7.225，3^(1.9)≈8.064，所以 7.225<3^(√3)<8.064。」已知 1.7²=2.89，1.8²=3.24，1.9²=3.61，3^(1.7)≈6.473。
（1）他錯在哪？（2）保留 1.8，另外換一個指數，寫出正確的夾法與約略的數值範圍。
第（2）問新指數只從題目已給的 1.7、1.8、1.9 中選取。
作答格式：（1）用一句話說明兩端的位置；（2）用 < 連接原冪式，另依序寫約略的數值下端、上端，用逗號隔開，沿用題給三位小數。 指數記號用 ^，√ 表示正平方根。
先驗證錯選端點各自與目標指數的關係。
比目標更接近的端點，一定能當下界嗎？
用已給平方判斷候選位於兩側的情形。
依「保留一端、另換一端」的限制，寫出有效的夾法並核對表列值。
（1）1.8²=3.24>3，1.9²=3.61>3，兩個指數都比 √3 大，底數 3>1，所以 31.8 與 31.9 都比 3√3 大，是兩個上界；不能把其中較小的當下界。（2）1.7²=2.89<3<3.24=1.8²，所以 1.7<√3<1.8，31.7<3√3<31.8，約 6.473<3√3<7.225。（參考：3√3≈6.705，在範圍內。）
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：
回到課文：〔回課文：反例、邊界與非例〕
用指數律把兩條路算出的範圍放在一起比，看有沒有矛盾。
已知 150<10^(√5)<200。指數律：10^(√5)×10^(3−√5)=10^(3)=1000。
（1）求 10^(3−√5) 的範圍。（2）有人聲稱 10^(3−√5) 四捨五入至整數為 3，這個說法和（1）有沒有衝突？
作答格式：（1）依序寫精確下界、上界，用逗號隔開；非整數寫分數；（2）寫「有」或「沒有」，另用一句話說明依據。 指數記號用 ^，√ 表示正平方根。
把兩個冪看成乘積固定的兩個正因子。
其中一因子增加時，另一因子會怎樣變？
用兩端分別作除數，再比較兩個商的順序。
把待檢查的估值放進所求範圍，判斷是否相容。
（1）103−√5=1000÷10√5，因為 150<10√5<200，所以 1000÷200<103−√5<1000÷150，即 5<103−√5<20/3（約 6.67）。（2）若四捨五入至整數為 3，真值應在 2.5（含）到 3.5（不含）之間；但真值大於 5，所以有衝突，應該更正。（參考：103−√5≈5.81，確實在 5 與 6.67 之間。）
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：
回到課文：〔回課文：用指數律做一致性檢查〕
有人說：「2^(√3) 四捨五入至小數第一位為 2.5。」已知指數律 (2^(√3))^(2)=2^(2√3)，且 √12=2√3、3²=9<12。這個說法合不合理？
作答格式：判定只寫「合理」或「不合理」；指數律與數值比較寫在說明中。 指數記號用 ^，√ 表示正平方根。
從同一個量的平方建立兩條核對路線。
一條路用待檢查估值，另一條路用指數律。
用給定平方事實比較根式指數與整數。
兩條路得到的平方量是否滿足同一個大小條件？
答案：不合理。(2√3)2=22√3，而 √12>3（12>9），底數 2>1，所以 22√3>23=8。若 2√3 四捨五入至小數第一位為 2.5，真值須小於 2.55，平方須小於 2.55²=6.5025；但真值的平方大於 8，且 8>6.5025，所以無法四捨五入為 2.5。可見 2√3 必須比 √8≈2.83 還大（參考：2√3≈3.322）。
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：
回到課文：〔回課文：用指數律做一致性檢查〕
已知 5.6<2^(5/2)<5.7（因為 (2^(5/2))^(2)=2^(5)=32，而 5.6²=31.36，5.7²=32.49）。利用 (1/2)^(5/2)=1÷2^(5/2)（因為 (1/2)^(x)=1/2^(x)），求 (1/2)^(5/2) 的範圍。
再用 ((1/2)^(5/2))^(2)=(1/2)^(5)=1/32，並已知 0.17²=0.0289，0.18²=0.0324，直接夾出 (1/2)^(5/2)，看看兩種結果有沒有矛盾。
作答格式：分成（1）倒數夾法：依序寫精確下界、上界，用逗號隔開，兩端都寫分數；（2）直接夾法：依序寫小數下界、上界；（3）兩種結果有沒有矛盾：寫「有」或「沒有」，另說明依據。 指數記號用 ^，√ 表示正平方根。
先分清倒數夾法與直接平方夾法在比較哪個量。
倒數兩端先保留精確分數。
直接路線將平方量與題給小數平方比較，再回到原量。
以精確端點檢查兩個區間有沒有重疊，不只看小數外觀。
答案：（1）精確端點為 10/57、5/28，因為 1÷5.7=10/57、1÷5.6=5/28；1÷5.7<(1/2)5/2<1÷5.6，約 0.1754<…<0.1786。理由：5.6<25/2<5.7，取倒數順序反過來。直接夾：((1/2)5/2)2=1/32=0.03125，0.0289<0.03125<0.0324，即 0.17²<((1/2)5/2)2<0.18²，所以 0.17<(1/2)5/2<0.18。範圍一（約 0.1754～0.1786）整個落在範圍二（0.17～0.18）之內，沒有矛盾。（參考：(1/2)5/2≈0.1768。）
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：
回到課文：〔回課文：用指數律做一致性檢查〕
換成不同的情境或不同的問法，仍然用夾出範圍與指數律檢查。
（為練習設計的情境）某放射性物質每經過 1 天，剩下的量變成原來的一半。經過 t 天（t 不一定是整數）後，剩下的比例是 (1/2)^(t)。現在 t=2.5（兩天半）。不用計算機，已知 (1/2)^(2)=1/4，(1/2)^(3)=1/8，(1/2)^(5)=1/32。
（1）剩下的比例在 1/8 與 1/4 之間嗎？（2）經過 2.5 天後，是否已經低於 20%（0.2）？
作答格式：（1）（2）各寫「是」或「否」，另用一句話說明判定依據。 指數記號用 ^，√ 表示正平方根。
時間不是整數時，仍依題給模型解讀。
第一問與第二問所需的範圍精度是否相同？
可比較兩個正量的平方來決定門檻關係。
平方比較後回到原量，再分別填寫兩個判定。
（1）2<2.5<3，底數 1/2 小於 1，所以 (1/2)3<(1/2)2.5<(1/2)2，即 1/8<(1/2)2.5<1/4，在 1/8 與 1/4 之間。（2）((1/2)2.5)2=(1/2)5=1/32=0.03125<0.04=0.2²，正數的平方保持順序，所以 (1/2)2.5<0.2，已經低於 20%。（參考：(1/2)2.5≈0.1768，約 17.7%。）
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：
回到課文：〔回課文：指數大小與值的大小〕
不用計算機。（1）比較 2^(3/4) 與 3^(1/2) 的大小。（2）已知 1.68^(4)≈7.966，1.69^(4)≈8.157，夾出 2^(3/4) 的範圍（寫到小數第二位）。
作答格式：（1）只寫 <、= 或 >，左邊是 2^(3/4)，右邊是 3^(1/2)；（2）依序寫百分位下界、上界，用逗號隔開。 指數記號用 ^，√ 表示正平方根。
底數與指數都不一樣，直接比指數可行嗎？
尋找能同時消去分母的正整數次方。
對正數使用同次方比較，再檢查題給細端點。
把所得次方量還原，題目所問的是原量的範圍。
答案：（1）(23/4)4=23=8，(31/2)4=32=9。8<9，正數的 4 次方保持順序，所以 23/4<31/2。（2）1.684≈7.966<8<8.157≈1.694，即 1.684<(23/4)4<1.694，所以 1.68<23/4<1.69。（參考：23/4≈1.682，31/2≈1.732。）
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：
回到課文：〔回課文：夾出範圍的步驟〕
π=3.14159265…。下表是用計算機算出的 3^(x) 的近似值（取到小數第 3 位）：
| 比 π 小的 x | 3.1 | 3.14 | 3.141 | 3.1415 | 3.14159 |
|---|---|---|---|---|---|
| 3^(x) ≈ | 30.135 | 31.489 | 31.524 | 31.541 | 31.544 |
| 比 π 大的 y | 3.2 | 3.15 | 3.143 | 3.142 | 3.1416 |
| 3^(y) ≈ | 33.635 | 31.837 | 31.593 | 31.558 | 31.545 |
（1）說明這張表怎麼顯示 3^(π) 的意思。（2）只用表中的資料，3^(π) 的整數部分是多少？
作答格式：（1）用一句話說明近似的意義，並說明有限表能否當作收斂證明；（2）整數部分只寫數字，不作四捨五入。 指數記號用 ^，√ 表示正平方根。
觀察兩組指數的方向及對應值的方向。
有限表展示了什麼，又有哪些事不能靠有限表證明？
找一個表列範圍，檢查整個範圍內的整數部分是否一致。
整數部分與四捨五入不同，所選上下界應支持同一個取整結果。
（1）第一組的指數都比 π 小，值一路增加；第二組的指數都比 π 大，值一路減少；兩組都靠向同一個固定的數，這個數就是 3π，不是連乘的結果。有限表只能展示近似，不能當作兩組值收斂到同一數的證明。（2）3.14<π<3.15，底數 3>1，所以約 31.489<3π<31.837。這個範圍裡的數都是 31 點多，整數部分是 31。（參考：3π≈31.544。）
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：
回到課文：〔回課文：用有理指數逼近〕