二次方程：一個未知為何可能有兩個答案

一個長方形展示區，面積要有 $45$ 平方公尺，長邊比短邊多 $4$ 公尺。兩條邊應該各是多少？

這是本文設定的假想設計情境；後面對規格的調整，也都是用來說明數學的假設，不是歷史事件的重演。

假如已經知道長邊是 $9$ 公尺，事情很簡單：用面積除以長邊，$45÷9=5$，就得到短邊。但是現在知道的 $4$ 公尺，是兩條邊的差，不是其中一條邊。不能拿 $45÷4$ 當作答案。

我們不缺面積公式，缺的是在兩邊都還不知道時，如何利用它們之間的關係。

把短邊的公尺數記為 $x$，長邊就是 $x+4$。因為它們是展示區的邊長，必須有 $x>0$。面積條件可以寫成：

用分配律展開：

同一個未知數，一次以 $x$ 出現，一次以 $x^2$ 出現。它不再像 $5x=45$ 那樣，除以一個已知數就能解決。

你或許能試出 $x=5$，因為 $5\times 9=45$。這當然是一個有效答案。但試出答案，還留下兩個問題：有沒有其他可能？如果換一組要求，試了很久都找不到，究竟是還沒試到，還是那些要求根本不能同時成立？

二次方程值得理解的地方，就在這裡：它不只幫我們找到一個數，也讓我們有理由判斷，可能的答案究竟有哪些。

一、前人已經會算，新的困難出在哪裡？

在相關二次求解技巧形成以前，人們並不是面對長度與面積毫無辦法。數學史家 Jens Høyrup 對兩河流域材料的研究指出，早於西元前 $2200$ 年，已有給定長方形面積與其中一邊、求另一邊的問題。這類問題可以用相當於我們今天所說的除法處理。後來要處理面積與兩邊之和、或面積與兩邊之差的關係，困難就不同了：原本能直接拿來相除的那條已知邊，不在資料裡。MPRL

以展示區為例，直接算面積的能力仍然有用，卻不能單獨完成反推。

試算也有用。短邊取 $3$，長邊便是 $7$，面積為 $21$；短邊取 $6$，長邊便是 $10$，面積為 $60$。但是短邊加倍，面積既不是原來的兩倍，也不是四倍。因為在

裡，$x$ 加倍時，$x^2$ 變成四倍，$4x$ 只變成兩倍。兩種不同的變化混在一起，不能把某次試算的總結果，簡單按同一比例修正。

這不表示試算沒有價值。在本題中，有系統地調整數值、縮小範圍，仍然可以逼近合適的邊長。但「這幾次沒試到」，不能直接證明沒有答案；「已經試到一個」，也不會自動證明所有答案都找齊了。

這是對方法能力的比較，不是在說古人只會猜。古巴比倫的計算者已有乘法表、倒數表，以及把除法問題轉成乘法的程序。Høyrup 所研究、約出自西元前 $1800$ 至 $1600$ 年的材料，更顯示他們能有步驟地處理今天會寫成二次方程的問題。MPRL

其中，Høyrup 對泥板 BM 13901 第 1 題的研究，將其程序解讀為一種剪補幾何：把原有部分重組成缺角的正方形，再補上角落，求出完整正方形的邊長，最後還原所求的量。這是根據古代用語與運算程序作出的歷史解讀，不等於泥板上已經寫著我們今天的 $x$、等號和配方公式。MPRL

而且，這些材料不能一律當成實際丈量土地的紀錄。有些問題與書吏的計算訓練有關；題目使用可測量的量，不表示每一題都曾對應一項真實工程。MPRL

因此，這段發展不能簡化成「前人不會算，某人突然發明了答案」。比較準確的問題是：

原本必須知道某條邊，才能繼續計算；現在能不能利用已知的面積與邊長關係，造出一個可以直接求邊長的正方形？

二、配方：改變表示，不改變條件

回到

它只有一個未知數，而且展開、整理後，未知數保留下來的最高次方是二次，所以是一元二次方程。

現在先把 $x$ 看成正的邊長數值。

原來的長方形，兩邊是 $x$ 公尺與 $x+4$ 公尺。我們可以把它分成一個 $x\times x$ 的正方形，以及一條 $x\times 4$ 的長方形。它們的面積分別是 $x^2$ 與 $4x$ 平方公尺。

接著，把寬 $4$ 公尺的長條分成兩條，每條寬 $2$ 公尺。一條放在正方形右側，另一條轉向後放在上方。

這時，圖形的總寬與總高都是 $x+2$ 公尺，卻還不是完整的正方形：右上角缺了一塊 $2\times 2$ 的小正方形。

缺口的面積是：

補上它，便得到：

這裡的 $4$ 不是為了湊出好算的數，任意塞進去的。它由原來的結構決定：一次項的係數 $4$ 分成兩半，每半是 $2$，缺角便是邊長 $2$ 的正方形。

但是補圖形時，面積確實增加了。原面積是 $45$，補完就是 $49$。在方程裡，也必須把同一件事完整記下：

這個方法叫作配方：把平方項與一次項重新整理，補成某個整體的平方。

我們改變了式子的樣子，卻沒有改變哪些數能使等式成立。因為兩邊同加 $4$ 之後，也能兩邊同減 $4$，回到原式。這不是猜測，而是可以往回走的轉換。

從幾何來看，完整正方形的面積是 $49$ 平方公尺，邊長便是 $7$ 公尺；原來的短邊比它少 $2$ 公尺，所以是 $5$ 公尺，長邊則是 $9$ 公尺。

人們增加的能力，正藏在這個轉換裡：不必先猜出某條邊，才能進行下一步；可以先用已知資料構造一個新面積，再從這個新面積倒推出原來的邊。

九世紀初花拉子米的代數著作，是這類方法被系統整理的一個重要歷史節點。他以文字區分不同類型的關係，給出求解程序，再用幾何論證說明理由；其中包含在正方形兩側安排長條、補上缺角的說明。這不是說配方到那時才首次出現，而是說，這部著作把按類整理的規則與解釋規則的論證放在了一起。MPRL

不過，幾何給出的 $5$，還不是不附加邊長限制時，這個方程在實數中的全部答案。

三、負根不是錯根，但不一定能當邊長

圖形中的 $x$ 是正長度；代數式中的 $x$，卻可以先放寬為任意實數來檢查。

為什麼可以這樣做？因為

不只是一張圖的面積關係。直接用分配律，也能得到：

這個等式對正數、零、負數都成立。幾何圖有它的長度限制，代數恆等式的適用範圍則更廣。

於是，當我們只問

有哪些實數解時，就不能只想到 $7^2=49$。還有：

因此：

也就是：

使方程等式成立的值，叫作方程的解，也叫根。「或」很重要：這不是要求同一個 $x$ 同時等於 $5$ 和 $-9$，而是說，代入其中任何一個，等式都會成立。

我們直接回查最初的乘積關係：

兩個都通過。

第二個解不是配方時製造出來的假答案。原來的方程本來就容許它，只是展示區不容許負邊長。

完整的幾何模型同時包含：

所以，$-9$ 是不附加長度限制的方程在實數中的解，卻不是這個展示區模型的可行解。實際尺寸仍是短邊 $5$ 公尺、長邊 $9$ 公尺。

這和「負數一律刪掉」完全不同。若 $x$ 表示數線上的位置，負值就可以有意義。例如同一個式子

可以讀成：$x$ 與 $-2$ 的差，平方後是 $49$。它對應數線上距離 $-2$ 為 $7$ 的兩個位置，正是 $5$ 與 $-9$。在這種解讀下，兩個位置都可以保留。

這也回答了題目中的疑問：一個未知數，不代表限制條件只能容許一個值。

平方會把一對互為相反數的量送到同一個結果：$7$ 和 $-7$ 平方後都是 $49$。從結果往回找原數時，就必須把兩種可能都找回來。而在這一題，互為相反數的是 $x+2$ 的兩個可能值，不是 $x$ 的兩個解；$5$ 與 $-9$ 對稱的中心是 $-2$，不是 $0$。

還有一個符號必須分清：

不能寫成 $\sqrt{49}=\pm 7$。根號表示非負平方根，是一個確定的數；方程 $u^2=49$ 則在尋找所有平方後得到 $49$ 的實數，所以解是 $u=7$ 或 $u=-7$。

「求一個根號的值」與「找出一個方程的所有解」，問的是不同的事。

四、為什麼可能有零個、一個或兩個實數解？

前面的展示區，最後只有一組可行尺寸。兩個數學解中的一個，被正長度條件排除了。

但二次方程也可能有兩個都符合情境的解。要看清這件事，我們仍用長方形，不另換一套世界。

現在取消「長邊比短邊多 $4$ 公尺」的要求，改為「周長是 $28$ 公尺」。

兩條相鄰邊的和就是：

本段重新把 $x$ 定義為展示區的橫向邊長公尺數，不預先規定它是長邊或短邊。另一邊就是 $14-x$，而長方形要求：

把指定的正面積數值記為 $A$。每次設計時，$A$ 是先給定的要求，不是另一個待求的未知數。面積條件為：

展開、整理，再配方：

原本我們在問兩條邊怎樣相乘；現在，只要看一個平方能不能等於右邊的數。

當面積要求為 $45$ 平方公尺時：

所以 $x-7=2$ 或 $x-7=-2$，得到：

兩個都是正數，也都小於 $14$。回查：

而兩種配置的周長都是：

這是兩個都符合條件的橫向邊長。但也要說準確：若不區分橫向與縱向，它們是同一組 $5\times 9$ 的尺寸，只是兩邊交換了角色，不能因此宣稱得到兩種不同形狀的長方形。

當面積要求改成 $49$ 平方公尺時：

只有 $x-7=0$，因此只有一個不同的實數解：

展示區是 $7\times 7$ 的正方形。這種二次方程只有一個不同實數根的情形，稱為重根。不能把 $+0$ 和 $-0$ 當成兩個不同答案；它們是同一個數。

當面積要求再提高到 $50$ 平方公尺時：

這一次沒有實數解。任何實數的平方都不小於零，不可能等於 $-1$。

這不是「我們還沒找到合適尺寸」，而是已經證明：在長方形、周長精確為 $28$ 公尺的條件下，面積不可能達到 $50$ 平方公尺。

也不能把「沒有整數答案」和「沒有實數答案」混為一談。若面積是 $47$ 平方公尺，就有：

所以：

它們不是整數，卻都是可行的實數邊長。因為 $0<\sqrt{2}<2$，兩個值都落在 $0$ 與 $14$ 之間。回查兩邊的乘積：

兩邊的和仍是 $14$，所以周長仍是 $28$ 公尺。

真正決定有沒有實數解的，不是答案是否漂亮，也不是能否迅速猜出整數，而是平方關係本身。

五、這不是幾個巧合，而是一個共同結構

前面的結果都可以放進同一個結構：

其中 $h$ 與 $k$ 是已經確定的實數，待求的仍只有 $x$。

當 $k>0$，$x-h$ 可以是 $\sqrt{k}$ 或 $-\sqrt{k}$，所以有兩個不同實數解：

當 $k=0$，只有 $x-h=0$，所以只有一個不同實數解 $x=h$。

當 $k<0$，實數的平方不可能等於負數，所以沒有實數解。

為什麼不可能還藏著第三個？

因為一個實數的平方若等於正數 $k$，它與零的距離就已被確定為 $\sqrt{k}$，剩下的只有正、負兩種可能。再加回固定的 $h$，不會生出第三個值。

而且，這不是只對上述幾個例子成立。真正的一元二次方程，整理後可以寫成：

這裡的 $a,b,c$ 是已知係數，不是另外三個未知數。本篇的國中入口以有理數係數為範圍，但待求的根在實數中討論；前面的 $7\pm \sqrt{2}$ 已經提醒我們：係數是有理數，不代表根也必須是有理數。

由於 $a\ne 0$，可以先兩邊同除以 $a$：

為了讓結構容易看清，把兩個已知數 $\frac{b}{a}$、$\frac{c}{a}$ 分別簡記為 $p$、$q$，便得到：

接下來仍然做同一件事：

為什麼這次補的是 ${\left(\frac{p}{2}\right)}^2$？

因為展開 ${(x+\frac{p}{2})}^2$ 時，中間的兩項合起來正好是：

這一步依靠分配律，不要求 $\frac{p}{2}$ 一定能當作正長度。因此，即使一次項係數是負數，也能用同樣的代數理由配方。

最後得到的，仍然是「某個量的平方等於一個已知數」。它對應前面的

從原式到這裡，只用了兩邊同除以已知非零數、同加或同減已知數，以及恆等式的改寫，每一步都能往回走。因此，對最後平方關係的完整分類，也就是對原二次方程的完整分類：在實數範圍內，它只有零個、一個或兩個不同解。

選讀補充：如果把已知係數放寬為任意實數，這段推理仍然成立；本篇例題仍維持有理數係數。

$a\ne 0$ 不是可省略的裝飾。假如一個等式寫著：

兩邊的 $x^2$ 消去後只剩 $x=3$，它就不是二次方程。分類要看整理後保留下來的關係，不能只看題面曾經出現過平方。

六、從算出尺寸，到判斷哪些要求能共存

知道兩解、一解與不可能，並不是現代人才開始注意的事。

花拉子米的原著英譯中，有一題用今天的符號可寫成：

他的程序相當於先算 $5^2-21=4$，再取平方根 $2$，然後指出 $5-2=3$ 與 $5+2=7$ 都可得到所求的根。原文也說明：在這一類問題裡，若半數平方小於所加的數，問題便不可能；若兩者相等，則只取半數本身。這已經包含對兩種答案、單一答案與不可能情形的區分。這裡的公式是現代改寫，不能反過來把它當成古人已使用現代符號、或已接受全部實數根觀念的證據。Wikisource

這種方法增加的能力，不只是在某題中算得更快。它能把不同數據放進同一類程序，並在計算中辨認條件是否可能成立。規則不必只是記住某次答案的口訣，也可以有可追問、可解釋的理由。

它後來的延續，也不只是一本古書被保存下來。Høyrup 指出，斐波那契、帕喬利與卡爾達諾等後來的代數作者，仍高度重視相關的幾何證明。這說明這類方法與論證持續成為後人接觸、使用和改造的知識；但不能把這些節點直接拼成一條從古巴比倫到現代、沒有中斷的單一傳承線。MPRL

而它與今天的連接，我們不必借助遙遠的高年級應用，眼前的展示區就已經足夠。

把剛才的式子改寫為：

我們看到的不只是「答案是 $5$ 或 $9$」。

在周長固定時，兩邊越接近 $7$ 公尺，面積越接近 $49$ 平方公尺。橫向邊從 $7$ 偏離 $2$ 公尺，另一邊就朝相反方向偏離 $2$ 公尺，面積少掉的恰是 $2^2=4$ 平方公尺；若偏離 $3$ 公尺，尺寸變成 $10\times 4$，面積少掉的就是 $3^2=9$ 平方公尺。

這不是另背一條設計常識，而是從同一個平方結構讀出來的結果。

因此，面對「周長不變，面積卻要增加到 $50$」的要求，你不需要無止境地試尺寸。你可以指出：至少必須修改周長要求，或改變長方形等原有條件，否則做不到。這是本文根據數學模型所作的現代連結，不是聲稱某個古代工程或特定軟體實際採用了這組數字。

同樣地，計算工具即使替你求出 $5$ 與 $-9$，你仍需知道變數代表什麼，才能判斷哪些根可以採用。求根回答的是等式，選擇可行答案還要處理長度、方向、指定角色與其他限制。

一個未知數可能有兩個答案，不是數學變得含糊，而是我們開始更完整地看待問題：一組條件可以容許多個值，也可以只容許一個，甚至一個都不容許。

配方所做的，是把這些可能性從看不清楚的算式裡整理出來。理解二次方程，於是也就是學會追問：哪些答案確實成立，為什麼沒有漏解，以及回到原來的世界後，它們還需符合哪些條件。