回課文。每題先自己做，需要時再依序展開提示。看過第 3 層以上提示才做出來的題目，算是練習，還不算獨立完成，之後要隔一段時間，不看提示，用原題重做一次。L5 會揭示完整答案。
記號說明：P(n) 表示含有 n 的命題；an 表示數列的第 n 項；「…」表示依規律省略的項；k 為正整數（除非題目另有說明）；連加不使用 Σ 記號。所有題目的情境與數字都是為了練習而設計的，不是真實資料，也不需要計算機。網頁不能批改整份手寫證明，所以題目請你填出關鍵答案，完整的證明請另外在紙上寫出來，再對照 L5。
數列 a1=1、an+1=an+2n+1（n 為正整數）。小安算出 a1=1、a2=4、a3=9，看出這三項依序是 1²、2²、3²，於是寫下：「所以對所有正整數 n，an=n²，證明完畢。」
下面哪一個是對小安這段論證最恰當的評語？只選一個。
作答格式：只寫甲、乙、丙或丁其中一個代號。
把命題的真假與這份論證的充分性分開考慮。
留意每個選項聲稱的適用範圍。
比較有限資料與全稱命題之間需要哪一種根據。
逐一檢查選項是否指出論證的缺口，而非另作無根據的判斷。
答案是（乙）。檢驗（丁）：a4=a3+2×3+1=9+7=16=4²，a5=16+9=25=5²，數值一路吻合，所以（丁）錯。可是吻合有限項不能代替證明，所以（甲）、（丙）也不對：即使 a100=10000=100² 吻合，也只是多檢查了一個 n。完整的證明還需要：基礎步 a1=1=1²（小安已算過）；歸納步：設 ak=k²，則 ak+1=ak+2k+1=k²+2k+1=(k+1)²；最後寫出結論「對所有正整數 n，an=n²」。
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：（錯法1）選（甲）或（丙）：以為「吻合夠多項就是證明」。課文的例子 an+1=an+n，前三項 1、2、4 都和 2n−1 吻合，但 a4=7，23=8，不吻合（正確為（乙））。 （錯法2）選（丁）：以為「沒被證明就是錯的」。實際算 a4=16=4²、a5=25=5²，都吻合；命題為真，只是小安還沒證明（正確為（乙））。
補救1：先看〔回課文：為什麼需要它〕：區分「觀察到的規律」和「證明過的結論」。重做時，在每個結論旁邊註明它是「觀察」還是「證明」。 補救2：先看〔回課文：不是證明的寫法〕的第一列。針對本題：先確認題目只給了三個 n，再問自己有沒有一段含字母 k 的推導。 回到原題時，須完整重寫證明的各個部分，不可只改最後一個數；看過第 3 層以上提示才做出來的題目，算是練習，還不算獨立完成，須隔一段時間不看提示以原題重做。
數列 a1=7、an+1=an+4。小綠想證明「an=4n+4 對所有正整數 n 成立」，她只寫出下面這段：
設 k 為任一正整數，且 ak=4k+4。則 ak+1=ak+4=(4k+4)+4=4k+8=4(k+1)+4，所以 P(k+1) 成立。
由數學歸納法，對所有正整數 n，an=4n+4。
請回答三件事：(1) 她的歸納步推導有沒有算錯？(2) a1 是多少？公式 4n+4 在 n=1 時是多少？(3) 命題「對所有正整數 n，an=4n+4」成立嗎？
作答格式：(1)只寫「有」或「沒有」；(2)先寫實際初值，再寫公式值，用逗號隔開，只寫數字；(3)只寫「成立」或「不成立」。
把待驗公式和已知數列分開看。
一個證明條件中的假設，不代表它已經成立。
檢查等號的代數依據，再檢查命題的起點。
將各小題的判斷依據分別記下，確認它們沒有互相代替。
(1) 沒有算錯：(4k+4)+4=4k+8，而 4(k+1)+4=4k+8，相等。(2) a1=7；公式 4×1+4=8。(3) 7≠8，基礎步失敗，所以命題不成立。再算 a2=11，而公式給 12，也不吻合。歸納步成立不能代替基礎步：這個數列實際上是 7、11、15、……，正確的一般項是 an=4n+3。
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：（錯法1）看到歸納步沒錯，就判斷命題成立（正確為不成立）。歸納步只說「若 P(k) 成立則 P(k+1) 成立」，並沒有保證有任何一個 n 讓 P(n) 成立；本題 a2=11≠12，a3=15≠16。 （錯法2）把 a1 當成 8（用公式的值代替題目給的 a1，正確為 7）。a1 是題目給定的，公式要和它比較，不是反過來。
補救1：先看〔回課文：基礎步〕的反例（和本題同型）。重做時，先在紙上寫出「基礎步：n=1 時，a1=__，公式給__」這一行，再決定要不要做歸納步。 回到原題時，須完整重寫證明的各個部分，不可只改最後一個數；看過第 3 層以上提示才做出來的題目，算是練習，還不算獨立完成，須隔一段時間不看提示以原題重做。
數列 a1=1、an+1=an+4，要用數學歸納法證明 P(n)：an=4n−3 對所有正整數 n 成立。下面是證明中的四句話：
(1) 哪一句是「歸納假設」？(2) 在歸納步中，哪一句是「要被推導出來的目標」？
作答格式：(1)(2)各寫甲～丁中的一個代號。
先分清證明中已知、暫設與待證的角色。
觀察各句的量詞與索引是否相同。
用每句在推理中扮演的角色，而非所在位置作判斷。
核對你的角色配對能否形成有根據的條件推導。
(1) 歸納假設是（乙）；(2) 目標是（丙）。（甲）是基礎步，（丁）是最後的結論，只有在基礎步和歸納步都完成後才能寫。
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：（錯法1）把（丁）當成歸納假設：（丁）說「對所有正整數 n 成立」，那是要證的結論；拿結論當假設是循環論證（正確為（乙））。 （錯法2）把（甲）當成歸納假設：（甲）是 n=1 的驗證，屬於基礎步，沒有用字母 k（正確為（乙））。
補救1：先看〔回課文：歸納步〕(a)(b) 兩點。重做時，分別用兩種記號標出「已知」與「要證」，再作答。 回到原題時，須完整重寫證明的各個部分，不可只改最後一個數；看過第 3 層以上提示才做出來的題目，算是練習，還不算獨立完成，須隔一段時間不看提示以原題重做。
數列 a1=4、an+1=an+3。算出 a1、a2、a3、a4 依序是 4、7、10、13，猜 an=3n+1，要用數學歸納法證明。下面六句是證明的六個部分，順序被打亂了。請依課文的標準寫法（先寫命題，再寫基礎步，接著歸納步，最後結論）排出正確順序，用（甲）～（己）的字母由前到後寫出。
作答格式：依題面指定的標準順序寫六個代號，代號連寫；順序為本題評量內容。
先辨認每一段在整份證明中的用途。
想想哪些句子必須等其他句子完成後才有根據。
用句子之間的依賴關係檢查排列。
確認排列符合題面要求的寫法，且每個使用的條件已被交代。
正確順序：丁丙己甲戊乙。即：命題 → 基礎步 → 歸納假設 → 用遞迴式與假設推導 → 整理成 3(k+1)+1 → 結論。
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：（錯法1）把結論排在「說明 P(k+1) 成立」之前，寫成 丁丙己甲乙戊（結論必須等基礎步和整個歸納步都完成才能下，正確為 丁丙己甲戊乙）。 （錯法2）把「用假設推導」排在「歸納假設」之前，寫成 丁丙甲己戊乙（還沒設 ak=3k+1，就先代入它，等於用了沒交代的條件，正確為 丁丙己甲戊乙）。
補救1：先看〔回課文：歸納步〕最後一段（順序的慣例）與〔回課文：三個完整示範〕示範一的格式。重做時，每一句旁邊先寫一個角色標籤再排序。 回到原題時，須完整重寫證明的各個部分，不可只改最後一個數；看過第 3 層以上提示才做出來的題目，算是練習，還不算獨立完成，須隔一段時間不看提示以原題重做。
數列 a1=5、an+1=an+2n（n 為正整數）。算出 a1、a2、a3、a4 依序是 5、7、11、17，猜 an=n²−n+5。
請在紙上寫出完整證明（基礎步、歸納假設、歸納步、結論）。核對用的關鍵式：歸納步中，把歸納假設代入遞迴式 ak+1=ak+2k 並化簡，得 ak+1=______（寫成 k 的多項式）。寫完後，再拿它和 P(k+1) 的右邊比對。
作答格式：關鍵空只寫右邊多項式，指數用 ^；完整證明另寫理由。
先釐清待證命題及可用的已知關係。
暫設的式子與遞迴各提供不同資訊。
建立下一項與目前項的關係，再檢查代數。
用另一種展開方式核對所得式子，並把它接回待證命題。
依題面作答格式，關鍵空只填右邊多項式：k^2+k+5。
基礎步：n=1 時，a1=5，而 1²−1+5=5，成立。歸納假設：設 k 為任一正整數，ak=k²−k+5。歸納步：ak+1=ak+2k=(k²−k+5)+2k=k²+k+5。另一方面，(k+1)²−(k+1)+5=k²+2k+1−k−1+5=k²+k+5，兩者相等，所以 P(k+1) 成立。結論：對所有正整數 n，an=n²−n+5。關鍵式答案：k²+k+5。
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：（錯法1）遞迴式用成 ak+1=ak+2(k+1)，得 ak+1=k²+k+7（正確為 k²+k+5）。遞迴式 an+1=an+2n 中，n 換成 k 才是 2k，不是 2(k+1)。對照 P(k+1) 的右邊 k²+k+5，兩邊不一致，就是警訊。 （錯法2）合併時漏掉 −k，寫成 ak+1=k²+2k+5（正確為 k²+k+5）：(−k)+2k=k，不是 2k。
補救1：先看〔回課文：歸納步〕(c)。重做時：先單獨寫一行「n 換成 k 後的遞迴式」，再代入假設，最後和 P(k+1) 右邊逐項核對。 回到原題時，須完整重寫證明的各個部分，不可只改最後一個數；看過第 3 層以上提示才做出來的題目，算是練習，還不算獨立完成，須隔一段時間不看提示以原題重做。
數列 a1=1、an+1=2an+1。要證明 an=2n−1。下面是一份證明，編號（1）～（5）：
（1）基礎步：n=1 時，a1=1=21−1，所以 P(1) 成立。
（2）歸納假設：設 k 為任一正整數，且 ak=2k−1。
（3）ak+1=2ak+1=2(2k−1)+1。
（4）=2k+1−2+1=2k+1−1，所以 P(k+1) 成立。
（5）由數學歸納法，對所有正整數 n，an=2n−1。
(a) 哪一行是把歸納假設代入遞迴式？(b) 當 k=4 時，第（3）行的式子 2(2k−1)+1 的值是多少？（這個值就是 a5。）
作答格式：(a)只寫行號數字；(b)只寫數字。
區分陳述一項假設與實際使用它。
觀察等號前後哪一個量被另一個式子取代。
核對所求數值對應的項次。
計算完成後，可從初值重新遞推，作為不同路徑的檢查。
(a) 第（3）行：它把 ak 換成 2k−1。第（2）行只是在陳述假設，還沒有用它。(b) k=4：2(24−1)+1=2×15+1=31，也就是 a5=31；用遞迴式驗算：a1=1，a2=3，a3=7，a4=15，a5=2×15+1=31，一致；公式 25−1=31 也一致。
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：（錯法1）(a) 選第（2）行：第（2）行只是假設本身，不是用假設去計算的那一行（正確為第（3）行）。 （錯法2）(b) 把 k=4 的假設值 15 當成答案（15=a4，正確為 31=a5）：第（3）行的式子是 2×15+1，要再做一次運算。
補救1：先看〔回課文：歸納步〕自查辦法與〔回課文：三個完整示範〕示範一、三中標出「這一步用了歸納假設」的位置。重做時，用筆圈出每一行中被代入的那個 ak。 回到原題時，須完整重寫證明的各個部分，不可只改最後一個數；看過第 3 層以上提示才做出來的題目，算是練習，還不算獨立完成，須隔一段時間不看提示以原題重做。
命題 P(n)：1²+2²+…+n² = n(n+1)(2n+1)/6（n 為正整數）。基礎步已完成：n=1 時，左邊 =1，右邊 =1×2×3/6=1。
在歸納步中，設 1²+2²+…+k² = k(k+1)(2k+1)/6，則 1²+2²+…+k²+(k+1)² = k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)² = (k+1)·( k(2k+1)+6(k+1) )/6。
請填：括號內 k(2k+1)+6(k+1) 展開化簡後等於 ______；並把它因式分解成兩個一次式的乘積：______。（接著你可以在紙上完成後面的步驟與結論。）
作答格式：展開式、因式乘積分兩欄，僅寫右邊；指數用 ^，因式順序不計；後續證明另寫理由。
留意前一段和式與新增項如何相接。
展開時逐項保留乘積的來源。
因式分解後，用展開核對等值性。
確認每一個要求的式子都和它所表示的量一致。
依題面作答格式，展開式欄填 2k^2+7k+6；因式乘積欄填 (k+2)(2k+3)（兩欄各只寫右邊）。
k(2k+1)+6(k+1)=2k²+k+6k+6=2k²+7k+6=(k+2)(2k+3)。驗算：(k+2)(2k+3)=2k²+3k+4k+6=2k²+7k+6。於是左邊 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6，而 P(k+1) 的右邊是 (k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6，兩者相等，所以 P(k+1) 成立。
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：（錯法1）括號內漏掉 6(k+1) 的常數 6，寫成 k(2k+1)+6k=2k²+7k（正確為 2k²+7k+6）。因為 6(k+1)=6k+6，兩項都要保留。 （錯法2）因式分解錯寫成 (k+3)(2k+3)（展開是 2k²+9k+9，不等於 2k²+7k+6；正確為 (k+2)(2k+3)）。展開檢驗就能發現。
補救1：先看〔回課文：三個完整示範〕示範二的拆項方式，再回到本題。重做時，每次因式分解後都展開檢驗一次。 回到原題時，須完整重寫證明的各個部分，不可只改最後一個數；看過第 3 層以上提示才做出來的題目，算是練習，還不算獨立完成，須隔一段時間不看提示以原題重做。
下面六句是立方和公式的歸納法證明，順序被打亂了。請依標準寫法（命題、基礎步、歸納步、結論）排出正確順序，用（甲）～（己）的字母由前到後寫出。
作答格式：依題面指定的標準順序寫六個代號，代號連寫；順序為本題評量內容。
先替每句辨識它在證明中的用途。
想想每一個推導需要哪些先前條件。
以依賴關係檢查順序，不以句子長短判斷。
確認題面要求的標準寫法，以及最後結論所依據的條件。
正確順序：乙戊丁己甲丙。驗算整理那一步：[k(k+1)/2]²+(k+1)³=(k+1)²[k²/4+(k+1)]=(k+1)²(k²+4k+4)/4=[(k+1)(k+2)/2]²。
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：（錯法1）把「歸納假設」排在「兩邊同加」之後，寫成 乙戊己丁甲丙（加項那一句要用到假設裡的式子，必須先設，正確為 乙戊丁己甲丙）。 （錯法2）把「結論」排在「整理出 P(k+1)」之前，寫成 乙戊丁己丙甲（結論必須等歸納步完成、確認 P(k+1) 成立之後才能下，正確為 乙戊丁己甲丙）。
補救1：先看〔回課文：歸納步〕，重做時，先為六句貼上角色標籤，再排序。 回到原題時，須完整重寫證明的各個部分，不可只改最後一個數；看過第 3 層以上提示才做出來的題目，算是練習，還不算獨立完成，須隔一段時間不看提示以原題重做。
命題 P(n)：2+4+6+…+2n = n(n+1)（n 為正整數）。
(1) 下列哪一個等式是 P(k+1)？(2) 取 k=6，你選的等式左邊與右邊各是多少？
作答格式：(1)只寫甲～戊中的一個代號；(2)先寫左邊值、再寫右邊值，用逗號隔開，只寫數字。
命題中的索引決定了等式兩側所表示的量。
逐處核對索引的變化是否一致。
檢查選項時，要同時看等式的兩端。
作出選擇後，再分別求兩側數值，核對是否相等。
(1) 答案是（丙）。(2) k=6：左邊 2+4+…+12+14=56，右邊 (6+1)(6+2)=7×8=56，相等。檢驗其他選項：（甲）左邊 42、右邊 56；（乙）左邊 42+13=55、右邊 43；（丁）左邊 56、右邊 43；（戊）左邊 56、右邊 48，都不相等，所以都不是 P(7)。
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：（錯法1）選（甲）：把 P(k) 的左邊配上 P(k+1) 的右邊（k=6 時左邊 42，右邊 56，兩邊不等；正確為（丙））。左邊也要多一項。 （錯法2）選（丁）或（戊）：左邊對了，右邊沒有把 n 整個換成 k+1（k=6 時，（丁）右邊 43，（戊）右邊 48，都不是 56；正確為（丙））。n(n+1) 要換成 (k+1)((k+1)+1)。
補救1：先看〔回課文：三個部分〕的第一段與〔回課文：歸納步〕(b)。重做時，先用 k=1 檢查自己寫的 P(k+1) 是不是 P(2)。 回到原題時，須完整重寫證明的各個部分，不可只改最後一個數；看過第 3 層以上提示才做出來的題目，算是練習，還不算獨立完成，須隔一段時間不看提示以原題重做。
數列 a1=2、an+1=an+6，要證 an=6n−4。小丘寫了下面的證明：
基礎步：n=1 時，a1=2=6×1−4，成立。
歸納步：設 k 為任一正整數，且 ak=6k−4。要證 ak+1=6(k+1)−4。把 n=k+1 代入公式，得 ak+1=6(k+1)−4=6k+2，所以 P(k+1) 成立。
結論：對所有正整數 n，an=6n−4。
(1) 小丘的歸納步缺了什麼？只選一個。
(2) 缺的那一行應該寫成 ak+1=ak+6=(______)+6。括號裡該填什麼？
作答格式：(1)只寫甲～丁的一個代號；(2)只寫括號內的多項式，指數用 ^。
先檢查每個等號所用的根據。
待證的式子與已經可用的條件有不同地位。
把推導中的引用來源逐一標出。
核對補入的內容是否有題面已知或暫設條件支持。
(1) 答案是（丁）。檢查其他選項：基礎步 2=6×1−4 沒錯；6(k+1)−4=6k+6−4=6k+2 沒錯；歸納假設「設 ak=6k−4」寫法也沒問題。問題在於整個推導完全沒用到 ak 和遞迴式。(2) 括號內填 6k−4（歸納假設）：ak+1=ak+6=(6k−4)+6=6k+2=6(k+1)−4。
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：（錯法1）選（乙）：6(k+1)−4=6k+6−4=6k+2，沒有算錯（正確為（丁））。 （錯法2）選（甲）：歸納假設寫得合格（只假設一個 k）；問題在於後面沒有使用它（正確為（丁））。
補救1：先看〔回課文：歸納步〕自查辦法與〔回課文：不是證明的寫法〕第五列。重做時，在推導中用筆圈出「ak 被換成了什麼」，圈不出來就是沒用到假設。 回到原題時，須完整重寫證明的各個部分，不可只改最後一個數；看過第 3 層以上提示才做出來的題目，算是練習，還不算獨立完成，須隔一段時間不看提示以原題重做。
數列 a1=9、a2=3，且當 n≥2 時 an+1=an+4。小翔猜 an=4n−5，並寫了下面的證明：
基礎步：n=2 時，a2=3=4×2−5，成立。
歸納步：設 k 為任一整數 k≥2，且 ak=4k−5。則 ak+1=ak+4=(4k−5)+4=4k−1=4(k+1)−5，所以 P(k+1) 成立。
結論：所以對所有正整數 n，an=4n−5。
小翔的基礎步與歸納步都沒有算錯。請回答：(1) 這份證明實際能保證的結論範圍是什麼？(2) 他最後一句寫的範圍哪裡過大？請算出 n=1 時公式 4n−5 的值，並和 a1 比較。
作答格式：(1)用 n≥起點 的不等式表示索引範圍；(2)先寫公式值，再寫實際初值，用逗號隔開，只寫數字；比較只寫「相等」或「不相等」，範圍過大的理由另寫。
注意命題談到的索引範圍。
起點及條件推導各能提供什麼保證？
將實際給定值與待驗公式值分別處理。
用未被推導涵蓋的索引，檢查結論是否說得過大。
(1) 這份證明從 n=2 啟動，歸納步要求 k≥2，所以只能保證「對所有整數 n≥2，an=4n−5」（例如 a3=7，a4=11，都吻合）。(2) 最後一句寫「所有正整數 n」，過大了：n=1 時，公式給 4×1−5=−1，而 a1=9，不相等，所以 n=1 並不成立。
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：（錯法1）認為結論沒問題，因為公式對 n=2、3、4 都對（正確為只能保證 n≥2）。檢查有限幾項不能決定範圍，要看證明的起點與歸納步的 k 範圍。 （錯法2）以為只要在基礎步再補上 n=1 的檢查，「所有正整數 n」就成立了（n=1 時公式給 −1，a1=9，不吻合，補不了；正確的結論是 n≥2）。
補救1：先看〔回課文：結論的範圍〕與〔回課文：起點不一定是 1〕。重做時，先把「基礎步的 n」「歸納步的 k 範圍」「結論的 n 範圍」三個範圍並排寫出，看是否一致。 回到原題時，須完整重寫證明的各個部分，不可只改最後一個數；看過第 3 層以上提示才做出來的題目，算是練習，還不算獨立完成，須隔一段時間不看提示以原題重做。
數列 a1=2、an+1=an+2n+2，小玫猜 an=n²+n（前幾項：2、6、12、20）。她寫了下面的證明：
基礎步：n=1 時，a1=2=1²+1，成立。
歸納步：k=1：a2=a1+4=6=2²+2，成立。k=2：a3=a2+6=12=3²+3，成立。k=3：a4=a3+8=20=4²+4，成立。
結論：所以對所有正整數 n，an=n²+n。
(1) 小玫的歸納步缺了什麼？只選一個。
(2) 補上一般的歸納步：設 ak=k²+k，則 ak+1=ak+2k+2=(k²+k)+(2k+2)=______（化簡成 k 的多項式），並說明它為什麼等於 (k+1)²+(k+1)。
作答格式：(1)只寫甲～丁的一個代號；(2)只寫右邊多項式，指數用 ^；相等依據另寫理由。
檢查論證中的量詞是否支持最後的結論。
具體試算與含任意索引的推導，各自能說明什麼？
核對所補等號是否有已知條件支持。
把代數核對與證明範圍核對分開完成。
依題面作答格式，(2)只寫右邊多項式：k^2+3k+2。
(1) 答案是（乙）：她只驗證了三個特定的 k，沒有對任意的 k 推導。基礎步有寫（甲錯）；a5=a4+2×4+2=30=5²+5，公式沒有錯（丙錯，但公式沒錯不代表她證明了）；起點是 1，結論範圍是 n≥1，沒有問題（丁錯）。(2) ak+1=(k²+k)+(2k+2)=k²+3k+2=(k+1)(k+2)；而 (k+1)²+(k+1)=k²+2k+1+k+1=k²+3k+2，兩者相等，所以 P(k+1) 成立。
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：（錯法1）選（丙）：公式沒有錯（a5=30=5²+5），但不是因為「它是對的」，證明就算完成；問題出在證明缺了任意 k 的推導（正確為（乙））。 （錯法2）化簡時寫成 k²+2k+2（把 k+2k 誤算成 2k；正確為 k²+3k+2）。
補救1：先看〔回課文：不是證明的寫法〕第一、三列。重做時，歸納步一律用「k」這個字母做代數，不要把具體數字代進去。 回到原題時，須完整重寫證明的各個部分，不可只改最後一個數；看過第 3 層以上提示才做出來的題目，算是練習，還不算獨立完成，須隔一段時間不看提示以原題重做。
數列 a1=3、an+1=2an，要證 an=3×2n−1。小亮寫了下面的證明：
基礎步：n=1 時，a1=3=3×20，成立。
歸納步：假設對所有正整數 n，an=3×2n−1 都成立。那麼 ak+1=2ak=2×3×2k−1=3×2k，所以對 k+1 也成立。
結論：所以對所有正整數 n，an=3×2n−1。
(1) 小亮的歸納步錯在哪？只選一個。
(2) 取 k=4：P(4) 說 a4=？，P(5) 說 a5=？
作答格式：(1)只寫甲～丁的一個代號；(2)先寫 a4、再寫 a5 的值，用逗號隔開，只寫數字。
檢查暫設的範圍是否等於要證的結論。
一份推導應說明它引用的前提。
分別核對論證的有效性及式子的計算。
數值計算後，以遞迴路徑核對項次與結果。
(1) 答案是（甲）。基礎步 3×20=3 沒錯；遞迴式 an+1=2an 與題目一致；2×3×2k−1=3×2×2k−1=3×2k 也沒錯。問題在於假設了「對所有 n」。正確寫法：「設 k 為某個正整數，且 ak=3×2k−1」。(2) k=4：假設是 a4=3×23=24，目標是 a5=3×24=48；用遞迴式驗算：3、6、12、24、48。
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：（錯法1）選（丁）：2×3×2k−1=3×2k，沒有算錯（正確為（甲））。 （錯法2）(2) 把 a4 與 a5 的值答成 12 與 24（那是 a3 與 a4；正確為 24 與 48）：n 換成 4 時，指數是 4−1=3，不是 2。
補救1：先看〔回課文：歸納步〕(a)與〔回課文：不是證明的寫法〕第四列。重做時，把歸納假設寫成固定句型：「設 k 為某個正整數，且 P(k) 成立」。 回到原題時，須完整重寫證明的各個部分，不可只改最後一個數；看過第 3 層以上提示才做出來的題目，算是練習，還不算獨立完成，須隔一段時間不看提示以原題重做。
數列 a1=5、an+1=an+8，要證 an=8n−3。小彤寫了下面的證明：
基礎步：n=1 時，a1=5=8×1−3，成立。
歸納步：設 k 為任一正整數，且 ak+1=8(k+1)−3=8k+5。由遞迴式，ak=ak+1−8=8k−3，所以 P(k) 成立。
結論：所以對所有正整數 n，an=8n−3。
(1) 小彤的歸納步錯在哪？只選一個。
(2) 取 k=6：已知 a6=45（也可由 8×6−3 得到），請用遞迴式算出 a7。
作答格式：(1)只寫甲～丁的一個代號；(2)只寫數字。
檢查條件句的前提與結論各是什麼。
從已知起點出發，這個條件句能否繼續傳遞？
區分代數等值與證明方向是否足夠。
求項值時，核對所用關係連接的是哪兩個項次。
(1) 答案是（丙）。基礎步 5=8×1−3 沒錯；遞迴式與題目一致；8(k+1)−3=8k+8−3=8k+5 也沒錯。小彤的推導是「從 P(k+1) 推到 P(k)」，手上有 P(1)，加上反向的條件句「P(k+1) 成立則 P(k) 成立」（例如 P(2) 成立則 P(1) 成立），但這個條件句是從較大的 n 往回說，無法推出 P(2) 成立。(2) 正確方向：a7=a6+8=45+8=53，也就是 8×7−3=53，與 8k+5（k=6）一致。
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：（錯法1）選（丁）：8(k+1)−3=8k+5 沒有算錯（正確為（丙））。 （錯法2）(2) 答成 37（把 a6 減 8 得 a5=37；方向反了，正確為 a6+8=53）。
補救1：先看〔回課文：不是證明的寫法〕最後一列。重做時，在歸納步第一行先寫「已知：P(k)；要證：P(k+1)」，再開始推導。 回到原題時，須完整重寫證明的各個部分，不可只改最後一個數；看過第 3 層以上提示才做出來的題目，算是練習，還不算獨立完成，須隔一段時間不看提示以原題重做。
數列 a1=1、an+1=an+6n+1，小昀猜 an=3n²−2n（前幾項：1、8、21、40）。他寫歸納步的開頭：「設 ak=3k²−2k，要證 ak+1=3k²−2k+1。」
(1) 他寫的 P(k+1) 對嗎？取 k=1，他寫的式子說 a2=？，而由遞迴式 a2=？ (2) 正確的 P(k+1) 右邊，展開成 k 的多項式是多少？
作答格式：(1)判斷只寫「對」或「不對」，接著先寫錯式值、再寫遞迴值，用逗號隔開，只寫數字；(2)只寫右邊展開多項式，指數用 ^。
命題的索引決定式子中的每個位置。
用一致的替換檢查候選目標。
分別由候選式與遞迴計算，避免混用兩種來源。
展開後逆向核對各項，並確認它對應下一索引。
依題面作答格式，(2)只寫右邊展開多項式：3k^2+4k+1。
(1) 不對。他的式子在 k=1 時給 a2=3−2+1=2，而遞迴式給 a2=1+6+1=8，兩者不等。他是把 3k²−2k 再加 1，並沒有把 n 換成 k+1。(2) 正確的右邊 =3(k+1)²−2(k+1)=3k²+6k+3−2k−2=3k²+4k+1。再驗算：ak+1=ak+6k+1=3k²−2k+6k+1=3k²+4k+1，與 P(k+1) 的右邊一致。
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：（錯法1）(2) 展開時漏掉中間項，寫成 3(k²+1)−2(k+1)=3k²−2k+1（那是小昀的錯式子；正確為 3k²+4k+1）：(k+1)²=k²+2k+1，不是 k²+1。 （錯法2）(2) 只把第一個 n 換成 k+1，寫成 3(k+1)²−2k=3k²+4k+3（正確為 3k²+4k+1）：第二項 −2n 的 n 也要換成 k+1。
補救1：先看〔回課文：歸納步〕(b)。重做時，換字母時整個式子逐項檢查：每個 n 都有被換掉嗎？再用 k=1 驗證得到的是不是 P(2)。 回到原題時，須完整重寫證明的各個部分，不可只改最後一個數；看過第 3 層以上提示才做出來的題目，算是練習，還不算獨立完成，須隔一段時間不看提示以原題重做。
（教學情境）有一列圖形，第 n 個圖形的點數記為 bn。第 1 個圖形有 1 個點，從第 n 個圖形到第 n+1 個圖形，要添加 3n+1 個點，所以 b1=1，bn+1=bn+3n+1。前幾個圖形的點數是 1、5、12、22，猜 bn=n(3n−1)/2。
請在紙上寫出完整證明。核對用的關鍵式：歸納步中，把歸納假設代入後，bk+1=k(3k−1)/2+(3k+1)。通分合併後，分子化簡成 ______，並因式分解成 (k+1)(______)，於是 bk+1=(k+1)(______)/2。
作答格式：依原來三個空的位置各填多項式，指數用 ^；完整證明另寫理由。
把點數情境中的已知關係與待證規律分開。
分數合併須維持每一項的等值。
展開與分解可以互相核對。
將各空的結果接回原式，檢查是否一致，最後核對證明範圍。
依題面作答格式，三空依序填：第一空 3k^2+5k+2；第二空 3k+2；第三空 3k+2。
分子：k(3k−1)+2(3k+1)=3k²−k+6k+2=3k²+5k+2=(k+1)(3k+2)。所以 bk+1=(k+1)(3k+2)/2。而 P(k+1) 的右邊是 (k+1)(3(k+1)−1)/2=(k+1)(3k+2)/2，一致。基礎步：b1=1·(3−1)/2=1，成立。結論：對所有正整數 n，bn=n(3n−1)/2。
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：（錯法1）分子少了一個 2：寫成 k(3k−1)+(3k+1)=3k²+2k+1（正確為 3k²+5k+2）。因為 k(3k−1)/2 的分母是 2，另一項 3k+1 要乘 2 才有相同分母。 （錯法2）因式分解寫成 (k+1)(3k+1)（展開是 3k²+4k+1，不是 3k²+5k+2；正確為 (k+1)(3k+2)）。
補救1：先看〔回課文：三個完整示範〕的三個示範，再回到本題；把情境裡的文字轉成遞迴式 bn+1=bn+3n+1 之後，做法就和示範一（遞迴數列，加法型）一樣。重做時，因式分解後展開檢查。 回到原題時，須完整重寫證明的各個部分，不可只改最後一個數；看過第 3 層以上提示才做出來的題目，算是練習，還不算獨立完成，須隔一段時間不看提示以原題重做。
數列 a1=6、an+1=an+3，要證 an=3n+3。五位同學各寫了一份證明的大意：
哪些是「完整的證明」？（可能不只一個；寫出所有的字母。）
作答格式：所有入選代號用頓號隔開；集合不計順序。
完整性要從論證根據與涵蓋範圍判斷。
逐份檢查哪些條件被實際用於推導。
不要把寫作慣例與邏輯上必需的條件混為一談。
對每一份論證使用相同的核對標準。
依題面作答格式，入選代號用頓號隔開：甲、戊。
答案：（甲）和（戊）。(乙) 只檢查了前十項（有限項），沒有含字母 k 的推導。(丙) 沒有基礎步。(丁) 把 n=k+1 代入公式就宣布成立，沒有用到 ak=3k+3 與遞迴式，循環。(戊) 先寫歸納步、再寫基礎步，順序不合慣例，但三個部分都完整且正確，所以仍是完整證明。
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：（錯法1）只選（甲）：漏掉（戊）。（戊）雖然順序顛倒，但基礎步、歸納步、結論都有，邏輯上完整；順序只是慣例（正確為（甲）和（戊））。 （錯法2）把（乙）或（丁）也選進去：（乙）是有限項檢查；（丁）的歸納步沒用到假設，只是把目標重寫一遍（正確為只有（甲）和（戊））。
補救1：先看〔回課文：不是證明的寫法〕的六列表格，並用〔回課文：常見錯誤與自我檢查〕逐項自查。重做時，對每份大意畫一張勾選表：基礎步／假設／用到假設／範圍。 回到原題時，須完整重寫證明的各個部分，不可只改最後一個數；看過第 3 層以上提示才做出來的題目，算是練習，還不算獨立完成，須隔一段時間不看提示以原題重做。
P(n) 是關於整數 n 的命題。已知：(i) P(5) 成立；(ii) 對每一個整數 k≥5，若 P(k) 成立，則 P(k+1) 成立。
下列哪些結論「一定」成立？（可能不只一個；寫出所有的字母。）
作答格式：所有入選大寫代號用頓號隔開；集合不計順序。
將已知條件的適用範圍讀清楚。
思考條件句可以從哪些已知命題開始使用。
對每個選項，找出支持它所需的推導或缺少的資訊。
不要把沒有被談到的索引自行納入結論。
答案：（A）、（B）、（E）。(i) 是基礎步，(ii) 是歸納步，起點 5。由 (i)、(ii)（k=5）得 P(6)；再由 k=6 得 P(7)；一路到 P(100)，所以（A）、（E）成立；整個範圍就是（B）。（C）P(4)：(ii) 只談 k≥5，k+1≥6，沒有任何條件談到 4，無法得知；（D）包含 P(1) 到 P(4)，同理無法得知。
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：（錯法1）選（D）：誤以為歸納法總是涵蓋所有正整數（正確為只涵蓋 n≥5）。起點是 5，範圍就從 5 起算；比 5 小的 n 沒有被談到。 （錯法2）只選（A）和（E）而漏掉（B）：（B）是兩個條件合起來的標準結論，範圍與起點 5 一致，一定成立（正確為（A）、（B）、（E））。
補救1：先看〔回課文：結論的範圍〕與〔回課文：起點不一定是 1〕。重做時，在數線上標出 5，並用箭頭畫出「往右傳」的範圍。 回到原題時，須完整重寫證明的各個部分，不可只改最後一個數；看過第 3 層以上提示才做出來的題目，算是練習，還不算獨立完成，須隔一段時間不看提示以原題重做。