練習

「同時」表示一位同學要滿足幾個條件？先想這個，再動手寫集合。

選一份名冊，一位一位問：這位同學有沒有也出現在另一份名冊？

A∩B 只收「在 A，而且也在 B」的同學；只出現在一份名冊的同學不收。

逐一檢查 A 名冊的 5 位同學，其中有 2 位也在 B 名冊。把這幾位寫成集合就是答案。

走過 A 的每位：怡君不在 B；承翰不在 B；雅婷在 B；冠宇不在 B；佳穎在 B。只留「在」的，A∩B={雅婷, 佳穎}。回查：反過來走 B 的同學，只有 雅婷、佳穎 在 A 裡，結果相同。

下面是這一題可能發生的錯誤寫法（為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：

• 寫成 {怡君, 承翰, 雅婷, 冠宇, 佳穎, 俊宏, 詩涵}：這是把兩份名冊全部合在一起，得到的是「至少參加一社」的同學，不是「同時參加」。（正確答案不是這個集合）
• 只寫 {怡君, 承翰, 雅婷, 冠宇, 佳穎}：這是整份 A 名冊，沒有拿 B 名冊來檢查。（正確答案不是這個集合）

補救：重做時先在每位同學旁邊寫「A 有、B 有」兩欄打勾，兩欄都打勾才留下。回到上面課文的位置再讀一次，再蓋住提示，回到這一題原式重寫。

對於班上任何一位同學，A∩B 要求他在 A 裡面、也在 B 裡面，一共幾個條件？

逐句想：這句話要求同學一定要「同時」符合籃球隊與合唱團嗎？有沒有哪句只要符合一個，或排除了合唱團？

把每一句拆成對 A 與對 B 的要求：兩個條件都一定要成立才是交集；若放寬成只要一個，或要求「不在」其中一個，就是別的運算。

把五句各改寫成「對 A 的要求」與「對 B 的要求」並列成表。例如句 (3)：對 A 不一定要在，對 B 也不一定要在。請完成其餘四句，再挑出兩欄都「一定要在」的句子。

逐句改寫成「x∈A 且 x∈B」：能改寫的才是交集。(1)(2)(4) 都能改寫成「x 是籃球隊員，且 x 是合唱團團員」；(3) 是「至少一個」，不是交集；(5) 是「在 A 但不在 B」，也不是交集。答案：(1)(2)(4)。

下面是這一題可能發生的錯誤寫法（為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：

• 選 (1)(2)(3)(4)：把「只要其中一個」當成同時，沒有檢查是否兩個條件都要成立。（正確答案不是這一組）
• 選 (1)(2)(4)(5)：句 (5) 排除了合唱團，不能同時屬於 B。（正確答案不是這一組）

補救：重做時把每一句都改寫成「x∈A 且 x∈B」，改不出來的就不是。回到上面課文的位置再讀一次，再蓋住提示，回到這一題原式重寫。

n(A∩B) 是哪一個集合的元素個數？要先知道那個集合裡有誰。

先找出 A∩B 的成員，再數個數；不要拿 n(A) 與 n(B) 直接做運算。

逐一檢查 A 的每位，是否也在 B；通過的人數就是 n(A∩B)。

A 名冊前 4 位（子謙、品妍、庭瑋、宗翰）中有 3 位也在 B；後 4 位還要你自己檢查。最後把兩段通過的人加起來。

A 的 8 位逐一檢查：子謙在 B；品妍在 B；庭瑋不在 B；宗翰在 B；柏諺不在 B；語彤不在 B；家豪在 B；心怡不在 B。A∩B={子謙, 品妍, 宗翰, 家豪}，n(A∩B)=4。回查：4 沒有超過 n(A)=8 與 n(B)=7。

下面是這一題可能發生的錯誤寫法（為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：

• 算成 8+7=15：把兩份名冊的人數相加，會重複算到同時參加的人，也不是交集。（正確答案不是這個數）
• 只數 B 名冊的 7 人：沒有拿 A 名冊檢查。（正確答案不是這個數）

補救：先寫出 A∩B 的成員，再數；不要用兩份名冊的人數直接加減。回到上面課文的位置再讀一次，再蓋住提示，回到這一題原式重寫。

這一題有兩份名冊，你打算以哪一份為基準，一位一位檢查？

把基準名冊的每位同學，拿去另一份名冊比對；比對完整份，不要停在第一個。

「在 A 又在 B」才留下；寫答案時用大括號。

以 A 的順序檢查：前 3 位（冠宇、詩涵、宗翰）中有 2 位在 B；後 3 位也要檢查。

走過 A 的每位：冠宇在 B；詩涵不在 B；宗翰在 B；庭瑋不在 B；心怡在 B；柏諺不在 B。A∩B={冠宇, 宗翰, 心怡}。回查：走 B 名冊，也只有這 3 位在 A 裡。

下面是這一題可能發生的錯誤寫法（為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：

• 寫成 {冠宇, 宗翰}：找到前面的共同成員就停下，後面的漏掉了。（正確答案不是這個集合）
• 寫成 {冠宇, 詩涵, 宗翰, 庭瑋, 心怡, 柏諺, 語彤, 子謙, 家豪}：把兩份名冊全部併在一起，不是「同時」。（正確答案不是這個集合）

補救：重做時以 A 名冊的每位同學為準，逐一打勾，最後再回頭用 B 名冊反查一遍。回到上面課文的位置再讀一次，再蓋住提示，回到這一題原式重寫。

描述法的集合，先想辦法把它變成能一個一個看的名單。

先把 A 在 1 到 20 之間列舉出來，再看每個元素是否符合 B 的條件。

A∩B 要同時是 4 的倍數，而且大於 10；從 A 的元素中挑出符合 B 條件的。

A={4, 8, 12, 16, 20}。接下來逐一問：這個座號大於 10 嗎？通過的就是 A∩B 的成員。

A={4, 8, 12, 16, 20}；其中大於 10 的是 12、16、20，所以 A∩B={12, 16, 20}。回查：這三個座號都是 4 的倍數，也都大於 10。

下面是這一題可能發生的錯誤寫法（為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：

• 寫成 {4, 8, 12, 16, 20}：只用了 A 的條件，沒有再檢查 B 的條件。（正確答案不是這個集合）
• 寫成 {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}：只用了 B 的條件，沒有再檢查是不是 4 的倍數。（正確答案不是這個集合）

補救：重做時先列舉 A，再把 B 的條件寫在每個元素旁邊打勾。回到上面課文的位置再讀一次，再蓋住提示，回到這一題原式重寫。

表格是按人列的，而 A、B 是按活動分的；第一步是什麼？

先把 A（擺攤）與 B（表演）各自列成名單，再比較。

同時報名兩項的同學，就是「報名項目欄裡有擺攤，也有表演」的同學，沒有報名的人不屬於 A，也不屬於 B。

A={怡君, 承翰, 冠宇, 詩涵, 宗翰}，B={怡君, 雅婷, 冠宇, 俊宏, 詩涵}。接下來逐一檢查 A 的每位是否也在 B。

A 的 5 位逐一檢查：怡君在 B；承翰不在 B；冠宇在 B；詩涵在 B；宗翰不在 B。A∩B={怡君, 冠宇, 詩涵}。回查：表中「擺攤、表演」兩項都有的正好是這 3 位。

下面是這一題可能發生的錯誤寫法（為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：

• 寫成 {怡君, 承翰, 冠宇, 詩涵, 宗翰, 雅婷, 俊宏}：這是只要報名其中一項就算，不是「同時」。（正確答案不是這個集合）
• 把「沒有參加」的佳穎也放進去：佳穎兩項都沒報名，不屬於 A，也不屬於 B。

補救：重做時先把表格拆成兩份名單 A、B，再做交集。回到上面課文的位置再讀一次，再蓋住提示，回到這一題原式重寫。

小安的集合裡有幾位同學？這些人是不是都符合「在 A 且在 B」？

把他寫的每位同學，各自拿去對照 A 與 B，看有沒有人只出現在一份名冊。

真正的交集裡，每位同學都要通過兩道關卡：在 A，也在 B。檢查他的集合裡，有沒有人只通過一道。

先找出他的集合裡「只在一份名冊」的同學，把他們去掉，再確認剩下的人是不是兩份名冊都在。

錯在：他把兩份名冊的所有同學都收進來，等於做了「至少參加一個」，並不是「同時」。{子謙, 品妍, 庭瑋, 宗翰, 柏諺} 裡，子謙、庭瑋只在 A，柏諺只在 B，都不屬於 A∩B。正確寫法：A∩B={品妍, 宗翰}。回查：品妍與宗翰在兩份名冊都找得到。

下面是這一題可能發生的錯誤寫法（為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：

• 只刪掉其中一邊的人，寫成 {品妍, 宗翰, 柏諺}：柏諺只在 B，不屬於 A。（正確答案不含柏諺）
• 只寫 {品妍}：找到一位就停下，漏掉其他共同成員。（正確答案不只一位）

補救：重做時把他的集合裡每位同學，用 A 欄、B 欄各打勾一次，兩欄都有才保留。回到上面課文的位置再讀一次，再蓋住提示，回到這一題原式重寫。

小潔檢查完 B 名冊的每一位了嗎？

她的做法在哪一步就停了？照著做，把 B 名冊其餘的人都問一次。

求交集要走過其中一份名冊的每個元素，不能找到第一個就收工。

B 名冊除了語彤，還有 4 位同學，一一檢查他們是否在 A 名冊。

錯在：她只檢查了 B 的第一位就下結論。把 B 的每位都檢查：語彤在 A；子謙不在 A；柏諺在 A；庭瑋不在 A；俊宏不在 A。正確寫法：A∩B={柏諺, 語彤}，n(A∩B)=2。

下面是這一題可能發生的錯誤寫法（為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：

• 把 B 名冊其他人都放進去，寫成 {語彤, 子謙, 柏諺, 庭瑋, 俊宏}：忘了每一位都要在 A 裡。（正確答案不是這個集合）
• 寫成 {語彤, 子謙}：子謙不在 A 名冊，不能算進交集。（正確答案不是這個集合）

補救：重做時在 B 名冊每位旁邊都寫「在 A／不在 A」，全部寫完才能下結論。回到上面課文的位置再讀一次，再蓋住提示，回到這一題原式重寫。

沒有共同成員時，「交集」還是不是一個集合？它裡面有幾個元素？

回想：只要定義是「在 A 且在 B」的元素所成的集合，沒有元素通過時，這個集合是什麼？

沒有元素的集合有專門的名字與符號；它的元素個數也有確定的數字。

先逐一檢查 A 的每位是否在 B；通過檢查的元素有幾個？這樣的集合要怎麼寫？

錯在：沒有共同成員，交集仍然存在，只是它裡面沒有元素。檢查 A 的每位：冠宇、雅婷、俊宏都不在 B。正確寫法：A∩B=∅（也可寫 { }），n(A∩B)=0。這時稱 A、B 互斥。

下面是這一題可能發生的錯誤寫法（為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：

• 寫成 A∩B={0}：{0} 是有一個元素 0 的集合，並不是空的。（正確寫法是 ∅）
• 寫成 A∩B={冠宇, 雅婷, 俊宏, 詩涵, 宗翰, 庭瑋}：把兩份名單全併起來，這不是交集。（正確答案不是這個集合）

補救：重做時先用文字說：「通過兩道關卡的人有 0 位」，再把它寫成符號。回到上面課文的位置再讀一次，再蓋住提示，回到這一題原式重寫。

交集一次處理幾個集合？三個集合要怎麼分成兩步？

括號裡面的運算要先做；題目寫的是 (A∩B)∩C。

先求 A∩B（兩個集合），再把結果當成一個新集合，與 C 求交集。

先做括號內：A∩B={雅婷, 佳穎, 俊宏}。再把這個集合與 C 逐一檢查，留下也在 C 的人。

先算括號：A∩B={雅婷, 佳穎, 俊宏}。再檢查它的每位是否在 C：雅婷不在 C；佳穎在 C；俊宏在 C。所以 (A∩B)∩C={佳穎, 俊宏}。回查：佳穎、俊宏 在三份名冊都找得到。

下面是這一題可能發生的錯誤寫法（為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：

• 把括號裡的結果 {雅婷, 佳穎, 俊宏} 直接當成答案：只做了兩個集合，沒有再與 C 求交集。（正確答案不是這個集合）
• 寫成 {佳穎, 俊宏, 柏諺, 庭瑋, 子謙}：把 C 全部寫出來，沒有檢查 A、B。（正確答案不是這個集合）

補救：重做時先單獨算出括號內的集合，寫在一行，再做下一步。回到上面課文的位置再讀一次，再蓋住提示，回到這一題原式重寫。

「沒有參加游泳隊」是相對於哪一群人？題目有沒有交代？

先把「沒有參加游泳隊」的人所成的集合 B′ 單獨算出來，再做交集。

B′ 是 U 裡面不屬於 B 的元素；算完 B′ 之後，再問 A 的每位是否也在 B′。

U 有 10 位，B 有 4 位，所以 B′ 應有 6 位；請先自己把 B′ 列出來。接著逐一檢查 A 的每位是否在 B′ 裡。

B′={怡君, 承翰, 雅婷, 佳穎, 俊宏, 心怡}。檢查 A 的每位：承翰在 B′；冠宇不在 B′；俊宏在 B′；宗翰不在 B′；心怡在 B′。A∩B′={承翰, 俊宏, 心怡}。回查：這三位在 A 名冊，而且不在 B 名冊。

下面是這一題可能發生的錯誤寫法（為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：

• 把 B 當成 B′，寫成 {冠宇, 宗翰}：這是同時參加兩隊的人。（正確答案不是這個集合）
• 只寫 B′={怡君, 承翰, 雅婷, 佳穎, 俊宏, 心怡}：忘了再與 A 求交集。（正確答案不是這個集合）

補救：重做時先寫 B′，再寫 A∩B′；兩個集合要分行寫，不要省略中間步驟。回到上面課文的位置再讀一次，再蓋住提示，回到這一題原式重寫。

「同時參加戲劇社與美術社」的人所成的集合，在式子裡是哪一部分？哪一個運算要先做？

括號先算：先求 B∩C，再對它取餘集 (B∩C)′，最後才與 A 求交集。

(B∩C)′ 是 U 裡面不屬於 B∩C 的人。要排除的是「兩個社都有參加」的人；只參加其中一個社的人，並沒有同時參加兩社。

先算括號內：B∩C={雅婷, 冠宇}，所以 (B∩C)′ 是 U 裡面除了這 2 位以外的同學。接著逐一檢查 A 的每位是否在 (B∩C)′ 裡。

B∩C={雅婷, 冠宇}；(B∩C)′={怡君, 承翰, 佳穎, 俊宏, 詩涵, 宗翰}。檢查 A 的每位是否在 (B∩C)′：怡君在；承翰在；雅婷不在；冠宇不在；佳穎在。所以 A∩(B∩C)′={怡君, 承翰, 佳穎}。回查：這三位都在歌唱社，而且都沒有同時參加戲劇社與美術社（承翰只參加戲劇社，沒有同時參加兩社，所以符合）。

下面是這一題可能發生的錯誤寫法（為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：

• 寫成 {怡君, 佳穎}：把括號拆開，當成「戲劇社沒參加，而且美術社也沒參加」；承翰只參加戲劇社，並沒有同時參加兩社，不該被排除。（正確答案不是這個集合）
• 寫成 {雅婷, 冠宇}：這是 A∩B∩C，也就是同時參加三個社的人，忘了對 B∩C 取餘集。（正確答案不是這個集合）

補救：重做時先單獨算出括號內的 B∩C，寫在一行，再取餘集，最後才與 A 求交集。回到上面課文的位置再讀一次，再蓋住提示，回到這一題原式重寫。

A 的圈分成哪兩個區域？題目已經給了其中哪一個區域的人數？

這道題不是要你算 n(B)，而是要你用 n(A) 與已知區域的人數，找出另一個區域。

A 圈的人，不是只在 A，就是同時在 B。n(A) 是這兩個區域的人數和。

A 圈共 12 人，其中只在 A 的是 7 人；剩下的人都在 A 圈裡的另一個區域，那個區域就是 A∩B。最後一步請你用減法完成。

A 圈共 12 人，只在 A 的 7 人，所以同時在 A 與 B 的人數是 12−7=5，n(A∩B)=5。回查：5 沒有超過 n(A)=12，也沒有超過 n(B)=5+9=14。

下面是這一題可能發生的錯誤寫法（為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：

• 算成 7+9=16：把「只在 A」與「只在 B」加起來，這是只參加一邊的人，不是同時參加的人。（正確答案不是 16）
• 算成 12−9=3：把 A 的人數減掉「只在 B」的人數，這個 9 不在 A 圈裡面，不能拿來減。（正確答案不是 3）

補救：重做時先在圖上把 A 圈裡的兩個區域標出來，再用 n(A) 去對。回到上面課文的位置再讀一次，再蓋住提示，回到這一題原式重寫。

互斥是什麼意思？先想它對交集的要求。

三組分別求交集；每組都要檢查完整份名單。

交集是空集合的那一組，兩份名單沒有任何一位同學重複。

先逐組列出兩份名單中同時出現的同學，再看哪一組一位也找不到。

(a) 劇社與美術社：俊宏 同時在兩份名單，交集 {俊宏}；(b) 週一值日與週三值日：沒有任何人同時在兩份名單，交集 ∅，所以 (b) 互斥；(c) 籃球隊與田徑隊：交集 {語彤}。答案：(b) 互斥，(a) 的交集 {俊宏}，(c) 的交集 {語彤}。

下面是這一題可能發生的錯誤寫法（為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：

• 選 (a) 為互斥：只比較兩份名單的第一位，冠宇與詩涵不同，就以為沒有重疊，沒有逐位檢查。（正確答案不是這樣）
• 以為互斥是「兩份名單人數不同」：互斥只看有沒有共同成員，與人數無關。（這樣想會選錯組別）

補救：重做時三組各畫一個小表，把共同出現的同學圈起來；圈不出來的那一組才是互斥。回到上面課文的位置再讀一次，再蓋住提示，回到這一題原式重寫。

A∩B 的每一位成員，同時屬於哪兩個集合？

先想：A∩B 的每個元素既然也在 B 裡，它的個數和 n(B) 有什麼關係？

A∩B 的每位成員都在 B 裡，也都在 A 裡。拿 A∩B 的人數和 n(B) 比，一部分的人數會超過整體嗎？和 n(A) 比，也是同樣的問法。

要讓重疊的人盡量多，想像極端的情況：B 名單上的每一位是不是也在 A 名單上？這時 A∩B 會是哪一個集合？最後再把它的個數填出來。

A∩B 的每位同時在 A 與 B，所以 n(A∩B) 不超過 n(A)=9，也不超過 n(B)=6，取較小的 6。達到 6 時，B 的 6 位全在 A 裡，也就是 B 的每位都在 A 名單中，此時 A∩B=B。答案：最多 6 人。

下面是這一題可能發生的錯誤寫法（為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：

• 答 9：只看較大的社團，忽略交集也一定在較小的社團裡。（正確答案不是 9）
• 答 15（9+6）：把兩邊人數相加，會把同時參加的人重複算；而且交集不是全體相加。（正確答案不是 15）

補救：重做時先畫兩個圈：交集一定在小圈裡面，看看小圈最多能全在大圈裡面幾人。回到上面課文的位置再讀一次，再蓋住提示，回到這一題原式重寫。

先看清楚圖：哪個圈是 A，哪個圈是 B，每個編號對應哪一塊？

對每位同學各問兩個問題：在 A 嗎？在 B 嗎？再決定放在哪一塊。

「兩個都在」放在兩圈重疊的區域；只在一個放在只有那個圈的區域；兩個都不在，但在 U 內，放在圈外。

先把四位同學的「在 A？在 B？」結果列成表，再對應區域。

冠宇：在 A、在 B，放 ③；柏諺：在 A、不在 B，放 ④；子謙：不在 A、在 B，放 ①；語彤：不在 A、不在 B，但在 U，放 ②。答案：冠宇 ③，柏諺 ④，子謙 ①，語彤 ②。

下面是這一題可能發生的錯誤寫法（為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：

• 把冠宇放在 ④：他在 A，但也在 B，不能只放在 A 的區域。（正確答案不是 ④）
• 把語彤放在圖外、不放進 U 的外框：語彤是 U 的成員，只是兩個社團都沒參加，要放在框內圈外。（正確的區域在框裡）

補救：重做時先寫表：每位同學的「在 A？在 B？」，再看圖找區域。回到上面課文的位置再讀一次，再蓋住提示，回到這一題原式重寫。

B′ 的「′」是相對於哪一個集合而言？這個集合題目有沒有給？

(a) 先想：只有 B 時，你知道班上還有哪些人嗎？(b) 有了 U 之後，先求 B′，再與 A 求交集。

餘集是「U 裡面不屬於 B 的元素」。想一想：要從 U 裡面挑，你得先知道哪一群人？

(b) 把 U 的每位同學逐一問：在 B 嗎？不在的就留下，這就是 B′（U 有 7 位，B 有 3 位）。再逐一檢查 A 的每位是否在 B′ 裡。

(a) 不能：沒有 U 就不知道「沒參加」是從哪一群人裡挑，餘集要先指定 U。(b) U 裡不在 B 的同學：冠宇在 B；品妍在 B；語彤在 B；子謙不在 B；柏諺不在 B；庭瑋不在 B；俊宏不在 B，所以 B′={子謙, 柏諺, 庭瑋, 俊宏}。再檢查 A 的每位是否在 B′：品妍不在 B′；語彤不在 B′；子謙在 B′；俊宏在 B′。所以 A∩B′={子謙, 俊宏}。回查：這兩位在直笛社名冊，而且不在合唱團名冊。

下面是這一題可能發生的錯誤寫法（為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：

• (b) 寫成 {子謙, 柏諺, 庭瑋, 俊宏}：這只是 B′，忘了再與 A 求交集；柏諺、庭瑋不在直笛社。（正確答案不是這個集合）
• (b) 寫成 {品妍, 語彤}：把 B 當成 B′，找成了「兩個社都參加」的人。（正確答案不是這個集合）
• (a) 答「能，就是除了 B 以外的人」：除了 B 以外，是哪些人要看 U，沒有 U 就說不出來。（正確答案是不能）

補救：重做時先問「這件事是在哪一群人裡談的？」，先把 U 寫出來再取餘集。回到上面課文的位置再讀一次，再蓋住提示，回到這一題原式重寫。

這句話有幾個條件？哪些要「同時」成立，哪一個是「不」？

「不需要補課」就是「不在 C」，要從 U 裡面挑；U 題目已經給了。

三個條件中，哪兩個可以先一起處理？先處理的部分用括號圈起來，要先算。

先算括號內 A∩B={雅婷, 冠宇, 詩涵, 庭瑋}，再求 C′={承翰, 雅婷, 佳穎, 俊宏, 詩涵}。最後一步是把這兩個集合再做交集。

(a) (A∩B)∩C′。(b) A∩B={雅婷, 冠宇, 詩涵, 庭瑋}，C′={承翰, 雅婷, 佳穎, 俊宏, 詩涵}，檢查 A∩B 的每位是否在 C′：雅婷在 C′；冠宇不在 C′；詩涵在 C′；庭瑋不在 C′。所以 (A∩B)∩C′={雅婷, 詩涵}。回查：這兩位報名了 A、B，而且不在補課名單。（依課文示範四，三個集合只做交集時括號位置不影響結果，寫成 A∩B∩C′ 也可以。）

下面是這一題可能發生的錯誤寫法（為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：

• 寫成 A∩B∩C，得 {冠宇, 庭瑋}：這是報名 A、報名 B，而且需要補課的同學，與題意相反。（正確答案不是這個集合）
• 只算 A∩B 得 {雅婷, 冠宇, 詩涵, 庭瑋}：忘了排除需要補課的人。（正確答案不是這個集合）

補救：重做時把題目拆成三句：在 A、在 B、不在 C，每句各打一欄勾，三欄都通過才留下。回到上面課文的位置再讀一次，再蓋住提示，回到這一題原式重寫。