回課文。共 18 題，分六組。每題先自己做，需要時再依序展開提示。L1、L2 只指方向，L3 點出方法，L4 接近完整，L5 是完整解答。看過 L3 以上提示才做出來的題目，算是練習，還不算獨立完成，之後請隔一段時間、不看提示，用原題重做一次。題目中的情境與數字是為練習設計的，不是真實資料；「可能的錯法」也是為練習設計的例子。每題的結論都要附證據（商與乘回去核對，或餘式）。
判斷 x−3 是不是 x²+x−6 的因式。請寫出你的理由。
B 要是 A 的因式，代表 A 能寫成 B 乘上另一個什麼樣的式子？想想怎麼把那個式子找出來，或確認找不到。〔回課文：定義〕
有兩條路：把 A 因式分解後比較，或用長除法 A÷B 看餘式。兩條路都要特別小心符號。〔回課文：怎麼判斷〕
用長除法，看餘式是不是 0。若改用分解，要比較 B 和分解出的因式「符號是否相同」，差一個正負號就不是常數倍。
長除法過程：
長除法過程：
可能的錯法：(1) 看到 A 的分解 (x+3)(x−2) 裡有 3，就說 x−3 是因式（正確答案是「不是」；符號不同就不是常數倍）；(2) 只看常數項，猜商是 x+2（因為 −6÷−3=2）。乘回去 (x−3)(x+2)=x²−x−6，不等於 A，所以這個猜法是錯的。
補救：比對符號時要一個一個寫出來：x−3 對 x+3 是不同的式子。重做時請用長除法算出餘式，再乘回去核對。〔回課文：常見的錯 (b)〕
判斷 4x−8 是不是 x²−2x 的因式。若是，寫出商，並乘回去核對。
先觀察：B 能不能提出一個常數？提出之後，B 的形狀和 A 的分解有什麼關係？〔回課文：定義的第 (3) 點〕
A 因式分解會是兩個一次式的乘積。B 和其中一個因式是什麼關係？商如果出現分數，會不會影響結論？〔回課文：判斷標準〕
A=x(x−2)，B=4(x−2)。B 是 x−2 的 4 倍。你要找的 Q，是讓 B×Q 回到 A 的式子。
長除法：
A=x(x−2)，B=4x−8=4(x−2)，是 x−2 的非零常數倍，所以是因式。長除法：
可能的錯法：(1) 看到商 x/4 有分數，就說「不是因式」（正確答案是「是」；分數係數合法）；(2) 要求 B 要和分解出的 x−2 完全一樣才算，所以說 4x−8 不是（正確答案是「是」；常數倍也算）；(3) 以為商是 x（因為 A=x(x−2)）。乘回去 (4x−8)×x=4x²−8x，不等於 A（多了 4 倍）。
補救：記住：判斷標準是乘回去等於 A，不是商要不要有分數。〔回課文：示範二〕
判斷 2x−1 是不是 2x²+5x−3 的因式。若是，寫出商，並乘回去核對。
A 的 x² 係數是 2，B 的 x 係數也是 2。長除法的第一步，首項要怎麼除？〔回課文：怎麼判斷〕
用長除法。第一步：2x² 除以 2x；第二步：用剩下的式子的首項再除一次。
2x²÷2x=x，先算 x×(2x−1)，再把它從 A 裡減掉（每一項變號再加）。
長除法：
長除法：
可能的錯法：(1) 忽略 B 的 x 係數 2，把 B 當成 x−1 來除，得商 2x+7、餘式 4，就誤判「不是」（正確答案是「是」；B 的 x 係數 2 不能丟）；(2) 商猜成 x−3（只用 A 的常數項 −3 當商的常數項）。乘回去 (2x−1)(x−3)=2x²−7x+3，不等於 A。
補救：除的時候要用「首項除以首項」：2x²÷2x=x，不是 2x²÷x。重做時把 B 完整寫出來再除。〔回課文：方法一〕
判斷 x+4 是不是 x²+6x+8 的因式。若是，寫出商，並乘回去核對。
兩個一次式相乘，常數項是怎麼來的？A 的常數項 8 與 B 的常數項 4 有什麼關係？〔回課文：定義〕
可以用長除法，或把 A 分解成 (x+a)(x+b)，再看 B 在不在其中。〔回課文：怎麼判斷〕
若用分解：找兩個數，積是 8、和是 6。找到之後和 B 比對。
長除法：
積 8、和 6 的兩個數是 2 與 4，所以 A=(x+2)(x+4)，B=x+4 在其中，是因式，商 x+2。長除法：
可能的錯法：(1) 找積 8 的兩個數時選了 1 和 8，得 (x+1)(x+8)=x²+9x+8，一次項 9x 對不上 A 的 6x，所以這一組不對；(2) 以為商和 B 一樣，寫 x+4：(x+4)(x+4)=x²+8x+16，不等於 A。
補救：分解時兩個條件都要用：積等於常數項、和等於一次項係數。〔回課文：方法二〕
判斷 x−3 是不是 x²−7x+10 的因式。若不是，寫出餘式。
要證明「不是」，需要什麼證據？〔回課文：判斷標準〕
先做長除法。做完後問：剩下的常數是不是 0？
第一步 x²÷x=x，從 A 減去 x(x−3)；第二步用剩下的一次式再除一次。
長除法：
長除法：
可能的錯法：(1) 餘式的符號寫反，寫成 2。乘回去 (x−3)(x−4)=x²−7x+12，A 比它「少」2，所以餘式是 −2（寫 2 是錯的；不過結論仍是「不是」）；(2) 商猜成 x−7（只看一次項係數 −7）。乘回去得 x²−10x+21，不等於 A。
補救：餘式 = A − B×Q，要用 A 去減，不是用乘積去減 A。重做時把這一行寫出來。〔回課文：常見的錯 (d)〕
判斷 x+2 是不是 3x²−12 的因式。若是，寫出商，並乘回去核對。
A 沒有一次項，長除法時要怎麼處理？A 前面還有一個係數 3，會不會影響商？〔回課文：方法一〕
可以先把 A 的公因數 3 提出來，再分解；也可以直接長除（缺的一次項當作 0x）。
3x²−12=3(x²−4)=3(x−2)(x+2)，看 B=x+2 在不在其中，商要連 3 一起算。
長除法：
A=3(x−2)(x+2)，B=x+2 是其中一個因式，所以是因式。長除法：
可能的錯法：(1) 把公因數 3 忘掉，商寫成 x−2。乘回去 (x+2)(x−2)=x²−4，只有 A 的三分之一，所以錯（正確商是 3x−6）；(2) 相減時忘了變號：(3x²+0x−12)−(3x²+6x) 寫成 6x−12（應是 −6x−12）。依這個錯誤做下去：6x÷x=6，6(x+2)=6x+12，(6x−12)−(6x+12)=−24，誤判餘式為 −24 而說「不是因式」（正確答案是「是」）。
補救：A 缺項時補上 0x 再除；每次相減都要變號再加。〔回課文：常見的錯 (d)〕
判斷 2x−2 是不是 x²−4x+3 的因式。若是，寫出商，並乘回去核對。
B 能提出什麼常數？提出後的形狀和 A 的分解對照看看。〔回課文：定義的第 (3) 點〕
A 先因式分解；B 提出常數後，和分解結果比較。商可能有分數。〔回課文：方法二〕
A=(x−1)(x−3)，B=2(x−1)。B 是 x−1 的 2 倍，所以商是另一個因式除以 2。
長除法：
A=(x−1)(x−3)，B=2(x−1)，所以是因式。長除法：
可能的錯法：(1) 看到商有分數，就說「不是因式」（正確答案是「是」）；(2) 以為 B 是 x−1 的 2 倍，所以商也要乘 2，寫成 2x−6。乘回去 (2x−2)(2x−6)=4x²−16x+12，不等於 A。商要「除以」2。
補救：B 乘了 2，商就要除以 2，這樣 B×Q 才不變。〔回課文：定義的第 (3) 點〕
判斷 2x−4 是不是 2x²−x−6 的因式。若是，寫出商，並乘回去核對。
B 能提出什麼常數？A 的分解可能是什麼形狀（x² 係數是 2）？〔回課文：方法二〕
可用長除法，也可以先分解 A。分解時，兩個一次因式的 x 係數相乘要是 2。
A=(2x+3)(x−2)。B=2(x−2)，是 x−2 的 2 倍。商是 (2x+3)÷2。
長除法：
A=(2x+3)(x−2)，B=2(x−2)，所以是因式。長除法：
可能的錯法：(1) 商猜成 x+3（忘了把 3 也除以 2）。乘回去 (2x−4)(x+3)=2x²+2x−12，不等於 A；(2) 只拿 2x−4 和分解出的 2x+3 比較，不同就說不是（正確答案是「是」；要和每一個因式都比，2x−4=2(x−2) 就是 x−2 的 2 倍）。
補救：B 要和「某一個」因式比較，並且允許差常數倍。〔回課文：常見的錯 (e)〕
判斷 3x+2 是不是 6x²+5x−6 的因式。若不是，寫出餘式。
這一題 B 的 x 係數是 3，商的係數可能不是整數。要證明「不是」，需要什麼證據？〔回課文：判斷標準〕
用長除法。第一步 6x²÷3x；第二步再除一次，注意分數的計算。
A=(2x+3)(3x−2)。B=3x+2 與 3x−2 只差符號，不是常數倍；用長除法確認餘式。
長除法：
長除法：
可能的錯法：(1) 看到 A 的分解裡有 3x−2，就說 3x+2 是因式（正確答案是「不是」；符號不同）；(2) 最後一步 −6−2/3 算成 −6+2/3=−16/3（正確是 −20/3）。這個錯誤不改變「不是」的結論，但餘式的值錯了。
補救：分數運算時，−6 − 2/3 要通分成 −18/3 − 2/3。〔回課文：示範四〕
小明做 (x²−x−6) ÷ (2x−6)，得到商 x/2+1。他說：「商裡有分數 1/2，所以 2x−6 不是 x²−x−6 的因式。」請指出他的理由錯在哪裡，並判斷 2x−6 到底是不是 x²−x−6 的因式。（小明的作答是為練習設計的例子。）
小明的理由是「商有分數」。這個理由和定義有沒有關係？定義對 Q 要求什麼？〔回課文：定義〕
回到定義：Q 要滿足什麼條件？定義有沒有要求係數是整數？想檢查，就把 B×Q 乘開。〔回課文：判斷標準〕
把 B 與小明的商相乘並展開，看結果是不是 A。
(2x−6)(x/2+1)：2x×x/2=x²，2x×1=2x，−6×x/2=−3x，−6×1=−6，合併得多少？
小明的理由錯：商的係數是分數不影響結論，判斷標準是餘式是否為 0。乘回去：(2x−6)(x/2+1)=x²+2x−3x−6=x²−x−6=A，餘式為 0，所以 2x−6 是 x²−x−6 的因式。另一角度：A=(x−3)(x+2)，B=2(x−3)。
可能的錯法：(1) 為了避免分數，把商改成整數 x+1。乘回去 (2x−6)(x+1)=2x²−4x−6，不等於 A。商不能亂改，要讓乘回去等於 A；(2) 驗算時漏掉 2x×1，得 x²−3x−6，和 A（x²−x−6）不同；正確的乘開有四項，要全部寫出來。
補救：先寫「判斷標準：餘式是 0」，再乘回去。〔回課文：示範二〕
判斷 5x+10 是不是 x²+x−2 的因式。若是，寫出商，並展開乘回去核對。
B 能提出什麼常數？提出後 B 和 A 的哪個因式有關？〔回課文：定義的第 (3) 點〕
把 A 因式分解（兩數積 −2、和 1），和 B 提出常數後比較。
A=(x+2)(x−1)，B=5(x+2)，所以商是 (x−1)÷5。
長除法：
A=(x+2)(x−1)，B=5x+10=5(x+2)，所以是因式。長除法：
可能的錯法：(1) 以為 B 是 x+2 的 5 倍，商也要乘 5，寫成 5x−5。乘回去 (5x+10)(5x−5)=25x²+25x−50，不等於 A（多了 25 倍）。商要除以 5；(2) 看到 A 的分解 (x+2)(x−1) 與 B=5x+10 長得不一樣，就說不是因式（正確答案是「是」）。
補救：B 乘 5，Q 就除以 5。〔回課文：定義的第 (3) 點〕
阿志算 (x²+5x) ÷ (2x+3)，得到商 x/2+7/4。他說：「商有分數，所以 2x+3 不是 x²+5x 的因式。」他的結論和理由，各是對還是錯？正確的判斷理由是什麼？（阿志的作答是為練習設計的例子。）
結論「不是因式」和理由「商有分數」要分開檢查。先問：商有分數，是不是判斷標準？〔回課文：判斷標準〕
判斷標準是餘式是不是 0。阿志只給了商，沒給餘式；請你補算。〔回課文：方法一〕
把 B×Q 乘開，看和 A 差多少。
長除法：
長除法：
可能的錯法：(1) 以為分數沒關係，就說 2x+3 是因式（正確答案是「不是」）。乘回去 (2x+3)(x/2+7/4)=x²+5x+21/4，不等於 A；(2) 餘式符號算反，寫 21/4（正確是 −21/4）。A 比 B×Q 少 21/4，所以餘式是負的。
補救：對的結論也要有對的理由：餘式不是 0。〔回課文：示範四〕
小華說：「x²−5x+6 的常數項是 6，所以 x−6 是它的因式。」請指出他錯在哪裡，並判斷 x−6 到底是不是 x²−5x+6 的因式。（小華的作答是為練習設計的例子。）
只看常數項 6，夠不夠證明 B 是因式？要用什麼證據才算數？〔回課文：判斷標準〕
可以乘回去，也可以長除法，也可以先分解 A。〔回課文：怎麼判斷〕
把 A 分解成兩個一次式（積 6、和 −5），看有沒有 x−6。
長除法：
小華只比對了常數項，這不是判斷標準。A=(x−2)(x−3)，沒有 x−6。長除法：
可能的錯法：(1) 想把 6 拆成 −6 和 −1：(x−6)(x−1)=x²−7x+6，一次項 −7x 對不上 A 的 −5x；(2) 餘式符號寫成 −12。乘回去 (x−6)(x+1)=x²−5x−6，A 比它多 12，所以餘式是 12。
補救：拆常數項時，和也要對得上（積 6、和 −5 的是 −2 和 −3）。〔回課文：常見的錯 (b)〕
小宇用長除法判斷 x−2 是不是 x²+4x−12 的因式，過程如下：
小宇的哪一步做的是減法？減去 x²−2x 時，每一項都處理對了嗎？〔回課文：方法一的第③點〕
把第 1 步的減法重新算一次，括號展開時每一項都要變號。
第 1 步的一次項要算 4x − (−2x)；更正後再繼續第 2 步，看餘式是多少。
正確的長除法：
錯在第 1 步的相減：4x − (−2x) 應該是 4x+2x=6x，小宇算成 4x−2x=2x（忘了變號）。正確過程：
可能的錯法：(1) 更正時只改結論卻沿用小宇的商 x+2：(x−2)(x+2)=x²−4，不等於 A（正確商是 x+6）；(2) 第 1 步改對得 6x−12 後，忘了把 −12 一起帶下來，寫成 6x÷x=6，6(x−2)=6x−12，6x − (6x−12) = 12，誤判餘式 12 而說不是因式（正確餘式是 0）。
補救：減法一律先把被減式的每一項變號，再逐項相加。〔回課文：常見的錯 (d)〕
小琪判斷 x+2 是不是 x²+2x−8 的因式：「x²÷x=x，−8÷2=−4，所以商是 x−4。首項和末項都對得上，所以 x+2 是因式。」請指出她錯在哪裡，並寫出正確的判斷。（小琪的作答是為練習設計的例子。）
只對首項和末項，夠不夠證明 A=B×Q？乘回去時要看哪些項？〔回課文：常見的錯 (c)〕
把 B 和小琪的商 x−4 完整乘開，和 A 比較每一項。
乘開後比一次項的係數。再用長除法求真正的商與餘式。
小琪的乘積：(x+2)(x−4)=x²−2x−8。正確的長除法：
小琪錯在只驗首項與末項。乘開 (x+2)(x−4)=x²−2x−8，一次項是 −2x，不是 A 的 +2x，所以對不上。正確的長除法：
可能的錯法：(1) 修正時把商改成 x+4（因為 A 的分解有 x+4）：(x+2)(x+4)=x²+6x+8，不等於 A。x+4 是 A 的因式，不是 A÷B 的商；(2) 餘式寫成 8（符號錯）。(x+2)×x=x²+2x，A 比它少 8，餘式是 −8。
補救：乘回去要把每一項都乘開，並逐項和 A 比較。〔回課文：常見的錯 (c)〕
（教學情境）一塊長方形地的面積是 6x²+7x+2 平方公尺（x>0），施工圖上寫一邊長 4x+2 公尺。這個邊長有可能嗎？如果可能，另一邊長是多少公尺？
面積=長×寬。已知面積和一邊，要求另一邊，是用哪一種運算？什麼條件下，這個邊長才合理？〔回課文：為什麼需要判斷〕
這就是 A÷B。要看餘式是不是 0；長度可不可以有分數係數，要看情境。〔回課文：判斷標準〕
用長除法求另一邊，並乘回去看是不是等於面積。
長除法：
面積 = 長×寬，所以要看 4x+2 是不是 6x²+7x+2 的因式。長除法：
可能的錯法：(1) 看到商有分數，就說邊長不可能（正確答案是「可能」；長度可以是分數倍的 x）；(2) 把 B 提出 2 得 2(2x+1)，分解得 A=(2x+1)(3x+2)，就說另一邊是 3x+2。乘回去 (4x+2)(3x+2)=12x²+14x+4，是 A 的 2 倍，所以錯；商要除以 2。
補救：B 提出的常數要補回來：另一邊 = (3x+2)÷2。〔回課文：定義的第 (3) 點〕
已知二次式 x²+kx−6 有一次因式 x−2（k 是常數），求 k 的值。
如果 x−2 是因式，A 可以寫成 (x−2) 乘上什麼形狀的式子？這個式子裡有幾個未知數？〔回課文：定義〕
設 Q=x+m（x² 係數要是 1），展開 (x−2)(x+m)，再和 x²+kx−6 比較。
比較常數項：(x−2)(x+m) 的常數項是 −2m，要等於 −6。
由 −2m=−6 得 m=3。再比較一次項係數：k 與 m 有什麼關係？
設 x²+kx−6=(x−2)(x+m)=x²+(m−2)x−2m。比較常數項：−2m=−6，m=3。比較一次項：k=m−2=1。所以 k=1。核對：x²+x−6=(x−2)(x+3)，x−2 確實是因式；長除法商 x+3、餘式 0。
可能的錯法：(1) 常數項寫成 2m=−6（把 −2m 的負號弄丟），得 m=−3，k=m−2=−5。檢查：x²−5x−6 除以 x−2，商 x−3、餘式 −12，不是 0，所以 x−2 不是它的因式，這個 k 錯；(2) 把 B=x−2 看成 x+2，展開 (x+2)(x+m)=x²+(m+2)x+2m，由 2m=−6 得 m=−3，k=m+2=−1。檢查：x²−x−6 除以 x−2，商 x+1、餘式 −4，不是 0，所以不是因式。
補救：展開 (x−2)(x+m)=x²+(m−2)x−2m，一次項係數是 m−2、常數項是 −2m，兩個符號都要看清楚。〔回課文：定義〕
二次式 A=x²−x−6。在下面六個一次式中，有幾個是 A 的因式？ x−3、x+2、2x+4、3x−9、x+3、x−2。請寫出你的判斷方法與每一個的理由。
六個都用長除法太慢。有沒有辦法一次看清楚？先把 A 因式分解。〔回課文：方法二〕
A 分解成兩個一次式。備選式和這兩個因式的關係，只有「差常數倍」才算。
A=(x−3)(x+2)。逐一看：哪些是 x−3 的非零常數倍？哪些是 x+2 的非零常數倍？
x−3 與 3x−9=3(x−3) 是同一類；x+2 與 2x+4=2(x+2) 是同一類；x+3、x−2 只是符號不同，不屬於兩類。請數一數。
A=(x−3)(x+2)。逐一檢查（長除法核對）：x−3：餘式 0，商 x+2，是因式。 x+2：餘式 0，商 x−3，是因式。 2x+4：餘式 0，商 x/2−3/2，是因式。 3x−9：餘式 0，商 x/3+2/3，是因式。 x+3：商 x−4，餘式 6，不是因式。 x−2：商 x+1，餘式 −4，不是因式。 共 4 個是因式（x−3、x+2、2x+4、3x−9）；x+3、x−2 不是。
可能的錯法：(1) 只算和分解結果完全相同的式子，得到 2 個（正確是 4 個；2x+4 和 3x−9 是常數倍，也是因式）；(2) 只比數字、不看符號，把 x+3 和 x−2 也算進去，得到 6 個（正確是 4 個；x+3 的餘式是 6，x−2 的餘式是 −4，都不是 0）。
補救：只有「差非零常數倍」才算同一個因式，符號不同不算。〔回課文：常見的錯 (a)(b)(e)〕