練習：用列舉法或描述法表示集合

對每一項都問自己：隨便拿一個數來，能不能毫無爭議地回答「是成員」或「不是成員」？

逐項檢查：描述法要同時看「範圍」和「條件」有沒有寫清楚；列舉法則看成員是不是都直接寫出來了。對每一項，各挑一個你覺得可能有爭議的數試試看。

方法：描述法要同時滿足兩件事——範圍有寫明、條件有明確的界線；列舉法則把成員全部寫出即可。逐項檢查時，各舉一個可能有爭議的對象代入，看看別人是不是都會得到和你相同的結果。

檢查表：對每一項各回答三個問題。(1) 條件有沒有明確的界線？(2) 範圍有沒有寫明，或成員有沒有全部寫出？(3) 隨手舉一個不是整數的數（例如 0.5），它算不算成員？結果會不會因為「x 取哪一類數」或「看你怎麼想」而不同？請依此對四項分別做出判定。

答案：乙、丁。(甲) 沒有選：「接近 10」沒有界線，8 算不算接近 10 因人而異。(乙) 範圍是整數、條件是 1<x<6，每個整數都能判定。(丙) 沒有選：沒有寫 x 是哪一類數，0.5 在 x 只能取整數時不是成員，在 x 可取實數時卻是成員，所以無法唯一判定（實際的題目有時會由上下文交代範圍，但這裡只憑寫出來的式子判斷，就必須把範圍寫明）。(丁) 成員全部列出，可以判定。順帶一提，(乙) 與 (丁) 的成員完全相同，是同一個集合。

集合只看「誰是成員」。想想：成員出現的先後、寫了幾次，會不會改變「誰是成員」？

先把 P 裡面重複寫的元素合併，再和 Q 比較成員名單。

方法：兩個集合各自去掉重複之後，逐一比對成員是否完全相同；元素個數就是去重之後剩下的個數，不是寫了幾個數。

P 裡面寫了兩次的數是 4。把它只留一次，請自己寫出 P 的成員，再和 Q 對照、再數個數。

答案：(1) 是同一個集合；(2) P 有 3 個元素。理由：P 裡 4 寫了兩次，但集合只問 4 是不是成員，所以只算一次，P 的成員是 7、4、9；Q 的成員也是 9、7、4，成員完全相同，次序不同不影響。P 雖然寫了 4 個數，元素只有 3 個。

先把 M、N 各自寫成列舉法。注意 x 能取哪一類數。

先解條件 x²=25，再看 M、N 的範圍各自留下哪些解。

方法：先解條件，再用範圍篩選；成員完全相同才是同一個集合。

x²=25 的所有實數解是 5 與 −5。M 的範圍是整數，N 的範圍是正整數。請各自篩選後，與 P 比較。

答案：M 與 P 是同一個集合，N 不是。M={−5,5}（整數範圍，5 與 −5 都留下）；N={5}（正整數範圍，−5 不是正整數，被範圍擋下）；P={5,−5}。所以 M=P，而 N 只有 5 一個元素，缺少 −5，與 M、P 都不同。

先看範圍（整數）和條件（兩端的符號）。兩個端點各自含不含？

把條件拆成兩句話：x 要比 −4 怎樣、x 要比 1 怎樣。

方法：從最小的成員開始，由小到大逐一寫出所有整數，到最大的成員為止，再回代檢查兩端。

對整數來說，最小的成員是 −3，最大的成員是 1。請從 −3 到 1 逐一寫出，檢查 −4 與 2 為什麼不在裡面，再數個數。

答案：A={−3,−2,−1,0,1}，有 5 個元素。理由：−4<x 不含 −4，所以最小的整數是 −3；x≤1 含 1，所以最大是 1；−3 到 1 之間的整數共 5 個，記得 0 也算一個。

「x 是 12 的因數」是什麼意思？想想 12 除以 x 要有什麼結果。

從 1 開始，依序檢查 12 能不能被它整除。

方法：因數會成對出現（乘積是 12 的兩個正整數）。依序把每一組的兩個數都寫出來，再由小到大整理。

12=1×12=2×6=3×4，共有 3 組乘積，每組的兩個數都是 12 的因數。請把這些數由小到大整理成集合，再數個數。

答案：B={1,2,3,4,6,12}，有 6 個元素。理由：12=1×12=2×6=3×4，每一組的兩個數都是因數；5、7、8、9、10、11 都不能整除 12。1 和 12 本身也是 12 的因數。

整數包含正整數、0 和負整數。平方之後，負整數的情形會怎樣？

先找出平方後仍小於 10 的最大整數，再想想另一邊。

方法：用整數逐一試 x=0、1、2、3、4…，同時也試它們的相反數，看 x² 是否小於 10。

3²=9 小於 10，4²=16 不小於 10；一個整數和它的相反數平方相同。請依此決定哪些整數在集合裡，由小到大寫出，再數個數。

答案：C={−3,−2,−1,0,1,2,3}，有 7 個元素。理由：0²=0、(±1)²=1、(±2)²=4、(±3)²=9 都小於 10；(±4)²=16 不小於 10。負整數的平方是正數，所以負的 −1、−2、−3 也要列入，0 也是成員。

先看 D 的成員有什麼共同的特徵；再想想：只寫這個特徵，會不會把 12、14 也放進來？

描述法需要兩個部分：成員的特徵，加上能擋住多餘成員的限制。

方法：寫好範圍與條件之後做「雙向檢查」——(1) D 的每個成員都滿足；(2) 範圍裡滿足條件的數，一個都不多。

範圍可以寫「正整數」。條件至少要有兩條：一條說明成員的特徵，一條限制大小。請你自己補上第二條，並檢查 12 會不會被擋下、0 和負數有沒有被範圍擋下。

一個可行的寫法：D={x 為正整數 | x 是偶數且 x≤10}。檢查：(1) 2、4、6、8、10 都是正整數、偶數、不超過 10；(2) 範圍是正整數，所以 0 和負偶數不會進來；偶數且 x≤10 的正整數只有 2、4、6、8、10，12 以上被 x≤10 擋下。其他寫法也可以，例如 {x∈ℤ | 0<x≤10 且 x 是偶數}，只要成員完全相同就是正確的。

先看這些數字之間有什麼關係，想想它們是怎麼來的。

試著把每個成員寫成「某個正整數乘以它自己」。

方法：條件可以說明「是某個正整數的平方」，再用一個上限限制大小；最後做雙向檢查。

這些數是 1²、2²、3²、4²、5²；下一個平方數是 36。範圍可以寫「正整數」。請自己補上上限條件，並檢查 36 會不會被擋下。

一個可行的寫法：E={x 為正整數 | x 是某個正整數的平方且 x≤25}。檢查：(1) 1、4、9、16、25 分別是 1、2、3、4、5 的平方，且都不超過 25；(2) 正整數裡的平方數還有 36、49…，都被 x≤25 擋下，所以沒有多出成員。其他寫法也可以，例如 {x∈ℤ | 0<x≤25 且 x 是某個整數的平方}，只要成員完全相同。

F 的成員是一串連續的整數。先找出最小的和最大的成員。

用不等式把兩端寫出來。兩端要含不含，要看哪些整數「剛好要在裡面」、哪些「剛好要在外面」。

方法：同一個集合可以有好幾種寫法。選定兩端的數與符號（< 或 ≤）之後，用回代檢查：最小的成員要在內，比它小一格的整數要在外；最大的成員要在內，比它大一格的整數要在外。

範圍寫 x∈ℤ。條件的形式是「□ □ x □ □」，請決定兩端的數與符號，並檢查 −4 與 3 是否被擋下。

一個可行的寫法：F={x∈ℤ | −3≤x<3}。檢查：−3≤−3 成立，所以 −3 在內；−4 不滿足 −3≤x，被擋下；2<3 成立；3 不滿足 x<3，被擋下。也可以寫成 {x∈ℤ | −4<x≤2} 或 {x∈ℤ | −3≤x≤2}，三種寫法的成員完全相同。

集合的成員是「人」。問一個人是不是成員，只看他在不在名單裡。

分別檢查兩句話：成員數怎麼數？次序會不會影響「誰是成員」？

方法：把名單裡重複出現的人合併成一個，再比較兩份名單的成員是否相同。

名單裡阿明出現 2 次，小華出現 1 次，小美出現 1 次。請依這個資料整理出成員，再回答兩句話。

答案：兩句話都不正確。(1) 阿明是同一個人，只算一個成員，所以成員是阿明、小華、小美，共 3 位，不是 4 位。(2) 集合不計次序，{小美,阿明,小華} 的成員也是這三人，所以兩者是同一個集合。正確說法：這個集合有 3 位成員，且與 {小美,阿明,小華} 相同。

條件裡的「<」和「≤」有什麼不同？

兩個端點 1 和 5，請分別回代到條件裡看看。

方法：端點是不是成員，要把它代回不等式檢查，看符號有沒有等號、不等式是否成立；再逐一檢查中間的整數。

把 1 回代 1<x，把 5 回代 x<5，判斷兩個端點是否滿足；再逐一檢查 2、3、4 是否同時滿足兩個不等式，最後重新列舉並數個數。

答案：不正確。正確的列舉法是 {2,3,4}，有 3 個元素。理由：1<x 不含 1（1<1 不成立），x<5 不含 5（5<5 不成立），所以端點 1 與 5 都不是成員；2、3、4 同時滿足兩個不等式。同學把端點當成了成員。

用「反向檢查」：除了 11、13、17、19 之外，還有沒有別的數也滿足「x 是質數」？

想想比 11 小的質數，以及比 19 大的質數。

方法：描述法要寫出範圍，並且讓「條件」剛好只留下要的成員；多收的數可能在兩邊，要用下限與上限條件各擋住一邊，再做雙向檢查。

請寫成 {x 為正整數 | x 是質數且 □ 且 □}，空格分別填下限與上限條件；檢查 11 與 19 是否在內、2 與 23 是否被擋下。

答案：不是。{x | x 是質數} 包含所有的質數：2、3、5、7 比 11 小，23、29… 比 19 大，它們也是質數，卻不在 {11,13,17,19} 裡，所以這個寫法多收了成員（質數本身就是大於 1 的整數，成員判定得出來，問題只在多收了）。可改寫成 {x 為正整數 | x 是質數且 10<x<20}。檢查：11、13、17、19 都是質數，且在 10 與 20 之間；正整數裡比它們小的質數 2、3、5、7 被 10<x 擋下，比它們大的質數 23、29… 被 x<20 擋下。（寫成 10≤x≤20 也可以，因為 10、20 不是質數。）

先看看有沒有「正整數」x 能使 x+4=2 成立。

先解方程，再用範圍篩選。解出來的數是不是正整數？

方法：先解條件，再用範圍篩選。如果篩完之後沒有人留下，這個集合要用什麼符號表示？

x+4=2 的解是 −2。H 的範圍是正整數。請判斷 −2 能不能留下；再檢查同學寫的 0 滿不滿足 x+4=2。

答案：同學不正確。H 是空集，寫成 ∅（或 { }），元素個數為 0。理由：x+4=2 的解是 x=−2，不是正整數，被範圍擋下；而同學寫的 0 代入得 0+4=4，不等於 2，也不是成員。{0} 是有 1 個元素（0）的集合，不是空集。

三個集合的範圍都是 U，也就是只能從 1 到 8 號中挑。

分別把 U 的 8 個編號逐一代入各自的條件。

方法：對每個集合，從 U 的 8 個編號中逐一檢查條件，滿足的才留下。如果全部都留下、或一個都沒留下，要用什麼表示？

B 的條件是 x≤8，U 裡最大的編號是 8；C 的條件是 x>8，請看 U 裡有沒有比 8 大的編號。A 請逐一檢查 1 到 8 哪些是奇數。請據此寫出三個集合。

答案：A={1,3,5,7}；B={1,2,3,4,5,6,7,8}，也就是 U 本身；C=∅。理由：B 的條件 x≤8 對 U 裡每一個編號都成立，所以全部留下，B=U；C 的條件 x>8，而 U 裡沒有比 8 大的編號，所以沒有任何元素，C 是空集；A 只留下奇數。

同一個條件，範圍不同，成員就可能不同。三小題的範圍分別是什麼？

(1)(2) 先寫出 −1<x<2 的整數，再看正整數範圍留下誰。(3) 想想 0 與 1 之間還有沒有別的數。

方法：先用範圍決定「可能的數」，再用條件篩選。能不能列舉，要看篩完之後成員是不是有限個。

(1) 滿足 −1<x<2 的整數要排除 −1 和 2，從 −1 的下一個整數數到 2 的前一個整數。(2) 從 (1) 的結果中，只留下正整數。(3) 試試 x=0.5 是否滿足條件，再想想還有沒有別的。

答案：(1) {0,1}；(2) {1}；(3) 不能。理由：(1) −1、2 不含，整數有 0、1。(2) 0 不是正整數，只剩 1。(3) 實數範圍裡，0.5、1.5、0.1、1.99 等都滿足 −1<x<2，成員有無限多個，無法逐一列完，這時要用描述法表示。

先找出這個月的第一個星期六是幾號。

一週有 7 天，同樣的星期幾，每隔 7 天會再出現一次。

方法：先找出第一組週末的兩個日期，再每次加 7 找下一組；超過 14 日的不要。

1 日是星期三，往後數：2 日星期四、3 日星期五……，數到星期六、星期日各是幾號，再各加 7 找下一組，並檢查有沒有超過 14。

答案：M={4,5,11,12}，有 4 個元素。理由：1 日星期三，所以 4 日是星期六、5 日是星期日；各加 7 得 11 日（星期六）、12 日（星期日）；再加 7 是 18、19，超過 14，不列入。

條件裡有兩句話，用「且」連起來：兩句話要同時成立。

先找出 30 的所有因數，再用「是奇數」這個條件篩選。

方法：先列出範圍內滿足第一個條件的所有數，再逐一用第二個條件檢查，兩個條件都滿足才留下。

30=1×30=2×15=3×10=5×6，所以 30 的因數有 8 個，由小到大是 1、2、3、5、6、10、15、30。請從這 8 個數裡挑出奇數，寫成集合並數個數。

答案：D={1,3,5,15}，有 4 個元素。理由：30 的因數是 1、2、3、5、6、10、15、30；其中奇數有 1、3、5、15，其餘 2、6、10、30 是偶數，被條件擋下。

先算出代入之後的每一個值。

把算出來的值排成一列，看看有沒有重複出現的數。

方法：先把 5 個值都算出來；集合不計重複，再用去重後的結果寫出列舉法並數個數。

五個值依序是 (1−3)²=4、(2−3)²=1、(3−3)²=0、(4−3)²=1、(5−3)²=4。請依這個結果整理成集合，並數有幾個元素。

答案：S={0,1,4}，有 3 個元素。理由：五個值是 4、1、0、1、4，其中 4 與 1 各出現兩次，但集合只問「這個數是不是成員」，所以只算一次；去重後剩下 0、1、4 三個數。