回課文。每題先自己做,需要時再依序展開提示。看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成,隔一段時間不看提示以原題重做。L5 會揭示完整答案。
答案的寫法可以不同:你的式子只要化簡後和 L5 的式子相同就算對,例如 y=(8−2x)/3 與 y=−(2/3)x+8/3 是同一個式子;但題目要求「排成降冪」或「寫出 a 與 b」時,請照題目要求的形式寫。
記號:x、y 為實數;分數請寫成最簡分數,整數就寫整數。題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。
請寫出每一步「對兩邊做了什麼」,最後再做一項檢查。
這題要的是 y 單獨留在等號左邊。現在 y 旁邊還有哪些項?它們要怎麼處理?〔回課文:整理的步驟〕
把不含 y 的項都移到等號另一邊。每一項移過去時,符號會怎樣?想想「兩邊同時減去(或加上)同一項」。〔回課文:哪些運算不會改變解〕
方法:兩邊同減 5x、同加 9,讓左邊只剩 y。這題 y 的係數已經是 1,不必再除。
照這個方法做完後,右邊會有一個含 x 的項和一個常數項。檢查用的數字:x=1 代入原方程式得 5+y−9=0,所以 y=4;你的式子在 x=1 必須算出 4。
5x+y−9=0,兩邊減 5x、加 9,得 y=−5x+9。所以 a=−5,b=9。檢查:符號代回,5x+(−5x+9)−9=0 恆成立;數值:x=1 時 y=4,代回 5+4−9=0;x=2 時 y=−1,代回 10−1−9=0。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):(甲)寫成 y=5x−9(a=5,b=−9),移項時沒有變號;x=1 時 y=−4,代回 5−4−9=−8,不等於 0(正確為 y=−5x+9)。(乙)寫成 y=−5x−9,只有 5x 變號、9 沒有變號;x=1 時 y=−14,代回 5−14−9=−18,不等於 0(正確為 b=9)。(丙)把 y=9−5x 讀成 a=9、b=−5,弄混 a 是 x 的係數(正確為 a=−5,b=9)。
補救1:先看〔回課文:常見的錯:移項不變號〕:移項就是兩邊同加減同一項,所以移過去的每一項都要變號。重做時在每一行旁邊寫「兩邊減(或加)了什麼」。 補救2:先看〔回課文:y=f(x) 是什麼〕:y=ax+b 裡 a 是 x 的係數、b 是不含 x 的常數項;整理後先排成「x 的項在前、常數在後」再讀 a、b。 針對本題:先寫「兩邊減 5x」,再寫「兩邊加 9」,最後用 x=1 檢查。 回到原題時,要把整個整理過程完整重寫,不可只改最後一個數;看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示以原題重做。
回到本題題面:看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示以原題重做。
記號:x、y 為實數;分數請寫成最簡分數,整數就寫整數。題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。
請寫出每一步「對兩邊做了什麼」,最後再做一項檢查。
這題的 y 前面是什麼符號?要把 y 單獨留在左邊,最後左邊應該是 y,還是 −y?〔回課文:整理的步驟〕
先把 x² 移到另一邊,看看左邊剩下什麼;如果剩下的不是 y 本身,還要再做一次「兩邊同乘或同除」。〔回課文:哪些運算不會改變解〕
方法:兩邊減 x²,得到 −y 在左邊;再兩邊同除以 −1,右邊每一項的正負號都要改變。
做完後右邊是由 x² 與常數組成的式子。檢查用的數字:x=1 代入原方程式得 1−y=4,所以 y=−3;你的 f(1) 必須是 −3。f(3) 請自己代入算。
x²−y=4,兩邊減 x²,得 −y=4−x²;兩邊除以 −1,得 y=x²−4。所以 f(x)=x²−4,f(3)=3²−4=5。檢查:符號代回,x²−(x²−4)=4 恆成立;數值:x=3 時原方程式 9−y=4,得 y=5,與 f(3) 相同。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):(甲)寫成 y=4−x²,−y=4−x² 之後忘了處理 −y 的負號;f(3)=−5,代回 9−(−5)=14,不等於 4(正確為 y=x²−4)。(乙)寫成 y=−x²−4,x² 移項時沒有變號;f(3)=−13,代回 9+13=22,不等於 4(正確為 y=x²−4)。(丙)把 f(3) 算成 6−4=2,把 3² 當成 3×2(正確為 3²=9,f(3)=5)。
補救1:先看〔回課文:整理的步驟〕:y 的係數是 −1 時,要除以 −1,右邊每一項都要變號。重做時先寫「−y=4−x²」,再寫「兩邊除以 −1」。 補救2:先看〔回課文:y=f(x) 是什麼〕:f(3) 是把 x=3 代進 f(x) 的式子;3² 是 3×3=9。重做時把代入寫成 3²−4。 針對本題:先寫「−y=4−x²」,再除以 −1,最後用 x=3 代入原方程式求 y,比較是否等於 f(3)。 回到原題時,要把整個整理過程完整重寫,不可只改最後一個數;看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示以原題重做。
回到本題題面:看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示以原題重做。
記號:x、y 為實數;分數請寫成最簡分數,整數就寫整數。題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。
請寫出你選的代號,並對每個沒選的式子,舉一個 x 的值,說明它代入後 y 有兩個值。
「能整理成 y=f(x)」的關鍵:把 y 孤立之後,代入一個 x,右邊會算出幾個 y?只算出一個才行。〔回課文:哪些方程式整理得成 y=f(x)〕
逐式看 y 出現的樣子:y 只以一次方出現,還是出現了 y²?x 出現平方,有沒有影響?〔回課文:哪些方程式整理得成 y=f(x)〕
方法:有 y² 的式子,選一個容易的 x 代入,看 y² 等於幾、y 有幾個值;y 只有一次方的式子,試著把 y 單獨留在左邊。
四個式子都先看 y 是以幾次方出現。對 y 有平方的式子,請自己選一個容易算的 x(讓右邊算出來是完全平方數)代入,得到「y² 等於某數」的方程式,再數 y 有幾個值;對 y 只有一次方的式子,請自己把 y 孤立,確認右邊只含 x。
(乙)x²−4y=8,−4y=8−x²,y=x²/4−2,能。(丁)7x+2y=x²,2y=x²−7x,y=(x²−7x)/2,能。(甲)x=2 時 y²=13−4=9,y=3 或 y=−3,同一個 x 有兩個 y,不能。(丙)x=5 時 5=y²+1,y²=4,y=2 或 y=−2,不能。答案:乙、丁。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):(錯法一)只選乙,漏掉丁,以為式子裡 x² 與 7x 同時出現就不行(丁的 y 只以一次方出現,2y=x²−7x,能整理成 y=(x²−7x)/2;正確為乙、丁)。(錯法二)選了乙、丙、丁,以為「x=」開頭的式子已經整理好了;但丙取 x=5 時 y=2 或 y=−2,有兩個值(正確為乙、丁)。(錯法三)四個都選,以為有平方就都可以;但甲取 x=2 時 y=3 或 y=−3(正確為乙、丁)。
補救1:先看〔回課文:哪些方程式整理得成 y=f(x)〕:判斷看的是 y 的次數,不是 x 的次數;x 出現 x² 沒關係,y 出現 y² 才會出現「一個 x 兩個 y」。 補救2:先看〔回課文:常見的錯:遇到 y²〕:對有疑問的式子,取一個 x 代入,數一數 y 有幾個值。重做時每個式子都寫出「y 是以幾次方出現」。 針對本題:先圈出每個式子裡 y 的最高次方,再對有 y² 的式子各取一個 x 檢查。 回到原題時,要把整個整理過程完整重寫,不可只改最後一個數;看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示以原題重做。
回到本題題面:看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示以原題重做。
記號:x、y 為實數;分數請寫成最簡分數,整數就寫整數。題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。
請寫出每一步「對兩邊做了什麼」,最後再做一項檢查。
這題 y 的係數是多少?除了移項,還需要做哪一個動作,y 才會單獨在一邊?〔回課文:整理的步驟〕
先把不含 y 的項移到右邊;之後 y 前面的係數不是 1,要對兩邊做同一個除法,右邊每一項都要除。〔回課文:哪些運算不會改變解〕
方法:兩邊同加 4x、同減 10,讓左邊只剩 2y;再兩邊同除以 2。
兩邊同加 4x、同減 10 之後,是 2y=4x−10(這是中間結果)。接著把右邊的兩項各除以 2。檢查用的數字:x=3 代入原方程式 2y−12+10=0,得 y=1;你的式子在 x=3 必須算出 1。
2y−4x+10=0,兩邊加 4x、減 10,得 2y=4x−10;兩邊除以 2,得 y=2x−5。所以 a=2,b=−5。檢查:符號代回,2(2x−5)−4x+10=4x−10−4x+10=0 恆成立;數值:x=3 時 y=1,代回 2−12+10=0;x=0 時 y=−5,代回 −10−0+10=0。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):(甲)寫成 y=2x+5,移項時 10 沒有變號;x=3 時 y=11,代回 22−12+10=20,不等於 0(正確為 y=2x−5)。(乙)寫成 y=4x−5,除以 2 時只除了 −10,沒有除 4x;x=3 時 y=7,代回 14−12+10=12,不等於 0(正確為 y=2x−5)。(丙)寫成 y=2x−10,除以 2 時只除了 4x,沒有除 −10;x=3 時 y=−4,代回 −8−12+10=−10,不等於 0(正確為 y=2x−5)。
補救1:先看〔回課文:常見的錯:移項不變號〕:移過去的每一項都要變號。重做時,每一行旁邊寫上「兩邊加(減)了什麼」。 補救2:先看〔回課文:整理的步驟〕:除以 y 的係數時,「右邊每一項」都要除。重做時把右邊先用括號括起來,寫成 (4x−10)÷2,再逐項除。 針對本題:先寫 2y=4x−10,再寫「右邊每一項都除以 2」,最後用 x=3 檢查。 回到原題時,要把整個整理過程完整重寫,不可只改最後一個數;看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示以原題重做。
回到本題題面:看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示以原題重做。
記號:x、y 為實數;分數請寫成最簡分數,整數就寫整數。題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。
請寫出每一步「對兩邊做了什麼」,最後再做一項檢查。
y 的係數是多少?這題需要哪兩個動作,y 才會單獨在一邊?〔回課文:整理的步驟〕
先把 3x 移到右邊,再兩邊同除以 y 的係數;右邊每一項(包括分子裡的每一項)都要除。〔回課文:哪些運算不會改變解〕
方法:兩邊減 3x,得 4y=6−3x;再兩邊同除以 4,把右邊拆成兩項並約分,最後排成降冪。
4y=6−3x(這是中間結果)。右邊是 6 與 −3x 兩項,各除以 4 並約分;x 的係數會是負的分數。檢查用的數字:x=2 代入原方程式 6+4y=6,得 y=0;你的 f(2) 必須是 0。f(6) 請自己算。
3x+4y=6,兩邊減 3x,得 4y=6−3x;兩邊除以 4,得 y=6/4−(3/4)x=−(3/4)x+3/2。所以 f(x)=−(3/4)x+3/2,f(6)=−18/4+3/2=−9/2+3/2=−3。檢查:符號代回,3x+4(−(3/4)x+3/2)=3x−3x+6=6 恆成立;數值:x=6,y=−3,代回 18−12=6;x=2,y=0,代回 6+0=6。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):(甲)寫成 y=3/2−3x,除以 4 時只除了 6,沒有除 3x;f(6)=3/2−18=−33/2,代回 18−66=−48,不等於 6(正確為 y=−(3/4)x+3/2,f(6)=−3)。(乙)寫成 y=(3/4)x+3/2,3x 移項時沒有變號;f(6)=6,代回 18+24=42,不等於 6(正確為 f(6)=−3)。(丙)寫成 y=−(3/4)x+6,除以 4 時只除了 3x,沒有除 6;f(6)=3/2,代回 18+6=24,不等於 6(正確為 f(6)=−3)。
補救1:先看〔回課文:整理的步驟〕:除以 4 要「每一項」都除,6 也要變成 6/4=3/2。重做時先把 (6−3x)÷4 拆成 6÷4 與 3x÷4。 補救2:先看〔回課文:常見的錯:移項不變號〕:3x 移到右邊要變號。重做時在 4y=6−3x 這一行旁邊寫「兩邊減 3x」。 針對本題:先得到 4y=6−3x,再逐項除以 4,最後用 x=2 與 x=6 檢查。 回到原題時,要把整個整理過程完整重寫,不可只改最後一個數;看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示以原題重做。
回到本題題面:看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示以原題重做。
記號:x、y 為實數;分數請寫成最簡分數,整數就寫整數。題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。
請寫出每一步「對兩邊做了什麼」,最後再做一項檢查。
這題的 y 在等號兩邊都有。想想看:怎樣才能讓 y 只留在一邊?〔回課文:整理的步驟〕
先把兩邊的 y 項合併到同一邊(兩邊同減 2y),再把含 x 的項與常數移到另一邊。〔回課文:哪些運算不會改變解〕
方法:兩邊減 2y,得 3y−x=9;兩邊加 x,得 3y 在左邊;再兩邊同除以 3,右邊每一項都除。
兩邊減 2y、再加 x 之後,是 3y=x+9(這是中間結果)。接著兩邊同除以 3。檢查用的數字:x=3 代入原方程式 5y−3=2y+9,得 3y=12,y=4;你的 f(3) 必須是 4。f(9) 請自己算。
5y−x=2y+9,兩邊減 2y,得 3y−x=9;兩邊加 x,得 3y=x+9;兩邊除以 3,得 y=x/3+3。所以 f(x)=(1/3)x+3,f(9)=3+3=6。檢查:符號代回,5((1/3)x+3)−x=(5/3)x+15−x=(2/3)x+15,而 2((1/3)x+3)+9=(2/3)x+15,兩邊相等恆成立;數值:x=9,y=6,左邊 5×6−9=21,右邊 2×6+9=21。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):(甲)寫成 y=(x+9)/7,把 2y 移到左邊時沒有變號,得 7y−x=9;f(9)=18/7,代回左邊 5×(18/7)−9=27/7,右邊 2×(18/7)+9=99/7,不相等(正確為 f(x)=(1/3)x+3)。(乙)寫成 y=x+3,除以 3 時只除了 9、沒有除 x;f(9)=12,代回左邊 5×12−9=51,右邊 2×12+9=33,不相等(正確為 f(9)=6)。
補救1:先看〔回課文:整理的步驟〕:y 在兩邊時,先用「兩邊同減 2y」把 y 項合併;移過去的 2y 要變號,所以是 5y−2y=3y。 補救2:先看〔回課文:常見的錯:只除了一項〕:除以 3 時,x 與 9 都要除。重做時把 (x+9)÷3 拆成 x÷3 與 9÷3。 針對本題:先得到 3y=x+9,再逐項除以 3,最後用 x=3 與 x=9 檢查。 回到原題時,要把整個整理過程完整重寫,不可只改最後一個數;看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示以原題重做。
回到本題題面:看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示以原題重做。
記號:x、y 為實數;分數請寫成最簡分數,整數就寫整數。題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。
請寫出每一步「對兩邊做了什麼」,最後再做一項檢查。
y 的係數是多少?要移走的有哪幾項?〔回課文:整理的步驟〕
y 的係數已經是 1,只需要移項;右邊三項,每一項移過去時,符號都要改變。〔回課文:哪些運算不會改變解〕
方法:兩邊減 2x²、加 8x、減 5,讓左邊只剩 y;再把右邊排成 x² 項、x 項、常數項的降冪。
做完後右邊有 x² 項、x 項、常數項各一個。檢查用的數字:x=1 代入原方程式 y+2−8+5=0,得 y=1;你的 f(1) 必須是 1。f(3) 請自己算。
y+2x²−8x+5=0,兩邊減 2x²、加 8x、減 5,得 y=−2x²+8x−5。所以 f(x)=−2x²+8x−5,f(3)=−2×9+24−5=−18+24−5=1。檢查:符號代回,(−2x²+8x−5)+2x²−8x+5=0 恆成立;數值:x=3,y=1,代回 1+18−24+5=0;x=1,y=1,代回 1+2−8+5=0。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):(甲)寫成 y=2x²−8x+5,三項都沒有變號;f(3)=−1,代回 −1+18−24+5=−2,不等於 0(正確為 f(x)=−2x²+8x−5)。(乙)寫成 y=−2x²+8x+5,只有常數項沒有變號;f(3)=11,代回 11+18−24+5=10,不等於 0(正確為 f(3)=1)。(丙)把 f(3) 的 −2x² 算成 (−2×3)²=36,得 36+24−5=55(正確為 −2×3²=−18,f(3)=1)。
補救1:先看〔回課文:常見的錯:移項不變號〕:右邊每一項各自檢查正負號。重做時在三項下面各寫「原本在左邊是 +2x²、−8x、+5」。 補救2:先看〔回課文:y=f(x) 是什麼〕:f(3) 是把 x=3 代入;−2x² 是先算 3²=9 再乘 −2,不是把 −2 與 3 先乘再平方。 針對本題:先逐項移項並排好降冪,再用 x=1 檢查,最後才代入 x=3。 回到原題時,要把整個整理過程完整重寫,不可只改最後一個數;看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示以原題重做。
回到本題題面:看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示以原題重做。
記號:x、y 為實數;分數請寫成最簡分數,整數就寫整數。題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。
請寫出每一步「對兩邊做了什麼」,最後再做一項檢查。
y 的係數是多少?先移項還是先除?〔回課文:整理的步驟〕
先把含 x 的項移到右邊,留下 4y=…;再兩邊同除以 4,右邊每一項都要除。〔回課文:哪些運算不會改變解〕
方法:兩邊加 x²、減 2x,得到左邊只剩 4y;右邊三項各除以 4,x² 與 x 的係數會變成分數。
兩邊加 x²、減 2x 之後,是 4y=x²−2x+8(這是中間結果)。右邊三項各除以 4。檢查用的數字:x=2 代入原方程式 4y−4+4=8,得 y=2;你的 f(2) 必須是 2。f(8) 請自己算。
4y−x²+2x=8,兩邊加 x²、減 2x,得 4y=x²−2x+8;兩邊除以 4,得 y=x²/4−x/2+2。所以 f(x)=(1/4)x²−(1/2)x+2,f(8)=64/4−8/2+2=16−4+2=14。檢查:符號代回,4((1/4)x²−(1/2)x+2)−x²+2x=x²−2x+8−x²+2x=8 恆成立;數值:x=8,y=14,代回 56−64+16=8;x=2,y=2,代回 8−4+4=8。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):(甲)寫成 y=x²−2x+2,除以 4 時只除了 8,x² 與 2x 沒有除;f(8)=50,代回 200−64+16=152,不等於 8(正確為 f(8)=14)。(乙)寫成 y=(1/4)x²+(1/2)x+2,2x 移項時沒有變號;f(8)=22,代回 88−64+16=40,不等於 8(正確為 f(8)=14)。(丙)把 f(8) 的 (1/4)x² 算成 (8/4)²=4,得 4−4+2=2(正確為 (1/4)×64=16,f(8)=14)。
補救1:先看〔回課文:整理的步驟〕:除以 4 時,右邊三項都要除。重做時先把 (x²−2x+8)÷4 拆成三個分數再約分。 補救2:先看〔回課文:常見的錯:移項不變號〕:移項後 x² 的符號是 +,2x 的符號是 −。重做時在 4y=x²−2x+8 旁邊寫「兩邊加 x²、減 2x」。 針對本題:先得到 4y=x²−2x+8,逐項除以 4,用 x=2 檢查,最後才代入 x=8。 回到原題時,要把整個整理過程完整重寫,不可只改最後一個數;看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示以原題重做。
回到本題題面:看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示以原題重做。
記號:x、y 為實數;分數請寫成最簡分數,整數就寫整數。題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。
請寫出每一步「對兩邊做了什麼」,最後再做一項檢查。
方程式裡有分數。有哪一種等價運算,可以一次把所有分母去掉?〔回課文:整理的步驟〕
兩邊同乘 2 與 3 的公倍數;左右兩邊「每一項」都要乘。〔回課文:哪些運算不會改變解〕
方法:兩邊同乘 6,左邊兩項、右邊兩項都要乘;然後把含 x² 的項移到右邊,再兩邊同除以 y 的係數。
兩邊乘 6 並移項之後,是 3y=−2x²+6x+6(這是中間結果)。接著兩邊除以 3。檢查用的數字:x=3 代入原方程式 y/2+3=4,得 y=2;你的 f(3) 必須是 2。f(−3) 請自己算。
兩邊同乘 6:3y+2x²=6+6x;兩邊減 2x²,得 3y=−2x²+6x+6;兩邊除以 3,得 y=−(2/3)x²+2x+2。所以 f(x)=−(2/3)x²+2x+2,f(−3)=−(2/3)×9−6+2=−6−6+2=−10。檢查:符號代回,(−(2/3)x²+2x+2)/2+x²/3=−x²/3+x+1+x²/3=1+x 恆成立;數值:x=−3,y=−10,左邊 −10/2+9/3=−5+3=−2,右邊 1+(−3)=−2;x=3,y=2,左邊 1+3=4,右邊 1+3=4。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):(甲)寫成 y=−(2/3)x²+2x+1/3,兩邊乘 6 時右邊的 1 沒有乘,得 3y+2x²=1+6x;f(−3)=−35/3,代回左邊 −35/6+3=−17/6,右邊 −2,不相等(正確為 f(x)=−(2/3)x²+2x+2)。(乙)寫成 y=−x²+2x+2,把 6×(x²/3) 算成 3x²(正確為 2x²);f(−3)=−13,代回左邊 −13/2+3=−7/2,右邊 −2,不相等(正確為 f(−3)=−10)。
補救1:先看〔回課文:整理的步驟〕:去分母時,左右兩邊每一項都要乘 6,常數項 1 也要變成 6。重做時把每一項各乘 6 的結果並排寫出來。 補救2:先看〔回課文:示範四〕:6×(x²/3) 是 6÷3=2,得 2x²,不是 3x²。重做時逐項寫出「6×」的結果。 針對本題:先寫 3y+2x²=6+6x,再移項、除以 3,最後用 x=3 與 x=−3 檢查。 回到原題時,要把整個整理過程完整重寫,不可只改最後一個數;看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示以原題重做。
回到本題題面:看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示以原題重做。
記號:x、y 為實數;分數請寫成最簡分數,整數就寫整數。題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。
請指出「第幾行 → 第幾行」出錯,再寫出完整的正確整理過程與檢查。
取 x=1,用原方程式 2y+6x=8 求出 y。再取 x=1 代入小明的最後一行,看兩者是不是相同。
兩邊同除以 2 的時候,等號兩邊「每一項」都要除。逐行檢查,看每一次除法是不是每一項都除了。〔回課文:哪些運算不會改變解〕
檢驗方法:逐行比較。原方程式在 x=1 時 y=1,小明的最後一行在 x=1 時 y=−2,兩者不同,代表中間有一步不是等價運算;找出第一個出錯的位置,再重新整理。
正確的做法:先移項,得 2y=8−6x,再兩邊同除以 2,右邊兩項各除以 2。請自己寫出結果並排成 y=ax+b。檢查用的數字:你的式子在 x=1 必須算出 1。
錯在第一行到第二行:兩邊除以 2 時,2y 變成 y、8 變成 4,但 6x 沒有除(應變成 3x),所以 y+6x=4 與原方程式不等價。正確整理:2y+6x=8,兩邊減 6x,得 2y=8−6x;兩邊除以 2,得 y=4−3x,也就是 y=−3x+4。所以 a=−3,b=4。符號代回:2(−3x+4)+6x=−6x+8+6x=8 恆成立。小明的 y=4−6x 在 x=1 時 y=−2,代回 2×(−2)+6=2,不等於 8;正確式在 x=1 時 y=1,代回 2+6=8,成立。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):重做時,(甲)寫成 y=8−3x,除以 2 時只除了 6x、沒有除 8;x=1 時 y=5,代回 10+6=16,不等於 8(正確為 y=−3x+4)。(乙)寫成 y=3x+4,移項時 6x 沒有變號,得 2y=8+6x;x=1 時 y=7,代回 14+6=20,不等於 8(正確為 y=−3x+4)。
補救1:先看〔回課文:整理的步驟〕:除以係數時,右邊(或整個等式)每一項都要除。重做時先在 2y=8−6x 的右邊加括號,寫成 (8−6x)÷2。 補救2:先看〔回課文:常見的錯:只除了一項〕:用 x=1 代回檢查,看原方程式與你的式子是否得到相同的 y。 針對本題:先寫 2y=8−6x,再逐項除以 2,最後排成 y=ax+b 並讀出 a、b。 回到原題時,要把整個整理過程完整重寫,不可只改最後一個數;看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示以原題重做。
回到本題題面:看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示以原題重做。
記號:x、y 為實數;分數請寫成最簡分數,整數就寫整數。題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。
請指出「第幾行 → 第幾行」出錯,再寫出完整的正確整理過程與檢查。
取 x=3,用原方程式 x²−3y=12 求出 y;再取 x=3 代入小華的最後一行,看兩者是不是相同。
逐行檢查,每一次移項時,移過去的項,符號有沒有改變?〔回課文:哪些運算不會改變解〕
方法:對小華的每一行,自己重做一次「兩邊同時做同一件事」,把你的結果和他寫的那一行逐項比較,看哪一行的哪一項不一樣。
請自己重新做一次移項,得到 −3y=(右邊)。接著兩邊同除以 −3,右邊兩項各除以 −3,正負號都要改變。檢查用的數字:x=3 代入原方程式 9−3y=12,得 y=−1;你的 f(3) 必須是 −1。
錯在第一行到第二行:x² 移到右邊時沒有變號。兩邊減 x² 應得 −3y=12−x²,小華寫成 12+x²。正確整理:−3y=12−x²;兩邊除以 −3,得 y=−4+x²/3,也就是 f(x)=x²/3−4。符號代回:x²−3(x²/3−4)=x²−x²+12=12 恆成立。小華的 y=−4−x²/3 在 x=3 時 y=−7,代回 9−3×(−7)=30,不等於 12;正確式在 x=3 時 y=−1,代回 9+3=12,成立。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):重做時,(甲)寫成 y=4−x²/3,除以 −3 時當成除以 3、沒有改變正負號;x=3 時 y=1,代回 9−3=6,不等於 12(正確為 f(x)=x²/3−4)。(乙)寫成 y=x²/3+4,只有 x² 項改了正負號、常數項沒改;x=3 時 y=7,代回 9−21=−12,不等於 12(正確為 f(x)=x²/3−4)。
補救1:先看〔回課文:常見的錯:y 的係數是負數〕:係數是 −3,就除以 −3,右邊 12 與 −x² 兩項的正負號都改變。 補救2:先看〔回課文:哪些運算不會改變解〕:移項就是兩邊同加減,移過去的項要變號。重做時在每一行旁邊寫「兩邊做了什麼」。 針對本題:先寫對 −3y=12−x²,再除以 −3,最後用 x=3 代回檢查。 回到原題時,要把整個整理過程完整重寫,不可只改最後一個數;看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示以原題重做。
回到本題題面:看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示以原題重做。
記號:x、y 為實數;分數請寫成最簡分數,整數就寫整數。題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。
請指出「第幾行 → 第幾行」出錯,再寫出完整的正確整理過程與檢查。
取 x=1,用原方程式 2(y+x²)=4x+6 求出 y;再取 x=1 代入小美的最後一行,看兩者是不是相同。
括號前面有數的時候,去括號要乘到括號裡的「每一項」。逐行檢查,小美每一步有沒有做到。〔回課文:先備(乘法分配律)〕
方法:逐行檢驗,找第一個和原方程式不等價的位置;可以取 x=1,算出原方程式的 y,再和每一行整理出來的結果比較。
請自己重新去括號(括號前的 2 要乘到括號內每一項)。接著把含 x² 的項移到右邊,再兩邊除以 2,右邊三項各除以 2。檢查用的數字:x=1 代入原方程式 2(y+1)=10,得 y=4;你的 f(1) 必須是 4。
錯在第一行到第二行:2(y+x²)=2y+2x²,小美只把 2 乘到 y,沒有乘到 x²。正確整理:2y+2x²=4x+6;兩邊減 2x²,得 2y=−2x²+4x+6;兩邊除以 2,得 y=−x²+2x+3。所以 f(x)=−x²+2x+3。符號代回:2((−x²+2x+3)+x²)=2(2x+3)=4x+6 恆成立。小美的式子在 x=1 時 y=9/2,代回 2×(9/2+1)=11,不等於 10;正確式在 x=1 時 y=4,代回 2×(4+1)=10,成立。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):重做時,(甲)寫成 y=x²+2x+3,x² 移到右邊時沒有變號;x=1 時 y=6,代回 2×7=14,不等於 10(正確為 f(x)=−x²+2x+3)。(乙)寫成 y=−x²+4x+6,除以 2 時只除了 −2x²,4x 與 6 沒有除;x=1 時 y=9,代回 2×10=20,不等於 10(正確為 f(x)=−x²+2x+3)。
補救1:先看〔回課文:先備(乘法分配律)〕:括號前面的數要乘到括號內每一項(乘法分配律)。重做時先寫 2×y+2×x²。 補救2:先看〔回課文:整理的步驟〕:除以 2 時,右邊三項都要除。重做時把 (−2x²+4x+6)÷2 逐項寫出。 針對本題:先寫對 2y+2x²=4x+6,再移項、逐項除以 2,最後用 x=1 檢查。 回到原題時,要把整個整理過程完整重寫,不可只改最後一個數;看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示以原題重做。
回到本題題面:看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示以原題重做。
記號:x、y 為實數;分數請寫成最簡分數,整數就寫整數。題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。
請寫出代回檢查的過程、你的判斷,以及正確的整理過程。
「代回」的意思是:把算出的 (x, y) 放進原來的方程式,看左右兩邊是否相等。〔回課文:代回檢查〕
x=1 時,小強的式子給出的 y 是多少?再把 (1, 這個 y) 代入 4x−2y,看是不是 6。〔回課文:代回檢查〕
方法:如果代回後不成立,就重新整理:先把 4x 移到右邊,再兩邊同除以 −2,注意負號。
兩邊減 4x,得 −2y=6−4x(這是中間結果)。右邊兩項都除以 −2。檢查用的數字:x=1 代入原方程式 4−2y=6,得 y=−1;你的 f(1) 必須是 −1。
小強的式子在 x=1 時 y=5;代回 4×1−2×5=−6,不等於 6,所以他的結果不對。正確整理:4x−2y=6,兩邊減 4x,得 −2y=6−4x;兩邊除以 −2,得 y=−3+2x,也就是 y=2x−3。所以 a=2,b=−3。檢查:符號代回,4x−2(2x−3)=4x−4x+6=6 恆成立;數值:x=1,y=−1,代回 4+2=6;x=2,y=1,代回 8−2=6。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):重做時,(甲)寫成 y=3−2x,兩邊除以 −2 時當成除以 2、沒有改正負號;x=1 時 y=1,代回 4−2=2,不等於 6(正確為 y=2x−3)。(乙)重做時又寫回 y=2x+3,除以 −2 時只改了 4x 的符號、6 的符號沒有改;x=1 時 y=5,代回 4−10=−6,不等於 6(正確為 y=2x−3)。
補救1:先看〔回課文:代回檢查〕:代回檢查就是把 (x, y) 放進原方程式,看左右兩邊有沒有相等;不相等就表示整理錯了。 補救2:先看〔回課文:常見的錯:y 的係數是負數〕:係數是 −2,就除以 −2,右邊每一項的正負號都改變。 針對本題:先用 x=1 代回確認小強的式子不成立,再重新整理並用 x=1、x=2 檢查。 回到原題時,要把整個整理過程完整重寫,不可只改最後一個數;看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示以原題重做。
回到本題題面:看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示以原題重做。
記號:x、y 為實數;分數請寫成最簡分數,整數就寫整數。題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。
請寫出 y 的所有值,並說明為什麼 y²=4x 不能整理成 y=f(x)。
把 x=4 代入 y²=4x,會得到一個只含 y 的方程式。它是什麼?〔回課文:哪些方程式整理得成 y=f(x)〕
這個方程式「y 的平方等於一個數」,有幾個 y 滿足?想想正數與負數平方之後的結果。〔回課文:哪些方程式整理得成 y=f(x)〕
方法:解「y 的平方等於某個數」的方程式時,要找出所有平方後等於它的數。再把你找到的每個 y 代回 y²=4x 驗證。
x=4 時,方程式變成 y²=16。請找出所有滿足的 y,並分別代回 y²=4x 檢驗。想一想:同一個 x 對到幾個 y?
x=4 時,y²=4×4=16,y=4 或 y=−4(4²=16,(−4)²=16,兩個都滿足 y²=4x)。同一個 x=4 對到兩個不同的 y,所以 y²=4x 不是 y=f(x) 的形式。小琪開根號時只寫了正的 2√x,漏掉了負的 −2√x;例如 (4, −4) 滿足 y²=4x,卻不滿足 y=2√x(2√4=4,不是 −4)。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):(甲)只寫 y=4,漏掉 y=−4;(4, −4) 代回 (−4)²=16=4×4,成立,所以 −4 也是解(正確為 y=4 或 y=−4)。(乙)把 y²=16 寫成 y=8(以為「平方」是除以 2);代回 8²=64,不等於 16(正確為 y=4 或 y=−4)。
補救1:先看〔回課文:哪些方程式整理得成 y=f(x)〕:y 以平方出現時,孤立之後會得到「y² 等於某數」,正數有兩個平方根。 補救2:先看〔回課文:常見的錯:遇到 y²〕:任何可能的 y,都代回原方程式驗證。重做時把 4 與 −4 都代回 y²=4x。 針對本題:先寫 y²=16,列出所有 y,並各自代回驗證,再說明為什麼不是 y=f(x)。 回到原題時,要把整個整理過程完整重寫,不可只改最後一個數;看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示以原題重做。
回到本題題面:看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示以原題重做。
記號:x、y 為實數;分數請寫成最簡分數,整數就寫整數。題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。
請分別寫出 (1)(2)(3) 的答案,並說明 (2) 與 (3) 是否相同,以及這代表什麼。
y 的係數是 1,需要幾次移項?要移走哪些項?〔回課文:整理的步驟〕
把 x² 與 −2x 都移到右邊,每一項變號。(3):把 x=6 代進去之後,原方程式會變成只含 y 的一元一次方程式。〔回課文:代回檢查〕
方法:(1)兩邊減 x²、加 2x,再排成降冪。(2)把 x=6 代入你的 f(x)。(3)直接把 x=6 代入原方程式,解出 y。
(1)右邊會有 x² 項、x 項、常數項各一個,請自己決定每一項的正負號。(3)代入 x=6 後,原方程式變成 6²−2×6+y=7,請自己化簡並解出 y。
(1)x²−2x+y=7,兩邊減 x²、加 2x,得 y=−x²+2x+7,所以 f(x)=−x²+2x+7。(2)f(6)=−36+12+7=−17。(3)x=6 代入原方程式:36−12+y=7,y=−17。符號代回:x²−2x+(−x²+2x+7)=7 恆成立。(2) 與 (3) 相同,都是 −17,代表整理前後是同一個關係,在 x=6 這一點得到相同的 y。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):(甲)寫成 y=x²−2x+7,三項都沒變號;f(6)=31,代回 36−12+31=55,不等於 7(正確為 f(x)=−x²+2x+7)。(乙)寫成 y=−x²+2x−7,只有常數項變了號;f(6)=−31,代回 36−12−31=−7,不等於 7(正確為 f(6)=−17)。(丙)(3)中把 −2x 當成 −2(沒有乘上 x=6),得 36−2+y=7,y=−27,與 (2) 不同(正確為 −2x=−2×6=−12,y=−17)。
補救1:先看〔回課文:常見的錯:移項不變號〕:移過去的每一項都要變號;(2) 與 (3) 不相同時,就要回頭檢查整理。 補救2:先看〔回課文:代回檢查〕:代入時,先把代入的數括起來,再算平方與乘法,例如 6²=36、−2×6=−12。 針對本題:先整理出 f(x),再分別求 f(6) 與直接代入求 y,兩個答案相同才算過關。 回到原題時,要把整個整理過程完整重寫,不可只改最後一個數;看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示以原題重做。
回到本題題面:看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示以原題重做。
記號:x、y 為實數;分數請寫成最簡分數,整數就寫整數。題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。
請寫出 f(x),再用它求出買 15 個蘋果時的 y,並用原方程式檢查。
整理成 y=f(x) 之後,只要給 x,就能直接算 y。先處理方程式。〔回課文:為什麼需要〕
y 的係數是 5。先移項,再除以 y 的係數,右邊每一項都要除。〔回課文:整理的步驟〕
方法:兩邊減 4x,得 5y=200−4x;再兩邊同除以 5,把右邊拆成兩項並約分;最後把 x=15 代入。
5y=200−4x(這是中間結果)。右邊兩項各除以 5。檢查用的想法:買 15 個蘋果要花 4×15 元,剩下的錢才是買橘子的花費。
4x+5y=200,兩邊減 4x,得 5y=200−4x;兩邊除以 5,得 y=40−(4/5)x。所以 f(x)=−(4/5)x+40。x=15 時,y=−12+40=28,買 28 個橘子。提醒:這個情境要求 y 也是整數,所以 x 要使 4x 能被 5 整除(也就是 x 是 5 的倍數),15 符合;並不是每個整數 x 都能代入。檢查:符號代回,4x+5(−(4/5)x+40)=4x−4x+200=200 恆成立;數值:原方程式 4×15+5×28=60+140=200,成立。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):(甲)寫成 y=−4x+40,除以 5 時只除了 200、沒有除 4x;x=15 時 y=−20,代回 60−100=−40,不等於 200,而且買橘子的個數不可能是負數(正確為 f(x)=−(4/5)x+40,y=28)。(乙)寫成 y=(4/5)x+40,4x 移項時沒有變號;x=15 時 y=52,代回 60+260=320,不等於 200(正確為 y=28)。
補救1:先看〔回課文:整理的步驟〕:除以 5 時右邊每一項都要除,4x 變成 (4/5)x,200 變成 40。 補救2:先看〔回課文:常見的錯:移項不變號〕:4x 移到右邊要變號。最後用原方程式代回檢查,並確認個數是正的整數。 針對本題:先整理出 f(x),代入 x=15,最後用 4x+5y=200 檢查。 回到原題時,要把整個整理過程完整重寫,不可只改最後一個數;看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示以原題重做。
回到本題題面:看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示以原題重做。
記號:x、y 為實數;分數請寫成最簡分數,整數就寫整數。題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。
請寫出 f(x)(排成降冪),求出水柱高度,並用原方程式檢查。
要知道某個水平距離處的高度,先把方程式整理成 y=f(x),再代入 x。〔回課文:為什麼需要〕
y 的係數是 4。先把含 x 的項移到右邊,再兩邊同除以 4,右邊每一項都要除。〔回課文:整理的步驟〕
方法:兩邊減 x²、加 8x,得 4y 在左邊;再兩邊除以 4,x² 與 x 的係數會變成分數;最後代入 x=2。
兩邊減 x²、加 8x 之後,是 4y=−x²+8x(這是中間結果)。右邊兩項各除以 4。檢查用的數字:x=4 代入原方程式 16−32+4y=0,得 y=4;你的 f(4) 必須是 4。
x²−8x+4y=0,兩邊減 x²、加 8x,得 4y=−x²+8x;兩邊除以 4,得 y=−x²/4+2x。所以 f(x)=−(1/4)x²+2x。f(2)=−4/4+4=3,水柱高 3 公尺。檢查:符號代回,x²−8x+4(−x²/4+2x)=x²−8x−x²+8x=0 恆成立;數值:原方程式 4−16+4×3=0,成立。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):(甲)寫成 y=(1/4)x²−2x,兩項都沒有變號;f(2)=−3,高度是負的,不合情境,代回 4−16−12=−24,不等於 0(正確為 f(2)=3)。(乙)寫成 y=−(1/4)x²−2x,只有 8x 移項時沒有變號;f(2)=−5,代回 4−16−20=−32,不等於 0(正確為 f(2)=3)。(丙)把 f(2) 的 −x²/4 當成 (−2)²/4=+1(把 −x² 當成 (−x)²),得 1+4=5,代回 4−16+20=8,不等於 0(正確為 f(2)=3)。
補救1:先看〔回課文:常見的錯:移項不變號〕:移過去的每一項都變號。再用「高度不可能是負的」檢查情境是否合理。 補救2:先看〔回課文:y=f(x) 是什麼〕:f(2) 是把 x=2 代入;−x²/4 的 x² 先算,2²=4,再加負號、除以 4,得 −1。 針對本題:先整理出 f(x),代入 x=2,最後用原方程式 x²−8x+4y=0 檢查。 回到原題時,要把整個整理過程完整重寫,不可只改最後一個數;看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示以原題重做。
回到本題題面:看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示以原題重做。
記號:x、y 為實數;分數請寫成最簡分數,整數就寫整數。題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。
| x | −1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|
| y | −2 | −3 | −2 | 1 |
請先把每個選項整理成 y=f(x),再逐一檢查表中的 x,最後寫出你選的代號。
「全部四組都滿足」是要逐一檢查,還是檢查其中一組就夠?〔回課文:代回檢查〕
先把每個選項整理成 y=f(x),再把表中的 x 代進去,看算出的 y 與表中是否相同。〔回課文:整理的步驟〕
方法:先用 x=0 篩一次:哪些選項在 x=0 時得到 y=−3?再用其他 x 檢查剩下的選項。
有兩個以上的選項會通過 x=0 的檢查;對它們再代 x=1,表中的 y 是 −2。請自己找出哪個選項四組都成立。
整理:(甲)y=x²+3;(乙)y=x²−3;(丙)y=−x²−3;(丁)y=x²/2−3。x=0 時,(乙)(丙)(丁)都得 y=−3,(甲)得 3,淘汰。x=1 時,(乙)得 −2,(丙)得 −4,(丁)得 −5/2;表中是 −2,只有 (乙) 通過。再檢查 (乙):x=−1 得 −2,x=2 得 1,都與表相同。答案:乙。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):(錯法一)只檢查 x=0,就選了丙或丁(乙、丙、丁在 x=0 時都得 −3);但丙在 x=1 時得 −4、丁在 x=1 時得 −5/2,與表中的 −2 不同(正確為乙)。(錯法二)把 x²−y=3 整理成 y=x²+3,沒有處理 −y 的負號;這個式子在 x=0 時得 3,與表中的 −3 不同,於是誤把乙淘汰(正確為 y=x²−3,x=0 時得 −3,選乙)。
補救1:先看〔回課文:代回檢查〕:只檢查一個 x 可能剛好通過,要用不同的 x 逐一檢查。 補救2:先看〔回課文:整理的步驟〕:x²−y=3 要把 −y 變成 y,兩邊要乘 −1 或除以 −1,右邊每一項都改變正負號。 針對本題:先把四個選項都整理成 y=f(x),列出 x=0、1 時的 y,淘汰不符的。 回到原題時,要把整個整理過程完整重寫,不可只改最後一個數;看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示以原題重做。
回到本題題面:看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示以原題重做。