反函數與合成：對應關係如何接續與倒轉

FUN13｜反函數與合成：對應關係如何接續與倒轉

適用入口／先備／邊界

適用入口：12 年級數學甲。 本篇只處理三件事：建立合成函數並追蹤實際定義域；求已限定為一對一函數的代數反函數；由原函數圖形作出反函數圖形。它們對應 F-12甲-1 中的合成函數，以及反函數的數式演算與圖形對稱關係。數學乙的對應條目（F-12乙-1）不討論反函數，也沒有一般性的合成函數，因此本篇不列入數學乙。國家教育研究院：數學領域課綱（107年6月）

必要先備：知道函數的定義域、對應域與值域；能代入代數式、解簡單方程與不等式；理解平方、算術平方根及區間記號；能讀取平面上的點坐標。第五節說明圖形反射時，還會使用中點坐標、直線斜率，以及斜率分別為 $1$ 、 $- 1$ 的兩條直線互相垂直這些幾何知識。第一節另借用已學過的指數、對數互換，說明一段計算方法的歷史，不增加指對數求逆題型。三角函數雖列於官方完整條目的先備，本篇的核心推理不使用三角函數，也不需要微分。

學完後應能做到：不只寫出 $f (g (x))$ ，還能說清楚哪些 $x$ 真的能走完整個流程；不只解出一個「反過來的式子」，還能交代反函數的輸入、輸出範圍並雙向回查；不先求代數式，也能依點的對應與端點狀態完成反函數圖形。

範圍邊界：不展開奇偶性、凹凸性、一般平面關係的函數分類、反三角函數、複數分支或微分連鎖律；不討論指數函數與對數函數的交點數。代數求逆與圖形求逆分開示範，不把其中一種方法的完成當作另一種方法也已完成。

一、從替換數字的計算法，到可以操作的對應

學過函數以後，我們很容易把注意力放在一個問題上：

給定輸入，如何算出輸出？

但許多問題還有下一層。算出的輸出，可能必須交給另一套規則；看到最後的結果，也可能需要追問它原來來自哪個輸入。

這兩件事看似相反，其實都要求我們不再只看單一步驟，而要看清楚整個對應的方向與結構。

已經會算，為什麼還需要換一種組織方式？

1614 年，納皮爾出版對數著作。現可讀到的 Edward Wright 英譯序文，保留了他對大數乘除及平方、立方開方的問題描述：這些運算耗時，而且容易出錯。他提出以另一組相應的數代替原數，使部分繁重運算改由加減等較簡單的運算完成。這份史料所說的困境是計算的成本與可靠性，不是當時的人不會乘除。The Open University

原來的方法能得到答案；限制在於，遇到新的大數，又要投入相應的運算工作。另一條路則是先建立可反覆查用的對應，把部分計算工作移到製表階段，再讓使用者利用這份對應完成後續計算。這是「換一種表示再處理」的思想，而不是讓原本不可能的乘法突然變成可能。

以下用今天的常用對數記號重述這種結構，不把它當成納皮爾原表的公式。對正數 $x$ ，有

3 x = 10^{\log_{10} x + \log_{10} 3} .

右邊做了三件事：先把 $x$ 換成它的對數，再加上 $\log_{10} 3$ ，最後以十的次方換回原來的數值尺度。

它之所以能得到 $3 x$ ，不是因為三個步驟看起來合理，而是因為指數律給出

10^{\log_{10} x + \log_{10} 3} = 10^{\log_{10} x} \cdot 10^{\log_{10} 3} = x \cdot 3 .

這個小例子只用來展示結構，並不表示計算 $3 x$ 時一定值得改用查表。

真正重要的是：若能建立適當的對應，就能先到另一種表示中完成操作，再返回原來的表示。

當時出版的對數表讓這種轉換有了可使用的載體；但製表本身仍需大量工作，有限位的表值也不能與上述精確等式混為一談。納皮爾原有對數的規約、表格用途與後來的常用對數並不相同，不能把今天的簡潔公式倒寫成他的原始定義。The Open University

從特定計算法，到「函數的函數」

另一個可查證的節點，是柯西 1821 年的《分析教程》。第一章不只用一般記號表示函數，也把「函數的函數」說明為連續操作：第一步作用於變數，後面的每一步作用於前一步的結果。同章另以對數方程改寫為指數式，展示由關係反求變數的做法。維基文庫

這表明，至少在這份文本中，數學家已明確把「一套規則接上另一套規則」列為可以討論的結構，而不只是個別數字的計算紀錄。一般函數記號能保留「哪一步接在哪一步之後」這種共同關係，不必把討論綁在某一張數表或某幾個數值上。

這裡要分清兩個層次：對數表是特定的轉換計算法；一般函數表示則讓人們能討論許多不同規則共有的接續結構。前者不是本篇三項技能共同的發明事件，柯西的著作也不是本篇要宣稱的唯一發明起點。早期函數用語與今天的約定，仍有差異。The Open University

用現在的觀點看，這種組織方式讓我們能把三個不同的問題分開：

怎麼接？接了以後哪些輸入仍然有效？接過去以後，能不能唯一地返回？

前兩個問題通向合成函數；最後一個問題通向反函數。

二、合成：把上一步的輸出交給下一步

合成記錄的是先後，不是並排

設第一步規則是 $g$ ，第二步規則是 $f$ 。輸入 $x$ 的行程是

x \overset{g}{\to} g (x) \overset{f}{\to} f (g (x)) .

把這兩步合成一個函數，記作

(f \circ g) (x) = f (g (x)) .

符號 $f \circ g$ 讀作「 $f$ 合成 $g$ 」，但作用時是右邊的 $g$ 先做，左邊的 $f$ 後做。原因直接藏在括號裡：外面的 $f$ 要等裡面的 $g (x)$ 算好，才有自己的輸入。這裡的 $\circ$ 不是乘號。OpenStax

例如，令

f (u) = u + 1, g (x) = 2 x,

兩個函數的定義域都是 $ℝ$ 。那麼

(f \circ g) (x) = f (2 x) = 2 x + 1 .

這是先乘二，再加一。

反過來，

(g \circ f) (x) = g (x + 1) = 2 (x + 1) = 2 x + 2,

則是先加一，再把整個結果乘二。

取 $x = 0$ 回查，第一個流程得到 $1$ ，第二個流程得到 $2$ 。所以即使兩個流程都能執行，它們也未必得到相同結果：

f \circ g \neq g \circ f

是完全可能的。

合成不保證能交換順序，不是符號的任性規定，而是順序真的可能改變下一步接到的輸入。

不過，「不保證能交換」也不是「任何兩個函數都不能交換」。例如，定義在 $ℝ$ 上的兩個平移

u (x) = x + 1, v (x) = x + 2

就滿足

u (v (x)) = x + 3 = v (u (x)) .

因此，應檢查具體函數與定義域，不能事先假定兩種順序必定相同，也不能事先斷言必定不同。

能接上，不代表每個輸入都能通過

寫出 $f (g (x))$ 時，還有兩道必須通過的條件。

第一道是 $x$ 必須能進入 $g$ ，也就是

x \in D_{g} .

第二道是 $g$ 算出的結果必須能進入 $f$ ，也就是

g (x) \in D_{f} .

因此，合成函數的實際定義域是

D_{f \circ g} = {x \in D_{g} : g (x) \in D_{f}} .

這裡的 $D_{g}$ 、 $D_{f}$ 分別代表 $g$ 、 $f$ 的定義域。第二個條件檢查的是 $g (x)$ ，不是再檢查一次原來的 $x$ 。所以不能把合成函數的定義域一律寫成 $D_{g} \cap D_{f}$ 。OpenStax

若 $g$ 的所有實際輸出都落在 $D_{f}$ 裡，也就是 $R_{g} \subseteq D_{f}$ ，合成就能在整個 $D_{g}$ 上執行。否則，只能保留其中能走完整個流程的輸入。

核心示例：分式接上平方根，定義域怎麼追？

現在換一組函數：

f (u) = \sqrt{u - 1}, D_{f} = [1, \infty),

g (x) = \frac{1}{x - 2}, D_{g} = ℝ ∖ {2} .

先代入內函數，得到

(f \circ g) (x) = \sqrt{\frac{1}{x - 2} - 1} = \sqrt{\frac{3 - x}{x - 2}} .

但式子寫出來，不代表工作已經結束。

首先，內函數的分母不能為零，所以

x \neq 2 .

其次，外函數只接受至少為 $1$ 的輸入，因此必須有

g (x) \geq 1,

也就是

\frac{1}{x - 2} \geq 1 .

不能不分正負就把 $x - 2$ 乘過去。我們分開判斷。

當 $x < 2$ 時， $x - 2 < 0$ ，所以

\frac{1}{x - 2} < 0,

不可能大於或等於 $1$ 。這一側全部排除。

當 $x > 2$ 時， $x - 2 > 0$ ，這時乘以 $x - 2$ 不會改變不等號方向：

\frac{1}{x - 2} \geq 1 ⟺ 1 \geq x - 2 ⟺ x \leq 3 .

把 $x > 2$ 與 $x \leq 3$ 合在一起，得到

(f \circ g) (x) = \sqrt{\frac{3 - x}{x - 2}}, D_{f \circ g} = (2, 3] .

FUN13 G01-domain — 「原輸入先要避開使內函數失效的 $x = 2$ ，再使內函數的輸出至少為 $1$ 。兩道條件共同留下 $(2, 3]$ ：左端第一步失效，右端則得到外函數的有效輸入 $1$ 。」

回查不能只看最後的式子，要回到兩步流程。

當 $x = 3$ 時，

g (3) = 1, f (1) = 0 .

兩步都有效，所以 $3$ 包含在定義域內，右端點是閉的。外函數的輸出等於零，並不構成失效。

當 $x = 2$ 時，第一步就除以零，所以 $2$ 排除，左端點是開的。

再取區間內的 $x = \frac{5}{2}$ ：

g (\frac{5}{2}) = 2, f (2) = 1 .

代入化簡後的式子也得到

\sqrt{\frac{3 - \frac{5}{2}}{\frac{5}{2} - 2}} = \sqrt{1} = 1 .

兩種計算一致。

最後看區間外的 $x = 4$ 。它雖然能進入 $g$ ，卻得到 $g (4) = \frac{1}{2}$ ，無法進入定義域為 $[1, \infty)$ 的 $f$ 。因此，內函數有定義，不代表合成函數就有定義。

化簡可以縮短式子，不能擅自擴大函數

令

s (x) = \sqrt{x}, D_{s} = [0, \infty),

q (x) = x^{2}, D_{q} = ℝ .

先開平方，再平方：

(q \circ s) (x) = {(\sqrt{x})}^{2} = x, x \geq 0 .

最後雖然只剩下 $x$ ，原流程仍然不能接受負數。這個函數是「在 $[0, \infty)$ 上把輸入原樣送出」，不能因為化簡後的式子簡單，就改成定義在整個 $ℝ$ 上。

交換順序則有

(s \circ q) (x) = \sqrt{x^{2}} = | x |, x \in ℝ .

因為算術平方根必須非負，所以當 $x = - 2$ 時，結果是 $2$ ，不是 $- 2$ 。當 $x = 0$ 時，兩種流程都能執行，結果都是 $0$ 。

這個例子同時提醒我們兩件事：

同一個簡潔算式可能附帶不同定義域；兩個看似相反的運算，也未必能在所有輸入上互相還原。

三、倒轉：為何一對一不是裝飾條件

算得出輸出，不表示找得回唯一輸入

考慮定義在整個 $ℝ$ 上的平方函數

q (x) = x^{2} .

輸入 $2$ 與輸入 $- 2$ ，都得到 $4$ ：

q (2) = q (- 2) = 4 .

現在只告訴你結果是 $4$ ，要求你唯一地還原原輸入。問題出在哪裡？

不是你不會解方程，而是資訊本來就不足。原來的兩個輸入在平方後變得無法區分。即使計算能力再強，也不能只憑同一個 $4$ ，同時判定「原來一定是 $2$ 」與「原來一定是 $- 2$ 」。

因此，若倒轉後仍要是一個函數，原函數就不能讓兩個不同輸入落到同一個輸出。這個條件稱為一對一。

對定義域為 $D$ 的函數 $f$ ，一對一的精確意思是

a, b \in D, f (a) = f (b) ⟹ a = b .

也就是說，只要輸出相同，原輸入就必須相同。OpenStax

反函數從哪裡出發，又回到哪裡？

設

f : D \to C .

這裡 $D$ 是定義域， $C$ 是對應域，而

R_{f} = {f (x) : x \in D}

是函數實際產生的值域。值域包含在對應域內，但未必等於整個對應域。

若 $f$ 在 $D$ 上一對一，對每個 $y \in R_{f}$ ，都能找到唯一的 $x \in D$ ，使得 $f (x) = y$ 。

為什麼「找到」與「唯一」都成立？

「找到」來自 $y \in R_{f}$ ：值域中的數本來就有原輸入。

「唯一」來自一對一：不會有兩個不同原輸入產生同一個 $y$ 。

因此可以定義

f^{- 1} : R_{f} \to D, f^{- 1} (y) = x ⟺ f (x) = y .

反函數不是任意把整個 $C$ 拿來當輸入，而是從原函數的實際值域 $R_{f}$ 出發。只有當 $C = R_{f}$ 時，才可以說反函數定義在整個原對應域上。

反函數的定義域是原函數的值域，反函數的值域則是原定義域。OpenStax

真正的還原，必須能雙向回查

由定義可知，

f^{- 1} (f (x)) = x, x \in D,

表示先送出去，再倒轉回來，得到原輸入。

另一方向則是

f (f^{- 1} (y)) = y, y \in R_{f},

表示從實際輸出找到原輸入，再走一次原流程，必須回到那個輸出。

這兩個等式的右邊是輸入本身，不是數字 $1$ 。上標 $- 1$ 在 $f^{- 1}$ 中表示「反函數」，不表示取倒數。OpenStax

例如，定義在 $ℝ$ 上的 $r (x) = 2 x$ ，其反函數是

r^{- 1} (x) = \frac{x}{2}, x \in ℝ,

而

\frac{1}{r (x)} = \frac{1}{2 x}, x \neq 0

是另一回事。前者在 $x = 0$ 時仍有定義，後者沒有。

回想前面的平方與平方根：

q (s (x)) = x (x \geq 0)

的確成立，但

s (q (x)) = | x |

在負數處不等於 $x$ 。所以平方函數若仍使用整個 $ℝ$ 作定義域，不能只驗證一個方向，就宣布平方根是它的反函數。

四、代數求逆：原定義域決定可接受的解

代數求逆的核心，不是機械地交換字母，而是：

從 $y = f (t)$ 出發，在原本允許的 $t$ 範圍內，找出唯一的 $t$ 。

把它整理成新函數的式子，是這個工作完成後的表示方式。OpenStax

核心示例：已限定右半邊的平方關係

給定函數

p : [2, \infty) \to ℝ, p (t) = {(t - 2)}^{2} + 1 .

題目已經限定 $t \geq 2$ 。這個限制是函數的一部分，不是解題時可以忽略的小字。

先看它的一對一性。若 $t_{1}, t_{2} \geq 2$ ，且

{(t_{1} - 2)}^{2} + 1 = {(t_{2} - 2)}^{2} + 1,

則

{(t_{1} - 2)}^{2} = {(t_{2} - 2)}^{2} .

因為 $t_{1} - 2$ 、 $t_{2} - 2$ 都非負，平方相等就能推出它們相等，因此 $t_{1} = t_{2}$ 。

接著求逆。設

y = {(t - 2)}^{2} + 1 .

移項得到

y - 1 = {(t - 2)}^{2} .

由平方的非負性，原函數只能產生 $y \geq 1$ 。又因為原定義域保證

t - 2 \geq 0,

所以取算術平方根時，必須得到

t - 2 = \sqrt{y - 1},

進而有

t = 2 + \sqrt{y - 1} .

這也證明：對每一個 $y \geq 1$ ，右邊都給出一個至少為 $2$ 的原輸入。因此值域不是只有「包含於 $[1, \infty)$ 」，而是恰好等於

R_{p} = [1, \infty) .

把反函數的輸入重新記為 $x$ ，答案是

p^{- 1} : [1, \infty) \to [2, \infty), p^{- 1} (x) = 2 + \sqrt{x - 1} .

為什麼不能保留正負兩個符號？

如果只從方程

{(t - 2)}^{2} = y - 1

出發，而不管原函數的定義域，形式上會得到

t = 2 \pm \sqrt{y - 1} .

但當 $y > 1$ 時，負號給出的

2 - \sqrt{y - 1} < 2,

已經離開原定義域。它不是這個 $p$ 的反函數值。

負號不是「另一個也可以的答案」，而是對應到另一種原定義域限制下的問題。當 $y = 1$ 時，兩個式子雖然重合於 $2$ ，也不能據此把負號分支納入整個反函數。

雙向回查

先從原輸入 $t \geq 2$ 出發：

\begin{aligned} p^{- 1} (p (t)) & = 2 + \sqrt{({(t - 2)}^{2} + 1) - 1} \\ = 2 + \sqrt{{(t - 2)}^{2}} \\ = 2 + (t - 2) \\ = t . \end{aligned}

第三行成立，正是因為 $t - 2 \geq 0$ 。

再從原值域中的 $y \geq 1$ 出發：

\begin{aligned} p (p^{- 1} (y)) & = {((2 + \sqrt{y - 1}) - 2)}^{2} + 1 \\ = {(\sqrt{y - 1})}^{2} + 1 \\ = y . \end{aligned}

取具體值也能檢查：

p (5) = 10, p^{- 1} (10) = 5 .

端點則是

p (2) = 1, p^{- 1} (1) = 2 .

注意，原來雖寫成 $p : [2, \infty) \to ℝ$ ，但 $0$ 並不是 $p$ 的實際輸出，所以 $p^{- 1} (0)$ 沒有定義。這正是「對應域」與「值域」不能混為一談的地方。

五、圖形求逆：交換點的坐標，而不是重解方程

假設原函數是一對一函數，且其圖形上有點 $(a, b)$ 。這個點代表

f (a) = b .

反函數要把輸出 $b$ 送回輸入 $a$ ，所以它的圖形上必須有

(b, a) .

因此，反函數圖形的基本操作是

(a, b) ⟼ (b, a) .

這個點的交換，在兩軸使用相同單位長度的直角坐標平面上，就是關於直線 $y = x$ 的反射。OpenStax

為什麼對稱軸是 $y = x$ ？

若 $a \neq b$ ，點 $(a, b)$ 與 $(b, a)$ 的中點是

(\frac{a + b}{2}, \frac{a + b}{2}) .

它的兩個坐標相等，所以位於 $y = x$ 上。

而兩點連線的斜率是

\frac{a - b}{b - a} = - 1,

與斜率為 $1$ 的 $y = x$ 垂直。因此， $y = x$ 正是兩點連線的垂直平分線。

若 $a = b$ ，該點就在 $y = x$ 上，交換坐標後位置不變。這不表示該點必須是原點；例如 $(2, 2)$ 交換坐標後仍是 $(2, 2)$ 。

於是，反射不是需要額外背誦的圖形技巧，而是「原輸入、原輸出交換角色」的幾何結果。

核心示例：只給原圖，不先求函數式

設原函數 $h$ 的完整圖形由兩段直線接成：

從實心點 $A = (0, 1)$ 連到 $B = (1, 3)$ ，再從 $B$ 連向空心端點 $C = (3, 4)$ 。點 $B$ 包含在圖形中，點 $C$ 不包含，除此之外沒有其他部分。

沿著原圖由左往右看，輸出一直增加，沒有兩個不同輸入得到同一個輸出，因此它是一對一函數。

FUN13 G02-given — 「原圖由 $A = (0, 1)$ 、 $B = (1, 3)$ 、 $C = (3, 4)$ 所決定的兩段直線接成， $A$ 、 $B$ 包含， $C$ 不包含。反函數圖形要交換每個點的兩個坐標，也要保留端點狀態。」

現在直接交換坐標：

A = (0, 1) ⟼ A^{'} = (1, 0),

B = (1, 3) ⟼ B^{'} = (3, 1),

C = (3, 4) ⟼ C^{'} = (4, 3) .

原來的第一段直線反射後，成為連接 $A^{'}$ 、 $B^{'}$ 的直線段；第二段則成為從 $B^{'}$ 連向 $C^{'}$ 的直線段。

端點狀態也必須一起搬過去。 原圖的 $A$ 包含，所以 $A^{'}$ 包含；原圖的 $C$ 不包含，所以 $C^{'}$ 仍是空心端點。

從原圖可讀出

D_{h} = [0, 3), R_{h} = [1, 4) .

因此反函數具有

D_{h^{- 1}} = [1, 4), R_{h^{- 1}} = [0, 3) .

FUN13 G02-reflected — 「 $(a, b)$ 反射為 $(b, a)$ 。原圖的實際輸出成為反函數的輸入，所以 $[1, 4)$ 是反函數的定義域；原圖不包含 $C = (3, 4)$ ，反射後也不包含 $C^{'} = (4, 3)$ 。細點畫線 $y = x$ 是對稱線，不是這兩個函數圖形的一部分。」

圖形也要回查

原圖的 $B = (1, 3)$ 告訴我們

h (1) = 3 .

反射後的 $B^{'} = (3, 1)$ 就必須表示

h^{- 1} (3) = 1 .

原圖第二段的中點

(2, \frac{7}{2})

會反射成

(\frac{7}{2}, 2) .

它也恰好位於 $B^{'}$ 、 $C^{'}$ 之間的對應直線段上。

原圖不包含輸出 $4$ ，所以反函數不能接受輸入 $4$ ；空心點 $C^{'}$ 正是在保留這個資訊。

最後，把反射後的每個點再交換一次坐標：

(a, b) ⟼ (b, a) ⟼ (a, b),

就會回到原圖。端點的開閉也應完全回復。

這整個方法沒有先求出 $h$ 的代數式，也沒有用解方程來取得反函數。它直接利用圖形所記錄的對應。

六、今天的例子：把儀器讀值還原成物理量

反函數不只是在紙上交換方向。

美國國家標準暨技術研究院 NIST 的校準手冊說明：對儀器後續量測作校正，需要使用校準曲線的逆向關係；在線性模型中，就是由儀器讀值反求對應的校準值。NIST

以下是一個作者設計的理想化教學情境，不是 NIST 的實測資料。先假設感測器與顯示模組都遵守指定的線性規則，並忽略量測誤差與顯示取整，看看接續與倒轉如何共同工作。本節以 $H$ 表示整體函數，與上一節的折線函數 $h$ 區別。

正向流程：溫度變成電壓，電壓變成顯示值

令 $t$ 表示以攝氏度為單位的溫度數值，使用範圍為

0 \leq t \leq 100 .

感測器把它轉成電壓數值 $v$ ，單位為伏特：

v = g (t) = 0.01 t + 0.50 .

這表示每增加 $1 °C$ ，理想電壓增加 $0.01 V$ ，而 $0 °C$ 對應 $0.50 V$ 。

因此

D_{g} = [0, 100], R_{g} = [0.50, 1.50] .

顯示模組接受 $0$ 到 $2$ 伏特，並把電壓數值轉成無單位的顯示數值 $n$ ：

n = f (v) = 1000 v, D_{f} = [0, 2] .

這裡各式中的 $t$ 、 $v$ 都是採用上述固定單位後的數值； $1000$ 是把「以伏特表示的電壓數值」轉成顯示數值的比例係數。 $n$ 暫時允許是實數，不預先當成整數讀值。

因為

[0.50, 1.50] \subseteq [0, 2],

感測器在指定範圍內的每個輸出，都能交給顯示模組。

合成函數為

\begin{aligned} H (t) & = (f \circ g) (t) \\ = 1000 (0.01 t + 0.50) \\ = 10 t + 500, \end{aligned}

並且

D_{H} = [0, 100], R_{H} = [500, 1500] .

兩個比例係數 $0.01$ 、 $1000$ 都不為零，所以在各自指定的區間內，不同輸入會得到不同輸出，兩步都具有一對一性。

反向流程：先撤銷最後一步

假設顯示數值是 $900$ 。要找回溫度，不能照正向順序做，而要從最後一步開始撤銷。

先撤銷 $f$ ：

v = f^{- 1} (900) = \frac{900}{1000} = 0.90 .

再撤銷 $g$ ：

t = g^{- 1} (0.90) = \frac{0.90 - 0.50}{0.01} = 40 .

因此，在這個理想模型中，讀值對應 $40 °C$ 。

正向回查：

40 \overset{g}{\to} 0.90 \overset{f}{\to} 900 .

整體反函數則是

H^{- 1} (n) = \frac{n - 500}{10}, 500 \leq n \leq 1500 .

它的值域是 $[0, 100]$ 。端點也能互相還原：

H (0) = 500, H^{- 1} (500) = 0,

H (100) = 1500, H^{- 1} (1500) = 100 .

為什麼倒轉時，順序也要倒過來？

正向是

t \overset{g}{\to} v \overset{f}{\to} n .

反向必須是

n \overset{f^{- 1}}{\to} v \overset{g^{- 1}}{\to} t .

最後一步先撤銷，才會露出前一步原來的結果。

一般而言，若 $g$ 、 $f$ 在各自指定的定義域上一對一，且 $R_{g} \subseteq D_{f}$ ，則 $H = f \circ g$ 的實際值域是

R_{H} = f (R_{g}),

也就是把 $R_{g}$ 中的值送入 $f$ 所得到的所有輸出。在這個值域上，

{(f \circ g)}^{- 1} = g^{- 1} \circ f^{- 1} .

這個等式包含定義域限制：右邊只接受能先經 $f^{- 1}$ ，再經 $g^{- 1}$ 的輸入，亦即 $R_{H}$ 中的輸入。

可以用雙向還原直接說明。對 $t \in D_{g}$ ，

g^{- 1} (f^{- 1} (f (g (t)))) = g^{- 1} (g (t)) = t .

對 $n \in R_{H}$ ，因為 $f^{- 1} (n) \in R_{g}$ ，所以

(f \circ g) (g^{- 1} (f^{- 1} (n))) = f (f^{- 1} (n)) = n .

這不是把符號「整排倒過來」的口訣，而是還原流程的必然順序。

定義域仍然不能省略。顯示模組 $f$ 單獨可以接受的反向輸入，是 $0$ 到 $2000$ ；但這個感測器與顯示模組接起來後，實際只會產生 $500$ 到 $1500$ 。

例如，把 $1800$ 代入

\frac{n - 500}{10}

雖然算得出 $130$ ，卻不能說這是本模型的有效反函數值，因為 $1800 \notin R_{H}$ ，而 $130$ 也超出原先指定的溫度範圍。算式能運算，不等於模型允許這個輸入。

可以解出式子，不代表真實量測毫無不確定性

NIST 的量測模型另有誤差項，也需要估計校準係數。因此，反求出一個校準值，不等於保證它就是毫無誤差的原物理量。原校準關係也不能在儀器狀態改變後無條件沿用；NIST 對反覆使用校準曲線提出了儀器維持統計管制狀態的前提。NIST

此外，非零比例係數不是裝飾條件。假設在同一個溫度區間 $[0, 100]$ 內，感測器不論溫度多少都只輸出 $0.50 V$ ，那麼顯示值就永遠是 $500$ 。不同溫度全部合併成同一個輸出，便不能唯一反推溫度。

還有一種限制，即使先不談量測誤差，也會讓精確倒轉失敗：顯示時把不同數值合併。

沿用原來的理想公式，

H (39.96) = 899.6,

H (40.04) = 900.4 .

如果顯示模組只保留四捨五入後的整數，兩個不同溫度都會顯示 $900$ 。

為了把端點說清楚，本例約定：非負讀值取最接近的整數，恰為半整數時向上取。於是，若仍忽略其他誤差，顯示 $900$ 的條件是

899.5 \leq 10 t + 500 < 900.5,

也就是

39.95 \leq t < 40.05 .

左端的 $899.5$ 取整為 $900$ ，右端的 $900.5$ 則取整為 $901$ ，所以兩個端點的開閉不同。

這時，只看最後留下的 $900$ ，就不能唯一地知道原來是哪個溫度。取整後的整體對應不再一對一。把 $900$ 代入未取整模型的反函數而得到 $40$ ，可以提供一個代表性的反推數值，卻不是找回唯一原溫度的證明。

問題不是反函數公式不夠高明，而是這個流程已經把不同輸入合併成同一個輸出。知道這個限制，才能分清楚「得到一個合理的反推值」與「精確找回唯一原值」不是同一件事。

七、把一套流程看完整

合成與反函數帶來的，不只是兩種新算式，而是兩種檢查關係的方法。

合成問的是：這一步的結果，能不能成為下一步的輸入？

因此除了規則，還要追蹤中間值；除了化簡，還要保留原來的限制。

反函數問的是：最後的結果，是否足以唯一指出原來的輸入？

因此除了會解方程，還要檢查一對一；除了交換坐標，還要交換實際的輸入、輸出範圍，並保留每一個端點的開閉。

查表計算與儀器校準是不同時代、不同用途的例子，不必把它們視為一條已被證實的直接歷史因果鏈。它們在本篇呈現的共同數學結構是：

對應的接續，要檢查中間能否銜接；

對應的倒轉，要檢查原輸入能否唯一找回。

掌握這個區別，你看到一個複雜算式時，就不必只問「如何算得更快」，還能進一步問：

它由哪些作用接成？哪些輸入真的有效？哪些資訊保留下來，哪些已經無法從結果中恢復？