練習:用介值定理提出存在性結論

介值定理要求哪些條件?先把條件列出來,再逐一對照這一題有沒有滿足。

你需要三樣東西:f 在整個 [0, 2] 連續的理由、f(0) 與 f(2) 的值、把 4 和這兩個值排成一列。

f 是多項式。先分別算 f(0) 與 f(2),再看 4 落在哪兩個數之間,不等式兩邊都要是「<」。

f(0)=0。f(2)=2³+2,請自己算出數值,再把 f(0)、4、f(2) 排成不等式並寫結論。

f 是多項式,在 [0, 2] 連續。f(0)=0³+0=0;f(2)=2³+2=8+2=10。因為 f(0)=0<4<10=f(2),L=4 嚴格介於兩端點函數值之間。由介值定理,存在 c∈(0, 2),使 f(c)=4。(我們沒有求出 c,也沒有說 c 唯一。)

先不管結論對不對,看小明用到的定理前提:函數在整個區間上都「連得起來」嗎?

分母什麼時候是 0?那個 x 值在不在 [−1, 2] 裡面?

x=0 在 [−1, 2] 內,而 1/x 在 x=0 沒有定義。想想「連續」這個前提還成不成立;再另外想想:有沒有任何 c 能讓 1/c=0?

把 1/c=0 的兩邊同乘以 c(c≠0),看看會得到什麼等式。然後寫出你的判斷與理由。

小明的做法不能成立。f(−1)=−1、f(2)=1/2 確實異號,但 f(x)=1/x 在 x=0 沒有定義,而 0 在 [−1, 2] 內,所以 f 在 [−1, 2] 不連續,介值定理的前提不成立。而且 1/c=0 對任何 c 都無解(同乘 c 會得到 1=0),所以事實上沒有這樣的 c。結論:不能得出存在 c;只看端點異號是不夠的。

L 要與 f(1)、f(4) 滿足什麼關係,才能用定理?注意題目的「保證」二字。

先找出 f(1) 與 f(4) 之間的範圍,並想想「嚴格介於」能不能包含端點的函數值。

範圍是 −2 與 7 之間,不含 −2 與 7。把六個 L 逐一對照。

落在範圍內的才適用;落在範圍外或等於端點值的,定理沒有給出保證,但那不等於 c 一定不存在,表達時要小心。

可保證的是 L=0 與 L=3,因為 −2<0<7 且 −2<3<7。其餘的 L:−5 與 8 在 −2 與 7 的範圍外,−2 與 7 恰好等於端點函數值(不是嚴格介於),所以介值定理都不能保證存在 c∈(1, 4);但這只表示定理沒有給保證,不是說這些 c 一定不存在(例如 L=7 時 c 可能是 1,但 1 不在開區間內)。

先判斷這題的 L 是多少,再問自己:f 在 [1, 3] 連續嗎?

依五步驟:連續、f(1) 與 f(3)、不等式、結論。

f 是多項式。請算出 f(1) 與 f(3),看 5 是否在兩者之間。

f(1)=1²+1=2。f(3) 請自己算(3²+3),再完成不等式與結論。

f 是多項式,在 [1, 3] 連續。f(1)=1+1=2;f(3)=9+3=12。因為 f(1)=2<5<12=f(3),由介值定理,存在 c∈(1, 3),使 f(c)=5。

這個函數有分母。連續的理由要怎麼寫?

分母 x+1 什麼時候是 0?那一點在不在 [0, 2] 內?然後再算兩個端點函數值。

x+1=0 時 x=−1,不在 [0, 2] 內。接下來算 g(0) 與 g(2),注意這個函數是遞減的,不等式的方向要看清楚。

g(0)=9/(0+1)=9。g(2)=9/(2+1),請自己算,再看 4 夾在哪兩個數之間。

g 是有理函數,只有在 x=−1 分母為 0,而 −1 不在 [0, 2] 內,所以 g 在 [0, 2] 連續。g(0)=9/1=9;g(2)=9/3=3。因為 g(2)=3<4<9=g(0),由介值定理,存在 c∈(0, 2),使 g(c)=4。

根號函數要說明連續,關鍵是根號裡面的值要是什麼?

x 在 [0, 12] 時,2x+1 的範圍是多少?它有沒有小於 0?

2x+1 在 [0, 12] 內都不小於 1,是正的,所以 f 連續。接著算 f(0) 與 f(12),再比 3。

f(0)=√(2×0+1)=1。f(12)=√(2×12+1),請自己算出根號裡的數再開根號。

2x+1 是連續函數,且在 [0, 12] 內 2x+1≥1>0,所以 f(x)=√(2x+1) 在 [0, 12] 連續。f(0)=√1=1;f(12)=√25=5。因為 f(0)=1<3<5=f(12),由介值定理,存在 c∈(0, 12),使 f(c)=3。

方程式要變成「函數等於某個值」的形式,你要選哪個函數、目標值是多少?

令 f(x)=x³+2x−5,目標值 L=0。接著依五步驟:連續、f(1) 與 f(2)、不等式、結論。

f 是多項式,連續。請代入 x=1 與 x=2 算函數值,看是否異號。

f(1)=1+2−5=−2。f(2)=8+4−5,請自己算出,再寫不等式與結論。

令 f(x)=x³+2x−5,是多項式,在 [1, 2] 連續。f(1)=1+2−5=−2;f(2)=8+4−5=7。因為 f(1)=−2<0<7=f(2),由介值定理,存在 c∈(1, 2),使 f(c)=0,即方程式 x³+2x−5=0 在 (1, 2) 內至少有一個實數解。

兩個解要在不同的小區間找。先令 g(x)=2ˣ−3x,算幾個整數點的值看看正負在哪裡改變。

計算 g(0)、g(1)、g(3)、g(4),找出兩個「正負相反」的相鄰端點。

g(0)=2⁰−0=1,g(1)=2−3。再算 g(3) 與 g(4)。找到兩段不重疊的區間後,說明兩個解不會是同一個。

g(0)=1;g(1)=−1;g(3)=8−9=−1;g(4)=16−12。請自己算出 g(4),選出兩個不重疊的區間,各寫一次介值定理。

令 g(x)=2ˣ−3x,2ˣ 與 3x 皆連續,g 在 [0, 4] 連續。g(0)=1;g(1)=2−3=−1;g(3)=8−9=−1;g(4)=16−12=4。在 [0, 1]:g(1)=−1<0<1=g(0),由介值定理存在 c₁∈(0, 1) 使 g(c₁)=0。在 [3, 4]:g(3)=−1<0<4=g(4),存在 c₂∈(3, 4) 使 g(c₂)=0。因為 (0, 1) 與 (3, 4) 沒有共同的點,c₁≠c₂,所以方程式 2ˣ=3x 至少有兩個不同的實數解。

先算 h(−1)、h(0)、h(1)、h(2)、h(3) 五個值,把正負列成表。

看哪些相鄰的整數之間正負改變。題目已經給了三個區間,你要逐一驗證。

h(−1)=−1−3+1,h(0)=1,h(1)=1−3+1。再算 h(2) 與 h(3);3x² 要先算 x²,再乘 3。

h(−1)=−3;h(0)=1;h(1)=−1。請自己算出 h(2)=8−12+1 與 h(3)=27−27+1,再三次各用一次介值定理。

h 是多項式,在實數上連續。h(−1)=−1−3+1=−3;h(0)=1;h(1)=1−3+1=−1;h(2)=8−12+1=−3;h(3)=27−27+1=1。(−1, 0):h(−1)=−3<0<1=h(0),存在 c₁。(0, 1):h(1)=−1<0<1=h(0),存在 c₂。(2, 3):h(2)=−3<0<1=h(3),存在 c₃。三個開區間彼此沒有共同點,所以 c₁、c₂、c₃ 互不相同,方程式至少有三個不同的實數解。

小華引用了介值定理,但他的結論是「沒有解」。介值定理的結論形式是什麼?

介值定理是「若條件成立,則有 c」。條件不成立時,它說了什麼?

不要靠定理,直接解 x²−4=0,看解是否在 (−3, 3) 內。

x²−4=(x−2)(x+2)。解出兩個 x 值後,檢查它們是否都在 (−3, 3) 內。再回頭說明小華的推理缺陷。

小華的錯在於把定理反過來用。介值定理只說:條件成立(L 嚴格介於端點函數值之間)則存在 c。當兩端同號、條件不成立時,定理沒有說「沒有解」,它什麼都沒說。實際上 x²−4=(x−2)(x+2)=0 的解是 x=2 與 x=−2,兩個都在 (−3, 3) 內,所以有解。

比較阿志的結論與介值定理的結論,哪個詞多出來了?

介值定理保證的是「至少」一個還是「恰好」一個?試著找找看 f(x)=0 有沒有不只一個解。

把 x³−3x 因式分解成 x(x²−3),看解有哪些。

x³−3x=0 的解是 x=0 與 x²=3。再用整數點 f(1)、f(−1) 找出另外的區間來驗證。

阿志前面的步驟(連續、f(−2)=−2、f(2)=2、不等式)都對,錯在結論寫成「恰有一個」。介值定理只保證「存在」至少一個 c。實際上 x³−3x=x(x²−3)=0 的解是 x=0、x=√3、x=−√3,都在 (−2, 2) 內,共三個。也可只用定理:f(−2)=−2、f(−1)=2 異號,存在一個解在 (−2, −1);f(1)=−2、f(2)=2 異號,存在一個解在 (1, 2);再加上 f(0)=0,至少有三個。

小美的不等式 −1<8 只寫了一半。完整的介值定理條件是什麼形式?

L 是 8,而 f(3) 也是 8。這樣 L 與 f(3) 的關係是嚴格的嗎?

直接解 c²−1=8,再看解有沒有落在開區間 (0, 3) 內。

c²−1=8 得 c²=9。解出 c 的值(兩個),再檢查哪些在 (0, 3) 內。

小美的錯在於 L=8 恰好等於 f(3)=8,不是「嚴格介於」−1 與 8 之間,所以定理不能保證 c 在開區間 (0, 3) 內。實際解 c²−1=8:c²=9,c=3 或 c=−3;c=3 是區間的端點,c=−3 不在 [0, 3] 內,所以在 (0, 3) 內沒有 c 使 f(c)=8。

小張只比較了端點函數值。分段函數要特別檢查什麼?

檢查接點 x=2:從左邊接近 2 時 f(x) 趨近多少?f(2) 又是多少?

左邊 f(x)=x,x→2 時趨近 2;f(2)=2+3。兩個比較看看。然後想想 [0, 2) 與 [2, 3] 兩段各取到哪些函數值。

x 在 [0, 2) 時,f(x)=x 取到 [0, 2) 的值;x 在 [2, 3] 時,f(x)=x+3 取到哪一段的值?3 在不在其中?

小張的論證不成立,因為 f 在 x=2 不連續:左極限是 2,f(2)=2+3=5,不相等。介值定理的前提不成立。實際上 x 在 [0, 2) 時 f(x)=x 的值落在 [0, 2) 內,x 在 [2, 3] 時 f(x)=x+3 的值落在 [5, 6] 內,3 兩者都不在,所以 f(x)=3 在 [0, 3] 內沒有解。

小林用「化簡後的式子」判斷連續。化簡時有沒有注意到 x=1 這一點特別?

f 在 x=1 的函數值是題目另外規定的 0。x→1 時,x+1 趨近多少?兩者相等嗎?

x→1 時 f(x) 趨近 1+1;而 f(1)=0。這樣 f 在 x=1 連續嗎?再用 x+1=2 找 c。

令 x+1=2 解出 x,看這個 x 是不是 1;如果是 1,要用哪一個函數值(f(1))?

小林不成立:x≠1 時 f(x)=x+1,x→1 時 f(x) 趨近 2,但 f(1)=0≠2,f 在 x=1 不連續,不能使用介值定理。實際情況:x≠1 時 f(c)=c+1=2 要求 c=1,與 x≠1 矛盾;而 f(1)=0≠2。所以 f(c)=2 在 (0, 3) 內沒有解。

小明的前半段(找到存在 c)是對的。有疑問的是後半段「c 就是 1.5」。

定理有告訴你 c 在哪裡嗎?把 c=1.5 代回去,f(1.5) 是不是 0?

算 f(1.5)=1.5²−2。再把 1.5 當成新的端點,和原來的 1 組成新區間 [1, 1.5]。

1.5²=2.25。f(1.5) 的正負是什麼?再比較 f(1) 與 f(1.5),看哪個區間內可以再用一次定理。

前半段正確:f 是多項式,連續,f(1)=−1<0<2=f(2),所以存在 c∈(1, 2) 使 f(c)=0。錯在後半段:介值定理只保證存在,不說 c 在哪裡;把 1.5 代入,f(1.5)=2.25−2=0.25≠0,所以 c 不是 1.5。再用一次定理:f(1)=−1<0<0.25=f(1.5),所以存在 c∈(1, 1.5) 使 f(c)=0;也就是說,在 (1, 1.5) 內就已經保證有解(定理仍然只保證存在,不說位置與個數)。

把情境翻成數學語言:函數是什麼、區間是什麼、L 分別是什麼?

(1) 與 (2) 的 L 分別是 150 與 200。各與 120、180 比較。

分別判斷 L 是否嚴格介於 h(0) 與 h(4) 之間。注意:步道可能上上下下,所以高度不一定單調。

(1) 檢查 120<150 與 150<180 是否都成立;(2) 檢查 200 與 120、180 的大小關係。寫答案時請分清「能保證」「不能保證」「一定不會」是三種不同的說法,選你有根據的那一種。

(1) h 連續,h(0)=120<150<180=h(4),由介值定理,存在 t∈(0, 4),使 h(t)=150,所以可以保證。(2) 200 不在 120 與 180 之間,介值定理不能保證存在 t 使 h(t)=200;這不表示不會發生(路徑中途可能爬得更高再下降),只是從已知資訊不能保證。

兩條曲線交點的 x 坐標,代表兩個函數值相等。怎麼把這件事寫成「一個函數等於 0」?

令 g(x)=2ˣ−x²,交點對應 g(x)=0。接著依五步驟處理,區間是 [1, 3]。

g 是兩個連續函數的差,連續。請算 g(1) 與 g(3),看是否異號。

g(1)=2¹−1²=2−1。g(3)=2³−3²,請自己算出,再寫不等式與結論。

令 g(x)=2ˣ−x²,2ˣ 與 x² 皆連續,所以 g 在 [1, 3] 連續。g(1)=2−1=1;g(3)=8−9=−1。因為 g(3)=−1<0<1=g(1),由介值定理,存在 c∈(1, 3),使 g(c)=0,即 2ᶜ=c²,所以兩曲線在 1<x<3 之間至少有一個交點。

先看 L=0:相鄰兩個表中的點,哪些對的函數值異號?

每一對相鄰的點 [0,1]、[1,2]、[2,3]、[3,4] 各自檢查一次;再用 L=2 重做。

(1) 找函數值一正一負的相鄰對。(2) 找 2 夾在相鄰兩個函數值之間的相鄰對。這些小區間彼此不重疊(只有端點相接,開區間之內沒有共同點),所以得到的解互不相同。

每個小區間 [k, k+1] 各檢查一次:寫出 f(k)、f(k+1),再看 L 是否嚴格介於其間。例如 [0, 1]:f(0)=3、f(1)=−1,L=0 與 L=2 都嚴格介於其間。請完成其餘三個小區間,分別數出 (1)(2) 的個數。

(1) 在 (0, 1):f(0)=3>0>−1=f(1),存在解;在 (2, 3):f(2)=−2<0<4=f(3),存在解;(1, 2) 與 (3, 4) 同號,沒有保證。所以至少 2 個,分別在 (0, 1)、(2, 3)。(2) 在 (0, 1):−1<2<3,存在;(1, 2):−2 與 −1 都小於 2,沒有保證;(2, 3):−2<2<4,存在;(3, 4):1<2<4,存在。所以至少 3 個,分別在 (0, 1)、(2, 3)、(3, 4)。這些區間彼此沒有共同的點,所以解互不相同。