用分點公式求數線上的內分點

範圍內：分點在 A、B 之間；AP:PB=m:n 時權重配對側端點。

範圍外：不延伸平面向量。外分不屬這一課，這是範圍限制，不是把外分點公式本身判成算錯。同側權重在 m≠n 時與對側不同。

方法為何成立

非退化內分先假設 A≠B、m,n>0，且 AP:PB=m:n。令 P=A+t(B−A)，從 A 走到 B 的比例為 t=AP/AB=m/(m+n)，所以

P=A+m/(m+n)(B−A)=(nA+mB)/(m+n)。因此 m 配到對側端點 B，n 配到對側端點 A。若 A>B，B−A 為負，公式仍會把 P 放在兩端點之間。

A=B 時，加權平均仍退化為共同端點；但 AP=PB=0，不能說 0:0 滿足指定的正比例 m:n。端點題 m=0 或 n=0 也是退化情形，需另外說明。

例：A(1)、B(7)，AP:PB=1:2

P=(2·1+1·7)/3=3。3 在 1 與 7 之間，3−1:7−3=1:2。

邊界

中點 m=n 時，同側式 P=(mA+nB)/(m+n) 與對側式相同，因此不能用 m=n 的數值當權重錯配的反例。退化的加權式中，m=0 且 n≠0 時 P=A；n=0 且 m≠0 時 P=B。這兩種情形不屬於上述 m,n>0 的非退化內分。A=B 時公式值是共同端點，但不是指定正比例的非退化內分。

非例

同側式與對側式在 A≠B 且 m≠n 時給出不同點。例如 A=-1、B=5、m:n=1:2：同側得 (1·(-1)+2·5)/3=3，對側得 (2·(-1)+1·5)/3=1。m+n=0 仍套公式則分母為 0。外分列於範圍限制，不與上述數學錯誤混列。