練習：用分點公式求數線上的內分點

先分清 AP 與 PB 各代表哪一段；一個點落在兩端點之間，還不能保證距離比正確。

把草稿的點放回題目，分別檢查到 A、B 的距離。再想端點在加權式中應配哪一個比數。

令 m、n 分別對應 AP、PB 的比數，用 P=(nA+mB)/(m+n) 列式。求得自己的坐標後，另算草稿點到兩端的距離，核對指定的比。

先分別算兩個加權項：6×(4)=24、4×(16)=64。將兩項相加得到加權和，再求總份數 4+6；最後以加權和除以總份數。求得坐標後，以坐標差的絕對值檢查 AP、PB。

(甲) 44/5。(乙) P=(6×(4)+4×(16))/(4+6)=44/5；4<44/5<16；AP:PB=24/5:36/5=4:6。

AP=(44/5−(4))，PB=(16−(44/5))，因此兩段距離分別為 24/5、36/5。AP 對應的比數 4 配到 B，PB 對應的比數 6 配到 A；只看是否位於端點之間，不能分辨權重反置。

(丙) 不符合。草稿把比數乘同側端點，AP 對應的比數 4 配到 B，PB 對應的比數 6 配到 A；只看是否位於端點之間，不能分辨權重反置。

草稿取兩個坐標的平均。想一想，取平均對兩段距離提出了什麼限制。

保留 A、B 的名稱，依 AP 與 PB 的順序讀比；不要把左端點自動當成 A。

沿用 A、B 的原名稱，以 AP:PB=m:n 列 P=(nA+mB)/(m+n)。再用草稿點的兩段距離，檢查取平均是否適合題給的比。

先分別算兩個加權項：4×(18)=72、6×(−6)=−36。將兩項相加得到加權和，再求總份數 6+4；最後以加權和除以總份數。求得坐標後，以坐標差的絕對值檢查 AP、PB。

(甲) 18/5。(乙) P=(4×(18)+6×(−6))/(6+4)=18/5；−6<18/5<18；AP:PB=72/5:48/5=6:4。

AP=(18−(18/5))，PB=(18/5−(−6))，因此兩段距離分別為 72/5、48/5。本題兩段不是等長，不能直接取平均；A 在右端仍維持 AP:PB 的順序。

(丙) 不符合。草稿不論距離比都取中點，本題兩段不是等長，不能直接取平均；A 在右端仍維持 AP:PB 的順序。

把比的兩項同時除以同一個正數，是否改變兩段距離的相對大小？

先比較草稿兩組比數的相對大小，再對照題給的比；檢查時要同時看兩項，不只看其中一項。

先把兩組比各寫成前項除以後項，檢查比值；求坐標時，令 AP:PB=m:n，列 P=(nA+mB)/(m+n)，分母取兩項之和。

先分別算兩個加權項：10×(−12)=−120、6×(8)=48。將兩項相加得到加權和，再求總份數 6+10；最後以加權和除以總份數。求得坐標後，以坐標差的絕對值檢查 AP、PB。

(甲) −9/2。(乙) P=(10×(−12)+6×(8))/(6+10)=−9/2；−12<−9/2<8；AP:PB=15/2:25/2=6:10。

AP=(−9/2−(−12))，PB=(8−(−9/2))，因此兩段距離分別為 15/2、25/2。12:20 與 6:10 等價，同除以 2 不改變比值；分母是兩段份數的和，不是乘積。

(丙) 符合。12/20=6/10，兩個比數同除以 2，所以距離比不變。

用題給的兩段距離比，判斷哪一個端點與較短的一段相接。

端點坐標與距離不是同一種量。列式前先確認每個比數要配到哪個端點。

令 AP:PB=m:n，以 P=(nA+mB)/(m+n) 列式；AP 的比數配 B，PB 的比數配 A。代入後再核對端點位置。

先分別算兩個加權項：6×(4)=24、4×(24)=96。將兩項相加得到加權和，再求總份數 4+6；最後以加權和除以總份數。求得坐標後，以坐標差的絕對值檢查 AP、PB。

(甲) 12。(乙) P=(6×(4)+4×(24))/(4+6)=12；4<12<24；AP:PB=8:12=4:6。

AP=(12−(4))，PB=(24−(12))，因此兩段距離分別為 8、12。AP:PB=4:6 表示從 A 到 P 佔整段的 4/10；權重 4 因而配到 B，6 配到 A。

本題跨過原點；先把兩端點當成帶符號的坐標，距離則是非負的量。

比可保持原樣，也可同除以公因數。無論採哪個等價比，端點配對都須一致。

令 AP:PB=m:n，用 P=(nA+mB)/(m+n) 列式。把負端點的坐標連同括號代入，避免把坐標誤作距離。

先分別算兩個加權項：8×(−18)=−144、4×(6)=24。將兩項相加得到加權和，再求總份數 4+8；最後以加權和除以總份數。求得坐標後，以坐標差的絕對值檢查 AP、PB。

(甲) −10。(乙) P=(8×(−18)+4×(6))/(4+8)=−10；−18<−10<6；AP:PB=8:16=4:8。

AP=(−10−(−18))，PB=(6−(−10))，因此兩段距離分別為 8、16。AP:PB=4:8 表示從 A 走整段的 4/12；負坐標須保留在加權式中，不能改成到原點的距離。

兩端點都在原點左側。先辨認題給的是坐標，還是點到原點的距離。

求坐標時保留題給符號；算 AP、PB 時才取坐標差的絕對值。

令 AP:PB=m:n，以 P=(nA+mB)/(m+n) 求坐標，兩個端點都保留原符號；距離檢查另用坐標差的絕對值。

先分別算兩個加權項：10×(−20)=−200、6×(−4)=−24。將兩項相加得到加權和，再求總份數 6+10；最後以加權和除以總份數。求得坐標後，以坐標差的絕對值檢查 AP、PB。

(甲) −14。(乙) P=(10×(−20)+6×(−4))/(6+10)=−14；−20<−14<−4；AP:PB=6:10=6:10。

AP=(−14−(−20))，PB=(−4−(−14))，因此兩段距離分別為 6、10。兩個負坐標仍按對側權重平均；距離取絕對值，不代表端點坐標也要取絕對值。

先看 A 與 B 的坐標大小；本題從 A 往 B 的行進方向與坐標增加方向是否相同？

比的前項跟 AP 相連，後項跟 PB 相連；端點名稱不因左右位置而交換。

令 AP:PB=m:n，以 P=(nA+mB)/(m+n) 列式；A 在右端也不交換名稱。可另以 P=A+m/(m+n)(B−A) 檢查方向。

先分別算兩個加權項：4×(26)=104、6×(6)=36。將兩項相加得到加權和，再求總份數 6+4；最後以加權和除以總份數。求得坐標後，以坐標差的絕對值檢查 AP、PB。

(甲) 14。(乙) P=(4×(26)+6×(6))/(6+4)=14；6<14<26；AP:PB=12:8=6:4。

AP=(26−(14))，PB=(14−(6))，因此兩段距離分別為 12、8。A 在 B 右側，從 A 往 B 的位移為負；公式仍是 4 配 A、6 配 B。

分數坐標不改變內分比的意義。先照常配對端點與比數，再處理分數運算。

檢查分數坐標的分母與符號，並分清加權和及總份數的角色；先不急著約分。

令 AP:PB=m:n，以 P=(nA+mB)/(m+n) 列式。先算各端點的加權項，再把分數通分相加；除法要作用在整個加權和上。

先分別算兩個加權項：6×(−7/2)=−21、4×(9/2)=18。將兩項相加得到加權和，再求總份數 4+6；最後以加權和除以總份數。求得坐標後，以坐標差的絕對值檢查 AP、PB。

(甲) −3/10。(乙) P=(6×(−7/2)+4×(9/2))/(4+6)=−3/10；−7/2<−3/10<9/2；AP:PB=16/5:24/5=4:6。

AP=(−3/10−(−7/2))，PB=(9/2−(−3/10))，因此兩段距離分別為 16/5、24/5。分數端點也用對側權重；先合併加權坐標，再除以總份數，不能漏除其中一項。

本題 A 在右端、B 在左端，而且端點坐標是分數；兩件事都不改變 AP:PB 的定義。

分別記下 A 的坐標與 B 的坐標，照原名稱配權重；不要用左右位置重命名端點。

依 AP:PB=m:n 列 P=(nA+mB)/(m+n)。保留 B 的負號與兩端點分母，逐項加權後再合併，不以左右位置交換名稱。

先分別算兩個加權項：10×(17/2)=85、6×(−11/2)=−33。將兩項相加得到加權和，再求總份數 6+10；最後以加權和除以總份數。求得坐標後，以坐標差的絕對值檢查 AP、PB。

(甲) 13/4。(乙) P=(10×(17/2)+6×(−11/2))/(6+10)=13/4；−11/2<13/4<17/2；AP:PB=21/4:35/4=6:10。

AP=(17/2−(13/4))，PB=(13/4−(−11/2))，因此兩段距離分別為 21/4、35/4。PB 的比數 10 配 A，AP 的比數 6 配 B；B 的負號與分母都屬於坐標的一部分。

草稿把兩個比數各乘在哪個端點上？把它與 AP、PB 所指的線段對照。

先檢查配對理由，再檢查草稿點到兩端的距離比；位於區間內不是充分條件。

令 AP:PB=m:n，先按對側權重列 P=(nA+mB)/(m+n)，再與草稿逐項比較；草稿點是否符合條件，另用距離比判斷。

先分別算兩個加權項：6×(−10)=−60、10×(18)=180。將兩項相加得到加權和，再求總份數 10+6；最後以加權和除以總份數。求得坐標後，以坐標差的絕對值檢查 AP、PB。

(甲) 15/2。(乙) P=(6×(−10)+10×(18))/(10+6)=15/2；−10<15/2<18；AP:PB=35/2:21/2=10:6。

AP=(15/2−(−10))，PB=(18−(15/2))，因此兩段距離分別為 35/2、21/2。AP 較長不等於 A 的權重較大；AP 的比數 10 配對側端點 B，6 才配 A。

(丙) 不符合。草稿把比數乘同側端點，AP 較長不等於 A 的權重較大；AP 的比數 10 配對側端點 B，6 才配 A。

A 在右端時，AP 的名稱仍表示從 A 到 P 的距離。草稿有沒有因左右位置而改了這個對應？

沿用題給的 A、B 名稱，不先把端點由小到大重新命名。再檢查相鄰線段與對側端點的關係。

保留右端點 A 的名稱，令 AP:PB=m:n，用 P=(nA+mB)/(m+n) 列式；再以兩段距離核對草稿，不能只看它是否在區間內。

先分別算兩個加權項：14×(32)=448、4×(−16)=−64。將兩項相加得到加權和，再求總份數 4+14；最後以加權和除以總份數。求得坐標後，以坐標差的絕對值檢查 AP、PB。

(甲) 64/3。(乙) P=(14×(32)+4×(−16))/(4+14)=64/3；−16<64/3<32；AP:PB=32/3:112/3=4:14。

AP=(32−(64/3))，PB=(64/3−(−16))，因此兩段距離分別為 32/3、112/3。AP:PB=4:14 表示 P 靠近 A；即使 A 在右端，PB 的比數 14 仍配 A。

(丙) 不符合。草稿把比數乘同側端點，AP:PB=4:14 表示 P 靠近 A；即使 A 在右端，PB 的比數 14 仍配 A。

先只看草稿中的係數配對，不急著做負數運算。比數所指的線段與所乘端點是同側還是對側？

負坐標不會改變比數的配對規則；把符號與係數配對分開檢查。

將係數配對與負數運算分開：先依 AP:PB=m:n 列 P=(nA+mB)/(m+n)，再帶入兩個負坐標；草稿也要另算距離比。

先分別算兩個加權項：10×(−14)=−140、8×(−2)=−16。將兩項相加得到加權和，再求總份數 8+10；最後以加權和除以總份數。求得坐標後，以坐標差的絕對值檢查 AP、PB。

(甲) −26/3。(乙) P=(10×(−14)+8×(−2))/(8+10)=−26/3；−14<−26/3<−2；AP:PB=16/3:20/3=8:10。

AP=(−26/3−(−14))，PB=(−2−(−26/3))，因此兩段距離分別為 16/3、20/3。AP 的比數 8 配 B、PB 的比數 10 配 A；端點都是負數仍不能互換權重。

(丙) 不符合。草稿把比數乘同側端點，AP 的比數 8 配 B、PB 的比數 10 配 A；端點都是負數仍不能互換權重。

草稿算出的量，是從 A 走了多少，還是在原數線上的位置？

原點與 A 不同。用整段的一部分求得的是位移，坐標還與起點的位置有關。

令 AP:PB=m:n，以 P=A+m/(m+n)(B−A) 求坐標；將起點 A 與從 A 出發的位移分開記錄，再檢查草稿算的是哪種量。

先分別算兩個加權項：10×(10)=100、6×(30)=180。將兩項相加得到加權和，再求總份數 6+10；最後以加權和除以總份數。求得坐標後，以坐標差的絕對值檢查 AP、PB。

(甲) 35/2。(乙) P=(10×(10)+6×(30))/(6+10)=35/2；10<35/2<30；AP:PB=15/2:25/2=6:10。

AP=(35/2−(10))，PB=(30−(35/2))，因此兩段距離分別為 15/2、25/2。從 A 走到 P 的位移要加回 A 的坐標；只算整段的 6/16，得到的是 AP 而非 P 的坐標。

(丙) 不符合。草稿只算從 A 出發的位移，沒有加回起點坐標，從 A 走到 P 的位移要加回 A 的坐標；只算整段的 6/16，得到的是 AP 而非 P 的坐標。

在數線上從 A 到 B，是往坐標較大的方向，還是較小的方向？

整段距離與有方向的坐標差要分開。從起點求新坐標時，用的位移須與行進方向一致。

令 AP:PB=m:n，用 P=A+m/(m+n)(B−A) 列式；先保留 B−A 的符號，求坐標後再檢查行進方向與草稿點的位置。

先分別算兩個加權項：6×(34)=204、10×(−10)=−100。將兩項相加得到加權和，再求總份數 10+6；最後以加權和除以總份數。求得坐標後，以坐標差的絕對值檢查 AP、PB。

(甲) 13/2。(乙) P=(6×(34)+10×(−10))/(10+6)=13/2；−10<13/2<34；AP:PB=55/2:33/2=10:6。

AP=(34−(13/2))，PB=(13/2−(−10))，因此兩段距離分別為 55/2、33/2。B−A 為負，從 A 到 P 的位移也為負；把位移改成正距離後再加到 A，會走到反方向。

(丙) 不符合。草稿把往 B 的位移一律當成正數再加到 A，B−A 為負，從 A 到 P 的位移也為負；把位移改成正距離後再加到 A，會走到反方向。

本題的 A 不在原點。草稿是否把「離 A 多遠」當成了「在原數線的位置」？

分數起點也有自己的坐標；先確認草稿算的量，再用原坐標系檢查位置。

令 AP:PB=m:n，以 P=A+m/(m+n)(B−A) 列式；分數起點與位移先各自保留，再相加。檢查草稿時另算它到兩端的距離。

先分別算兩個加權項：14×(−9/2)=−63、10×(15/2)=75。將兩項相加得到加權和，再求總份數 10+14；最後以加權和除以總份數。求得坐標後，以坐標差的絕對值檢查 AP、PB。

(甲) 1/2。(乙) P=(14×(−9/2)+10×(15/2))/(10+14)=1/2；−9/2<1/2<15/2；AP:PB=5:7=10:14。

AP=(1/2−(−9/2))，PB=(15/2−(1/2))，因此兩段距離分別為 5、7。從 A 往右走 AP 之後，仍須加回起點 −9/2；距離為正與坐標的正負是不同的事。

(丙) 不符合。草稿只算從 A 出發的位移，沒有加回起點坐標，從 A 往右走 AP 之後，仍須加回起點 −9/2；距離為正與坐標的正負是不同的事。

道路上的位置由哪個原點量起？題目問的是位置坐標，還是從 A 開始走的距離？

把直路看成一條數線；比仍是兩段距離的比，坐標仍從同一個原點量起。

把道路視為數線，令 AP:PB=m:n，列 P=A+m/(m+n)(B−A)。起點與位移皆用公尺，結果仍相對題給的共同原點。

先分別算兩個加權項：10×(120)=1200、6×(168)=1008。將兩項相加得到加權和，再求總份數 6+10；最後以加權和除以總份數。求得坐標後，以坐標差的絕對值檢查 AP、PB。

(甲) 138。(乙) P=(10×(120)+6×(168))/(6+10)=138；120<138<168；AP:PB=18:30=6:10。

AP=(138−(120))，PB=(168−(138))，因此兩段距離分別為 18、30。沿直路的內分與數線相同；從 A 量出的 AP 不是相對共同原點的位置坐標。

升降井的坐標可能為負，而停靠點到兩端的距離不為負；先分清這兩種量。

把井內高度放在同一條數線上，保留端點相對地面的坐標，再按距離比決定權重。

把高度視為帶符號的坐標，令 AP:PB=m:n，用 P=(nA+mB)/(m+n) 列式；求兩段距離時才取坐標差的絕對值。

先分別算兩個加權項：6×(−36)=−216、10×(12)=120。將兩項相加得到加權和，再求總份數 10+6；最後以加權和除以總份數。求得坐標後，以坐標差的絕對值檢查 AP、PB。

(甲) −6。(乙) P=(6×(−36)+10×(12))/(10+6)=−6；−36<−6<12；AP:PB=30:18=10:6。

AP=(−6−(−36))，PB=(12−(−6))，因此兩段距離分別為 30、18。地面只是共同原點；負坐標可參與加權，不能先把井底深度改成正坐標。

題目這次先寫 PB，再寫 AP。讀比時先對應線段名稱，不只看數字的先後。

先辨認題給兩項各對應哪段距離，再對照課文比的書寫順序；不要只按數字先後讀。

先依線段名稱將題給比改記為 AP:PB=m:n，再列 P=(nA+mB)/(m+n)；m、n 由各自對應的線段決定，不依題面數字先後固定。

先分別算兩個加權項：8×(−24)=−192、14×(42)=588。將兩項相加得到加權和，再求總份數 14+8；最後以加權和除以總份數。求得坐標後，以坐標差的絕對值檢查 AP、PB。

(甲) 18。(乙) P=(8×(−24)+14×(42))/(14+8)=18；−24<18<42；AP:PB=42:24=14:8。

AP=(18−(−24))，PB=(42−(18))，因此兩段距離分別為 42、24。PB:AP=8:14 等價於 AP:PB=14:8，因此 PB 的比數 8 配 A，AP 的比數 14 配 B。