用已給的反導函數算定積分

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這一課要做的事

題目會給你一個函數 f,以及 f 的一個反導函數 F(也就是 F 微分後得到 f),再給兩個數 a 與 b。你要做的是:用 F 在兩個端點的值,算出定積分 ∫ab f(x) dx。重點是「代入兩個端點,再相減」這個動作要做對、寫完整。

這一課的 F 是題目已經給好的,你不需要自己去找 F(怎麼找 F 是另一件事)。被積函數以多項式為主,次數不限於二次;結果用整數或分數表示。

為什麼端點的值就夠了

先看一個存款的類比:某個帳戶,第 0 天的餘額是 100 元;接下來三天的變動依序是 +30、−10、+25。第 3 天的餘額是 100+30−10+25=145 元。把三天的變動加起來是 45,剛好等於「第 3 天的餘額減第 0 天的餘額」145−100=45。中間每一天的餘額,在「那天加進來」與「隔天作為起點」之間互相抵消了,最後只剩頭尾兩個餘額。

定積分用的是同一個想法,只是「變動」是連續進行的。(以下是為說明而設的情境:)一個水槽在時刻 t 的水量記為 V(t),水流進來的速率記為 r(t),它們的關係是 V 微分後等於 r,也就是 V 是 r 的一個反導函數。你想知道從 t=a 到 t=b 之間總共流進多少水。要知道這個量,不必追蹤每一刻流進多少,只要知道「後來的水量」減「原來的水量」:V(b)−V(a)。

定積分 ∫ab r(t) dt 這個記號,表示的正是「r 從 t=a 到 t=b 累積出的總量」;課綱把「它等於 V(b)−V(a)」這個結果稱為微積分基本定理。本課直接採用這個結果,不在這裡證明;你的任務是把它用對。

記號與各部分的意思

∫ab f(x) dx = [F(x)]ab = F(b) − F(a)

部分意思
f(x)被積函數:要累積的那個量的變化率(上例的流入速率 r)
F(x)f 的一個反導函數:F 微分後等於 f(上例的水量 V)。本課由題目給定
dx說明對 x 累積,不可省略。變數若是 t,就寫 f(t) 與 dt
下限 a、上限 b從 x=a 開始、到 x=b 結束。a 寫在下方,b 寫在上方
[F(x)]ab「把 F 在 b 與 a 的值求出來,再用 F(b) 減 F(a)」的簡寫,兩個端點代入的是同一個 F

反導函數不只一個:F 加上任何常數 C 後微分仍得 f。這不會影響結果,因為 [F(b)+C]−[F(a)+C]=F(b)−F(a),C 被減掉了。所以題目給哪一個 F 都可以。

怎麼用 F(b)−F(a) 算,每一步為什麼

  1. 寫完整記號(含 dx 與上下限):確認要算的是哪個函數、對哪個變數、從哪裡到哪裡。
  2. 算 F(上限):把上限代入 F。這是「到終點時累積到多少」。
  3. 算 F(下限):把下限代入 F。這是「一開始已經有多少」。下限是負數時,代入要加括號。兩個值各寫一行,不要只算其中一個。
  4. 用 F(上限) 減 F(下限):增加的量等於後來的值減原來的值。次序顛倒會得到相反數;漏減 F(下限) 則只剩 F(上限) 這一個值,它不是「這段期間增加的量」(換一個差常數的 F,這個值就會變)。

F(下限) 的值有可能剛好是 0,這時減掉它不改變結果,但步驟仍然要寫;別因此養成「只算上限」的習慣。

三個完整示範

示範 1:一次函數

題目:已知 F(x)=3x2 + 2x 是 f(x)=6x + 2 的一個反導函數。計算 ∫12 (6x + 2) dx。

(1)寫完整記號:∫12 (6x + 2) dx,被積函數 6x + 2,變數 x,下限 1,上限 2。
(2)代入上限:F(2)=3×22 + 2×2=16。
(3)代入下限:F(1)=3×12 + 2×1=5。
(4)∫12 (6x + 2) dx=[3x2 + 2x]12=F(2)−F(1)=16−5=11。

兩個端點各算一行,最後才相減。F(2)=16、F(1)=5 都是 F 的值,不是答案;答案是它們的差。

示範 2:二次函數,F 有分數,下限是負數

題目:已知 F(x)=x3/3 + 3x 是 f(x)=x2 + 3 的一個反導函數。計算 ∫−42 (x2 + 3) dx。

(1)寫完整記號:∫−42 (x2 + 3) dx,被積函數 x2 + 3,變數 x,下限 −4,上限 2。
(2)代入上限:F(2)=(1/3)×23 + 3×2=26/3。
(3)代入下限:F(−4)=(1/3)×(−4)3 + 3×(−4)=−100/3。
(4)∫−42 (x2 + 3) dx=[x3/3 + 3x]−42=F(2)−F(−4)=26/3−(−100/3)=42。

F(−4) 的 (−4)3 是 −64,所以第一項是 −64/3;兩個值的分母都是 3,相減時可以先通分再約分:(26/3) − (−100/3) = 126/3 = 42。減去一個負數要變成加。

示範 3:被積函數是三次

題目:已知 F(x)=x4 − 3x 是 f(x)=4x3 − 3 的一個反導函數。計算 ∫13 (4x3 − 3) dx。

(1)寫完整記號:∫13 (4x3 − 3) dx,被積函數 4x3 − 3,變數 x,下限 1,上限 3。
(2)代入上限:F(3)=34 − 3×3=72。
(3)代入下限:F(1)=14 − 3×1=−2。
(4)∫13 (4x3 − 3) dx=[x4 − 3x]13=F(3)−F(1)=72−(−2)=74。

被積函數的次數不限於二次;只要 F 已給,做法完全相同:代上限、代下限、相減。

端點、負值與不能這樣用的情況

示範 4:結果是負數

題目:已知 F(x)=x2 − 10x 是 f(x)=2x − 10 的一個反導函數。計算 ∫13 (2x − 10) dx。

(1)寫完整記號:∫13 (2x − 10) dx,被積函數 2x − 10,變數 x,下限 1,上限 3。
(2)代入上限:F(3)=32 − 10×3=−21。
(3)代入下限:F(1)=12 − 10×1=−9。
(4)∫13 (2x − 10) dx=[x2 − 10x]13=F(3)−F(1)=(−21)−(−9)=−12。

被積函數 2x−10 在 1 到 3 之間都是負的,累積起來是負的。定積分算出負數不代表算錯。

常見的錯與自查

常見的錯怎麼發現
只代入上限,漏減 F(下限)檢查有沒有分行寫出 F(上限) 與 F(下限) 兩個值,最後一行是否為相減
寫成 F(下限)−F(上限)相減那一行先寫文字「F(上限)−F(下限)」,再填數字
把兩個值相加想「增加了多少」是後來減原來,不是加起來
下限是負數,次方或符號算錯代入負數一律加括號,例如 (−5)2=25、(−5)3=−125
減去負數時符號沒有變減去的值也加括號:20−(−6)=26
拿 f 的值去代入確認代入的是題目給的 F,不是被積函數 f
漏寫 dx 或寫錯變數記號要有 ∫、上下限、被積函數、dx(或 dt)四個部分

這一課不處理的事

回想(讀完上面再作答)

  1. 用 F 算 ∫ab f(x) dx 的最後一步,是哪兩個值怎樣組合?
  2. 為什麼挑哪一個反導函數(差一個常數)結果都一樣?
  3. 只算 F(上限) 會漏掉什麼?次序顛倒會得到什麼?
  4. 下限是負數時,代入要注意什麼?
參考答案

(1)F(b)−F(a):上限的值減下限的值。(2)兩個反導函數只差常數 C,相減時 C 抵消。(3)漏掉「原來已有的量」F(下限);次序顛倒得到相反數。(4)代入負數加括號,偶數次方為正、奇數次方為負;減去負數時符號要變。